CC BY
23. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 25. 3-89.
4. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part 1 // J. Fluid Mech. 1968. 33, N 3. 617-621.
5. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part 2 // J. Fluid Mech. 1969. 36, N 4. 721-734.
6. Yih C.-S. Note on eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation //J. Fluid Mech. 1969. 38, N 2. 273-278.
7. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985 (Rektorys К. Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering. Dordrecht; Boston: Reidel, 1980).
8. Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2018.
Поступила в редакцию 20.09.2021
УДК 539.3:534.1
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА И ГРУНТА ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
М. Ш. Исраилов1
Исследуются совместные нестационарные колебания подземного трубопровода и упругого грунта, вызванные наклонным падением плоской сейсмической волны. Даны постановки связанных автомодельных задач. Получено аналитическое решение внешней задачи для грунта, приводящее к теоретическому выражению для силы взаимодействия между трубопроводом и грунтом, для которой ранее имелись лишь эмпирические соотношения. Решения для трубопровода в сверхзвуковом и дозвуковом режимах демонстрируют существенно различный характер поведения, что должно быть учтено в расчетах на сейсмостойкость.
Ключевые слова: сейсмические волны, подземный трубопровод, связанные колебания, автомодельные решения.
The coupled unsteady vibrations of an underground pipeline and elastic soil caused by an inclined fall of a plane seismic wave are studied. The coupled self-similar problems are formulated. An analytical solution of the external problem for the soil is obtained. This solution leads to a theoretical expression for the force of interaction between the pipeline and the soil, for which only empirical relations were previously available. Solutions for pipelines in supersonic and subsonic cases demonstrate significantly different behavior, which should be taken into account during earthquake resistance calculations.
Key words: seismic waves, underground pipeline, coupled vibrations, self-similar solutions.
1. Предварительные замечания. Впервые задача о действии продольной сейсмической волны на бесконечно протяженный трубопровод была рассмотрена А. Сакураи и Т. Такахаши [1]. Считается, что волна распространяется вдоль трубопровода и является стационарной по времени (синусоидальной). Тогда амплитуды ускорений и деформаций в трубопроводе находятся из простых алгебраических уравнений в предположении, что действие грунта заменяется силой, пропорциональной разности между перемещениями в волне и трубопроводе в одном и том же сечении.
В том же предположении относительно силы взаимодействия с грунтом А. А. Ильюшин и Т.Р. Ра-шидов [2] исследовали нестационарный автомодельный режим распространения волн в бесконечном трубопроводе. Важное значение работы [2] состоит в том, что в ней вводится в рассмотрение названный сверхзвуковым режим, когда скорость сейсмической волны больше скорости распространения волн в трубопроводе. Появление сверхзвукового режима объясняется наличием демпфирующих стыков, гасящих скорость волн в трубопроводе.
Как показывают расчеты [3-6], максимальные напряжения в трубопроводе при сверхзвуковом режиме могут превосходить верхнюю границу для них, вычисляемую по общепринятой инженерной теории "жесткого защемления" трубопровода в грунте [7, 8].
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Комплексного НИИ РАН, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
Israilov Mukhady Shakhidovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Principal Researcher of the Complex Research Institute of Russian Academy of Sciences (Grozny).
Другая, точная, постановка задачи о действии сейсмической волны на трубопровод состоит в том, что исследуются совместные (связанные) движения грунта и трубопровода. Впервые такая постановка задач сейсмодинамики трубопровода дана в [4 6]. В [4, 5] рассматриваются нестационарные задачи с падающей продольной волной, движущейся вдоль трубопровода, что существенно упрощает решение внешней задачи для грунта. При этом уравнение с частными производными для продольной компоненты перемещений грунта в этом случае сводится путем введения автомодельной неременной к легко интегрируемому линейному обыкновенному дифференциальному уравнению, в котором зависимость от автомодельной неременной является параметрической, в то время как в рассмотренной в настоящей работе задаче с продольной составляющей наклонно падающей волны (движущейся вдоль трубопровода со скоростью, отличной от скорости объемных волн в грунте) переход к автомодельной неременной лишь снижает размерность внешней задачи для грунта, сводя ее к волновому уравнению (в цилиндрических координатах). Решение такой связанной задачи значительно сложнее.
2. Представление наклонной плоской волны в виде суммы нескольких волн, распространяющихся вдоль трубопровода. Предположим сначала, что падающая на трубопровод плоская сейсмическая волна является продольной волной и что она распространяется в вертикальной плоскости (проходящей через ось трубопровода перпендикулярно поверхности Земли). Последнее означает, что в декартовой системе координат с осью х, направленной по оси трубы, и осями у их, лежащими соответственно в вертикальной и горизонтальной плоскостях, фронт падающей волны перпендикулярен вертикальной плоскости Оух. Этот фронт (вернее, его след в вертикальной плоскости) изображен прямой ¥¥' на рисунке. А предположение, что волна является продольной, означает, что перемещения частиц грунта в волне происходят в перпендикулярных фронту направлениях. Такая волна, если она является стационарной, описывается уравнением
2п , А
-г — [cit - z )
wo = Ao exp
Здесь Ao есть амплитуда волны, L
(1)
Разложение; наклонно падающей на трубопровод сейсмической волны на продольную (вдоль трубопровода) сс и поперечную составляющие
длина, С\ означает скорость распространения продольной волны в упругом грунте, а Ь — время. Луч Ох' и параллельные ему, вдоль которых распространяется плоская волна, образуют угол а с осью трубопровода Ох (рисунок). Этот угол меняется в пределах от 0 до п, однако можно считать, что 0 < а < п/2; случай п/2 < а < п сводится к предыдущему изменением положительных направлений на осях х и х.
Представляя перемещение в волне (1) в виде суммы перемещений в направлениях х и у, т.е. в виде суммы 'о = + 'оу, можно ее воздействие па протяженное в направлении Ох сооружение, в частности трубопровод, заменить воздействием следующих двух волн:
woz = Aoz exp
2п
—г
( ci
L/ cos a Vcos a
t-z
woy = Aoy exp
2n
г
L/ cos a cos a
ci
tz
(2)
распространяющихся вдоль трубопровода со скоростью c = ci/ cos a и имеющих длину волны Li = L/ cos a (см. рисунок). Первая из этих волн (амплитуда Aoz = Ao cos a) является продольной, а вторая (амплитуда Aoy = Ao sin a) — поперечной SV-волной.
Идею подобного рассмотрения эффекта действия наклонной волны на протяженные подземные сооружения высказал впервые Т. Кюезель [9].
Таким же образом в виде суммы двух волн, распространяющихся вдоль трубопровода, может быть представлена и наклонная плоская нестационарная волна, заданная соотношением wo = f (c\t-z') где f (т) = 0 при т < 0. В этом случае в соответствии с (2), например,
woz = cos а ■ / cos а ( Cl t — z) = cos a ■ f\ (et — z) H (et — z), (3)
L V cos a ) J
где H (Z) — функция Хевисайда, равная единице при Z > 0 и нулю при Z < 0.
Если падающая плоская наклонная волна uo движется в горизонтальной плоскости Ozx (проходящей через ось трубопровода и параллельной поверхности Земли), образуя угол в с осью трубопровода, то, повторяя приведенные выше рассуждения, ее, так же как и wo, можно представить в виде суммы двух волн (продольной и поперечной), распространяющихся вдоль трубопровода со скоростью с' = ci/ cos вВ более общем случае, когда падающая продольная волна произвольно ориентирована в пространстве и вектор перемещений Co в ней не принадлежит ни одной из названных выше плоскостей, он может быть двумя способами выражен в виде суммы двух векторов:
Co = wo + uox = uo + woy.
Здесь wo и uo — соответственно проекции вектора Co на вертикальную и горизонтальную плоскости, a uox и woy — поперечные волны, распространяющиеся в паправлениях осей x и y.
wo uo
дольной и поперечной волн, движущихся вдоль трубопровода, приходим к следующему результату. Действие произвольно ориентированной продольной волны на трубопровод эквивалентно действию трех волн: двух поперечных и одной продольной волн, движущихся вдоль трубопровода со скоростью с = ci/(cos Y ■ cos a) где y — угол между вектором Co и вертикальной плоскостью Ozy, а a — угол, образуемый проекцией вектора Co на эту плоскость с осью Oz (осью трубопровода). Аналогичное представление, очевидно, имеет место и при падении на трубопровод сдвиговой наклонной волны.
3. Постановка задач о совместных продольных движениях трубопровода и грунта.
Пусть наклонная нестационарная падающая волна имеет вид, соответствующий волне (1). Дадим постановку задачи о совместных продольных колебаниях трубопровода и упругого грунта под воздействием выделенной в п. 2 продольной составляющей (3) этой волны.
Важно подчеркнуть, что сделанные ниже при формулировке названной задачи предположения, и в первую очередь предположение о квазиодномерности грунта, относятся только к этому случаю — распространению вдоль трубопровода продольной составляющей падающей наклонной волны. Что касается воздействия на трубопровод выделенных в п. 2 поперечных составляющих этой волны, то либо считается, что вызванные ими внутренние усилия (напряжения) малы в сравнении с соответствующими усилиями от продольной составляющей (что верно по крайней мере для малых углов наклона к трубопроводу падающей волны), либо в случае появления заметных деформаций и усилий в результате изгиба для оценки этих величин используется (в том числе и в нормативных документах) простейшая инженерная теория "жесткого защемления" трубопровода в грунте, согласно которой поперечные движения трубы совпадают с поперечными перемещениями грунта в сейсмической волне. Это положение подтверждается некоторыми опытами и результатами наблюдений при землетрясениях [10].
Возвращаясь к постановке задачи, примем на границах грунтовой массы следующие краевые условия.
На расстоянии r = R, достаточно удаленном от трубопровода, перемещения грунта равны перемещениям в продольной волне (3), т.е.
ur
= 0, щ
r=R
r=R
= 0, (uz = w) = w0z (ct — z) = cos a ■ fi (ct — z) ■ H (ct — z). (4)
r=R
Здесь пг, п$, пх = и> — компоненты вектора перемещений грунта вдоль осей цилиндрической системы координат (г, в, я) с осью г, совпадающей с осью трубопровода.
Сформулированные условия означают, что на внешней границе грунта краевые условия сносятся на коаксиальную поверхности трубы цилиндрическую поверхность, радиус К которой может
быть принят равным глубине залегания трубопровода. Если трубопровод находится в неограниченной среде, то условия (4) должны выполняться при г ^ то.
На внутренней границе грунта, т.е. на границе контакта грунта с трубопроводом г = а, ставятся условия прилипания
иг = 0, щ = 0, ш = и (г, Ь), (5)
где и (г, Ь) означает осевое (продольное) перемещение трубопровода, определяемое из уравнения продольных колебаний трубопровода.
При сформулированных краевых условиях (4), (5) имеет место осевая симметрия, когда и$ = 0, а перемещения иг и и,х = ш не зависят от угловой координаты в. Тогда уравнения движения упругого грунта сводятся к системе двух уравнений Ламе для названных ненулевых компонент вектора перемещений (системе (1.3) из [5]).
Гипотеза квазиодномерности деформации грунта. С целью упрощения задачи для, грунта предположим, что радиальная, егг = диг/дг и окружная = иг/г деформации в любом сечении г = со!^ являются малыми (по абсолютной величине) в сравнении с деформацией = дш/дг в направлении распространения падающей продольной волны Тогда, тензор деформации имеет лишь две ненулевые компоненты: и егх = егг.
Метод квазиодномерной деформации был предложен и использовался нами в работах [4-6]. В задаче о стационарных сейсмических колебаниях трубопровода в бесконечной упругой среде [6], допускающей точное решение, установлено, что ее приближенное решение, полученное по данному методу, весьма близко к точному решению.
г
гл. 4, третье уравнение системы (28)]) может быть записано в виде
у д ( диА д2иг д С иг диЛ д2иг
-тг г"Т" + (л + + (Л + тг — + ^ = р-
г дг \ дг ) дг2 дг \ г дг ) дЬ2 '
где р — плотность грунта, а Л и у — параметры Ламе упругого грунта.
В этом уравнении член, содержащий иг, в осесимметричном случае равен д/дг (£$$ + егг) и в условиях принятой гипотезы им пренебрегаем в сравнении с первыми двумя членами левой части, содержащими егх = дих/дг и егг = диг/дг. Тогда выписанное уравнение сводится к отдельному ("анизотропному") волновому уравнению относительно продольного перемещения их = ш:
с2\2/д2ш 1 дш\ д2ш 1 д2ш . .
+ = (6)
с\) \ дг2 г дг ) дг2 с\ дЬ2
где С2 = л/у/р есть скорость распространения сдвиговых волн в грунте.
Второе уравнение Ламе содержит оба перемещения иг и ш и может быть решено после нахождения функции ш. Однако для полной постановки и решения задачи о совместных продольных колебаниях трубопровода и грунта в этом нет необходимости. Действительно, в силу граничного условия для иг из (5) касательное напряжение, действующее на поверхности контакта среды и трубопровода, выражается только через перемещение ш агх = удш/дг . Тогда равнодействующая
г=а г=а
касательных напряжений па боковой поверхности элемента трубопровод а длины йг, вовлекающих его в движение, равна Рйг = 2пау (дш/дг) йг. Поверхностная сила Рйг, отнесенная к объему
г=а
йУ = п(а2 — Ъ2)йг элемента йг (Ъ — внутренний диаметр трубы), принимается за объемную силу, действующую на трубопровод. Следовательно, уравнение продольных колебаний трубопровода имеет вид
, д2и , д2и 2а дш
9 дЬ2 Е дг2 + (а2 — Ъ2)^'дг
(7)
где Е' — модуль Юнга, р — плотность материала трубопровода.
Считается, что время изменяется в промежутке —то < Ь < +то. Поэтому приведенная постановка должна быть дополнена условиями на фронте волны (как в среде, так и в трубопроводе), а также естественными условиями ограниченности перемещений трубопровода при г ^ ±то; эти условия выписаны ниже.
Нетрудно показать, что сформулированная задача в случае бесконечного трубопровода является автомодельной, т.е. заданная сейсмическая волна Woz, входящая в граничное условие (4), является функцией аргумента 2 = еЬ — г и задача допускает решение, в котором обе неизвестные функции ^ и ^ ^^^^^ ^висят от 2. Учет этого обстоятельства приводит уравнения колебаний грунта (6) и трубопровода (7) к виду
d2w 1 dw
dr^ r dr
1 d2w m2dZ2'
m 2 = I —
Cl
> 0;
(8)
dw
d2U
dZ2 (M2 - 1) (a2 - b2) E dr
2ajj,
M =
j >
(9)
При этом может реализоваться один из двух режимов протекания волновых процессов в системе грунт-трубопровод: а) сверхзвуковой режим (М > 1), когда скорость сейсмической волны с в грунте больше стержневой скорости распространения возмущений в трубопроводе с'0 = л/Е'/р' ), и Ь) дозвуковой режим (M < 1), когдa c < c0.
Скорость движения волны вдоль трубы c = ci / cos а при наклонном падении волны на трубопровод может быть сколь угодно большой (при 0 < а < п/2). По этой причине сверхзвуковой случай, впервые введенный в рассмотрение в работе [2], может возникать и когда трубопровод не содержит демпфирующих стыков.
M>1
Z>0
Z=0
Z=0
получаем "начальные" условия
w (0) = 0, w' (0) = 0, w' (Z) = dw (Z) /dZ; U (0) = 0, U' (0) = 0, U' (Z) = dU (Z) /dZ,
(10) (11)
которые должны быть присоединены к системе уравнений (8), (9) и краевым условиям для функции w из (4), (5).
Во втором, дозвуковом, случае (М < 1) волна в трубопроводе опережает падающую сейсмическую волну, что в свою очередь вызывает возмущения в грунте и перед фронтом падающей волны. Таким образом, в этом случае вся область, занятая средой, и весь трубопровод находятся в возмущенном состоянии и потому уравнения (8), (9) должны рассматриваться на всей оси —то < 2 < Следовательно, условия, обеспечивающие единственность решений w (в полосе
а < г < Я, —то < 2 < +то) и и (на оси —то < 2 < +то), необходимо формулировать в виде условий на бесконечности: 2 ^ ±то.
Решение внешней задачи для грунта необходимо только для вычисления силы взаимодействия. Имея это в виду, пренебрежем возмущениями в грунте перед фронтом падающей волны и будем считать, что и в случае Ь выполнены условия (10) на фронте 2 = 0. Такая постановка дает верхнюю границу для силы взаимодействия в сечениях 2 < 0. Как будет показано далее, перемещения и напряжения в трубе быстро затухают в области перед падающей волной при удалении от фронта и их максимальные значения достигаются в дозвуковом случае в части трубопровода, охваченной бегущей в грунте волной.
Что касается условий на перемещения в трубопроводе, то из физических соображений естественно потребовать, чтобы они были ограниченными на бесконечности:
|U (Z)| = O (1) при Z ^ ±то.
(12)
4. Решение внешней задачи для грунта и вывод теоретического значения для силы взаимодействия. В принятых предположениях краевые задачи для грунта при 2 > 0 (определяющие движение за фронтом падающей волны) в обоих случаях, сверхзвуковом и дозвуковом,
2
при "начальных" условиях (10) приводится к уравнению Бесселя и его решение, удовлетворяющее преобразованным по Лапласу краевым условиям (4), (5), имеет вид
ь = [/о (Sir) Ко (siR) - Ко (sir) /о (siR)} UL - [I0 (sir) K0 (Sla) - K0 (Slr) Ip (sia)] wg W ~ I0(sia)K0(siR)-K0(sia)I0(siR) ' 1 j
где индексом L помечены Лаплас-преобразования функций с параметром преобразования s (Re s > 0), si = s/m и Io(Z) Ko(Z) есть модифицированные бесселевы функции первого рода нулевого порядка.
В двух случаях, когда угол падения а мал (тогда определенная в (8) безразмерная константа m ^ 1) и когда рассматривается решение вдали от фронта волны, аргументы бесселевых функций, входящих в (13), малы (по абсолютной величине) и можно воспользоваться для этих функций первыми членами разложений в ряды [12]: Io(Z) ~ 1, Ko(Z) ~ ln(2/Z)• Тогда из (13) получаем
Напомним, что решение (14) справедливо при Z > 0, т.е. за фронтом падающей волны (или в левой полуполосе в переменных (r,Z)). Легко проверить, что та же формула (14) дает решение и для Z < 0 (в правой полуполосе), если положить в ней woz = 0. Таким образом, формула (14) дает решение задачи для грунта при любых —то < Z < +то, если полагать woz(Z) = 0 при Z < 0, что есть способ задания плоской волны (см. (3)).
В соответствии с решением (14) касательное напряжение на поверхности трубопровода равно
dw
dr
у
arz(a,Z)=y[ — ) = , . [w0z(Z)-U(Z)]. (15)
a ln (R/a)
Этот результат обосновывает (в случае линейно-упругого грунта) принятую в работах [1-3] гипотезу о силе взаимодействия и дает теоретическое значение коэффициента взаимодействия (kz = у/ [aln (R/a)]), который в инженерных подходах требуется определять из опытов [3]. Те же значения касательного напряжения и коэффициента взаимодействия получены нами и в случае установившихся (стационарных) колебаний упругого грунта и трубопровода [13].
5. Решение для трубопровода. С учетом найденного из решения внешней задачи выражения (15) для касательного напряжения уравнение движения трубопровода (9) принимает вид
Верхние знаки в уравнении (16) берутся в сверхзвуковом случае M > 1, а нижние — в дозвуковом случае M < 1.
К уравнению (16) необходимо присоединить условия на фронте волны (11) при сверхзвуковом режиме и условия на бесконечности (12) при дозвуковом режиме.
M>1
корни характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению (16) с верхними знаками, являются чисто мнимыми и равны ±ip и, следовательно, фундаментальную систему решений этого уравнения образуют функции fi (Z) = sin pZ, /2 (Z) = cos pZ, а их линейная комбинация является общим решением указанного однородного уравнения. Частное решение соответствующего неоднородного уравнения находится известным способом вариации произвольных постоянных в общем решении однородного уравнения. Полученный таким образом в [14, гл. V] результат приводит к следующему общему решению в случае неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:
z ' fi (Z) /2 (Z)
U (Z) = Cifi (Z) + C2/2 (Z) — J
fi (Z') /2 (Z')
F^dZ> (17)
где под знаком интеграла двойные вертикальные черты служат для обозначения определителя, функция Е является правой частью уравнения (16) и В (¡\, /2) есть определитель Вронского, в котором первая строка состоит из функций /1, /2, а вторая строка — из их производных.
Подставляя в формулу (17) найденные выше фундаментальные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (16) с верхними знаками, и правую часть последнего уравнения, получаем общее решение неоднородного уравнения (16) с верхними знаками в виде
z
U (Z) = Ci sinpZ + C2 cos pZ + p j woz (Z') sinp (Z — Z') dZ(18)
-o
Легко устанавливается, что решение (18) удовлетворяет условиям на фронте волны (11) при Ci = C2 = 0 Таким образом, окончательное решение задачи в сверхзвуковом случае M > 1 имеет вид
z
U (Z) = p j woz (Z') sinp (Z — Z') dZ'. (19)
-o
(В аналогичном результате, полученном в работе [2] (формула (12)), нижний предел интегрирования —то необходимо заменить на 0.)
Найдем теперь решение в дозвуковом случае M < 1. Этому случаю соответствует дифференциальное уравнение (16), взятое с нижними знаками. Получаемое так же, как и выше (при помощи формулы (17)), общее решение этого уравнения имеет вид
z
U (Z) = Cie-pZ + C2epZ — p j woz (Z') sh p (Z — Z') dZ'. (20)
—те
Константы в (20) найдем из условий ограниченности решения на бесконечности (условий (12)). Поскольку второй и третий члены в (20) стремятся к нулю при Z ^ —то, решение будет ограниченным на —то, если Ci = 0.
Далее, легко видеть, что решение (20) будет ограниченным при Z ^ +то, если выполнено условие
+те
epZ
C2-IJ e~pZw0z (Z') dZ' = 0.
Откуда следует, что
+те
p
С2 = | / e-pZw0z (Z>) dZ'.
Подставляя найденные значения констант в формулу (20), получаем окончательное решение
М<1
z +те z z
и(г) = Щ- J w0z {z') Я (Z') e-pZ'dZ' + Я (Z) J w0z {z') epZ'dZ' (21)
z -0
(второй член в решении (21) возникает только при Z > 0. Поэтому в аналогичном результате, полученном в работе [2] (формула (13)), необходимо перед вторым членом ввести множителем функцию H(y) и, кроме того, в интеграле нижний предел —то заменить на 0).
Рассмотрим в качестве примера важный частный случай, когда в падающей наклонной волне закон движения грунта за фронтам является синусоидальным: wo = Ao sin (c\t — z') H (c\t — z'). Продольная составляющая этой волны согласно (3) есть w0z = A0 cos a sin (w\Z) H (Z), Cj\ = cos a. При подстановке выражения для woz в формулы (19), (21) входящие в них квадратуры вычисляются и продольные напряжения в трубопроводе представляются в виде
[ —е'ао cos а-—-2 (coswiz -cospZ) Н (Z), М > 1;
п> - F'—- 1 1 " (^/р) , х Í22)
azz - -77 - \ г\ /1 \ K.¿¿)
aZj -Е'Ао cos а-i-2 —sign (Z) e"p|z| + Я (Z) cos wxZ , M < 1.
L 1 + (wi/p) V 2 J
Соотношения (22) отражают существенное отличие решений для сверхзвукового и дозвукового режимов, связанное прежде всего с возможностью существования резонанса в первом случае: когда параметр р, определенный в (16), становится по своим значениям близким к ¿¿i, амплитуда нестационарных колебаний при M > 1 неограниченно возрастает по линейному закону с увеличением Z. Более того, и при p = ¿¿i динамические напряжения в сверхзвуковом случае превышают соответствующие напряжения, вычисленные по теории "жесткого защемления" (принятой в нормативных документах при расчете подземных трубопроводов на сейсмостойкость [8]). Согласно этой теории продольные перемещения (а значит, и деформации) трубы совпадают с продольными перемещениями грунта в падающей волне и поэтому максимальные продольные напряжения в трубопроводе azz = E'Äo cos œDi. Тогда в характерном на практике случае шi/p С 1 [5] из решения (22) для M > 1 получаем max ^a'zz~ max|1 — cospZ| = 2. Следовательно, существующее убеждение [7], что рассчитанные по теории полного защемления напряжения дают верхнюю границу для напряжений в трубопроводе, неверно при сверхзвуковом режиме.
В дозвуковом случае напряжение в трубопроводе перед фронтом падающей волны, определяемое первым слагаемым в выражении (22) для M < 1, является экспоненциально убывающей функцией расстояния от фронта. Таким образом, возмущения при Z < 0 локализованы вблизи фронта волны и значение напряжения azz, на фронте (в точке Z = 0) равно 0.5aZZ- Максимального значения в дозвуковом случае продольное напряжение в трубопроводе достигает в части трубопровода, охваченной бегущей в грунте падающей вол ной (т.е. при Z > 0), и оно согласно (22) равно max ^<JZZ^ = ozz [1 + 0.5exp (—пр/шi)]. Это значение несколько превышает величину azz, получаемую по инженерной теории.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 20-08-00024).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sakurai A., Takahashi Т. Dynamic stress of underground pipelines during earthquakes // Proc. 4th World Conf. on Earthq. Engng. Santiago, Chile, 1969. 81-95.
2. Ильюшин A.A., Рашидов Т. О действии сейсмической волны на подземный трубопровод // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. 1971. № 1. 37-42 (Ильюшин A.A. Труды. T. IV. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009).
3. Рашидов Т. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Изд-во ФАН УзССР, 1973.
4. Israilov M.Sh. Seismodynamics of an underground pipeline // Proc. 15th World Conf. on Earthq. Engng. Lissabon, Portugal, 2012. Paper 2125.
5. Георгиевский Д.В., Исраилов М.Ш. Сейсмодинамика протяженных подземных сооружений и грунтов: постановки задач и автомодельные решения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2015. № 4. 138-151.
6. Исраилов М.Ш. Связанные сейсмические колебания трубопровода в бесконечной упругой среде // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2016. № 1. 57-66.
7. Напетваридзе Ш.Г. Сейсмостойкость гидротехнических сооружений. М.: Госстройиздат, 1959.
8. Нормы проектирования атомных станций: НИ 031-01. Приложение 6. Основные положения расчета линейно-протяженных конструкций. М., 2001.
9. Kuesel Т.К. Earthquake design criteria for subways //J. Struct. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Eng. (ASCE). 1969. 95. 1213-1231.
10. Окамото Ш. Сейсмостойкость инженерных сооружений. M.: Стройиздат, 1980.
11. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
12. Lebedev N.N. Special functions and their applications. L.: Prentice-Hall Inc., 1965.
13. Исраилов М.Ш. О гипотезе Ильюшина в сейсмодинамике подземных сооружений // Упругость и неупругость: Мат-лы Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 105-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2016. 323-328.
14. Ince E.L. Ordinary differential equations. L.: Longmans, Green and Co. LTD, 1927.
Поступила в редакцию 27.09.2021
