Неустойчивость поверхности раздела равновесного состояния двух бинарных смесей с учетом эффекта Соре Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 12, № 6, 2007

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ ДВУХ БИНАРНЫХ СМЕСЕЙ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТА СОРЕ*

М. В. Ефимова

Институт вычислительного моделирования СО РАН,

Красноярск, Россия e-mail: [email protected]

Stability of an interface between two binary mixes is investigated for the case of arbitrary perturbations. The dependence of the complex decrement versus the wave number is obtained numerically. Physical parameters of glycerin and ethyl spirit were used in calculations. It is shown that when the Marangony numbert increases, the region of instability turns toward the short wavelengths for the nondeformable surfaces. For the deformable surface a long-wave instability is observed when the Marangoni number is increased.

1. Основные предположения и уравнения

Рассмотрим совместное движение двух жидких сред, контактирующих по некоторой плоской поверхности у = 0. Обозначим через Qj (j = 1, 2) области, занятые жидкостями, через pj, Vj, Xj, cpj — соответственно плотности, кинематические вязкости, коэффициенты температуропроводности, удельной теплоемкости жидкостей. Далее предполагаем, что эти параметры — положительные постоянные. Плоскости у = ±/ суть непроницаемые твердые стенки. Считается, что данная конфигурация находится в покое: uj = 0, j = 1, 2. Предполагается, что в каждой из жидкостей имеется растворенное вещество концентрации cj; зависимость поверхностного натяжение от температуры и концентрации линейная:

а(0, c) = а° — y(с — с0) — ат(0 — 0°), (1.1)

где а° > 0, ат > 0, y < 0 — постоянные, а с°, 0° — концентрации и температуры в некоторой точке поверхности раздела.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00836), гранта НШ 5873.2006.1 и комплексного интеграционного проекта № 2.15 СО РАН.

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2007.

Тогда движение жидкостей описывается системой уравнений при к £ П3:

1 , ч

и^ + и3 у и +-у Рз = V,-Аи3; (1.2)

рз

div и, = 0; (1.3)

взг + и, • ув3 = Хз Авз; (14)

3 + и3 • усз = ^з △ ( сз + л вз ), (1.5)

кз кв

вс

где из- (х,^) — вектор скорости, Рз — отклонение давления от гидростатического, вз — температура, Сз — концентрация, вс — средняя температура слоев, внешние силы отсутствуют. Сформулируем, следуя [1, 2] (в [1] рассмотрен лишь случай стационарного течения и с = 0), условия на поверхности раздела жидкостей Г:

и1 = и2; (1.6)

и • п = Уп; (1.7)

в1 = в2, С1 = ас2; (1.8)

(Р - Р1)п = 2аИп + упа; (1.9)

Л2дП — Л1 дП = 0; (1.10)

он он

, (дс2 к2 дв2\ , ( дс1 к15в1\ /, ,,л

Р2ЙЧ ан + в2 ан) = р’Ч ан + Ж ан)' <и1>

Здесь п — единичный вектор нормали к Г, направленный из П в П2; Уп — скорость перемещения поверхности раздела Г в направлении п; Р3 = (—р3 —р3 g•x)E+2р3 ^ Д3 — тензоры напряжений; Е — единичный тензор; И — средняя кривизна поверхности Г (И > 0, если Г выпукла наружу области П1); у11 = у — (п • у)п — поверхностный градиент; Лз = Хз Рз Ср^ — коэффициенты теплопроводности. Через и и в обозначены значения вектора скорости и температур обеих жидкостей на Г, попарно совпадающие в силу (1.6),

(1.8), во втором равенстве (1.8) а есть постоянная равновесия Генри.

Области П и П2 могут контактировать не только друг с другом, но и с твердыми телами. Поверхности твердых тел, контактирующих с жидкостями, обозначим через У~У. На каждой из них ставится условие прилипания

иг = аг(х,£), х € Пг П Ег, (1.12)

где аг(х, £) — скорость движения стенки Ег. Кроме того, будем считать, что температура в точках Ег удовлетворяет одному из условий

зв-

= к-(х,£), вг = Ьг(х,г), х € П- П Е-, (1.13)

он

с заданными функциями кг(х, £), Ьг(х, £).

Если через твердые поверхности Ег нет потока вещества, то

I + В х « Е-. .. .4)

Соотношения (1.2)—(1.11) следует дополнить начальными условиями

П. = П”; и.(х, 0) = и0(х), х є П”;

0,(х,0) = 9“(х), х є П”; с.(х, 0) = с”(х), х є П0.

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

Если поверхность Ег не имеет общих точек с Г, то постановка нестационарной задачи о термокапиллярном движении закончена. Сформулируем эту задачу. Требуется найти области Пг (г = 1, 2) и функции щ,рг,вг,сг, определенные в областях Пг так, чтобы

Заметим, что в [3] доказана разрешимость плоской стационарной задачи о чисто термокапиллярном течении одной жидкости. В работе [4] доказана глобальная разрешимость одномерной нестационарной задачи с двумя коэффициентами вязкости, правда, без термокапиллярного эффекта. В [5] изучена линейная устойчивость поверхности при наличии диффузионного переноса между двумя несмешивающимися вязкими жидкостями.

В данной работе рассматриваются два несмешивающихся несжимаемых плоских слоя смесей с общей поверхностью раздела у = 0. Плоскости у = ±/ суть непроницаемые твердые стенки. Считается, что данная конфигурация находится в покое: из- = 0, ] = 1, 2. При указанных выше условиях задача о термодиффузионном равновесии с поверхностью раздела [6], как можно видеть, имеет решение

В (1.19) $10, $20 — температуры твердых стенок при у = ±/ соответственно; Л = Л1/Л2 —

диффузии; с0 — концентрация на границе раздела (все эти величины предполагаются постоянными).

Замечание 1. ПАВ на поверхности у = 0 отсутствует, а в законе Генри с1 = ас2 постоянная а полагается, без ограничения общности, равной единице.

2. Задача о малых возмущениях

Для изучения устойчивости равновесного состояния двух слоев жидкостей (1.19) воспользуемся уравнениями малых возмущений, полученных в общем виде в [6].

Сформулируем задачу об устойчивости равновесного состояния двух слоев жидкости относительно малых возмущений. Запишем линеаризованную задачу для возмущения скорости, давления, температуры и концентрации в каждой из жидкостей:

(1.19)

отношение коэффициентов теплопроводностей; кз = кзв/вс, кзв — коэффициенты термо-

(2.1)

div из- = 0; (2.2)

— Тзт + уз £з = Атз; (2.3)

Хз

V ■ п ■

К1Г — ^ У ез = ^ А(А'з + Ргз Тз). (2.4)

V2 ^'2

Граничные условия на поверхности раздела п = 0 сводятся в этом случае к следующим (влиянием поверхностной вязкости пренебрегаем, так как она обычно очень мала):

^2 = vUl, У2 = vУl, К2 + дП д = к^К1 + дП ^ ; (2.5)

т + дв2 д = V / + дв1 Л дТ2 = Лv5Tl (2 б)

Т2 + ~дПК = Х1Т1 + ~дvR), ~дП = "XV (2.6)

pv2Pl — Р2 + 2У2п — 2pv2Vln = ^вД^; (2.7)

и2п + у2?— р^(и1п + у1?) = — м ^Т2 + ~оп — ^г ^С2 + ~оп ; (2.8)

дК2 + РГ2= рПкв (+ РГ1 дТ!) ; (2.9)

дп дп \ дп д'п /

Дт = У1. (2.10)

Граничные условия на твердых стенках:

дС дТ

и1 = 0, Т1 = 0, У1 = 0, —1 + Рп —-1 = 0, п = 1, (2.11)

дп дп

дС дТ

Ц~2 = 0, Т2 = 0, У2 = 0, —--+ Рг^ —— = 0, п = —1- (2.12)

дп дп

Соотношения (2.1)—(2.12) приведены в безразмерной форме. Использованы следующие единицы измерения расстояния, времени, скорости, давления, температуры и концентрации соответственно:

, I2 Vj рз ^ (в10 — в20)vj кв (в10 — в20) . = 1 2

, V2 1 , I2 , Хз , вс , . , ,

введены обозначения

1 Л Vl , к1 Х1 Р1

е1 = -тгт, е2 = , V = —, кв = ~р2, х = —, р = —;

Л +1 Л +1 V2 кд Х2 Р2

V Vj

вз = —-----число Шмидта, Ргз =------------------число Прандтля;

пз Хз

Шв = —°-2 —число Вебера,

Р2 V2

Л/т аТ (в10 — в20)1 Л/Г

М =----------------------число Марангони,

Р2^Х2

в 7кв?1(в10 — в20) С

вг =----------^----------число Соре.

Р2v2вc

Решение краевой задачи (2.1)—(2.12) ищем в виде нормальных волн

(и, У, Р, Т, К, Д) = (и(п), У (п), Р(п), Т(п), К(п), Д) ехр(га£ — гСт), (2.13)

где а — волновое число, С — комплексный декремент. Подставляя (2.13) в (2.1)—(2.4),

получим спектральную задачу относительно параметра С для системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

и" + ^^гС — а2^ из — Рзга = 0; (2.14)

У" + ^V2гС — а2^ Уз — Р; = 0; (2.15)

гаиз- + У' = 0; (2.16)

з + (Х2гС — а2) Тз — езУз = 0; (2.17)

К + I Т*С — а I К з + Ргз(з — аТз) + зУе з = 0. (2.18)

Граничные условия на твердых стенках:

дК • дТ •

и = 0, У = 0, Тз = 0, —1 + Рг з -з = 0, п = ±1- (2.19)

дп дп

Условия на поверхности раздела п = 0:

и2 = vUl, У = vУl, К2 — е2Д = к$ (К1 — е1 Д); (2.20)

Т2 + е2Д = " (Т, + е,Д), ^ ^. (2.21)

Х дп Х дп

pv 2Р, — Р2 + 2У2п — 2pv 2У1п = —а2ШвД; (2.22)

и2п + гаУ2 — pv2(U1n + гаУ,) = —Мга (Т2 + е2Д) — гаБг (К2 — е2Д); (2.23)

дК2 + РТ2дТ2 = рпкв (^ + Рг,^) ; (2.24)

п п п п

гУ2

Д = ^2 - (2.25)

Для неустойчивости в первом приближении состояния равновесия (1.19) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одного собственного значения было выполнено условие /шС > 0.

Рассмотрим асимпотическое поведение амплитудных уравнений при а ^ 0. Положим

и з = из0 + аи1 + --., У = аУз0 + а2У/ + ..., Рз = аР° + а2Р/ + --.,

Тз = Тз0 + аТ, + --., К = К° + аКз! + ..., С = С0 + аС1 + ..., Д = аД0 + а2Д, + ...

Подстановка этих выражений в спектральную задачу (2.14)—(2.25) в нулевом приближении приводит к системе

Ц0" + — ІС ои0 = 0; (2.26)

V

V0" + — гСУ/ - р” = 0; (2.27)

из

+ V/' = 0; (2.28)

Т0" + — гС0Т0 = 0; (2.29)

Х

Щ' + ^ гСК + Рг^'' = 0. (2.30)

п

С граничными условиями на твердых стенках:

0 0 0 дК° дТ°

и0 = 0, У0 = 0, Т° = 0, —з + Ргз -7тз- = 0, п = ±1. (2.31)

з з з дп дп

Условия на поверхности раздела п = 0:

и20 = vU^,, У20 = vУ10, К20 = кв К0; (2.32)

т» = ^, М = ^ (2.33)

X дп X дп

Р^2Р0 - р20 + 2У2П - 2р^2У10? = -а2ШеЯ0; (2.34)

и20' - р^2и0' = 0; (2.35)

дК20 „ дТ20 , /5К0 „ дТ0\

+ Рг^^г— — рё,к$ ( — ---------+ Рг1 —— ] ; (2.36)

дп дп V дп дп / ’

Д0 = ^. (2.37)

Далее рассмотрим уравнения (2.26). Их решения имеют следующий вид:

и° = Аі віп ^У^“їс0п^ + А сов ^У^“ЇС0п^ , и2* = Аз 8Іп(УЇС0п) + А сс8(УІС0п),

(2.38)

где константы Аі, А2, А3, А4 находятся из граничных условий (2.31), (2.32), (2.35). В результате получаем систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных А1 — А4. Поскольку ищутся ненулевые решения и, то определитель, составленный из коэффициентов при А1 — А4, должен равняться нулю. В результате получим уравнение для нахождения декремента С0:

віп ^у/—гС0^ со8(^ЇС0) + р^^сое ^гС0^ 8Іп(^ЇС0) = 0. (2.39)

Если обозначить \/гС0 = ^, то корни уравнения (2.39) ^ вещественны и их счетное число. Значит С0 — число мнимое, С0 = ІС0., причем С0. < 0. Поэтому длинноволновые возмущения затухают монотонно. Уравнение для определения первой поправки к комплексному декременту громоздко и в данной статье не приводится. Для системы глицерин—этиловый спирт (р = 1.208 • 10-6, V = 0.432) имеем ^1 = 1.571, ^2 = 2.06, ^3 = 4.13.

3. Численное решение задачи на собственные значения

Для отыскания численного решения методом ортогонализации [7] приведем систему (2.14)-(2.25) к виду ж' = где ) — вектор неизвестных; А(£) — матрица коэффициентов. Для этого сделаем замену для слоя = {0 ^ п ^ 1}:

С = 1 - П и1 = Уъ Ц1 = -У2, у1 = Уз, р1 = Ш, (з.1)

Т1 = Уб, Т1 = -У6, К1 = У7, К1 = -Уз; (3.2)

для слоя П2 = {-1 ^ п ^ 0}:

С = п + 1, Ц = ,1, Ц = ,2, V = ,з, р2 = ,4, (3.3)

Т2 = £б) т2 = г6, К2 = ^7, к2 = г8- (3.4)

Исключая У^У" из (2.15), (2.16), получим следующую систему уравнений:

1) для слоя П1 = {0 ^ ^ 1}:

У1 = -У2,

у2 = У1(а2 - ) + *ау4,

Уз = гаУъ у4 = *«^2 + (+ а2)уз, уб = —уб,

У6 = (а2 - —гС)Уб + £1Уз,

Х1

у7 = —у8,

У8 = («2 - у-гС)У7 - ^£1Уз - РГ1(£1 Уз - —*сУб). «1 «1 Х1

С граничными условиями на твердой стенке при £ = 0:

У1 = Уз = Уб = 0, Уз + Рг1Уб = 0;

2) для слоя П2 = {0 ^ ^ 1}:

,1 = 32,

4 = з1(а2 - гС) + га,4,

^з = - *аз1,

,4 = -га,2 + (гС - а2),з,

4 = 36,

36 = (^2 - Рг2гС)зб +

4 = 3з,

4 = ^а2 - гС^ 37 - V-£2^з - Рг^^з - Р^гС^).

С граничными условиями на твердой стенке при £ = 0:

,1 = ,з = ,5 = 0, ,8 + Рг2,6 = 0.

(3.5)

(3.6)

Граничные условия на поверхности раздела £ = 1 в силу замены можно представить в следующем виде (для недеформируемой поверхности раздела):

^1 - = 0,

- Уз = 0,

^2 + 2у2 + Мга—у5 + Бггаке у7 = 0, (3-7)

X

^8 - ( рГ2— - рАквРгИ Уб + рАквУ8 = 0.

Если поверхность раздела деформируема, то граничные условия (2-20)-(2-25) примут вид

^з - ^уз = 0,

2 2 2 р^ у4 - ^4 - 2га^у1 - 2р^ юу1 + а We—у3 = 0,

С

2

2 2- , /V 1 ^2^1г

^2 + р^ У2 + іа^з - р^ іауз + Міа -уб + ^ ^уз + а,

\Х ХРгіС У (3.8)

+ Бгіа ^кву7 - у^ = о,

^8 - ^Рг2^ - Р^квРг^ уб + рЛкоу8 = 0.

Таким образом, решается система вида = А3(^^, где і = 1, w = у в слое П1 и і = 2, w = z в слое П2, с краевыми условиями В1 у(0) = 0, В^(0) = 0 на твердых стенках и ^^1) = 0 — на границе раздела.

Для нахождения собственного значения С необходимы два начальных приближения Со, С1. Начальное приближение Со выбирается из условия (2.39).

4. Анализ результатов

Задача решалась для системы глицерин (80 %)—60%-й раствор этилового спирта, а также глицерин (80 %)—90%-й раствор метилового спирта. Пусть поверхность раздела недеформируема (We = то)- Проведенные расчеты показали, что неустойчивость

Рис. 1. Зависимость С от волнового числа а в системе глицерин—этиловый спирт при Яг = -10: кривая 1 — М = 1.7 ■ 10б, 2 — М = 2.3 ■ 10б, 3 — М = 107

С,

Рис. 2. Зависимость С от волнового числа а в системе глицерин—этиловый спирт при фиксированном М: кривая 1 — Яг = -1, 2 — Яг = -10, 3 — Яг = -100

С,-

Рис. З. Зависимость Ci от волнового числа а в системе глицерин—метиловый спирт при Sr = —1O: кривая 1 — M = 2OO, 2 — M = 75OO, 3 — M = 95OO, 4 — M = 195OO

наблюдается в области длинных волн. На рис. 1 показаны результаты расчетов зависимости Ci от а при различных числах Марангони. При этом при увеличении числа Марангони область неустойчивости смещается в сторону умеренных волн.

На рис. 2 показано влияние эффекта Соре на устойчивость длинноволновых возмущений, т. е. при росте числа Соре область неустойчивости уменьшается.

Если же поверхность раздела деформируема, то при увеличении числа Марангони область неустойчивости смещается из области умеренных волн к области длинных волн (рис. 3).

Автор благодарит В.К. Андреева за постановку задачи. По данной работе был сделан доклад на VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию.

Список литературы

[1] Nafolitano L.G. Plane Marangoni-Poiseulle flow two immiscible fluids jj Acta Astronautica. 198G. Vol. 7, N 4, Б. P. 461-478.

[2] Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами: учебн. пособие. Новосибирск: НГУ, 1989.

[3] Лагунова М.В. О разрешимости плоской задачи термокапиллярной конвекции // Проблемы математического анализа. Вып. 10. Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория. Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. С. 33-47.

[4] Shelukhin V. Joint motion of viscous and semi-viscous flows // Intern. Workshop “Free Boundaries in Viscous Flows”. St. Peterburg. 1996. Abstracts. P. 17.

[5] Хенненверг М., Биш П.М., Винь-Адлер М., Занфельд А. Неустойчивость поверхности раздела и продольные волны в системе жидкость—жидкость //Гидродинамика меж-фазных поверхностей. 1984. С. 19-44.

[6] Андреев В.К. Линеаризованная задача о малых возмущениях движения жидкости с поверхностью раздела при наличии эффектов Соре // Математическое моделирование в механике: сборник трудов семинара. Деп. ВИНИТИ № 1999-B99. C. 12-33.

[7] Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи мат. наук. 1961. Т. 16, вып. 3. С. 171-173.

Поступила в редакцию 21 марта 2007 г.