РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛИТ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕКАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№4 (69) / 2019.

УДК 539.3

©2019. Е.С. Глушанков

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИЗГИБА ТОНКИХ ПЛИТ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ НЕКАНОНИЧЕСКИХ ОБЛАСТЕЙ

Решены задачи об изгибе тонких плит для некоторых неканонических областей. В полиномиальном виде получены решения (даны выражения для прогиба, изгибающих моментов, крутящего момента, перерезывающих сил) для жестко защемленных по контуру тонких плит в форме внутренности гиперболы, внутренности параболы, прямоугольного клина, а также для жестко защемленного и опертого клина с произвольным углом раствора.

Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, полиномиальные решения, функция прогиба, изгибающие и крутящий моменты

Введение. Широкое применение во многих областях науки, техники, инженерии в качестве элементов конструкций получили плиты из анизотропных материалов. Зачастую эти плиты подвергаются распределенному либо сосредоточенному воздействию по основаниям либо по краям, что может приводить к их изгибу. Это следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. Решение задач теории изгиба зачастую строится на основе теории тонких плит Кирхгофа-Лява [1, 2] К настоящему времени разработаны различные методы [3, 4] и решены многие задачи теории изгиба изотропных [3, 5, 6] и анизотропных [7, 6] плит.

В данной работе с применением известных подходов получены точные аналитические решения в виде полиномов для задач изгиба тонких анизотропных плит с различными неканоническими очертаниями.

1. Постановка задачи теории изгиба тонких плит. Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Охуг тонкую анизотропную плиту толщины 2Н. Срединная плоскость плиты лежит в плоскости Оху и занимает двумерную область 5. Пусть для каждой точки плиты имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. Плита находится под действием нормальных усилий д(х,у), распределенных по верхнему основанию, а также внешних сил, распределенных по краю.

По теории тонких плит Кирхгофа-Лява [2], определение напряженно-деформированного состояния плиты сводится к решению уравнения

^ ^ д4^ ^ ^ . д4,ш ^ д4ад ^ д4ад

^ПТГТ + + 2 (12 + 2Дзе 2Я + + £>22^ = ,п л

дх4 дх3ду дх2ду2 дхду3 ду4 (1)

= Я(х,у),

2Н3

где ад = ад (ж, у) — прогиб срединной плоскости плиты; = -^-В^ — жесткости

материала плиты;

Вц B12 В1б\ fan a12 a16

В12 B22 B26 I = a12 a22 a26

В16 B26 В66 a16 a26 a66

(Цз — коэффициенты деформации материала плиты.

Уравнение (1) следует решать при соответствующих граничных условиях. После этого прогиб плиты становится известным и по нему в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Нху, перерезывающих сил Жх, N [2]:

/ д2ш ^ д2ш ^ д2ш \ \ дх2 ду2 дхду)

\ дх2 ду2 дхду)

/ d2w ^ д2w ^ d2w \ Hxy = -[D16—т+ D26— + 2Dm—— , (2)

\ дх2 ду2 дхду)

I ^ д3 w ^ д3 w ^ . d3w ^ d3w

^ = " ^ПТГТ + + ( 12 + 2£)6б) + 2i5i6irT

дх3 дх2ду дхду2 ду3

I ^ d3w ^ . д3w ^ d3w ^ d3w

Лу = - [D16—^ + р!2 + 2£>бб) тт-отт- + 3D26—— + -D22

дх3 дх2ду дхду2 ду3

После этого становится возможным определение моментов и перерезывающих сил на произвольной площадке с нормалью п и касательной s [2]:

Mn = Mx ео82(пх) + My ео82(пу) — 2Hxy еов(пх) еои(пу), Ms = Mx еов2(пу) + My ео82(пх) + 2Hxy еов(пх) еои(пу), Hns = (My — Mx) еов(пх) еов(пу) + Hxy (еов2(пх) — ео$2(пу)) , (3)

Nn = Nx еов(пх) + Ny еов(пу), Ns = Nx еов(пу) — Ny еов(пх).

Вид граничных условий для определения функции прогиба w^, у) зависит от физических условий по краю плиты.

Если по краю плиты действуют изгибающие, крутящие моменты и перерезывающие силы, то граничные условия имеют вид [2]

Mn = m(s), Hns = f (s), Nn = p(s), (4')

где m(s), f (s), p(s) — распределения по краю плиты изгибающего момента, крутящего момента и перерезывающих сил. В частности, если край плиты свободен

от внешних воздействий, то m(s) = f (s) = p(s) = 0. Однако, трем граничным условиям одновременно удовлетворить удается не всегда, поэтому зачастую второе и третье граничные условия комбинируются, и тогда условия принимают вид [2]

dH

Ms = m(s), Hns = f(s), Nn + -^=p(s). (4)

Если край плиты является опертым и на нем действуют изгибающие моменты, то граничные условия имеют вид [2]

w = 0, Mn = m(s), (5)

В частности, если край плиты является свободно опертым, то m(s) = 0. Если край плиты жестко защемлен, то граничные условия имеют вид [2]

dw

» = 0, ^ = 0, («■)

что эквивалентно

dw dw dx dy

2. Решения задач для тонких плит с жестко защемленными контурами. Рассмотрим задачи изгиба для тонких плит с различными очертаниями, контуры которых жестко защемлены.

Внутренность гиперболы. Рассмотрим тонкую плиту, ограниченную гиперболой. Плита жестко защемлена по краю. На верхнем основании действует равномерно распределенная нагрузка q.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

Х--У- = 1 (7)

a

Следуя подходу к решению задачи об изгибе эллиптической плиты [8], функцию прогиба w будем искать в виде

1)2. (8)

Функция (8) тождественно удовлетворяет граничным условиям (6). Тогда для определения неизвестной постоянной к подставим (8) в уравнение (1) и получим

к =_^__(9)

8 (3£>22а4 - 2(А2 + 2066)а2Ь2 + 3£>ц&4)'

Для моментов и перерезывающих сил из формул (2) получим выражения:

Mx = к

Z4Bi2_12Bn\ 2 I a2b2 а4 ) Х

x +

I6D16 /4ДП 12Д12\ 2 (4Рп 4Д12 a2b2 ХУ V a2b2 б4 )У \ а2 Ъ2

Му — к

/4Р22 12Р12\ 2 I а2Ь2 а4 )Х

, 16^26 ,

4Б

12

а2Ь2

12^22 А 2^

— у +

12

4Д22\ ъ2 Л

Нху - к

/4Д26 12 Аб

V а2б2 а4

, 16^66 ,

а2Ь2

16

— у +

х2 +

4Б

16

4В2бХ Ъ2 )

Жх - к

Жу - к

8 (Д12 + 2Д66) а2Ъ2

24АЛ /24016 а4 У Ж V а2&2

24^26 \

Ь4

/24Д26 24Д16\ / 8 (Ри + 2Дбб) 24Д22\ V а2б2 б4 У V Ь4 )

у

Для ортотропного материала а16 — а26 — 0, следовательно, Б16 — ^26 для моментов и перерезывающих сил выражения обретают такой вид:

0, и

Мх — к

/4В12 _ 12Ви V а2б2 а4

2 /4£и 12А2^ 2

11

4^12 б2

Му — к

/4^22 12£>12\ о /4^12 12^2Л О /4^12 4^22

\а2Ъ2

а4

7 4 I У + I 2 Ь4 ) \ а2

и - ь16Дз6

а2Ь2

N — к

N — к

8(Д12 + 2Д66) 24АЛ

а262 а4 у

8(^12 + 2^66) 24^22 \

—;у■

а2Ь2

Ь2

Из полученных формул следует, что при удалении от вершины гиперболы значения моментов возрастают вместе с величиной прогиба.

Внутренность параболы. Рассмотрим тонкую плиту, ограниченную параболой. Плита жестко защемлена по краю. На верхнем основании действует равномерно распределенная нагрузка д.

Каноническое уравнение параболы имеет вид

у — рх — 0.

(10)

Вновь применим подход, использованный при решении задачи об изгибе эллиптической плиты [8], и функцию прогиба ■ будем искать в виде

■

(х,у) — к (у2 — рх 2 .

(11)

2

а

2

а

2

а

Функция (11) тождественно удовлетворяет граничным условиям (6). Тогда для определения неизвестной постоянной k подставим (11) в уравнение (1) и получим

к = ± (12)

Для моментов и перерезывающих сил из формул (2) получим выражения: Ых = k (-\2Di2y2 + + ЗАеТО - 2БПр2) ,

Ыу = k (-12D22у2 + 4D22рх + ЗD26PУ - 2Dl2p2) , Иху = к (-^26У2 + 4D26px + ЗDееРУ - 2Dl6р2) , Ых = к (-24D26У + 4 + 2D66) р), Ыу = к (-24D22У + 12D26Р) •

Для ортотропного материала выражения для моментов и перерезывающих сил упрощаются: ( )

Ых = к (-^2У2 + 4Dl2px - 2Dllр2) ,

Ыу = к (-^22У2 + 4D22рх - 2Dl2p2) ,

Иху = ЗkD66РУ,

Ых = к (4р!2 + 2D66) р), Ыу = к (-24D22У + ^26р) •

Из полученных формул следует, что при удалении от вершины параболы значения моментов возрастают вместе с величиной прогиба.

Прямоугольный клин. Рассмотрим плиту в форме прямоугольного клина. Плита жестко защемлена по краю. На верхнем основании действует равномерно распределенная нагрузка д.

Вершину прямого угла поместим в точку начала координат, а его стороны расположим вдоль осей Ох и Оу. Тогда плита будет занимать область, ограниченную линиями

х = 0, у = 0.

Функцию прогиба w выберем в виде

w(x,y) = кх2у2. (13)

Функция (13) удовлетворяет граничным условиям (6), а для определения неизвестной постоянной к подставим ее в дифференциальное уравнение (1). Тогда получим

к = 8 (и12 + 2 Азе) • (14)

Из формул (2) получаем выражения для моментов и перерезывающих сил в точках плиты:

Мх = к (-2^2ж2 - 8Авху - 2Бцу2) , Му = к (-2Б22Х2 - 8^26ху - 2^12у2) , Нху = к (-2^26х2 - 4^66ху - 2Абу2) , М = к (-4 (£>12 + 2Дз6) х - 12^16у), Му = к (-12£>26х - 4 (£12 + 2£66) у),

а для ортотропного материала эти формулы примут такой вид:

Мх = к (-2£12х2 - 2£иу2) , Му = к (-2£22х2 - 2£12у2) , Нху = -4кБ66ху, М = -4к (£12 + 2£66) х, Му = -4к (£12 + 2£66) у.

Из полученных формул следует, что при удалении от вершины клина значения моментов возрастают вместе с величиной прогиба.

3. Решения задач теории изгиба для ортотропного клина с произвольным углом раствора при различных условиях по краю. Рассмотрим тонкую клиновидную плиту с произвольных углом раствора, ограниченную двумя прямыми линиями. Плита подвержена различным воздействиям по верхнему основанию и по краю.

Для удобства будем полагать, что уравнения прямых, образующих клин, имеют вид

у - рх = 0, у + рх = 0. (15)

Для угла раствора клина получается значение 2аг<С^р.

Клин с жестко защемленным контуром. Рассмотрим плиту в форме клина, ограниченного двумя прямыми. Плита жестко защемлена по краю. На верхнем основании действует равномерно распределенная нагрузка д.

Функцию прогиба и> будем искать в виде

■ш(х, у) = к ((у - рх) (у + рх))2 = к (у2 - р2х2)2 . (16)

Функция (16) тождественно удовлетворяет граничным условиям (6). Тогда для определения неизвестной постоянной к подставим (16) в уравнение (1) и получим

и —_1__(и)

8(-3£22 + (А12 + 2£66)р2-3£цр4)" 1 ;

Для моментов и перерезывающих сил из формул (2) имеем выражения: Мх = к ((4£>12р2 - 12£11 р4) х2 + (4£11 р2 - 12£>12) у2) ,

My = fc ( (4^22Р2 — 12D12p4) х2 + (4D12P2 — 12D2^ у2) ,

х

Hxy = 16kD66 р2ху, Nx = к (8 (D12 + 2D66) p2 — 24D11 p4) х, Ny = fc (8 (D12 + 2D66) p2 — 24D22) у.

Из полученных формул следует, что при удалении от вершины клина значения моментов возрастают вместе с величиной прогиба.

Заметим, что вышеприведенные формулы для клиновидной плиты можно получить также из формул для внутренности гиперболы, положив в них b = ap и a ^ж.

Клин, опертый по контуру и загруженный изгибающим моментом. Рассмотрим плиту в форме клина, ограниченного двумя прямыми. Плита оперта по краю, действует нормальный изгибающий момент Mn = m. Основания плиты свободны от нагрузки.

Функцию прогиба будем искать в виде

w^^) = к (у2 — p2x2) . (18)

Функция (18) тождественно удовлетворяет уравнению (1) при д(х,у) = 0 и первому граничному условию (5).

Для моментов и перерезывающих сил из формул (2) имеем выражения:

Mx = 2fc (D12 — Dnp2) ,

My = 2fc (D22 — D12p2) ,

Hxy = 0, Nx = 0, Ny = 0.

Неизвестную постоянную к будем определять из второго граничного условия (5). Для момента Mn, действующего на произвольной площадке с нормалью п, из формул (3) получим

Mn = 2fc [(D12 — Dnp2) еов2(пх) + (D22 — D12p2) еов2(пу)] .

p

На линиях у ± рх = 0, составляющих границу плиты, cos (пх) = —-

VI + W p

cos (ny) = =F— . Тогда на площадках, параллельных контуру плиты, изги-

V1 + p2

бающий момент

Мп = у—2 [£>12 + D22 - (Dn + D12)p2] = т. 1 + p2 L J

Отсюда для неизвестной постоянной к получаем значение

к =_ra(l+P2)__, .

2p2[Dl2 + D22-(Dll+Dl2)p2Y { )

Таким образом, для ортотропного клина с опертым краем значения моментов постоянны во всех точках плиты, а перерезывающие силы отсутствуют.

Клин, край которого загружен изгибающим и крутящим моментами. Рассмотрим плиту в форме клина, ограниченного двумя прямыми. Край плиты загружен изгибающим моментом Мп = т и крутящим моментом Ипз = (где знак « —» относится к границе у + рх = 0, а знак «+» относится к границе у — рх = 0). Основания плиты свободны от нагрузки. Функцию прогиба будем искать в виде

■ш(х,у)= кг х2 + к2у2. (20)

Функция (20) тождественно удовлетворяет уравнению (1) при д(х,у) = 0 и третьему граничному условию (4').

Для моментов и перерезывающих сил из формул (2) имеем выражения:

Мх = —2кгВц — 2к2^12,

Му = —2кг £12 — 2к2^22,

Нху = 0, Мх = 0, Му = 0.

Неизвестные постоянные к будем определять из первого и второго граничных условий (4'). Для моментов Мп и Ипз, действующих на площадке с нормалью п и касательной з, из формул (3), получим

Мп = —2 [(кгБц + к2^12) еов2(пх) + (к—12 + к2—22) еов2(пу)] ,

Ипз = —2 [(кг—12 + к2-22) — (кг—гг + к2-12)] еов(пх) еоъ(пу).

Тогда на площадках, параллельных контуру плиты, для изгибающего и крутящего моментов имеем

р2

Мп = [(^И + ^ + + =

р2

Нпз = [(^11 - ^12) к1 + (^12 " ^22 ) к2] =

Решая полученную систему, для неизвестных постоянных кг, к2 получаем значения

и Р12-Д22 )Р2 (А2+Д22 )Р2 {

1 4 (А1Л22 " А22) (1 + р>) + 4 (2?пП22 - АЬ) (1 + р2)г' ^

Ь = _(Рп-Рп)р2___(Аа+Дц)?2_; (22)

Следовательно, для ортотропного клина с краем, загруженным изгибающим и крутящим моментами, значения моментов постоянны во всех точках плиты, а перерезывающие силы отсутствуют.

1. Love A.E.H. On the small free vibrations and deformations of elastic shells / A.E.H. Love // Philosophical trans. of the Royal Society. - 1888. - Vol. serie A, No. 17. - P. 491--549.

2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.

3. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П.Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.

4. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных анизотропных плит / С.А. Калоеров // Теорет. и прикладная механика. - 2012. - Вып. 4 (50). - С. 113-132.

5. Mansfield E.H. The bending and stretching of plates / E.H. Mansfield. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. - 228 p.

6. Калоеров С.А. Решения задач изгиба тонких плит для канонических областей / С.А. Калоеров, А.И. Занько, А.А. Кошкин // Теорет. и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55). - С. 99-138.

7. Космодамианский А. С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями / А.С. Космодамианский. - К.-Донецк: Вища шк., 1976. - 200 p.

8. Ляв А. Математическая теория упругости / А. Ляв. - М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.

E.S. Glushankov

The solutions of the problems of bending of thin plates for some uncanonical domains.

The problems of bending of thin plates are solved for some uncanonical domains. The solutions are obtained in polynomials (the expressions given for deflection, bending moments, twisting moment, transverse forces) for clamped hyperbola interior, parabola interior, rectangular wedge, as well as for clamped, supported and loaded wedges with arbitrary opening angle.

Keywords: bending theory of thin plates, polynomial solutions, deflection function, bending and twisting moments.

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 01.11.2019

evgenij.glushankov@gmail.com