CC BY
3СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sakurai A., Takahashi Т. Dynamic stress of underground pipelines during earthquakes // Proc. 4th World Conf. on Earthq. Engng. Chile: Santiago, 1969. 81^95.
2. Ильюшин A.A., Рашидов Т. О действии сейсмической волны на подземный трубопровод // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. 1971. № 1. 37—42 (Ильюшин A.A. Труды. Т. IV. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009).
3. Рашидов Т. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Изд-во "ФАН" УзССР, 1973.
4. Israilov M.Sh. Seismodynamics of an underground pipeline // Proc. 15th World Conf. on Earthq. Engng. Portugal, Lissabon, 2012. Paper 2125.
5. Георгиевский Д.В., Исраилов М.Ш. Сейсмодинамика протяженных подземных сооружений и грунтов: постановки задач и автомодельные решения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2015. № 4. 138—151.
6. Исраилов М.Ш. Связанные сейсмические колебания трубопровода в бесконечной упругой среде // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2016. № 1. 57-66.
7. Рашидов Т., Хожметов Р.Х. Сейсмостойкость подземных трубопроводов. Ташкент: Изд-во "Фан" УзССР, 1985.
8. Исраилов М.Ш. Сейсмодинамика протяженных подземных сооружений: границы применимости инженерных подходов и неправомерность аналогии с наземными сооружениями // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2017. № 1. 55-59.
9. Исраилов М.Ш., Хасамбиев М.В. Об опытном определении коэффициента продольного взаимодействия грунта и трубопровода при сейсмических колебаниях // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2020. № 5. 8-18.
10. Рашидов Т. Расчет подземного трубопровода на действие кратковременной и внезапно приложенной сейсмической нагрузки // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. 1968. № 3. 49-58.
11. Никитин Л.В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. М.: Изд-во "Московский лицей", 1998.
12. Исраилов М.Ш. О гипотезе Ильюшина в сейсмодинамике подземных сооружений // Упругость и неупругость. Мат-лы Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 105-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2016. 323-328.
13. Нормы проектирования атомных станций: НП 031-01. М., 2001. Приложение 6. Основные положения расчета линейно-протяженных конструкций.
Поступила в редакцию 10.11.2021
УДК 517.95: 532.54
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РЕЖИМЕ С ОБОСТРЕНИЕМ И ОСТАНОВИВШЕЙСЯ ТЕПЛОВОЙ ВОЛНОЙ
В. Л. Натяганов1, Ю.Д. Скобенникова2
Для квазилинейного уравнения теплопроводности в полупространстве получено обобщение решения Самарского-Соболя в режиме с обострением и локализацией тепла. Обсуждается аналогия этого решения с летним прогревом влагонасыщенной почвы в зоне вечной мерзлоты.
Ключевые слова: локализация тепла, остановившаяся тепловая волна, режим с обострением, уравнение теплопроводности, фазовый переход, фронт прогрева.
The generalization of Samarskiy-Sobol solution in the mode of heat exacerbation and
1 Натяганов Владимир Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:tenzor-homeQyandex.ru.
2 Скобенникова Юлия Дмитриевна — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lasik28Qmail.ru.
Natyaganov Vladimir Leonidovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
Skobennikova Yuliia Dmitrievna — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
localization is obtained for a quasilinear heat equation in half-space. The analogy of this solution with moisture-saturated soil permafrost zone summer heating is discussed.
Key words: heat localization, stopped heat wave, exacerbation mode, heat equation, phase transition, heating front.
Введение. В безразмерно-инвариантной форме, которая часто используется в математической литературе [1-4], квазилинейное уравнение теплопроводности в одномерном случае обычно записывается как
дТ ~dt
д_
dx
dT
A(r)ei
(i)
где коэффициент теплопроводности A(T) может различным образом зависеть от безразмерной тем-T
В известной работе [7] для полупространства x ^ 0 в случае A(T) = Ta при а > 0 и граничном условии
x = 0: T(0, t) = (t* - t)(-1/a), (2)
где 0 ^ t < t* = const — время обострения, было получено решение уравнения (1) с остановившейся тепловой волной (ОТВ) вида
T(M) = (i*-i)("1/a) fi--)
V x* /
2/а
(3)
которое послужило началом нового направления в прикладной математике с нетривиальными результатами [1-4] — изучения процессов в режимах с обострением и локализацией тепла.
Заметим, что попытки поиска решений с ОТВ предпринимались и раньше, в частности на основе гиперболических уравнений теплопроводности [5], когда в уравнении типа (1) учитывался и член со второй производной по времени.
Обобщение решения Самарского—Соболя. Решение (3) легко получается стандартным методом разделения переменных Т(ж,£) = /(ж)Л,(£), где /(ж) = — , а временная зависимость
выбирается в виде (2). В этом случае показатели степеней а, в и константа ж* в (3) связаны соотношениями
ав = 2, = 2(2 + а)/а, (4)
где ж* задает недостижимую глубину прогрева среды, несмотря на бесконечную энергию, закачиваемую в полупространство через поверхность ж = 0 при Ь ^ Ь*.
Методом функционального разделения переменных Т(ж, Ь) = ^(Ь)[/(ж)+^(Ь)] в частном случае а = 1 или А(Т) = Т уравнение (1) для полупространства ж ^ 0 при мягких (в виде неравенств) условиях
ж = 0 : Тв(Ь) < (Ь* - Ь)-1, Ь = 0 : То(ж) < 0
имеет точное решение вида
" 2
T (x,t) = <
1 -
x
x
(t* - t)-1 To(x) ^ 0, x ^ xf = x*
1
2/3
x ^ xf;
11
t
I/a"
(5)
x
= \/6,
где 0 ^ Ь < глубина локализации тепла ж* = Уб совпадает с формулой (4) при а = 1, а Жf (Ь) — движущийся фронт прогрева среды, на котором выполняется условие Т(жf (Ь)) = 0.
Решение (5) с ОТВ, аналога которого нет в справочнике [3], описывает локализацию тепла в Б-режиме с обострением [1]: фронт волны прогрева внутри полупространства с отрицательной температурой движется по закону ж = Жf (Ь) и на этом фронте безразмерная температура обращается в нуль.
Перечисленные свойства решения (5) на качественном уровне соответствуют началу летнего прогрева пористой и влагонасыщенной почвы в зоне вечной мерзлоты после схода снежного покрова. Однако для использования решения (5) и его свойств в качестве основы для модели такого прогрева
1) необходимо установить адекватное соответствие между шкалами и единицами измерения без-Т
эмпирическую формулу [8]
для воды, которая является главным наполнителем влажной пористой почвы тундры типа торфа;
2) вторую строчку в (5) для Т(ж, Ь) в мерзлой части полупространства исправить на основе решения обобщенной задачи Стефана [8, 9], но теперь уже с известным законом движения ж = Жf (Ь) фронта фазового перехода.
Также следует учесть, что на фронте ж = Жf(Ь), где в результате такого соответствия Т(жf) ^ 0°С, происходит фазовый переход лед-вода с поглощением тепла, поэтому эффективная теплоемкость на этом фронте резко возрастает [9], а А(Т) = Т ^ 0°С, что соответствует решению (5).
Эти отмеченные моменты для разработки на основе решения (5) модели летнего прогрева мерзлой почвы потребуют использования специальных методов обезразмеривания основных величин и асимптотической коррекции [6] аналога формулы (6) для коэффициента теплопроводности А(Т) почвы, что является уже задачей для последующей публикации.
Заключение и выводы. 1. Получено обобщение точного решения квазилинейного уравнения теплопроводности в режиме с обострением на поверхности полупространства и с остановившейся тепловой волной внутри него.
2. Это решение является модификацией задачи Стефана о фазовом переходе лед-вода на известном фронте прогрева и на качественном уровне описывает явление летнего прогрева полупространства в зоне вечной мерзлоты.
3. Разработка модели летнего прогрева может быть полезной для теоретического обоснования наблюдаемого в начале лета скачка концентрации метана в атмосфере Арктики, когда сходит снежный покров; однако еще больший интерес представляет осенний скачок метана [10], когда на 5-15 см промерзает верхний слой почвы, а биохимические процессы в ней резко замедляются.
1. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.
2. Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Самарский А. А. Об асимптотических "собственных функциях" задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения // Матем. сб. 1985. 126(168), № 4. 435-472.
3. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.: Физ-матлит, 2002.
4. Самарский A.A., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физ-матлит, 2001.
5. Лыков A.B. Тепломассообмен (справочник). М.: Энергия, 1978.
6. Дильман В. В., Полянин А. Д. Методы модельных уравнений и аналогий. М.: Химия, 1988.
7. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчета температурных волн // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. 3, № 4. 703-719.
8. Цыпкин Г. Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. М.: Физматлит, 2009.
9. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999.
10. Mastepanov М., Sigsgaard С., Dlugokencky Е. et al. Large tundra methane burst during onset of freezing // Nature. 2008. 456. 628-630.
Вт/м-град
(6)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Поступила в редакцию
08.09.2021
