CC BY
29
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Т о м IV 197 3 № 6
УДК 532.526.3
ПРИМЕР ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ С ДВУМЯ ОБЛАСТЯМИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В. М. Лутовинов
Рассматривается устойчивость течений в пограничном слое на скользящем крыле в направлении, нормальном к внешней линии тока. За линией минимума давления в этом случае неизбежно возникают профили скорости с двумя точками перегиба, устойчивость которых ранее не исследовалась. Численный расчет показал, что для таких профилей скорости существуют две пересекающиеся нейтральные кривые, ограничивающие область неустойчивости. Из полученных результатов следует, что значения фазовой скорости распространения возмущений вблизи критического числа Ие близки к значениям скорости в точке перегиба, расположенной ближе к твердой границе. Минимальное число Ие вдоль второй нейтральной кривой не является критическим.
Устойчивость пограничного слоя на скользящем крыле может быть приближенно исследована на основе решения краевой задачи на собственные значения для уравнения Орра—Земмерфельда [1]:
и wppa—оеммерфельда [ij:
-2afl<f№+ ai<f = laRe[(V-C)(<f"-a3<f)- V" ?] (1.1)
с однородными граничными условиями
<P = <f'=0, у = 0; (1.2)
<р"' -)- ау" — {32 (tp' 4- а<р) = О
?‘V-
, при у = 8. (1.3)
+ fty" — а2 (if' -J- р«р) = 0 1
Существенным отличием от плоской задачи здесь является наличие в профиле скорости дополнительного параметра 7, который определяет угол между осью Ох и направлением распространения возмущений
V = U cos 7 + W sin у.
Здесь ось Ох направлена вдоль хорды крыла нормально к передней кромке, ось Ог — вдоль размаха крыла, а ось Оу — по нормали к ним. U, W — составляющие скорости вдоль осей Ох и Ог соответственно.
Отдельные расчеты, результаты которых приведены в работах [2], [3], показывают, что одним из наиболее опасных, в смысле потери устойчивости течения, является направление, перпендикулярное к внешней линии тока. В работах [4] и [5] были рассмотрены случаи профилей скорости типа пристеночной струи, возникающие в указанном направлении. В этих работах были предложены аппроксимирующие формулы для определения критического числа Re.
Кроме профилей скорости, рассмотренных в работах [2] — [5], на скользящем крыле неизбежно возникают профили скорости Б-образной формы, показанные на фиг. 1 и 2. ^Характерной особенностью этого случая является наличие двух точек перегиба. ;
Невозмущенное течение и, № можно определить, интегрируя систему уравнений [6]
<Ю
1/(0):
1/2 (Й7);
3
2<
к=0
: Рк (Ц)
(1-У)
<т лу
■■V (0) = 0;
о = (Іі
\к = О
(І-И7)
(1.4)
Здесь отнесены к значениям Уе, на внешней границе пограничного слоя,
Рь—многочлены 3-й степени в точках (У;, №,=//4, принимающие значения Рд(«'/4) = = 6гк(1—г/4) (<', £ = 0, 1, 2, 3), 8( К —символ Кронекера; 0Й и 2*—значения функций
0, Й в точках £/4. Значения величин 0* и 2^, использованные в настоящей работе, приведены в табл. 1. Значения вторых производных от профиля скорости
Таблица 1
Номер про- филя &0 02 03 ^o 2: 22 Й3
1 1,389018 1,194415 1,215522 1,649460 1,247960 1,254604 1,338794 1,725574
2 1,410713 1,691328 2,102862 3,130123 1.221028 1,749644 2,275669 3,286693
7
* 1
\
\
\
3 \
-V
2 ,
1 \
\ —■
\
Ж ч V
10 Фиг. 1
определялись путем дифференцирования соотношений (1.4).
Профиль скорости невозмущенного течения в проекции на направление, нормальное к внешней линии тока у—х — ± я/2, определяется соотношением
V = ЫП X (^ - V),
где X — угол отклонения внешней линии тока от оси X.
30 V"
Как обычно, пронормируем V, вводя число Re, Re=l/e sin х max (U — W)bjYR-
0<y<5
Здесь /? = b — хорда крыла, U^ — проекция скорости набегающего потока
на ось OX, v — кинетический коэффициент вязкости. Тогда
V = (U — Ц7)/шах (U - W).
0<у<ь
Для решения рассматриваемой задачи на собственные значения воспользуемся вариантом детерминантного метода [7]
, (N + N* \
и = Nu — I —g и, и и,
связанным с вариантом метода прогонки
В’ = В2 -А
соотношениями [7]
I «з + “2 «1
(1.5)
(1.6)
В = —
“1
|а2 (И4— и3) — щ — а* М] Ы4 — а2 и,
ы2;
ЛГ =
Н Н* Ан + лн* н о 1 о о о 1
ООО
А = \
о2 1
ia Re V" а2 + ia Re (V-С)
Н =
/1 = 2а2 + ia Re (V— С),
А = а3 [а* + ia Re ( V — С)] + ia Re V".
Задавшись начальными условиями н(Л) = и(0), решим задачу Коши и найдем и (0).
В работе [7] было указано, что для произвольных условий на стенке 4Не <Р(Й) (0) = 0. /=1.2; * = 0, 1,2,3
условие разрешимости краевой задачи (1.1) — (1.3) эквивалентно условию
ьк «А (°) = 6= 1, 2,... 6,
где
Ь3 —
dn ^12 . » du dis dn du
d%i d%2 , о2 — d<i\ d$3 О II rf21 d2i
d13 d13
dn du • A Ru CO du
dii du > p6 — ^23 dn
В рассматриваемом случае условие разрешимости краевой задачи (1.1) —(1.3) выразится как ы^О)^^.
Применение процедуры поиска собственных значений, указанной в работе [8], позволило сравнительно просто найти области неустойчивости рассматриваемых течений и рассчитать их границу. Результаты расчетов представлены на фиг. 3—6
и в табл. 2 и 3. На фиг. 3 и 4 представлены результаты для течения, изображенного на фиг. 1. На фиг. 5 и 6 изображены нейтральные кривые для профиля скорости, показанного на фиг. 2. Численные значения величин а, Ие, С, соответствующие этому случаю, приведены в табл. 2. Присутствуют две области неустойчивости для подобного рода профилей скорости. Нейтральные кривые, ограни-
100
200
ле
Фиг. 5
Фиг. 6
чивающие их, пересекаются в плоскости а, Ие и достаточно удалены друг от друга в плоскости С, Не. Существенным отличием их является также направление изменения С= С(Ие) при обходе проекции нейтральной кривой на плоскость а, Ие. Будем осуществлять движение вдоль нейтральной кривой так, чтобы область неустойчивости оставалась справа. Назовем такой обход положительным. Тогда положительному обходу нейтральной кривой в плоскости а, Ие соответствует в плоскости С, Йе то же направление обхода в случаях, указанных на фиг. 4, 6 и противоположное—на фиг. 3, 5. Такое! совпадение направления обхода нейтральной кривой характерно для монотонных профилей скорости, а противоположное— для течений типа пристеночной струи. Минимальные числа [?е вдоль нейтральных кривых на фиг. 3, 5 не являются критическими. Значения С в окрестности минимального числа Ие на этой кривой близки к значениям V в верхней точке перегиба. Это согласуется с результатами работ [3] и [5]. У профиля скорости на фиг. 1 нижняя точка перегиба практически совпадает с точкой нулевого значения скорости, а у профиля ^8 фиг. 2 лежит несколько выше. В обоих случаях при уменьшении числа Ие критический слой У=С
Таблица 2
Не а-102 С-10* Ие а-102 С-10* Ие а-102 С-10* 1*е а. 102 С-10*
91,4 30 6443 177 30 -4073 253 30 7613 308 30 -3936
83,7 35 6226 83,7 50 -2227 202 40 7086 253 35 -3713
78,7 40 6053 57,2 70 -692 176 50 6700 213 40 —3477
75,6 45 5916 51,3 80 -41 162 60 6419 105 70 -1952
73,8 50 5808 47 90 506 157 65 6307 64,7 110 -50
73,3 55 5726 46,8 95 743 151 80 6062 56 130 769
75,2 65 5615 46,2 100 958 151 85 6004 48 165 1869
76,2 67,5 5603 46 105 1149 172 113 5839 46,7 180 2224
77,2 69,5 5592 56 138 1851 182 118 5837 46,7 185 2330'
78,2 71 5586 106 165 1565 192 122 4841 50,8 228,5 3024
79,2 72 5585 126 168,5 1442 202 125 5850 53,8 241,5 3161
перемещается из области отрицательных значений С в области положи!ельных, причем в окрестности критического числа Рейнольдса значения С близки к значениям V в нижней точке перегиба. Можно предположить, что для рассматриваемого рода течений Иекр определяется нижним критическим слоем со значениями С меньшиМи, чем для второй нейтральной кривой.
Рассматриваемые профили скорости по внешнему виду напоминают профили скорости, возникающие в результате взаимодействия двух струй, одна из которых пристеночная. Из этой модели следует, что в первую очередь должен терять устойчивость слой смешения, расположенный ближе к стенке, что согласуется с полученными результатами. Эти результаты получены и для других профилей скорости аналогичной формы, устойчивость которых рассматривалась автором.
Из сказанного следует, что использование геометрических свойств целых -функций [8] при решении задач теории гидродинамической устойчивости весьма целесообразно.
Заметим, что используемый вариант детерминантного метода всегда позволяет неособым способом осуществить не только прямую, но и обратную прогонку.
Уравнение (1.1) представим в виде
Запишем граничные условия
р' — &пр /)[2 </; Я' = Вц Р “Ь ^22 Я-
К1Р ~Ь Кз <7 = 0.
(1.7)
(1.8)
/п /12
/21 /22
•Следовательно, возможна связь
р = /ч/, /=■ =
Матрица Р тогда может быть определена из решения системы дифференциальных уравнений
Р' =* 0ПР-Р021Р-Р032 + о12.
Начальные условия для Р
/>(А) = К*.
Если t^j, <7у /=1 2— решения (1.7), удовлетворяющие однородным условиям (1.8), то
/7=ЯО-1, (1.9)
где
Р = II Рг> Рг II
!1?1> 92 II
Из (1.9) следует, что между Р и и2 существует соответствие /ал = Ра/ и/1ие', е, / = = 1, 2,..., 6; к, п = 1, 2.
Константы рне все равны нулю.
Поскольку среди ие (е= 1, 2, . ... 6) всегда существует элемент, отличный от нуля, то из всевозможных вариантов прогонки всегда можно выбрать такой, чтобы обойти особые точки, встречающиеся в варианте (1.6) при обратном ходе. •Обратный ход прогонки в окрестности особых точек может быть осуществлен по уравнениям
Я\ — (^21 Р + £>22) Я-
Вариант обратной прогонки в окрестности особых точек можно выбирать, например, из условия
| ие I = шах I И/1.
1<;<6
Вариант детерминантного метода (1.5) удобен также тем, что после прямой прогонки по уравнению (1.5), которая всегда осуществима, можно предусмотреть, Судет ли обратная прогонка по каким-либо соотношениям особой.
Уравнения (1.7) могут быть использованы также при расчетах устойчивости течений сжимаемой жидкости.
Автор благодарен В. А. Баринову за представление характеристик рассмотренных профилей скорости в пограничном слое и обсуждение результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Gregory N., Stuart I. Т., Walker W. S. On the stability of three-dimensional boundary layers with application to the flow due to a rotating disk. Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser A 248, No 943, 1955.
2. Brown W. B. Incompressible cross flow stability calculations with various angles of the wave fronts with the potential flow pirecfion. „Summary of Laminar Boundary Layer Control Research”, v. 1, 1964.
3. Володин А. Г. Устойчивость пограничного слоя на скользящем крыле. Изв. СО АН СССР, 1971, № 13.
4. Brown W. В. Stability criterion for three dimensional laminar boundary layers. Boundary Layer and Flow Control. Its Principle and Application, v. 2. Pergamon Press, London, 1961.
5. Баринов В. А., Лутовинов В. М. О параметрах приближенной зависимости критического числа Рейнольдса в трехмерном пограничном слое. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 4, 1973.
6. Баринов В. А. Трехмерный пограничный слой в окрестности критической линии скользящего крыла при неравномерном отсасывании. „Ученые записки ЦАГИ*, т. Ill, № 1, 1972.
7. Лутовинов В. М. Неустойчивость плоской пристеночной струи. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.
8. Лутовинов В. М. О методе локализации собственных значений и одной задаче линейной теории гидродинамической устойчивости. „Ученые записки ЦАГИ*, т. I, № 2, 1970.
Рукопись поступила 15jIV 1973
