Неустойчивость плоской пристеночной струи в несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том III 1972 Мб

УДК 532.526.3

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ПРИСТЕНОЧНОЙ СТРУИ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В. М. Лутовинов

Решена задача об устойчивости плоской пристеночной струи. Подтверждены результаты о неустойчивости этого течения. Критическое число Рейнольдса и поведение нейтральной кривой совпадают с соответствующими результатами работы [1].

Показано, что поведение кривых постоянных скоростей нарастания возмущений отлично от известного для других течений. Установлено, что внутренняя нейтральная кривая получается параметрическим продолжением внешней и является нейтральной кривой для всех собственных значений.

Рассмотрены некоторые вопросы численного решения задач гидродинамической устойчивости. Изложен метод, позволяющий реализовать локализацию собственных значений [2]. Установлена связь этого момента с вариантом метода прогонки [3].

Задача об устойчивости плоской пристеночной струи интересна тем, что этому течению присущи особенности как свободных плоских струй, так и течений в пограничном слое. Верхняя часть профиля скорости этого течения достаточно хорошо совпадает со свободной струей, нижняя — с профилем скорости течения Блази-уса на пластине [4].

Устойчивость этого течения уже рассматривалась теоретически [1] и экспериментально [5]. Эксперимент качественно подтвердил результаты расчетов работы [1].

Критическое число Рейнольдса, полученное экспериментально, оказалось, как и в задаче об устойчивости пограничного слоя на пластине, больше полученного из линейной теории. Однако авторы [1] ограничились только расчетом окрестности нейтральной кривой. Своеобразие поведения собственных значений, порождаемое особенностью задачи, в работе [1] не рассмотрено.

1. Задача о распространении плоской струи вдоль твердой плоской стенки была впервые поставлена и решена Н. И. Акатно-вым [6]. Впоследствии та же задача рассматривалась Глауэртом [7]. Подробное изложение этого автомодельного решения уравнений пограничного слоя можно найти в монографии Л. Г. Лойцянско-го [4], откуда взяты приведенные ниже основные формулы и обозначения, относящиеся к невозмущенному течению.

»

Плоская пристеночная струя является автомодельным решением уравнения пограничного слоя

д']> <?2ф д'\> д2ф <Э34>

ду дхду дх ду* дуг ’

(1.1)

удовлетворяющим граничным условиям

<?!}/

Ф = 0, ПРИ У — 0\

д'\

Ж

0 при у -*• оо

(1-2)

и условию нетривиальности решения

^иЫу = Е = ^К.

(1.3)

Здесь -^ — функция тока; <3 — секундный расход; К — импульс струи.

Ввиду отсутствия в условиях задачи характерной скорости и длины можно ввести автомодельную переменную

г) = \Z~El (V3 хв)у и представить функцию тока в виде

']> = у чЕх Е (т)).

В этом случае задача (1.2), (1.3) сводится к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения, в результате решения которой можно найти

т] = 0,7952

(1-/6)2 1/9+2

6 ' = /*

Уь - 62

где Ь^Е'/Гоо, Еса^ 2,515.

Тогда профиль скорости невозмущенного течения и — д'\1ду имеет вид

У = 62)/3,

а его вторая производная

V" = «"/«шах = У(Г- -0,625 /6)/6.

2. Исследование устойчивости этого течения в рамках обычных предположений о квазипараллельности течения сводится к определению собственных значений краевой задачи для уравнения Орра— Зоммерфельда [8]

— 2я2 ср'' + а4<р = /а Ие [(V —>С)(ср" — а2<р) — V" <р] (2.1)

с граничными условиями

<р = ср' = 0 при д> = 0; (2.2)

при -» ос. (2.3)

Здесь и далее везде г = V—1; Не=Утахй^; Ктах —максимальное по у значение скорости в струе.

Все приводимые ниже величины, относящиеся к исследованию устойчивости течения, выражены через характерный по координате^

размер 8= 3 уОс3 у8/£. В этом случае максимальное расстояние от

стенки, на котором V ==0,01, получается при у^ 4, а V = 0,5 — при

^ ж 1,95.

Параметрический расчет области неустойчивости можно теперь осуществить, если перенести граничные условия (3) на расстояние у = 4 и воспользоваться вариантом метода прогонки [3]. В этом случае задача сводится к решению системы дифференциальных уравнений .

В' = В2 — А (2.4)

с начальными условиями

В (4) = В0 (2.5)

и поиску значений С, удовлетворяющих уравнению

М0) = 0. (2.6)

Напомним, что здесь

(2.7)

Матрица и составлена из двух линейно не зависимых решений уравнения (2.1), удовлетворяющих граничным условиям

(2.3), перенесенным на расстояние от стенки у = 4:

ср'" + а -о" — р2 (9' + а®) = 0; | 2 §

здесь = ог — га Ие С, С = СГ + гСг.

Значительная часть представленных на фиг. 1—5 результатов была получена этим методом. Аналогичный метод предлагается для подобного рода задач и в работе В. А. Сапожникова [9].

Как уже отмечалось [2], для определения исходных собственных значений необходим метод построения условия разрешимости типа (2.6) в виде целой функции от С. Кроме того, метод прогонки обладает тем недостатком, что при расчетах могут встречаться

в = Ьп Ьу2 -(-^и) и-\

Ь‘2\ \йу )

А = а2 1 1! С/= 1 ?2 1

— га Ие V" а* + *«1*е(У — С) Ц’ ?3 — “2'р2 1

особые точки. Для того чтобы избежать трудностей, связанных с мероморфностью получаемых в методе прогонки функций, можно воспользоваться методом Н. А. Желтухина [10]. Достаточно один раз решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений

И' — N0 (2.9)

с начальными условиями

£>(4 ) = О0, (2.10)

чтобы выяснить, является ли значение параметра С собственным при заданных а и Ие.

Здесь

О = 0(у) =

(о:

О0 — |

Ф6'(4);

N

0 1 0 0 0 0

0 0 110 0

0 0 0 0 10

О /, О О 1 о

Л 0 о о /, 1

о /, о о о о

— 2а2 -(- га Ие (V—С);

/2 = а2 [а2 4- га Ие (V — С)] + га Ие V".

Условие принадлежности значения С к числу собственных в этом случае имеет вид

£>,( 0) = 0. (2.11)

Преимущество этого метода, с одной стороны, в том, что вместо двукратного решения задачи Коши для уравнения (2.1), один раз интегрируется система уравнений (2.9) с другой — решение системы уравнений (2.9) является целой функцией параметров С, л, Ие. Однако с ростом числа Ие (или а) решение (2.10) системы (2.9) быстро растет и расчет, как и в случае интегрирования уравнения (2.1), становится затруднительным. Поэтому вместо функций О} (при / = 1, 2,..., 6) введем новые:

Ь-оДЪ0!?)" • <2'12>

и) -ь ш/+6.

Ясно, что они удовлетворяют системе дифференциальных уравнений:

12 12 12

и’, '

где и}-------}

X Р]Ь И* “ и 1 £ X Р»1

*=1 А=1 / -1

N + ТУ* ТУ* — Л

(2.13)

где р)к — элементы матрицы

2 2 Л/— Л* л/*

2 2

Элементы матрицы ТУ* сопряжены элементам N.

Таким образом, задача Коши (2.9), (2,10) переходит в задачу Коши для системы (2.12) с начальными условиями

м (4) = «0, ,■ (2.14)

а условие разрешимости (2.11) принимает вид

и1 (0) = 0.

(2.15)

Рассматриваемое решение также является' целой функцией параметра С и, кроме того, обладает интегралом

£К,12 = 1- , ' (2-16)

/=1

Наличие интеграла (2.16) позволяет, с одной стороны, контролировать точность расчетов, с другой — проводить их в широком диапазоне изменения чисел Ие и а. Это подтвердилось на примере рассмотренной в работе и других задач. Систему уравнений (2.13) можно применять как для определения исходных собственных значений нужного номера согласно процедуре, изложенной в работе [2], так и при расчетах разнообразных параметрических зависимостей в широком диапазоне изменения параметров а и Ие. Хотя она и проигрывает несколько по количеству операций на каждом шаге интегрирования по сравнению с системой (2.4), но обладает тем преимуществом, что лишена особенностей на всем отрезке интегрирования при любых конечных значениях параметров С, а и Ие.

Это следует из того, что ||/}|!=^2 1^12у,г не может обращаться

в нуль для любого решения системы уравнений (2.9), отличного от тривиального.

Для ускорения параметрического расчета С(а, Ие) условие разрешимости (2.11) часто заменяют другим, совпадающим с ним с точностью до множителя:

чЮ,

йу

= |0,/Оа

О,

Эта функция также выражается через и{:. и и

/■= |«і/«2

= 0.

(2.17)

(2.18)

Условие (2.17) часто называют физическим условием, поскольку оно выражает тот факт, что на стенке продольная составляющая скорости возмущенного течения обращается в нуль. Это условие автоматически получается в методе прогонки [3], поскольку | Ьх2\ = /• Можно показать, что система дифференциальных уравнений (2.12) пригодна для исследования задач устойчивости течений с произвольными условиями на стенке. Так как рассматривается задача о возмущениях, то наиболее общие граничные условия имеют вид

^•2 (?) — ^22 9' ~Ь ^13 У" + ^24 = 0. }

Условие разрешимости краевой задачи (2.1) — (2.3), запишется в этом случае как , ■ ...... ■

М<Р2)

^■2(?|) ^-2 (¥2)

0 при у — 0.

(2.20)

Здесь ср, и ф2 любые два решенир (2.1), удовлетворяющие условию

(2.3). Если теперь воспользоваться тождеством Коши [11], то можно получить, что (2.20) эквивалентно

: 0, : ; (2.21) : /=1

где

К

Ь>

йп {1п : Ьо — ^11 ^18 ; Ь/= ^11 ^14

^21 ^23 1 у с ^21 ^28 021 СІ2І

^12 ^13 5 ^5 в ^12 ^14 * 1у^ =3» йп 4

^22 ^23 ^22 ^24 ^28 ^24

Естественно, в (2.21) предполагается, что все Ь( одновременно не обращаются в нуль в соответствии с дискретным спектром рассматриваемой задачи. Покажем, что изложенный метод позволяет не только найти собственные значения, но и построить собственные функции для краевой задачи (2.1)—(2.3).

Если сравнить уравнения (2.4) с уравнениями (2.9) и воспользоваться соотношением (2.7), то можно получить связь между соответствующими величинами детерминатного метода и метода прогонки:

*п = (А.й12 = -А/^2; ]

Ьг1 = [а2(03 - О,) + Д, + а4 0,]/02; (2.22)

Ь22 = (£>4 — а2 0:)/02. I

Из сравнения следует и интеграл системы уравнений (2.9), о котором было сообщено в докладе Н. А. Желтухина на 1-й Сибирской конференции по аэрогидродинамике в 1969 г. [10]:

Э, £>6 — О, + Оа 04 = 0.

Все соотношения (2.22), ввиду (2.12), можно записать и через функции «у. Чтобы выразить Ьи через «у, необходимо в приведенных выше формулах (2.22) только заменить Оу на и). Очевидно также, что

и, и6 — иг ы5 + и3 ы4 = 0. (2.23)*

Исходя из связи (2.22) можно, располагая функциями Иу, осуществить обратную прогонку по формулам

~Ь + ^12 ®12 = .

^2 + ^21 ®1 + ^22 ^*2 = 0>

где Фг = ср, Ф2 = ср" - а*(р. Тем самым будет найдена собственная функция. Однако если на интервале интегрирования [0, 4] обращается в нуль, то, как следует из (2.22), осуществление обратной прогонки невозможно; невозможна в этом случае и прямая прогонка по уравнениям (2.4). В этом случае для обратной прогонки

в окрестности особых точек можно воспользоваться уравнениями

для функций gk:

12

2-1

где <?* = «,•?„; 1,2,..., 12; п — 1, 2; у = 1, 2,... ,6; ?к1 выражается

через известные функции ыу(2.13) и элементы матрицы N. Определив из решения этой системы дифференциальных уравнений gл и зная «у, можно определить Ф] и Ф2. При числах Ие < 103, если известны достаточно точно ср"(0) и ^"'(0), то, как следует из расчетов Брауна [12], вычисление <р(у) можно осуществить прямо по уравнению (2.1). При этом <р"(0) и ср"'(0) находятся из соотношения

и,?"'(0) + и4?"(0) = 0

* Интеграл (2.23) может быть использован для контроля счета наряду с (2.16). ,

с учетом того, что решение (2.1) —(2.3) определено с точностью до постоянного множителя.

При решении задачи об устойчивости пристеночной струи рассчитывались только собственные значения задачи (2.1)—(2.3). Исходные собственные значения С вычислялись по методу локализации [2] с использованием системы уравнений (2.13), начальных условий (2.14) и условия разрешимости задачи (2.1)—(2.3) гг1(0) = 0. Интегрирование проводилось методом Рунге — Кутта. Для обеспечения вычисления функций с точностью до е ^— 10~° шаг выбирался автоматически с учетом интеграла (2.16). Исходные собственные значения рассчитывались в пяти точках, отмеченных на фиг. 1 звездочкой (Не = 180, а = 0,6; Ие = 250, а = 0,45; Ие = 250, а = 0,6; Ие = 250, а = 0,8; Ие = 500, а = 0,65). Это позволило определить также, что в первых трех точках существует только по одному собственному значению с Сг]>0, в четвертой все 0, а в пятой имеется ровно два с Сг> 0.

Сравнение функций Ьц, рассчитанных по уравнениям (2.4), с рассчитанными по (2.13), (2.22) показывает, что обе системы уравнений дают одинаковые результаты в пределах точности интегри-

Яе ОУ102 СГХ10* С,Х10‘ | Ие аХ Ю2 сгх\о* | С,Х!04

68,32 130 5226 0 29,04 59 4714 0

40,31 120 5771 0 29,5 50 4883 0

30,56 75 4606 0 60,38 20 6629 0

175 154 5499 -2 175 50 5192 274

175 140 5281 12 175 40 5514 463

175 120 4969 264 ’ 175 30 5913 577

175 100 4688 346 375 20 6560 511

175 80 4527 312 175 10 7905 9

175 60 4821 138 175 8 8332 -63

294 153,5 5348 0 280 54,25 5732 -16

308,7 153 5326 7 294 54,25 5787 14

294 110 4674 345 294 20,25 6746 669

294 90 4380 346 29-1 5,25 8899 0

294 70 4180 97 294 110,25 6139 -691

294 66,5 4152 0 294 66,25 5885 -283

500 146,2 5064 0 500 72 6031 -3

500 142 5033 32 500 70 6036 27

500 98 4287 385 500 65 6049 110

500 65 3730 67 500 20 6999 849

500 62 3677 -9 500 10 7911 538

525 62 3645 5 500 3,75 9197 0

5000 63 5948 0 100 60 4790 450

5000 70 6031 276 150 60 4823 280

5000 62 6111 449 190 60 4807 270

5000 ■ 53 6236 649 200 60 : 4781 • -65

рования до Re —105 и а~1 без каких-либо дополнительных операций. При более высоких числах Re расчеты не проводились. Уравнения (2.13) использовались также при расчетах параметрических зависимостей при Re >-175.

Поведение различных характеристик устойчивости пристеночной струи, полученных в данной работе, представлено на фиг. 1—5. Характерно их качественное отличие от аналогичных результатов для течений в пограничном слое и в свободных струях [2], [13].

Поведение кривых Ct = const в плоскости a, Re представлено на фиг. 1. Скорости нарастания возмущений изменяются в рассматриваемом случае довольно сложным образом. Здесь появилась внутренняя (для области неустойчивости) самопересекающаяся нейтральная кривая (Сг = 0). Это приводит к дополнительным трудностям в расчетах и показывает, что для определения количества собственных значений с 0 необходимо использовать принцип аргумента. Расчет показал, что внутренняя нейтральная кривая может быть получена параметрическим продолжением внешней. Интересно отметить также, что, пересекая внутреннюю область устойчивости при Re = const, нельзя простым параметрическим продолжением попасть с одного берега устойчивости на другой. Это отчетливо видно из представленных на фиг. 2 и 3 зависимостей (а) и Сг{а) при Re = const. Зависимости {}г = рг(а) (^=асг) показаны на фиг. 4, а зависимости = р,(а) (Рг = асг)— на

фиг. 5. В таблице представлены некоторые результаты расчетов. Часть нейтральной кривой, полученной в работе [1], совпадает с соответствующей частью нейтральной кривой, полученной в настоящей работе. Критическое число Рейнольдса, как и в работе [1], оказалось равным примерно 29.

Таким образом, использование метода локализации [2] совместно с системой дифференциальных уравнений (2.13) позволяет в рамках линейной теории исследовать устойчивость различных квазипарал-лельных течений.

Автор благодарен М. А. Алексееву и С. Я. Герценштейну за обсуждение результатов работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. С h u n D. Н., S с h w а rz W. Н. Stability of the plane incompressible viscous jet subjected to small disturbances. The Physics of Fluids, v. 10,

Кь 5, 1967.

2. Лутовинов В. М. О методе локализации собственных значений и одной задаче линейной теории гидродинамической устойчивости. „Ученые записки ЦАГИ", т. 2, № 2, 1971.

3. Лутовинов В М. О варианте метода прогонки и задачах устойчивости пограничного слоя. .Ученые записки ЦАГИ“, т. I, № 2,

1970.

4. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой. М., Физматгиз, 1962.

5. Bajure R. A, Szewezyk A. A. Experimental Investigation of a laminar two-dimensional wall jet. The Physics of Fluids, v. 13, No 7,

1970.

6. Акатнов H. И. Распространение плоской ламинарной струи жидкости вдоль твердой стенки. Труды ЛПИ (Энергомаш. Техническая гидромеханика), № 5, Машгиз, 1953.

7. Glauert М. Wall jet. Journ. FI. Mech., No 1, 1956. _

8. Линь Цзя-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М., Изд. иностр. лит., М., 1958.

9. Сапожников В. А. Решение задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений методом прогонки. Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости, (II), Новосибирск, 1969.

10. Ж е лтухин Н. А. Устойчивость ламинарных пограничных слоев. 1-я Сибирская конференция по аэрогидродинамике (аннотации докладов), Новосибирск, 19о9.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., Гос. тех. теор.издат., 1953.

12. В г о w п W. В. A stability criterion for the three dimensional laminar boundary layer. Boundary layer and Plow control, v. 2, 1961.

13. Бетчов P., Криминале В. Вопросы теории гидродинамической устойчивости. М., „Мир*, 1971.

Рукопись поступила 24jlV 1972 г.