CC BY
33
УДК 519.642.8
МЕТОД РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ
С. И. Кадченко
METHOD OF REGULARIZED TRACES
S. I. Kadchenko
Разработан новый метод вычисления первых собственных значений дискретных операторов (метод регуляризованных следов (РС)). Проведенная апробация метода РС на задаче гидродинамической теории устойчивости показала его высокую эффективность.
Ключевые слова: регуляризованный след, собственные .значения, дискретный самосопряженный оператор, задача Орра - Зоммерфельда
A new method of calculation of first eigenvalues of discrete operators (a method of regularized traces (RT)) is developed. The approbation of RT method on a problem of the hydrodynamic stability theory has shown its high efficiency.
Keywords: regularized trace, eigenvalues, discrete selfadjoint operator, the Orr - Zommerfelds problem
Введение
Рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть {ц-п}^! - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а {шп}'^=1 - его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам. Допустим, что кратность собственного числа цп оператора Т равна ип. Обозначим через по количество всех неравных друг другу собственных чисел цп оператора
ГТ1 ГГ1 |ЦП0 + 1 + ЦП0 \
Т , которые лежат внутри окружности Тп0 радиуса рП0 = - с центром в начале
координат комплексной плоскости. Пусть {вп}с^'=1 - собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической
2||Р II
кратности. Если для всех п > по выполняются неравенства --- < 1, то первые
\цп+ип _ цп\
по
то = ^ ип собственные числа {@п}т11 оператора Т + Р являются решениями системы
п=1
нелинейных уравнений
то то те
= £ цк+£ ар (то) ,Р = 1т. (1)
к=1 к=1 к=1
( ) (_1)кр ~ ~ к
Здесь ак (то) = -т— $р / цр-1 РЯ^(Т) йц - к-е поправки теории возмущений опе-
2ПК1 гр 1_ J
±по
ратора Т + Р целого порядка р, Я^(Т) - резольвента оператора Т. В дальнейшем будем предполагать, что в круге Тпо находится то собственных чисел оператора Т.
Форма записи уравнений (1) по сравнению с первыми работами [1 - 18] видоизменена. Это связано с желанием явно выделить случаи кратности собственных чисел уп оператора Т. Хотя и в предыдущих работах их кратность предполагалась.
Система алгебраических уравнений (1) позволила разработать новый численный метод нахождения собственных чисел дискретных операторов, идея которого впервые была высказана В. А. Садовничим и В. В. Дубровским в работе [1], которая состоит в следующем.
Составим систему нелинейных уравнений (1) относительно то первых собственных чисел
то _
{вПС?1 оператора Т + Р и выразим симметрические многочлены ^ вр, Р = 1,то от то
к=1
переменных через правые части системы уравнений (1). Используя теорему Виета, получим многочлен степени то со старшим коэффициентом, равным единице (остальные коэффициенты могут быть найдены со сколь угодно большой точностью по формулам Ньютона), корнями которого будут первые то собственные числа {вп}т=1 оператора Т + Р. Известно, что комплексные корни многочлена со старшим коэффициентом, равным единице, непрерывно зависят от его коэффициентов. Поэтому, решая приближенно уравнение, можно найти его корни Шт=1 с необходимой точностью.
В работе [2] получена формула для вычисления к-й поправки теории возмущений р-того порядка а(р)(то) для любых к, то,р € N
а
(р)
то
(то) = к £ £
.7 = 1 31,32
Зк
П. 3«
= 1 г=1
Гв8
р-1
П - з)
Г=1
(2)
где 3з« = (Р3 ^« =
г + 1, г < к,
'ЗгЗе—У-1 Ш3т> О — \ 1 г = к
Предельные абсолютные погрешности найденных первых собственных чисел оператора Т + Р зависят от того, как точно вычислены суммы числовых рядов Релея - Шредингера
( )
а(р)(то) поправок теории возмущения оператора Т + Р .В статье [3] найдены аналити-
к=1
ческие формулы вычисления первых четырех поправок а(р)(то) для случая однократного спектра оператора Т + Р, а в работе [4] формулы вычисления первых трех поправок для случая кратного спектра оператора Т + Р.
По мере возрастания количества то собственных чисел оператора Т + Р, которые небхо-
( )
димо найти, величины сумм ^ а^, (то) и их необходимая точность вычисления резко воз-
к=1
растают. Поэтому нахождение сумм Релея - Шредингера путем суммирования его членов является бесперпективным способом, так как для вычисления к-й поправки необходимо находить суммы к кратных рядов. В связи этим был разработан новый численный метод приближенного вычисления сумм Релея - Шредингера, позволяющий находить их без почленного суммирования [2].
к
1. Теоретические положения метода регуляризованных следов
Обоснование метода РС, в основном было сделано в работах Дубровского В. В., Кадченко С. И., Кравченко В. Ф. и Садовничего В. А. [1 - 18]. Приведем основные положения этого обоснования.
Прежде всего отметим, что при выполнении условий теоремы 1 линейный оператор Т+Р является дискретным, и при этом внутри окружности Тпо находится одинаковое количество собственных чисел операторов Т и Т + Р [19].
Теорема 1. Пусть T дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а P - линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Если существует натуральное число по такое, что для всех п > По выполня-
2||P У по
ются неравенства --- < 1, то то = vn собственные числа {вп]П= i оператора
\ßn+vn - ßn\ п= i
T + P являются решениями системы то нелинейных алгебраических уравнений (1).
Лемма 1. Если T дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а P -линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом простран-
Г 1fc
стве H, то оператор J ßp-i PRß(T) dß не более чем Пок-м,ерен.
Тп0
Теорема 2. Пусть T - дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а P - линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Если существует натуральное число По такое, что для всех п > По вы-
2||PII ( '
полняются неравенства --- < 1, то для поправок теории возмущений af (то)
\ßn+vn - ßn\
оператора T + P справедливы оценки
\а1р)(то)\ < поРРПпQk, Q = min \ßn+vn - ßn\, Vk,p € N.
0 n>n о
Теорема 3. Пусть T - дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а P - линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Если существует натуральное число По такое, что для всех п > По вы-
2||PУ ( )
полняются неравенства --- < 1, то числовые ряды ^ af (то) поправок теории
\ßn+vn - ßn\ k=i
возмущений оператора T + P абсолютно сходятся.
Теорема 4. Пусть T - дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, P - линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Если оператор T+P положительно определен в H, и система координатных функций {uf }fc=i является базисом H, тогда метод Бубнова - Галеркина в применении к задаче об отыскании собственных чисел спектральной задачи
(T + P)p = ßtp, (3)
построенный на этой системе функций, сходится.
Доказательство. Запишем уравнение (2) в виде
(T + P - \E)<p = (ß - \)<р. (4)
Для дискретного оператора T + P существует резольвентный оператор R\(T + P) = (T + P - XE)-1, который вполне непрерывен в H [19]. Действуя слева на обе части уравнения (4) оператором R\(T + P), получим
<р = (ß - X)R\(T + P)V. (5)
На основании [20], метод Бубнова - Галеркина в применении к задаче об отыскании собственных чисел уравнения (5), а, следовательно, и уравнения (3), сходится. □
Допустим, что система собственных функций {uf }^=i оператора T является базисом H. Приближенное решение спектральной задачи (3), следуя методу Бубнова - Галеркина,
будем искать в виде [20]
т
Ут = ^ ак Шк• (6)
к=1
Подставляя (6) в уравнение (3), получим
тт
^ак(Т + Р)шк = Д(т)^ акшк • к=1 к=1
Здесь З(т) - т-е приближения по Бубнову - Галеркину к соответствующим собственным числам в оператора Т + Р. Так как Тшк = УкШк, то
тт
^ ак(Ук + Р)шк = Д(т) ^ ак шк • к=1 к=1
Коэффициенты {ак}т=1 определяются из требования, чтобы левая часть последнего уравнения была ортогональна к функциям {шк}т=1. В результате получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов {ак}т=1
т
^ак{[Д(т) - ук]§кп - (Ршк, Шп)= 0, п = 1,т. (7)
к=1
Приравняв определитель системы (7) к нулю, приходим к уравнению
||Д(т)Е - Л|| =0,
определяющему приближенные значения первых т собственных чисел {вк(т)}т=1 оператора Т + Р. Здесь Е - единичная матрица размера т х т, Л = ||акп||тп=1, акп = Ук¿кп + (Ршк,шп), ¿кп - символ Кронекера. Известно [21], что для собственных чисел {/Зк(т)}т=1 матрицы Л справедливы равенства
m
Ч (
fc=l
- Sp Ap = 0, p = 1, m, (8)
где Sp Ap - след p-й степени матрицы A. Обозначим
Дfcp(m) = - 4p(m), k,p = 1, m,
Ap(m) = E Äfep(m). (9)
fc=i
Очевидно, что если операторы T и P удовлетворяют требованиям теоремы 1, то lim |Akp(m)| = lim - 4p(m)| = 0, Vk,p € N,
lim |Ap(m)| = lim V |Дfcp(m)| = 0.
m—m—'
k=l
Теорема 5. Пусть Т - дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор, а Р - линейный ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом
пространстве Н. Допустим,, что система собственных функций {шк }те=1 оператора Т является базисом, Н. Если существует по € N такое, что для всех п > по выполняются 2||Р ||
неравенства --- < 1, тогда
те т0 р—1 т0 р
£акр)(то) = ЕЕ Срт^т^рк—т + Е П аз. 3г + Ар(то),
к=1 к=1 т=о З1,...,3р=1 8=1
П {Зп }=0
п = 1
11 а!-). "'1+'
|А1(то)| < I V"а(1)(то) + поРпоТ-, Т = тт - Уп|, ¿1 € N (10)
I к~2 1 - т п>по
tp то р—2
|Ар(то)| < | Е а(р)(то) - Е ( Е Озт3Т+
к=2 31 = 1 т=о
то р
+
а3
*3в3г
32.....3р = 1 8=1
П {3п} = 0
п = 1
1 - т'
+ рпорп^-:, Р = 2, то, ¿р € N.
Здесь {ук}т=1 - собственные числа оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их
величин с учетом кратности, а {шк }т=1 - его ортонормированные собственные функции,
по
соответствующие этим собственным числам, то = Е - кратность собственно-
п=1
то р р т
го числа уп оператора Т, Ар(то) = Е Акр(то), Акр(то) = вр - вр(то), {вк- соб-
к=1
ственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, {вк(то)}т=1 - приближенные значения по Бубнову - Галеркину соответствующих собственных чисел {вк}т=1 оператора Т + Р,
г , ЛГ ЛГ /ТЗ \ |Упо+1 + Упо| Г 8 + 1, 8 = Р,
акт = УкОкт + ^кт = (Ршк, шт^ Рпо = -~-, г = ^ „ = р
2 I 1, о — р.
Доказательство. Если выполнены условия теоремы, то для первых то собственных чисел {вк}т=1 оператора Т + Р справедливы уравнения (1)
то то те
Евр = Е+ Еа(р)(то). (11)
к=1 к=1 к=1
Тогда из (11), (8) и (9) при т = то получим
те то
1.(р)(то) = <?Рдр ^ ,.р =1 =1
Еа ((то) = 5рЛр - Е+ Ар(то), р = 1,то. (12)
Вычисляя следы матриц Лр, р = 1, то
то р
5р Лр = Е 13 = Еакк+ Е П
то р то то р
р= V" тт а3«3г = £ акк+ Па3^г
31,...,3р=18=1 к=1 31,...,3р=1 8=1
П {3п} = 0
п = 1
то р
Е(^ + ^)р + £ п
к=1
31,—,3р=1 8=1
II Ш=0
п = 1
то р
т0 р-1
+ Е стмукРкГ) + Е
к=1 т=0 8=1
II Ы=0
п= 1
равенства (11) запишем в виде
те т0 р-1 т0 р
£ 4Р)(то) = ££ Ст№УРкГ + Е П *и>г + Др(то)
к=1
к=1 т=0
8=1
II Ш=0
п = 1
(13)
р!
где ст =
р т!(р — т)! (12), найдем
число сочетаний из р различных элементов по т. Воспользовавшись
а
(то) + £ ак1) (то) = £ Укк + А1 (то),
а1р)(то)^ акр)(то) = Р^Г^к+
к=2 те
к=1
(Р)
то
к=2 к=1
то р
то р-2
+ £ £ ст^ург + £ П а^ + Ар(то), р = 2^. к=1 т=о ^1,...,^р=1 8=1
II {^п} = 0
Используя явную запись первой поправки теории возмущений а(1)(то), получим
А1(то) = Е ^^о^
к=2
те то р—2
Ар(то) = £а(р)(то) — £ ( £ УР—Г+
к=2 л = 1 т=о
то Р
+ Е ГЬ-) ,Р = 2,то. ^2,...,^Р=1 8=1
II {¿п}=0
п = 1
Тогда
|А1(то)|<|£ а(1)(то) + £ а(1)(то)
„(1)/
к=2
к=*1+1 то Р—2
|Ар(то)| < | £а(р)(то) — £ ( Е С^тУР—Г+
.71 = 1 т=о
к=2
(14)
1
П = 1
то р
32.....3р = 1 8=1
(1 {3п} = 0
п=1
к=1р+1
+ Е 1Ъ«>) + Е акр)(то)
, р = 2, то, ¿р € N.
Применяя оценки поправок теории возмущений, имеем
к=1р+1
Е акр)(то) < рпорпо 1—, р,*р € N.
Т1р+1
1 - Т
(15)
Окончательно из (14) и (15) имеем
|А1(то)|<|Е ак1) (то)
к=2
+ поРпо
11+1
1 - Т
¿1 € N
то р—2
|Ар(то)| < | Е акр)(то) - £ ( £ О™^Тр-;т+
к=2
то р
+
32,...,3р = 1 «=1 П {3п} = 0
п = 1
+рпорп
31 = 1 т=о
Т
по
1 - Т
, р = 2, по, ¿р € N.
□
Замечание 1. Если поправки акр)(то) в оценках (10) не вычислять, то их необходимо ослабить, положив ¿р = 1. В этом случае
|А1(то)| < тоРпо
Т2
1 - Т
то р—2
|Ар(то)|<^( £Срт^т ^3р—т+
31 =1 т=о
то р
+
32,...,3р=1 «=1 (1 {3п}=0
п=1
3 3г
+рпорп
по
1 - Т
р = 2, то.
Известно, что сложности, возникающие в линейной теории устойчивости течения вязкой жидкости, в значительной мере связаны с математической проблемой нахождения собственных чисел несамосопряженных операторов. Кроме того, нахождение приближенных значений первых собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда является трудной задачей вычислительной математики, поэтому проверку нового метода РС приближенного вычисления первых собственных чисел дискретных операторов мы провели на этой задаче.
2
Т
2. Спектральная задача Орра — Зоммерфельда
Рассмотрим плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными параллельными плоскостями, которые могут двигаться параллельно друг другу с постоянными скоростями, а могут быть неподвижными. В последнем случае течение жидкости осуществляется за счет градиента гидродинамического давления. Возьмем декар-тову систему координат с осью Оу, направленной перпендикулярно плоскостям, уравнения которых есть у = 0 и у = 2Ь. Предположим, что наблюдатель движется вместе с нижней плоскостью. Обозначим через И8 скорость верхней плоскости относительно нижней, а через Ис - скорость в середине промежутка между плоскостями (у = Ь), когда последние неподвижны. Введем характерные величины
И* = 2И + Ис, Ь* = 2Ь.
Тогда скорость и(у) основного течения вязкой жидкости в безразмерной форме можно записать в виде [22]
и (у) = 4И у(1 — у) + И* у, 0 < у < 1. В случае двумерного возмущения получаем спектральную задачу Орра - Зоммерфельда
[22]
(Т2 + И — вТо)^ = 0, (16)
р(у) = ^ =0, (17)
й2 ( й2 И \
где То = ——г +а2; Ио = гаЩ ИТо+ ); в = гаЯе - комплексный спектральный параметр; йу2 V йу2 )
а = —--волновое число; А - длина волны возмущения.
А
Введем оператор Со:
Со = Т2 + Ио — вТо, (18)
заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[0,1]. К области определения Вса
оператора Со отнесем все функции р класса С4(0,1) П С 1[0,1], ——4 € Ь2[0,1], удовлетворя-
йу
ющие граничным условиям (18):
Оа0 = {р | р € С4(0,1) р|С 1[0,1], О-Р € Ь2[0,1],
р(у)
йу4
йР(у)
=0
у=о,1
у=о,1 йу
Рассмотрим дифференциальный оператор Т 1, положив
( й2 % 1Р = ( — Ц2 + а2
с областью определения
От01 = {Р | Р € С4(0,1) П С1 [0,1], Ор € Ь2[0,1], Р(у)|у=о1 = 0}
и неоднородную краевую задачу
ToiР = f(У), 0 <y< 1,
р(0) = р(1) = 0. (19)
Теорема 6. Решение задачи (19) в области Dyo единственно и выражается формулой
Р(У) = ^{Sh^J sh[«(1 - Ш (^ -J shKy - Ш (0^}-
loi 1
0
Замечание 2. Так как задача (19) имеет единственное решение в области , то оператор Т01, обратим и его обратный оператор То имеет вид:
^ = ^ о8Ь[а(1 -«)]/„т
У } (20)
- о йЬ[а(у -
Непосредственно применять наш метод к нахождению первых собственных чисел спек/ \
тральной задачи (16), (17) нельзя, так как оператор ио = + не является
ограниченным на ^[0,1]. Но можно построить вспомогательную задачу, у которой множество собственных чисел совпадает с множеством собственных чисел спектральной задачи (16), (17) и к которой применим разработанный метод. Для этого сделаем замену у = Т"1/, тогда
СоУ = (Т02 + и - вТо)Т"1/. Лемма 2. На множестве функций
= {/|/€ С2(0, 1), 0 € 1]: ^ и =°}
выполняются равенства
Т Т 1
ToT"1f = f, (21)
To"1 Tof (y) = f (y) - ^hhar f (1) - ch(°y ) - cth a sh(ay) f (0). (22)
Лемма 3. Так как ТоТс,11/ = / и Тс,11То/ = /, то на множестве оператор Тс,11 является «правым;> обратным оператором для оператора То.
Используя лемму 2, имеем
СоУ = (то2 + ио - вТо) Т-1/ = (то + иоТ-1 - в) /.
Следовательно уравнение (16) можно записать в виде
(То + Ро) / = в/.
Здесь / = То1 у, Ро = шЯ(и + 2 Т011), в = ¿аЛс. При этом граничные условия
Р(У)
n dP(y)
0 удовлетворяются тождественно, а граничные условия
y=o,i dy
мут вид
dT"1f (y)
= 0 при-
y=o,i
dy
= 0. Очевидно, что множества собственных чисел спектральной
y=o,i
y
0
задачи
(Ч + Po) f = ef, f € Dt0 , (23)
( d2 f dT-i f (y) i
где Dt =\ f | f € C2(0,1),-f € L2ÍO, 1], , = ^ и задачи (16), (17) совпадают,
o I dy2 dy «=0,1 J
dy2 dy y=o,i
а их собственные функции связаны соотношениями р = T—1f, и f = T0l p.
Теорема 7. Для нормы оператора Ро, заданного в сепарабельном гильбертовом пространстве Ь2[0,1], справедлива оценка
iPoll < aR
1
o<y<i' a2o<«<i
d2U (y)
max |U(y)| +--2 max —— • (24)
йу2
Замечание 3. Из оценки (23) следует, что оператор Ро является ограниченным в Ь2[0,1]. Найдем собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:
ТоШ = уш, 0 <у< 1, (25)
dT-Xy)
= 0. (26)
y=o,i
dy
Теорема 8. Спектральная .задача (25), (26) имеет множество собственных чисел:
{a2 + ln=i (27)
и множество собственных функций:
г a(cos qn — ch a) , . , ,~n ^ , .
1 C2n -г-:-sm(qny) + cos(qnyW , (28)
I Lqn sh a — a sin qn JJn=i
где числа qn являются корнями трансцендентного уравнения
4ae-aq — 2a ( 1 + e-2a) q cos q + (l — e-2a) (a2 — q2) sin q = 0. (29)
Замечание 4. Множество собственных чисел {^n}^=i задачи (25), (26) не имеет конечных предельных точек. При этом все собственные числа вещественные, неотрицательные и простые.
Замечание 5. Собственные функции задачи (25), (26) всегда можно выбрать вещественными.
Теорема 9. Собственные функции (28) оператора T0, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.
Доказательство. Пусть и ^fc (n = k) собственные числа, а Un(y) и Uk(y) соответствующие им собственные функции задачи (25), (26). Запишем уравнение (25) в виде
d2u(y)
dy2
+ q2u(y) = 0,
где ц2 = у — а2, у > а2, ц - корень трансцендентного уравнения (29). Тогда функции шп(у) и Шк (у) являются решениями соответствующих уравнений
й2Шп(у) . 2 / \ п
— + Цпшп(у) = 0,
dy
¿2Шк (у) ¿у2
+ Т2шк (у) = 0.
Первое из этих уравнений умножим на Шк(у), а второе - на шп(у), затем вычтем почленно одно из другого и проинтегрируем на отрезке [0,1]. В результате получим
¿2Шп(у) . ^2Шк(у) ,2 < \ < \ л
шкЫ —--шп(у) , 2 + (Тп - Т2)шп(у)шк(у) ¿у =
А
¿у
¿у2
■ ¿Шп (у) , л Шк (у)-¿у--Шп(у)
¿у2
¿Шк (у) ¿у
+ (Тп - Т2)Ш
¿Шп (у) , л Шк (у) ^--Шп(у)
¿Шк (у) ¿у ¿у
Используя лемму 2, имеем равенство
+ (<?п - Шп(у)Шк(у)^у =
Шп(у) = То" 1ТоШп(у) + ^^^Шп(1) + сИ(ау) - сШ а вИ(ау) Шп(0).
Тогда
вИ а
.¿Шп(у) . .¿Шк(у)т 1 Шк (у)--1--Шп(у)
-Шп(у)
¿у
¿То"1 ТоШк (у)
¿у
¿То"1 ТоШп(у)
Шк (у)-
¿у
+а
сИ(ау) вИ а
¿у
Шп(1) + вЬ(ау)-
/ сЬ.(ау)
- сШасИ(ау) Шп(0)) - Шп(у)(—т— Шк(1) + вЬ(ау)-
- сЛ а сИ(ау) Шк(0)
вИ а
Шк (у)
¿То"! 1ТоШп(у)
¿у
-Шп(у)
¿То" 1ТоШк (у)
¿у
Так как Шк и Шп являются решением (25), то
^То"1ТоШп(у)
¿у
¿То"1Шп(у)
- ^п ,
У=о,1 ¿у
У=о,1
0.
Поэтому
Значит,
¿Шп (у)
Шк (у) п--Шп(у)
¿Шк (у)
а так как Тп = тр , то
¿у ¿у
1
(<?п - Тк) J Шп(у)Шк(y)¿y = 0: о
1
/ Шп(у)Шк(у)¿у = 0, п = к.
□
1
о
1
1
о
о
1
о
1
о
1
о
1
0
о
Замечание 6. Числа {C2nj^Li, входящие в (28), находятся из условий нормировки
i
/ un(y)uk(y)dy = 5nk (5nk - символ Кронекера) собственных функций задачи (25), (26). о
Теорема 10. Оператор To с областью определения Dt0 является дискретным в L2 [0,1].
Обозначим через Lyo подпространство L2[0,1] элементами которого являются собственные функции спектральной задачи (25), (26).
Замечание 7. Поскольку все собственные числа у задачи (25), (26) положительные, то для всех и € Lyo, Lyo С L2[0,1] имеем
(Tou,u) = у(и,и) > 0.
Следовательно, оператор To положительный на Lyo , а значит он полуограниченный снизу. Разделив уравнение (29) на q2
4ае-а , „-2а> COS q , Л „-2а V«2
- 2а(^ 1 + e + [1 - е J [~2 - !) sin^ = 0
и переходя к пределу при q ^ то, имеем
sin q = 0.
Следовательно, при q >> 1 корни qn трансцендентного уравнения (29) приближенно равны пп, то есть
qn w пп, п >> 1.
Поэтому собственные числа yn спектральной задачи (25), (26) при п >> 1 приближенно равны
yn w а2 + п2п2. (30)
Так как yn w а2 + qn, то
qn+1 + qn + а2
pn = 2 w 2 ' (31)
При п >> 1
pn w п2п2 + а2. (32)
Для нахождения приближенных значений первых то собственных чисел {/3n(tp)}m= 1 задачи (23) воспользуемся приближенным аналогом нелинейной системы то уравнений (1)
то
(tp)J = sp(tp), tp € N, p = 1, то, (33)
fc=i
где
то ¿р
«рСУ = £ + £ а1р)(то). &=1 &=1
Предельные абсолютные погрешности дер, с которыми записаны уравнения в системе (33) оцениваются неравенствами
1 (1) 9*+1
% < £ |а[,1)(то)| + порпо -, £ € N,
1 — q
1 то р—2
„(р)/™ ^ \ ^ ^ \ /-чт.,ттгр—т
^«р < | £ акр)(то) - £ ( £ СV? "Г+
к=2 31=1 т=1
то р . Т1+1 _
+ Е П + рпорпо Т, р = 2, то, ^ € N•
3«3Г
32,-,3р=1 8=1
1 - Т
Скалярные произведения Укт = (РоШк,Шт) для Ук, т € N вычисляются по формулам
1
Укт = гая{ J и(у)Шк(y)шm(y)¿y +
и ''
а2 + т!
^кт
а2+Тт
X ^Шк(1) (а сЛ а Шт(1) + Тт(С2т ^П Тт - С1т сОГ Тт)) - (34)
С2тШт(1) + С2кШт(1) ) + ТтС1тС2к + аС2тС2к а
а г— а
Здесь С2п = Т^г—а—ОаВ^—С1п. Обозначим ^кт = ^кт. Из формул, по которым вычис-а(сог Тп - с— а) гаД
ляются поправки теории возмущений акр)(то), имеем
к то те к
акр)(то) = (-ЯНЕ £ IX
п=131,...,3к = 1 т=1
—р — 1
х гег '
м™ \ к
П (— - —3 т)
т=1
или
где
а кр) (то) = (гад) ^ (то), (35)
то те к р — 1
7(р)(то) = Е ге^ —
^ V 11 к
п=1 31,-,3к = 1 т=1 П (— - —3т)
т=1
Тогда систему уравнений (33) для нахождения приближенных значений первых то собственных чисел {^(¿р)}т=1 спектральной задачи (23) можно записать в виде
то 1 то ¿р к
Е^(*р) = 7Щр[£ —р + Е ОаД ^р)(то)] , р = 1т (36)
к=1 ( ) к=1 к=1
Величины 7(р)(то) не зависят от числа Рейнольдса Д для Уто,к,р € N, поэтому их значения можно использовать при вычислении собственных чисел {сп(¿р) }т=о 1 задачи Орра - Зоммерфельда для различных Д. При этом должно выполняться неравенство
2||Ро|| = 2||Рр|| < .
2 2 < 1.
—то+1 - —то Тто+1 - Тто
По лемме 3, получим
1
2|Ро| < 2аД
тах |и(у)| + тах |и'/(у)| ю<у<1 а2 о<у<1
Тт2 о+1 - Тт2 о Тт2 о+1 - Тт2 о
< 1.
х
о
Отсюда
При mo >> 1, имеем
или
R <
qm 0+1 qm о
2а
R<
max Ky)| + -1 max |u"(y)| -0<y<i а2 o<y<i
n2 (mo + 1)_
max |u(y)| +--2 max |u"(y)|
а
0<y<1
aR
mo > -IT 2
a2 o<y<i'
1
тах |и(у)| + тах . (37)
п2 1-0<у<1 а2 о<у<1 J
Неравенство (37) позволяет оценить количество первых собственных чисел {сга(£р)}т=1 задачи Орра - Зоммерфельда, которые необходимо вычислять, чтобы удовлетворялась система уравнений (33).
3. Численные эксперименты
Нами было показано, что множества собственных чисел спектральных задач (16), (17) и (23) совпадают. Проиллюстрируем это, вычислив несколько первых собственных чисел задач (16), (17) и (23) для некоторых значений числа Рейнольдса Я и а, используя метод Бубнова - Галеркина. Доказательство сходимости метода Бубнова - Галеркина, построенного на системе функций (38), при нахождении собственных чисел задачи Орра - Зоммерфельда (16), (17) впервые было дано в работе Г. И. Петрова [23] и познее приводилось многими авторами в различных формах [24]. Приближенные значения собственных чисел (16), (17) будем обозначать с, а задачи (23) с. Рассмотрим систему функций
Vs(y) = bis sin(qsy) + b2s cos(qsy) + + b^se y, y € [0,1], которую впервые предложил Г. И. Петров [23]. Здесь
a(ch а - cos qs) , , a sin qs + qs(e-a - cos qs),
bis = -:-:-b2s, b3s =--TTf-:-:-Ñ-b2s
(38)
b4s = -
а sin qs - qs sin а a sin qs - qs(ea - cos qs)
2(a sin qs - qs sin a)
2(a sin qs - qs sin a) b2s, qs - корни уравнения (28).
Коэффициенты ^ находятся из условий нормировки. Эти функции являются решениями краевой задачи
ф1У - 2а2ф' + а4у + - а2ф) = 0,
V(y)
dV(y)
y=o,i
dy
0.
y=o,i
Введем две последовательности конечномерных пространств
D¿J С DGo , D^ С DTo
c базисами {vs}s=i и |ws}s=i, соответственно, где
v(y)
y=o,i
dy
d4
DGo = {V | V € C4(0,1) f|Ci[0,1], ^ € L2[0,1],
= dv(y) = 0
y=o,i
/ € ш (у)
¿у2 ' ' ¿у
Ш8 - собственные функции (25), (26). Тогда приближения по Бубнову - Галеркину спектральной задачи Орра - Зоммерфельда (16), (17) ищутся в виде
у(п) = £ ЬгЧ,
а (23) в виде
8=1
п
/(п) = £ а(п)Ш5.
8=1
Причем коэффициенты ь8п) выбираются так, чтобы невязка Соу(п) была ортогональна всем
элементам из а коэффициенты а8 выбираются так, чтобы невязка (То + Ро - в)/(п)
была ортогональна всем элементам из , то есть
(Соу(п),ут) = £Ькп) / {То2[Ук(у)] + гад([и(у) - с ]То[ук(у)] +
к=1 о
+и,,(у)ук(у)) }ут(у^у = 0,
п 1
((То + Ро - в)/(п),Шт) =£ акп у {То[Шк(у)]+ гад([и(у)-
о
-г ]Шк(у) + и,,(у)Т"1[Шк(у)])}шm(y)¿y = 0, т = Отсюда приходим к следующим системам линейных уравнений
1
Еькп^ ^¿кт + [—ки(у)фк(у) + и''(у)ук (у)
к=1
о
XУm(y)¿У - С ¿кт} = 0, п 1
ЕакпН ¡О^кт + / (—ки(у)Шк(у) + и"(у)Т~1[Шк (у)]) х
XШm(y)¿У - С ¿кт} = 0,
где фк = — То(ук), /фк(y)уm(y)¿y = ¿кт, ¿кт - символ Кронекера, {—к- собственные
—к о —к
числа спектральной задачи (25), (26), занумерованные в порядке возрастания их величин. Приравняв к нулю определители этих систем, получим уравнения, определяющие приближенные значения собственных чисел задач (16), (17) и (23)
ёе^Л - с Е) = 0, ( )
ёе^Б - г Е) = 0. (39)
х
Здесь A, B € Cnxn, A = |кт||™т=1, B = ||bfcm||n>m=1,
-kU(y) + U"(y)yfc(y)
a — Ul. л +
afcm — . 7-, Ofcm +
iaR
1 0
bfcm — + J {-fcU(y)wfc(y) + U"(y)T-1 [wfc(y)] }Wm(y)dy,
0
E € Rnxn - единичная матрица.
Используя уравнения (39), были вычислены собственные числа задач (16), (17) и (23), при a — 1 для плоской задачи Куэтта (Us — 0, Uc — 1, табл. 1) и плоской задачи Пуазейля (Us — 1, Uc — 0, табл. 2). Через Пь обозначена размерность пространства D^), а через ne - размерность пространства D^. Для нахождения приближенных значений ТТ и с с необходимой точностью, размерность пространств D^ и D^ все время увеличивалась. Процесс счета продолжался до тех пор, пока max |cj""+1) — cjn)| и max |cjn+1) — cjn)| были больше
заданной точности. При помощи переменной среды Digits увеличивалась длина мантисы для операций с плавающей запятой, которая определялась числами ее,
Таблица 1
R пь £с cj ne ее cj |Cj — Cj 1
1 0, 5000 — 3, 8607i 0, 5000 — 3, 8613i 0,0006
2 t 0, 5000 — 8,1155i 0, 5000 — 8,1085i 0,0070
10 3 28 65 0, 5000 - 15, 7051i 27 45 0, 5000 — 15, 7048i 0,0003
4 0, 5000 - 23, 9062i 0, 5000 — 23, 9054i 0,0008
5 0, 5000 - 35,4450i 0, 5000 — 35,4449i 0,0001
1 0, 3835 — 0,1216i 0, 3922 — 0,1251i 0,0093
2 0, 6166 — 0,1216i 0, 6078 — 0,1258i 0,0098
1000 3 41 65 0, 3380 — 0, 2964i 41 65 0, 3387 — 0, 2941i 0,0024
4 0, 6520 — 0, 2964i 0, 6510 — 0, 2941i 0,0025
5 0, 5000 — 0, 3169i 0, 5000 — 0, 3202i 0,0033
1 0,0981 — 0,0324i 0, 0971 — 0,0326i 0,0010
2 0, 0487 — 0,0337i 0,0491 — 0,0344i 0,0008
40000 3 45 75 0,1030 — 0,0658i 45 75 0,1036 — 0,0652i 0,0009
4 0, 8960 — 0,0658i 0, 8964 — 0,0652i 0,0007
5 0, 8505 — 0,0861i 0, 8511 — 0,0868i 0,0009
Таблица 2
R nb £b Cj' ne ее cj |Cj — cj1
1 0,4103 — 0,4219i 0,4158 — 0,4294i 0, 0093
2 0, 5768 — 0, 8376i 0, 5790 — 0, 8386i 0, 0022
3 0, 6131 — 1, 5562i 0, 6111 — 1, 5517i 0, 0049
100 4 35 45 0, 6324 — 2, 3853i 35 45 0, 6368 — 2, 3821i 0, 0054
5 0, 6467 — 3, 5387i 0, 6408 — 3, 5370i 0, 0061
6 0, 6542 — 4, 7590i 0, 6519 — 4, 7547i 0, 0049
7 0, 6554 — 6, 3047i 0, 6519 — 6, 3041i 0, 0036
1 0,1516 — 0,0097i 0,1517 — 0,0091i 0, 0006
2 0, 8956 — 0,1161i 0, 8882 — 0,1114i 0, 0088
3 0, 8874 — 0,1105i 0, 8889 — 0,1133i 0, 0032
4000 4 61 75 0, 2481 — 0,1514i 61 75 0, 2410 — 0,1564i 0, 0087
5 0, 7943 — 0,1957i 0, 7988 — 0, 2003i 0, 0064
6 0, 7988 — 0, 2004i 0, 8005 — 0, 2051i 0, 0050
7 0,4327 — 0, 2351i 0,4351 — 0, 2293i 0, 0063
Результаты численных расчетов, приведенные в таблицах 1 и 2, показывают, что в рамках заданной точности первые собственные числа спектральных задач (16), (17) и (23) совпадают.
Формула (2) позволяет вычислять к-е поправки теории возмущений а^ (то) любого порядка р € N. По мере возрастания порядка к вычислительная эффективность СЕ алгоритма нахождения поправок теории возмущения а^(то), которую можно определить по
формуле СЕ = — (е - ошибка приближенного решения, а Ь - время исполнения алгорит-еЬ
ма), резко уменьшается. Это связано с тем, что формулы (2) содержат к-е числовые ряды.
те , -
Поэтому для создания эффективных алгоритмов вычисления сумм рядов ^ а)., (то) был
к=1
разработан новый метод (теорема 5), который прост в численной реализации. Рассмотрим два способа вычисления числовых рядов Релея - Шредингера. Первый способ связан с нахождением соответствующей поправки а^ (то) по формуле (2) и получении к-й частичной суммы. Второй способ основан на теореме 5. Сравним эти методы, на примере задачи Орра - Зоммерфельда. Для этого воспользуемся системой уравнений (36).
Обозначим Бр(т0) = -—, ^ (гаЯ) акр)(т0), й1р)(т0) = ^^, а через Бр(т0)
ПаЮ к=1 4 ' гаК
и 5р(т0), приближенные значения Бр(т0), найденые первым методом и вторым соответственно. В таблицах 3 и 4 приведены результаты вычислений Бр(т0) и Бр(т0) для плоского течения Куэтта (V = 1, ис = 0) и плоского течения Пуазейля (V = 0, ис = 1) соответственно при а = 1. Сравнение результатов вычисления частичных сумм числовых рядов
те , -
а), (т0) по двум методикам проведено при небольших числах Рейнольдса К. Это связано
=1
с тем, что при больших К первая методика мало эффективна.
Таблица 3
К то Р Бр(то) Бр(то) |£р(то) - <Бр(то)|
1 2, 5000 - 0,1892г 2, 5000 0,0189
5 2 1, 3982 - 17,4733г 1, 5725 - 17,4060г 0,1868
50 3 -128,4493 - 14,1255г -128, 2074 - 16, 4061г 2, 2935
4 -143,1619 + 992,0460г -158, 2618 + 987,1761г 15, 8658
5 7714,1731 + 1465, 3043г 7700, 5554 + 1492, 7429г 30, 6319
1 2, 00000 + 0, 0287г 2,0000 0,0287
100 4 2 1, 53352 - 5, 2584г 1, 2335 - 5,1584г 0,0355
3 -12, 73298 - 4, 5588г -12, 6330 - 4, 7588г 0,0689
4 -15, 44513 + 31, 8955г -15, 5998 + 31, 8971г 0,1546
Расчеты показывают, что в рамках принятой точности результаты вычислений по двум методикам хорошо согласуются.
Сравним результаты вычисления собственных чисел задачи Орра - Зоммерфельда, найденные методом РС, с полученными ранее. При этом необходимо учитывать, что при рассмотрении плоского течения Куэтта, большинство авторов считали, что профиль скорости основного течения V(у) имеет вид V(у) = у (-1 < у < 1). В качестве масштаба скорости они брали полуразность скоростей пластин, а в качестве масштаба длины - половину зазора между ними. Поэтому в таких задачах число Рейнольдса К* в четыре раза меньше, чем число Рейнольдса К в нашей работе.
Таблица 4
Я то Р Бр (то) Бр(то) |#р(то) - #р(то)|
1 2, 8849 + 0,0198г 2, 8839 0, 0198
5 2 1, 9118 - 21, 4958г 1, 9734 - 21, 5080г 0, 0628
50 3 -162,080 - 21, 5336г -162,0070 - 22, 8619г 1, 3304
4 -215, 2717+ 1256, 3154^ -229,1901 + 1253, 4464^ 14, 2113
5 9718, 7045 + 2172, 2163^ 9777, 6327 + 2196, 4840^ 63, 7296
1 2, 2463 + 0,0093г 2, 2438 0, 0097
100 4 2 1,4680 - 6, 2158г 1, 4448 - 6,1892г 0, 0354
3 -15, 6159 - 6, 2290г -15, 6879 - 6, 3538г 0,1441
4 -22, 2070 + 39, 212Н -22, 0645 + 39, 3310^ 0,1851
В таблице 5 приведены значения мнимых частей е\ и с\ - первых собственных чисел плоской задачи Куэтта, взятые из работы [25] и вычисленные методом РС соответственно при а = 1 и различных числах Рейнольдса Я.
Таблица 5
Я* -1тс* -1тс\ |/тс* - 1тс\ |
1 9, 306 9, 656 0, 350
9, 85 0, 956 1,013 0, 057
49, 9 0, 288 0, 359 0, 071
60, 3 0, 312 0, 319 0, 007
66, 3 0, 384 0, 304 0, 080
103 0, 286 0, 249 0, 037
314 0,184 0,149 0, 035
900 0,124 0,104 0, 020
3140 0, 0786 0, 0753 0, 0033
8950 0, 0542 0, 0560 0, 0018
34000 0, 0340 0, 0378 0, 0038
Из таблицы 5 видно, что в рамках допустимых погрешностей результаты расчетов хорошо согласуются.
Отметим, что первые собственные числа задачи Орра - Зоммерфельда, найденные методом РС, также сравнивались с результатами вычислений методом Бубнова - Галеркина. Во всех случаях результаты хорошо согласуются.
Проведенные численные эксперименты по нахождению первых собственных чисел плоских задач Куэтта и Пуазейля показали высокую эффективность, разработанного нового метода.
Литература
1. Садовничий, В. А. Замечание об одном новом методе вычисления собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский // Тр. семинара И. Г. Петровского. - М., 1994. - Вып. 17. - С. 244 - 248.
2. Кадченко, С. И. Вычисление сумм рядов Рэлея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Журн. числит. математики и мат. физики. -2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494 - 1505.
3. Кадченко, С. И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ. - Челябинск, 2002. - С. 42 - 59.
4. Кинзина, И. И. Нахождение собственных чисел возмущенных дискретных операторов / И. И. Кинзина // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Математика, Механика, Информатика. -2008. - Вып. 10, № 6(107) - С. 34 - 43.
5. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения между параллельными плоскостями при малых числах Рейнольдса /
B. А. Садовничий, В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко // ДАН России.
- 1997. - Т. 335, № 5. - С. 600 - 604.
6. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи Орра - Зоммерфельда с помощью теории регуляризованных следов / В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // Электромагнит. волны и электрон. системы. - 1997. - Т. 2, № 6. - С. 13 - 19.
7. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора / В. В. Дубровский,
C. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // Электромагнит. волны и электрон. системы. - 1998. - Т. 3, № 2. - С. 6 - 8.
8. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко // Дифференц. уравнения. - 1998. - № 1. - С. 50 - 53.
9. Вычисление собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами при небольших числах Рейнольдса / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко // ДАН России.
- 1998. - Т. 363, № 6. - С. 748 - 750.
10. Первые собственные числа задачи Орра - Зоммерфельда из теории гидродинамической устойчивости / В. А. Садовничий, В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко // УМН. - 1998. - Т. 53, в. 4 (322). - С. 138.
11. Дубровский, В. В. Вычисление первых собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В. В. Дубровский // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, № 6. - С. 742 - 746.
12. Кадченко, С. И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра
- Зоммерфельда / С. И. Кадченко // Электромагнит. волны и электрон. системы - 2000.Т. 5,№ 6, - С. 4 - 10.
13. Кадченко, С. И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра
- Зоммерфельда / С. И. Кадченко // Электромагнит. волны и электрон. системы. - 2000.
- Т. 5, № 6. - С. 4 - 10.
14. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда / В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // ДАН России. - 2001. - Т. 378, № 4. - С. 443 - 446.
15. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // ДАН России. - 2001. -Т. 380, № 2. - С. 160 - 163.
16. Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В. В. Дубровский, С. И. Кадченко, В. Ф. Кравченко, В. А. Садовничий // ДАН России. - 2001. - Т. 381, № 3. - С. 320 - 324.
17. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов / С. И. Кадченко // Уравнения соболевского типа: сб. науч. работ. - Челябинск, 2002. - С. 42 - 59.
18. Кадченко, С. И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С. И. Кадченко, И. И. Кинзина // Журн. числит. математики и мат. физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1265 - 1272.
19. Садовничий, В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. - М.: Дрофа, 2004.
20. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. - М.: Гостехтеориздат, 1957.
21. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1988.
22. Линь Цая-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости / Линь Цая-цзяо. - М.: ИЛ, 1958.
23. Петров, Г. И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости / И. Г. Петров // ПММ. - 1940. - Т. 4, вып. 3. - С. 3 - 11.
24. Нейман-Заде, М. И. О вычислении собственных значений задачи Орра - Зоммерфельда / М. И. Нейман-Заде, Ф. Ф. Шкаликов // Фундаментальная и прикладная математика. - 2002. - Т. 8, № 1. - С. 301 - 305.
25. Штерн, В. Н. Устойчивость плоского течения Куэтта: дис. ... канд. физ.-мат. наук / В. Н. Штерн. - Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР, 1970.
Кафедра прикладной математики и вычислительной техники,
Магнитогорский государственный университет
kadchenko@masu.ru
Поступила в 'редакцию 10 сентября 2009 г.
