Точное решение задачи об изгибе шарнирно опертой прямоугольной ортотропной пластины под действием пьезоэлектрика Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.32

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКА

И. И. Степаненко1

На основе решения Навье получено точное решение задачи об изгибе шарнирно опертой прямоугольной ортотропной пластины Кирхгофа Лява под действием пьезоэлектрического актюатора в виде ряда из собственных функций.

Ключевые слова: теория пластин Кирхгофа Лява. пьезоэлектричество, ряд. собствен-ныв функции.

The exact solution based on the Navier solution of the bending problem for a simply-supported rectangular orthotropic Kirchhoff Love plate under the action of a piezoelectric actuator in the form of an eigenfiinction series is obtained.

Key words: Kirchhoff Love plate theory, piezoelectricity, series, eigenfiinctions.

Введение. Применение пьезоэлектрических материалов ь качестве датчиков и актюаторов для управления формой и колебаниями плоских конструкций находит все большее распространение. Этому посвящено огромное количество публикаций как в России (см., например, [1, 2|), так и за рубежом (например, [3 5]). Упомянутые работы [3 5] основаны на использовании теории тонких пластин Кирхгофа Лява. Применяемые гипотезы, с одной стороны, позволяют упростить решение задачи, а с другой в некоторых случаях приводят к незначительным погрешностям решения.

В данной работе рассматривается задача об изгибе тонкой прямоугольной ортотропной пластины Кирхгофа Лява под действием присоединенного к ней пьезоалектрика. Получено точное решение в виде ряда по собственным функциям задачи при граничных условиях, соответствующих шарнирному закреплению, а также оценка погрешности решения при усечении ряда. Построенное решение может использоваться как для непосредственного анализа реакции пластины, так и для оценки точности различных численных схем, применяемых в том числе для более сложных практических задач.

Постановка задачи. Рассматривается прямоугольная пластина с внедренным пьезоэлементом (рис. 1), состоящая из ортотропных упруг их слоев, идеально соединенных между собой. Толщина пластины Ьь, толщина пьезоалектрика z+ — zp = hp. Пьезоэлемент может быть как внедрен между слоями, так и присоединен к поверхности пластины. Используется декартова система координат Oxyz, ось z перпендикулярна слоям пластины, плоскость Oxy параллельна слоям пластины. Пластина занимает область в пространстве х G [0,L], у G [0, VF], z G [—■§,!]• Пьезоалемент с размерами (Lp,Wp,hp) = (x2 — x1,y2 — yi,zp_ — z-) занимает область пространства x G [x1,x2], y G [y1,y2], z G [z-,z+ ], его центр

имеет координаты (xp, yp, zp) = (•T1+-T2 ; Mlj-Hl j 2~+ ). Ось поляризации пьезоалемента параллельна оси г.

Используются следующие определяющие соотношения для пьезоалектричеекого материала, находящегося в условиях плоеконапряженного состояния при электрическом ноле, направленном параллельно z

<7 и = CuklSkl - e¿ijE¿, D3 = e3ij£ij + (зЕз, I, J, К, Le 1,2,

где £ — тензор деформаций, а — тензор напряжений, C — тензор модулей упругости, e — тензор модулей обратного пьезоэлектрического эффекта, E — вектор электрического напряжения, D — вектор электрического смещения, £ — вектор диэлектрической проницаемости. Для материала слоев пластины применяются аналогичные определяющие соотношения, только с нулевым тензором обратного пьезоэлектрического эффекта: e = 0.

В [3] при использовании гипотез Кирхгофа Лява получены уравнения равновесия такой пластины при действии пьезоалектрика. В случае когда оси ортотропии слоев материала совпадают с осями координат

Рис. 1. Схема пластины с внедренным пьезоэлементом

Степаненко Ива,и Игоревич асп. каф. мехапики композитов мех.-мат. ф-та МГУ. e-mail: mr.st.epanenko.ivanegmail.com.

и имеет место симметрия слоев относительно центральной плоскости, уравнения равновесия принимают вид

Ацц u,xx + A1212 u,yy + (A1122 + A1212 )v,xy = V [¿311 R,x + ¿312 R,y ], (1)

(A1122 + A1212 )u,xy + A1212 v,xx + A2222v,yy = V [^312 R,x + ¿322 R,y(2) D1111 W,xxxx + 2(D1122 + 2D1212)w ,xxyy + D2222w ,yyyy = —Vzp [^^¿311 + 2R,xy ¿312 + R,yy ¿322 ], (3)

где

h/2

h/2

Аыкь = ! Сикь(г) Ах, Викь = J х2С.кь(х) Ах,

-Н/2 -Н/2

Е(х, у) = (Н(х - Х1) - Н(х - Х2))(Н(у - Ух) - Н(у - У2)),

¿зи = СыкьАзкь = &зи - СызкАззк - Ср.кзАзкз - Ср?ззАззз•

Здесь А — тензор растягивающих жесткостей, V — тензор изгибных жесткостей, V = Ез/Нр — электрическое напряжение на пьезоэлектрике, (и, V, w) — поле перемещений срединной плоскости пластины, К(х, у) — функция-индикатор положения пьезоэлемента в плане, Н(х) — функция Хевисайда, Ср — тензор модулей упругости пьезоэлектрика, А — тензор модулей прямого пьезоэлектрического эффекта.

Воздействие пьезоэлектрика на пластину представлено специфической правой частью системы урав-

Н(х)

функцию Дирака 5(х) и ее производную 5'(х).

Статическая задача заключается в решении уравнений (1)-(3) относительно неизвестных (и^^) при некоторых граничных условиях. Стоит отметить, что в этой системе не отражено изменение жесткости пластины в месте внедрения пьезоэлемента: тензоры жесткости предполагаются постоянными по площади пластины. Система уравнений (1)-(3) распадается на две независимые подсистемы (1)-(2) и (3). В настоящей работе на основе решения Навье [6] получено точное решение уравнения (3) при граничных условиях, соответствующих шарнирному закреплению:

W\x=0,L = W\y=0,W = 0,

d2w

dx2

д 2 w

x=0,L

dy2

0.

(4)

y=0,W

Безразмерная постановка имеет вид

2(D1100 + 2D191 о)/ L \ 2

wmz +

2(D1122 +2D1212)( L . -D^-[w) Dun

D2222 ( L\4 . __R о w ¿312 l W W'mvv ~ ^ L ё3ц

R,tv - ( — 1

(W\ 6322

Vw ¿311

R

w^\?=0,1 = W\n=0,1

0,

d2W

д£

д 2W

£=0,1

дп

П=0,1

= 0, W(C,V) = T2t = b

nv

JL W'

Р1122+2Р1212 Р2222 „„тж

-, 7=;-, аНИ-

111 ' Р1111 '

¿312 ¿322

ези ' ези :

Собственные функции дифференциального оператора изгиба. Рассмотрим задачу на собственные значения для уравнения (3)

Безразмерное решение зависит от параметров анизотропии пластины

зотропии пьезоматериала Ц77, §¡^77, геометрического параметра ^ и положения пьезоэлемента в плане

Аш w ,хххх + 2(^1122 + 2^1212 ^ ,ххуу + ^2222 Wyyyy = ^

с граничными условиями (4).

Решением задачи (4), (5) является система собственных функций и собственных чисел

(5)

Wij{x,y) = sin( ij-xj sinIj^y ), Aij = TT4

D

1111

-} +2(DU22+2Dl2l2)

U

LW

+ -D2222I yy

. (6)

Стоит отметить, что при других граничных условиях сложнее получить точное решение задачи на собственные значения. Собственные функции ортогональны:

L W

J j Wij(x, y)Wki(x, y) dy dx = ökö 00

LW

4

2

4

Решение задачи об изгибе пластины под действием пьезоэлектрика. Разложим правую часть

def

уравнения (3) Q(x,y) = —Vzр[Е,ххёз11 + 2Е,хуёз12 + Е,ууёз22] и искомую функцию w(x,y) в ряд из собственных функций задачи:

Q(x,y) = J2Y1 Q0j wj

i=i j=1

(8)

w

(x,y) = J2wij wij(x,y)-i=1 j=1

(9)

Разложения (8) и (9) подставим в уравнение (3), внеся дифференцирование под знак суммы. Сравнивая коэффициенты при соответствующих членах, находим выражение для коэффициентов разложения искомой функции w(x,y):

Q0

0 _ Чг3

wij ~ \ ' Aij

(10)

Для отыскания коэффициентов разложения Q(x, у) умножим уравнение (8) на Wkl(x, у) и проинтегрируем по площади [0,Ь] х [0,^], используя свойство (7) и конкретный вид собственных функций Wkl(x,y) из (6):

L W

о о

AVzP LW

L W

J J[R,xx&311 + 2R,xyёэ12 + R,yyёэ22]wkl(x, y) dy dx П WP\

о 0

kW IL \ / , n \ . /, n .

6311 "TT" +ез22ТТ77 ) sm k-XP Sin I—VP ~

Ll

kW

L

W

16Vzp . f,nLp\ . = sm к—— sm I —- I

LW \ L 2 J \ W 2 J

- 2ёз12cos

Подставив (10), (11) и (6) в (9), получаем окончательное выражение для искомой функции:

16VzPLWe3U

i=1 j=1

w(x,y) =

n4 D

1111

11 v^ - ■ I \ ■(■ n

W

(11)

(12)

где

w,

sm Uf^)sin (j^)

f + Шш) (<T®p) UwVp) ~ «* {%lxP) cos (jfryp)

ij

i2w\2 , 2(Р1122+2Д1212)Г- Л2 , Д2222 (¿Ц±\' ь j + Dill! W) ^ Dill! \ w J

Анализ сходимости. Оценка погрешности решения при усечении ряда. Ряд (12) сходится не медленнее, чем ряд

Е aij =

iW I jL +

ез22 ези

JL

iW

+ 2

ез!2 ези

i,j=

"i (гЗЖУ , 2(Dll22±2Dl212),..42 D2222 (ilL\

J V L ) Dl111 y J> Dl111 V w J

Проанализируем общий член этого ряда aij:

i2 + K

1 т

ез22 ези

j2 + 2ij

W

ез!2 ези

j5 A I L2 2(Dll22+2Dl212) -3 -3 I ¿4 Р2222 ААП J ' W2 D1111 1 J ' w4 D1111 ^

<

L

^W

Dim

ез!2 ези

+ 72 J \W2

ез22 ези

ез!2 ези

miD I1'(Xn^r}} fa+vif^3 + ^

aij =

2

L

^w

max] 1 + 2

w

ез!2

¿311

Dim

Do 222

ез22

¿311

+ 2

W

ез!2

¿311

mm •! 1,

V-D1111D2222

.) I -;2 i ML / Д2222 ,;2

(13)

W 2 V D1111.

Рассмотрим остаточную сумму = Y%?k=N+1 je2fc2)' гдс 02 = W1 \j%ffff":

"777

jk(j2 + 02k2)

E

i=w+1

2j

+1 '

Здесь (г) — дпгамма-функция, % — мнимая единица. Пользуясь соотношениями

.0(0) ( дг + 1 _ Д ) + ( N + 1 + iJ- ) = 2 In J- +

j

0

+ O

( \ 1

VW /

<

j 92(N2 + N + i) < 2 In 7- H----бУ

0

j

2

получим оценку для остаточной суммы

оо

I]

~;3

Параметры задачи

i=W+1 j

2

х Е ^-(вд + Л^ + 1)) Е

^+1 7 ^=М+1 7

Обозначим частичную сумму ряда (12) через

N

\6VZpЬШёэп ^ ~ .

и1М{х,у) =--¡^- №ч8т('гТж)81П0т77У)-

1

(14)

n4D

1111

i,i=1

L

W'

Тох'да из формул (12), (13) следует оценка абсолютной погрешности усечения ряда (12):

|и>(х,у) -и1м(х,у)| ^ х

L 0,3 M

W 0,3 м

XI 0,135 м

Х2 0,165 м

Vi 0,135 м

У2 0,165 м

zp -0,000055 м

Dim 2,0826 Н-м

D U22 0,05546 Н-м

D1212 0,09705 Н-м

D2222 0,63988 Н-м

¿311 -26,16 Кл/м2 = -26,16 Н/(В-м)

¿322 -26,16 Кл/м2 = -26,16 Н/(В-м)

¿312 0 Кл/м2 = 0 Н/(В-м)

V 100 в

п4 D

1111

max < 1+2

' ТУ

ез!2

¿311

-Dim

D2222

ез22

¿311

+ 2

W

ез!2

¿311

Ш1П

1п|! (Д1122+2В1312)|

L VD1111D2222 J

• (15)

Пример. Рассмотрим задачу с входными данными, указанными в таблице. К центру квадратной пластины размером 30 х 30 см присоединен пьезоэлектрик размером 3 х 3 см. Имеет место выраженная анизотропия упругих свойств пластины. Пьезоэлектрик расположен в нижнем относительно срединной плоскости полупространстве и работает на сжатие.

Вычислено значение прогиба WN(х, у) в 201 х 201 равномерно расположенных точках с помощью усечения ря-

%,

7 не превышали 100. Результат приведен на рис. 2. Максимальный прогиб имел место в центре пластины и составил 6,90122 • 10_5 м. В рассмотренном примере

в2 и 0,5645 и, согласно (14), Км < Т^шО^Э ~ (1п0> 7513 + Ф{0]{Ш)) + 0, 5645«)// и 0,0000459, а

0,1 0,15 0,2 2. Прогиб пластины w(x, у) под действием пьсзоэлсмснта

согласно (15), абсолютная погрешность \w(x,y) — wN(х,у)\ ^ 3,9118 • 10 7 м.

L

1

L

2

6

L

L

X

Заключение. В работе на основе решения Навье при использовании гипотез Кирхгофа-Лява получено точное решение задачи об изгибе прямоугольной шарнирно закрепленной пластины под действием пьезоэлектрического актюатора в виде ряда по собственным функциям задачи. Проанализирована сходимость ряда, найдены оценки его асимптотики и погрешности при усечении ряда. Полученное решение можно применять как для анализа простых задач, так и для оценки точности численных схем, используемых для решения в том числе более сложных задач.

Работа выполнена под руководством профессора Б.Е. Победри.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // Прикл. матем. и механ. 1979. 43, № 5. 923-932.

2. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагннтоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988.

3. Wang В.-Т., Rogers С. A. Laminate plate theory for spatially distributed induced strain actuators //J. Compos. Mater. 1991. 25, N 4. 433-452.

4. Tzou H.S., Fu H.Q. A study of segmentation of distributed piezoelectric sensors and actuators. P. I: Theoretical analysis //J. Sound and Vibr. 1994. 172. 247-259.

5. Tzou H.S., Fu H.Q. A study of segmentation of distributed piezoelectric sensors and actuators. P. II: Parametric study and active vibration controls //J. Sound and Vibr. 1994. 172. 261-275.

6. Тимошенко С.П., Войновекий-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966.

Поступила в редакцию 17.03.2013