НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА И УСИЛЕННЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 532.517.3

НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА И УСИЛЕННЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Д. В. Георгиевский1

С позиций линеаризованной теории устойчивости рассматриваются две задачи на собственные значения для уравнения Орра—Зоммерфельда с двумя группами граничных условий, имеющими определенный механический смысл. На базе метода интегральных соотношений, оперирующего квадратичными функционалами, проводится оценивание сверху параметра устойчивости, являющегося действительной частью спектрального параметра. Техника метода предполагает применение неравенств Фридрихса для разных классов ком-плекснозначных функций. С использованием минимизирующего свойства первых положительных собственных значений соответствующих задач производится увеличение констант в некоторых неравенствах Фридрихса, что влечет усиление достаточных интегральных оценок устойчивости плоскопараллельных сдвиговых течений в плоском слое.

Ключевые слова: уравнение Орра-Зоммерфельда, квадратичный функционал, неравенство Фридрихса, спектральный параметр, устойчивость, достаточная оценка, минимизация.

From the standpoint of the linearized stability theory, two eigenvalue problems for the Orr-Sommerfeld equation with two groups of boundary conditions having a certain mechanical meaning are considered. On the basis of the integral relations method operating with quadratic functionals, the stability parameter, which is a real part of the spectral parameter, is estimated. The technique of the method involves the application of the Friedrichs inequality for various classes of complex-valued functions. Using the minimizing property of the first positive eigenvalues in the corresponding problems, the values of the constants in some Friedrichs inequalities are increased, which entails the strengthening of the stability sufficient integral estimates for plane-parallel shear flows in a plane layer.

Key words: Orr-Sommerfeld equation, quadratic functional, Friedrichs inequality, spectral parameter, stability, sufficient estimate, minimization.

1. В линеаризованной теории устойчивости хорошо известно уравнение Орра-Зоммерфельда для комплекснозначной функции € C4(0; 1):

р1¥ - 2sV + sV = (а + isv°) (р'' - s2р) - isv°\. (1)

Это уравнение описывает развитие во времени малых возмущений, наложенных на стационарное плоскопараллельное сдвиговое течение с профилем продольной скорости v°(x) € C2(0; 1) в слое 0 < x < 1 ньютоновской вязкой жидкости [1]. Все переменные в (1) безразмерны, причем в размерный базис включены плотность и динамическая вязкость жидкости, а также толщина слоя. Такой выбор дает возможность опустить обычно встречающийся в записи уравнения Орра-Зоммерфельда множитель 1/Re и оставить тем самым единственным внешним параметром скорость v°(x) основного движения [2].

В качестве однородной системы граничных условий, дополняющих уравнение (1) до постановки задачи на собственные значения, будем выбирать одну из следующих двух групп равенств:

x = 0 : р = 0, р' = 0; x = 1 : р = 0, р' = 0; (2)

x = 0 : р = 0, р' = 0; x = 1 : р = 0, р" = 0. (3)

1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та

МГУ, e-mail: georgievQmech.math.msu.su.

Georgievskii Dimitri Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State

University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of the Chair of Elasticity Theory.

Условия (2), образующие с (1) классическую задачу Орра-Зоммерфельда, означают, что обе компоненты скорости точек границ х = 0и х = 1 в возмущенном течении такие же, как и в основном, т.е. среда прилипает к движущимся вдоль самих себя прямолинейным границам. Условия (3) соот-

x = 0 x = 1

прямолинейной и касательное напряжение в любой ее точке такое же, как в основном. При этом возможно проскальзывание частиц.

В уравнении (1) положительный параметр s — волновое число возмущения вдоль простирающегося слоя, а = а* + га** — комплексная частота колебаний, служащая в задачах (1), (2) и (1), (3) спектральным параметром. Критерием ограниченности отдельной гармоники возмущения с волновым числом s является неположительность всех ветвей a*j (s), j = 1, 2,..., удовлетворяющих характеристическому уравнению. Если гармоники ограничены при всех s > 0, то имеет место

устойчивость сдвигового течения с профилем v°(x) относительно начальных возмущений.

а*

тральных соотношений [3]:

qshlo fl% + s2lf 2\ «*< 7^—272 " 7^—272 +s Ь q= sup \v |, (4)

/0 + s2/2 U2 + s2/02 У

где постоянная q определяется основным движением; /о, /1 и /о — вещественнозначные квадратичные функционалы:

1 1/0

/п[р(х)] = (У |2 dxx) , n = 0,1,2.

Неравенство (4) справедливо как для системы граничных условий (2), так и для (3).

Задача состоит в максимизации стоящего в правой части (4) функционала на пространстве функций <^(ж) € С4(0; 1), удовлетворяющих условию (2) либо (3), при всех в > 0. Если значение q настолько мало, что верхняя грань данного функционала по всем (<^(ж); в) отрицательна, то заведомо а* ^ 0, что говорит об устойчивости невозмущенного плоскопараллельного сдвига относительно картины малых возмущений. Точную верхнюю грань аналитически представить затруднительно, поэтому речь в дальнейшем пойдет о получении в той или иной степени сильных достаточных оценок устойчивости.

Первое слагаемое в правой части (4) оценивается алгебраически:

qshIo q . ,

/2 + в2/02 ^ 2'

причем равенство для произвольной функции ^ достигается та волновом числе в2 = /2

3. Остановимся далее па минимизации по (<^(ж); в) стоящего в скобках в (4) функционала [4-6]. Выберем сначала условия (2) прилипания среды к обеим границам слоя. Обозначим

/2 + s2/2

inf 7[Щ =A2(s)' + (6)

Оценивание снизу выражения в скобках в (4) обычно производится с привлечением неравенств Фридрихса [7]

/2 ^ П2/о2, /| ^ 4П2/2 (7)

для функций класса (2). Имеем

¡2 + , 2 ^ 4тг2 + ** , 2 ^ о /7 2 (о\

А I 2т2 ^ 1 , 2 / 2 2у 3 7Г ■ 8

/2 + в2/02 1 + в2/П2

Минимальное значение 2\/3 7Г2 реализуется при в2 = (\/3 — 1)-/г2. Из (4), (5) и (8) следует, что а* ^ q/2 — 2л/3 тг2, т.е. неравенство

q < 4\/Зтг2 и 68.38 (9)

служит достаточным условием устойчивости.

Заметим, что равенства в (7) имеют место при разных функциях ^ — при ^ = C sin пх в первом из неравенств (7) и ^ = C(1 — cos 2пх) во втором, где C — произвольная комплексная константа. Поэтому первое из неравенств в (8) заведомо строгое и Л2 > 2л/3тг2.

Поиск точной нижней грани Л2 в (6) свяжем с сопутствующей процессу минимизации задачей на собственные значения для уравнения

+ (Л2 — s V — A2sV = 0, (10)

содержащего параметр s > 0, с граничными условиями (2). Характеристическое уравнение

2As(ch s cos Л — 1) = (s2 — Л2) sh s sin Л

данной задачи определяет счетное число характеристических ветвей Aj(s), j = 1, 2,... , спектрального параметра Л. Воспользуемся минимизирующим свойством первой положительной ветви Ai(s) (эта функция монотонно убывает от Л(0) = 2п до Л(гс>) = п) и получим еще одно наряду с (7) неравенство Фридрихса

/2 + s2/2 > Л2^)(/12 + s2/2) (11)

для всех функций <^(ж) € C4(0; 1) с условиями (2). Равенство в (11) реализуется на собственной функции, отвечающей собственной ветви Л^):

„Л ch s — cos Лц , Л . Л1 , . . \

Ю 1=6 Al---г-— (СП5Ж — COS А1Ж)--ЭП^Ж + Sin А1Ж . (12)

V s sh s + Л1 sin Л1 s J

Достижение на функции ^i (12) равенства в (11) говорит о том, что Л2^) = Л2^) в (6).

Теперь численно нетрудно найти оценивающий параметр Л2, определенный в (6): Л2 ~ 37.08;

smin ~ 2-4° Л1 (smin) ~ 5.б0-

Таким образом, а* ^ q/2 — Л2 и неравенство q ^ 2Л2 ~ 74.16 наряду с (9) является еще одним достаточным условием устойчивости. Видно, что оно более чем на 8% сильнее неравенства (9). 4. Обратимся теперь к системе граничных условий (3). Обозначим

?f, % I = + = М2- (13)

<р(ж) /1 + s2/0 s>0

Оценка снизу выражения в скобках в (4) на основе неравенств Фридрихса

I? ^ П2/2, /2 ^ в2/22, (14)

где в ~ 4.49 — первый положительный корень уравнения tg в = в) Для функций класса (3) приводит к неравенствам

/22 + s2/2 2 в2 + s2 2

j2 . Л + s2> -Л 2/ 2 20.08. 15

/2 + s2/2 1 + s2/n2

20.08 реализуется при s ^ 0.22

тате такого подхода получаем, что неравенство

q ^ 40.16 (16)

служит достаточным условием устойчивости невозмущенного сдвигового течения.

Так же, как и в рассмотренном выше случае условий прилипания на обеих границах слоя, равенства в (14) достигаются при разных функциях ^ — при ^ = C sin пх в первом из неравенств (14) и ^ = C[в(1 — х — cos вх) + sin вх] во втором. Поэтому первое из неравенств (15) заведомо строгое и М2 > 20.08.

Как и ранее, рассмотрим задачу на собственные значения для уравнения

+ (^2 — sV — ^2sV = 0,

аналогичного (10), но теперь с граничными условиями (3). Характеристическое уравнение этой задачи имеет вид

s tg ^ = ^ th s.

Выбирая первую положительную собственную ветвь ^i(s) и пользуясь ее минимизирующим свойством, запишем

/2 + s2/2 > Ml(s)(/2 + s2/2) (17)

для всех функций <^(ж) € C4(0; 1) с условиями (3). Равенство в (17) реализуется на собственной функции

/^i sh s - s sin ^i ^i

(fi = С I ——-— (ch sx — cos ц\х)--sh sx + sin ß\x

\ s(ch s — cos s

соответствующей собственной ветви ^i(s). Таким образом, ^2(s) = ^2(s) в (15).

Вычислим ключевой оценивающий параметр М2, определенный в (13): М2 = в2 ~ 20.19; sinf = 0; ^i(sinf) = в ~ 4.49 Получим, что неравенство q ^ 2М2 ~ 40.38 наряду с (16) является еще одним достаточным условием устойчивости. Оно чуть сильнее (на полпроцента), чем (16).

Обратим внимание на то, что наборы (<^(ж); s), на которых реализуются равенство в (5) и нижние грани в (6) и (13), различны. Поэтому вопрос о достижении верхней грани функционала, стоящего в правой части (4), остается открытым, а все полученные оценки устойчивости достаточны и заведомо не необходимы [8].

5. В заключение остановимся на тесно касающемся данной тематики вопросе о том, можно ли повысить множитель п2 в классическом неравенстве Фридрихса (первом из неравенств (7)) на более узком множестве функций, а именно удовлетворяющих всем граничным условиям (2). Тем более функции C sin пж, на которых реализуется равенство, не удовлетворяют двум из четырех условий (2). Если ответ на данный вопрос положителен, то оценки (9) и (16) можно было бы улучшить. Рассмотрим задачу на собственные значения для уравнения

e2/V — — vV = 0 (18)

с четырьмя граничными условиями (2), где е — произвольный параметр. Квадрат первого положительного собственного числа vi(e) минимизирует отношение (е2/| + i"2)//2, что приводит к очередному неравенству Фридрихса

е2/2 + /? > v2(e)/2. (19)

Характеристическое уравнение задачи (18), (2) записывается следующим образом:

2ev(ch Yi cos y2 — 1) = sh Yi sin y2, (20)

7i = ¿(Vl + 4eV2 + l), 72 = ¿(Vl + 4e2z/2-l). (21)

е

е

Ъ = ~+0(е), ъ = » + 0{е2). (22)

е

Корни v характеристического уравнения (20) стремятся при е ^ 0 к корням уравнения

2ev = th - tg v, е —> 0,

е

полученного с учетом (22). Видно, что lim vi(e) = п, так что из (19) следует классическое неравен-

£—

ство ^ п2/2. Наличие двух дополнительных граничпых условий ^>'(0) = ^>'(1) = 0 не повышает п2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971 (Betchov R., Crimínale W.O. Stability of Parallel Flows. N.Y.; L.: Acad. Press, 1967).

2. Георгиевский Д.В. Асимптотики собственных значений в задаче Орра-Зоммерфельда для малых скоростей невозмущенного течения // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021. 496. 26^ 29.

3. Козырев О.Р., Степанянц Ю.А. Метод интегральных соотношений в линейной теории гидродинамической устойчивости // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 25. 3-89.

4. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part 1 // J. Fluid Mech. 1968. 33, N 3. 617-621.

5. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation. Part 2 // J. Fluid Mech. 1969. 36, N 4. 721-734.

6. Yih C.-S. Note on eigenvalue bounds for the Orr-Sommerfeld equation //J. Fluid Mech. 1969. 38, N 2. 273-278.

7. Ректорие К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985 (Rektorys К. Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering. Dordrecht; Boston: Reidel, 1980).

8. Георгиевский Д.В. Избранные задачи механики сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2018.

Поступила в редакцию 20.09.2021

УДК 539.3:534.1

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА И ГРУНТА ПРИ НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ СЕЙСМИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ

М. Ш. Исраилов1

Исследуются совместные нестационарные колебания подземного трубопровода и упругого грунта, вызванные наклонным падением плоской сейсмической волны. Даны постановки связанных автомодельных задач. Получено аналитическое решение внешней задачи для грунта, приводящее к теоретическому выражению для силы взаимодействия между трубопроводом и грунтом, для которой ранее имелись лишь эмпирические соотношения. Решения для трубопровода в сверхзвуковом и дозвуковом режимах демонстрируют существенно различный характер поведения, что должно быть учтено в расчетах на сейсмостойкость.

Ключевые слова: сейсмические волны, подземный трубопровод, связанные колебания, автомодельные решения.

The coupled unsteady vibrations of an underground pipeline and elastic soil caused by an inclined fall of a plane seismic wave are studied. The coupled self-similar problems are formulated. An analytical solution of the external problem for the soil is obtained. This solution leads to a theoretical expression for the force of interaction between the pipeline and the soil, for which only empirical relations were previously available. Solutions for pipelines in supersonic and subsonic cases demonstrate significantly different behavior, which should be taken into account during earthquake resistance calculations.

Key words: seismic waves, underground pipeline, coupled vibrations, self-similar solutions.

1. Предварительные замечания. Впервые задача о действии продольной сейсмической волны на бесконечно протяженный трубопровод была рассмотрена А. Сакураи и Т. Такахаши [1]. Считается, что волна распространяется вдоль трубопровода и является стационарной по времени (синусоидальной). Тогда амплитуды ускорений и деформаций в трубопроводе находятся из простых алгебраических уравнений в предположении, что действие грунта заменяется силой, пропорциональной разности между перемещениями в волне и трубопроводе в одном и том же сечении.

В том же предположении относительно силы взаимодействия с грунтом А. А. Ильюшин и Т.Р. Ра-шидов [2] исследовали нестационарный автомодельный режим распространения волн в бесконечном трубопроводе. Важное значение работы [2] состоит в том, что в ней вводится в рассмотрение названный сверхзвуковым режим, когда скорость сейсмической волны больше скорости распространения волн в трубопроводе. Появление сверхзвукового режима объясняется наличием демпфирующих стыков, гасящих скорость волн в трубопроводе.

Как показывают расчеты [3-6], максимальные напряжения в трубопроводе при сверхзвуковом режиме могут превосходить верхнюю границу для них, вычисляемую по общепринятой инженерной теории "жесткого защемления" трубопровода в грунте [7, 8].

1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Комплексного НИИ РАН, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.

Israilov Mukhady Shakhidovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Principal Researcher of the Complex Research Institute of Russian Academy of Sciences (Grozny).