О методе локализации собственных значений и одной задаче линейной теории гидродинамической устойчивости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ 3 АП И С К И ЦА Г И

Том II

1971

№ 2

УДК 532.526.3

О МЕТОДЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ

В. М. Лутовинов

Изложен метод локализации собственных значений в задачах линейной теории гидродинамической устойчивости, основанный на известных неравенствах для собственных значений указанных задач и геометрических свойствах аналитических функций. Решена задача об устойчивости течения несжимаемой жидкости в пограничном слое на пластине с профилем скорости Блязиуса. Получены новые результаты о поведении собственных значений указанной задачи.

Решение задач линейной теории гидродинамической устойчивости сводится к определению среди собственных значений Re, а, с = сг + /с,- однородной краевой задачи для уравнения Орра—Зоммерфельда

Ÿ1V-212tf,ll + a4ç = /aRe[(l/-c)(tf1I-a2<p)- Vx\\ (1)

области, где 1т(с)>0,если она существует. При расчетах нейтральной кривой 1ш (с) = 0 обычно задаются значениями Re, а, с, которые известны довольно точно (~20%) из асимптотической теории. Варьируя сг и а (сг и Re), находят минимум некоторой функции D, равенство нулю которой является критерием принадлежности значений с к числу собственных. Изменяя Re (а) и повторяя процесс поиска, строят кривую 1ш (с) = 0.

Однако существует довольно широкий класс задач, где результаты асимптотической теории либо неточны, либо совсем отсутствуют. По этой причине численный рдс^ет устойчивости таких течений становится затруднительным [1].

Основой излагаемого метода являются известные теоремы для аналитических функций (2):

1. Всякое решение уравнения (1) является целой функцией от a, Re, с.

2. Определитель, составленный из целых функций,— целая функция.

3. Модуль комплекснозначной функции внутри области ее аналитичности может иметь минимум только в нуле этой функции.

4. Число нулей целой функции в любой ограниченной односвязной области равно деленному на 2т: приращению аргумента этой функции при обходе ориентированной границы.

Теорема 3 следует из принципа минимума модуля. Утверждение теоремы 4 геометрически означает, что если рассмотреть плоскости z и f(z), то число оборотов вектора / вокруг точки /(z) = 0 равно числу нулей, содержащихся в данной области, если f (z) — целая функция.

Условия разрешимости краевой задачи на собственные значения сводятся обычно к равенству нулю некоторого определителя D.

Зафиксируем а, Re и вычислим D при некотором с. Если, меняя с, найти min|D|, то, как следует из теоремы 3, полученные значения с и будут собственными. Коль скоро расчет ведется с некоторой погрешностью, геометрическая интерпретация теоремы 4 позволяет проверить, является ли найденный минимум функции 1 D | ее нулем в сомнительных случаях. Таковыми могут быть те, в которых минимум выражен очень резко и уменьшение значений \ D\ требует очень малых изменений с.

Однако в задачах гидродинамической устойчивости недостаточно найти какой-то нуль функции D. Среди множества собственных значений необходимо в первую очередь определить то, у которого мнимая часть максимальна. Поэтому для локализации и упорядочения корней D(c)=0 целесообразно применять метод, основанный на общих неравенствах для собственных значений [3, 4] и геометрической интерпретации теоремы 4.

Например, в задачах об устойчивости течений в каналах справедливы соотношения [4]:

шах V

а Re

«о с„>°.

V

г , ___ max

max ~Т" 2 (те3 — а2)

в) V*In<0< V“ax,

Vmln<cr<Vr

min

2(ti2 -j- а2)

Vй

4 rr

2 (л* + а2) ’

«о К

vn.

:o,

(2)

' 2 (тс* + а2)

Из указанных неравенств следует, что все собственные значения заключены в полуполосе, схематически изображенной на фиг. 1. Следовательно, для того чтобы при заданных а и Ре течение было неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы при отображении О (с) образ контура АВКРА содержал точку О (с) = 0.

Пусть внутри контура есть нули, тогда, используя принцип деления области пополам, можно локализовать собственные значения в достаточно малых областях и упорядочить их по величине мнимой части:

1т(ск)>\т(ск+1) (£=1,2,...). (3)

Уточнение корней трансцендентного уравнения обычно не представляет трудностей и производится любым методом, например методом секущих или методом парабол.

Если же течение устойчиво при рассмотренных значениях а и Не, то необходимо рассмотреть дополнительно контур FQNAF. Обычно = АЫ ^0,1.

Следует отметить, что оценки сверху для собственных значений, получаемые из неравенств типа (2), могут оказаться очень грубыми, поскольку они пригодны для любых профилей скорости. Однако обход контура АВКРА осуществляется достаточно быстро, примерно за 20 мин, на БЭСМ-6, поскольку при локализации корней уравнения й (с) = 0 требуется вычисление мнимой и действительной частей рассматриваемого определителя с точностью до знака.

Наиболее рациональным методом численного определения значений функции О (с) при локализации и упорядочении ее корней по описанному выше принципу является, по всей видимости, метод Н А. Жел-тухина [5] с той или иной модификацией, устраняющей быстрый рост функций, но оставляющей их целыми.

Ие-Ю-з <X СГ С; • 1 03 Яе-Ю-з а сг С/ - 10з

0,63 0,368 0,4 0 1.51 0,358 0,3520 8

0,70 0,408 0,4004 0 1,15 0,250 0,3417 8

0,86 0,420 0,3904 0 0,985 0,285 0,3586 8

1,81 0,387 0,3473 0 1,4 0,3 0,3444 14

0,705 0,304 0,3812 0 1,71 0,314 0,3378 14

1,005 0,234 0,3438 0 2,01 0,312 0,3299 14

2,22 0,152 0,2791 0 1,38 0,274 0,3390 14

0,95 0,3 0,3639 8 1,51 0,255 0,3312 14

1,01 0,354 0,3717 8 2,01 0,205 0,3023 14

1,36 0,362 0,3578 8 70 0,1 0,1489 20

Описанная процедура была применена для определения первого собственного * значения задачи об устойчивости пограничного слоя несжимаемой жидкости на пластине с профилем скорости Блязиуса. В рамках обычных предположений о плоскопараллельном характере течений вертикальная компонента скорости иевозмущенного течения не учитывалась. Зависимости первого корня от

/

О

6

4

2

6

«

0.

■ш3 Я&7,28-10* V л с э .т2 _ Д ' д

Лф - •иги ю £ V Ч Ч \

&

N \ Не-2,127 Ю3 о л -і в/.. тЗ

/ /А '/о г- ° \ л

і с// // \\

*-ч ^ N. Яе-2,5Ї32 103 п- - Г, „ ,„3

V/ \ л/ / и

І л

0.1 0,2 03 0,Ь

-------данная робо/па 1

-------работа [7] \Расчеа>

о • д знсперомеш [7]

ос

Фиг. 2

параметров а, Ие определялись обычным образом: а и Ие изменялись так, чтобы они оставались в области притяжения найденного корня В(с) = 0. Расчет параметрических зависимостей с (а, Ие) проводился методом, изложенным в работе [6]. Это связано с тем, что он быстрее приводит к цели.

Определение собственных значений в этом случае эквивалентно определению нулей некоторой функции Ь (с) в точке .у = 0. Система дифференциальных уравнений, указанная в работе [6], интегрировалась на отрезке [4, 0] методом Рунге—Кутта с точностью 10~6. Профиль скорости основного течения и его вторая

* Собственные значения упорядочены согласно выражению (3), т. е. для первого собственного значения 1т(с,) = тах 1т (с.) при фиксированных а, Не. ь„ 1

производная задавались в виде таблицы с шагом 0,1. Значения затабулирован-ных функций в промежутках между узлами вычислялись квадратичной интерполяцией. При расчете параметрических зависимостей с (a, Re) применялся метод типа градиентного. Значения считались собственными, если | Дс| 10-5 и

| ¿ (с) ¡ 10—4. Если второе неравенство не выполнялось, то наличие нуля прове-

рялось согласно описанному выше принципу, использующему геометрический

смысл теоремы 4. Характерный линейный размер по координате у был принят h = 2 Y^xlV^, безразмерное волновое число a = а*/г, число Рейнольдса Re = = 2Yvoaxi'i, комплексная скорость распространения возмущений c^cJV^, где а* и с* — соответствующие размерные величины. Несколько контрольных собственных значений приведено в таблице, основные же результаты расчета представлены на фиг. 2—4. Сравнение скоростей нарастания возмущений Р;=ас(-при нескольких значениях Re с результатами асимптотической теории [7] и эксперимента [7] представлены на фиг. 2. Расчет кривых Im(e) = const в широком диапазоне Re, а позволил установить, что существует max Im (с) = 0,024 и что

«, Re -

некоторые кривые Im (c)= const замкнуты, (см. фиг. 3 и 4), Обход контура ABKFA в нескольких точках, отмеченных на фиг. 4, показал, что найденные путем непрерывного параметрического продолжения собственные значения остались первыми и что не существует других с Im(c)5>0. Более точ'ное задание характеристик невозмущенного течения позволило уточнить ReKp: оно равно 630. ■ Автор благодарен В. В. Струминскому за внимание к работе. • .

, ЛИТЕРАТУРА

1. Сопру ненко И. П. Устойчивость струйных течений. „Изв.

АН СССР. Механика“, 1965, №. 4.

2. ЛаврентьевМ. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука“, 1965.

3. Synge J. L. Hydrodynamic stability semicentenn. Publ Amer.

Math. Soc. 2, 1938. .

4. Joseph D. D. Eigenvalue bounds for the Orr — Sommerfeld equation J. Fluid Mech., v. 33, part 3, 1968; v. 36, part 4, 1969.

5. Же л ту хин Н. А. Устойчивость ламинарных пограничных слоев. 1-я сибирская конференция по аэрогазодинамике (аннотации докладов). Новосибирск, 1969.

6. Л у то в и нов В. М. О варианте метода прогонки и задачах устойчивости пограничного слоя. „Ученые записки ЦАГИ“, т. I, №2,

1970. -

7. Shen S. F. Stability of laminar flows. „Highspeed aerodynamics and jet propulsion“. V. IV. Theory of laminar flows. Ed. by F. K- Moore.

1964. ,

Рукопись поступила I4/IX ¡970 г.