Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.642.8

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ПОРОЖДЕННЫХ ВОЗМУЩЕННЫМИ САМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ, МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ

© 2013 С.И. Кадченко1

В статье разработан новый метод решения обратных задач порожденных возмущенными самосопряженными операторами по их спектральным характеристикам. Метод был проверен на обратных задачах для операторов типа Штурма — Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали вычислительную эффективность метода.

Ключевые слова: обратная спектральная задача, теория возмущений, самосопряженные операторы, собственные числа, собственные функции, некорректно поставленные задачи.

Введение

В работах [1-6] был разработан численный метод вычисления собственных значений полуограниченных снизу дискретных операторов, который, по предложению автора статьи, был назван методом регуляризованных следов (РС). На основе построенной теории в статье разработан новый метод, позволяющий решать обратные спектральные задачи, порожденные дискретными полуограниченными снизу операторами заданными в гильбертовом пространстве.

Рассмотрим задачу нахождения собственных значений оператора Т + Р

где Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, Р — ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что известны собственные значения {^п}^=1 и ортонормированные собственные функции {^п}^=1 оператора Т, которые занумерованы в порядке возрастания собственных значений /лп по величине с учетом кратности. Обозначим через ип кратность собственного значения цп, а количество всех неравных друг другу собственных значений («„, которые лежат внутри окружности ТПо радиуса рПо = Мг>0+12+Мг>0 с центром в начале координат комплексной плоскости, через по. Пусть {вп}^==1 — собственные значения оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для всех п € N

1 Кадченко Сергей Иванович (kadchenko@masu.ru), кафедра уравнений математической физики Южно-Уральского государственного университета (Национального исследовательского университета), 454080, Российская Федерация, г. Челябинск, пр. Ленина, 76.

По

выполняются неравенства ап = ,——г < 1 тогда первые то = У' ип соб-

\№п+ип №п\

П=1

ственные значения {вп}т= 1 оператора Т + Р являются решениями системы mо нелинейных уравнений вида [8]

то то

^/% = ^РЇ + ^а(к\то)’ р= ^то- (!)

к = 1 к=1 к = 1

Здесь а^(т0) = 1 рКц(Т)

к

— &-е поправки теории возмуще-

ний оператора Т + Р целого порядка р, Дм (Т) — резольвента оператора Т.

Известно, что в этом случае контур ТПо содержит одинаковое количество собственных значений операторов Т и Т + Р [8].

Система уравнений (1) лежит в основе численного метода РС, позволяющего находить собственные значения возмущенных самосопряженных операторов в том случае, когда самосопряженные операторы имеют собственные значения с произвольной кратностью.

В работе [5] показано, что если Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р — ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, при этом система собственных функций {^к}'^°=і оператора Т является базисом Н, и существует по Є N такое, что для всех п Є N выполняются неравенства дп < 1, тогда

ж то

= БрАр - ^2^1 + 8р(т0), 1,т0) (2)

к=1 к=1

Іі

7і1 + 1

1Мто)1 < \ ^ ак (т0)

к=2

ір то р—2

7

+ П0р„0--------, ? = тахдп, іі Є Ж,

1 — д п>1

|5р(то)| < \ £ 4Р) (то) — £ ( Е СГК К-Г+

к=2 Кі = 1 т=0

Р N д‘р+1 ______

+ X/ Па*>) + Рпо/9п0у^> Р = 2,т0, ір Є Ж.

в = 1

К2^--Кр^, П {Кп}=0

то ^ ^

Здесь ёр(то) = [вр — вк(то)\, {вк(то)}т=1 — приближенные значения по Буб-

к=1

нову — Галеркину соответствующих собственных значений {вк}т=1 оператора Т + Р? А — Накт||кт =1? акт — ^к ёкт + Vкт? ёкт символ Кронекера, Vкт —

(1-> N ( 5 +1, 5 — р,

— (Ршк,&т), г — < _ След р-й степени матрицы А вычисляется по

[ 1, 5 — р-

формуле

то Р

БрАР — ^2 ГЪ= Зг ■ (3)

31,32,---,3р=1 я = 1

Формулы (3) были подобраны во время численных расчетов величин SpAp и многократно проверялась при 1 ^ p ^ 35.

т

т по

1. Формулы вычисления собственных значений методом РС

В данном разделе получим простые формулы, позволяющие с высокой вычислительной эффективностью находить собственные значения дискретного полуо-граниченного снизу оператора вида Т + Р, если собственные значения и собственные функции оператора Т известны.

Теорема 1 Пусть Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р — ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для всех п Є N выполняются неравенства цп < 1 и собственные функции {^п}П?=1 оператора Т являются базисом в Н, то собственные значения {вп}'т=01 оператора Т + Р вычисляются по формулам:

/3„ = рп + {Рип, ш„) + 61(п), п = 1, то0, (4)

где |Мп)| < (2п - 1 )рпГ^, Мп) = б^п) -61(п-1).

Доказательство. Из системы уравнений (1) для то = п и то = п — 1 при р = 1 получим

П П Ж

= Ш рк + ^а(1)(п) (5)

41}

к = 1 к=1 к = 1

г—1 п— 1 оо

Х^к = Е Рк +Е ак (п — 1)' (6)

к = 1 к = 1 к = 1

Вычитая из уравнения (5) уравнение (6), найдем

ж

Ри = Ри + ^[«(1)(п) — а(1)(п — 1)]- (7)

к=1

Используя (2), имеем

Ж

Х^а(1) (п) — а(1) (п — 1)] = £рЛ(п) — £рЛ(п — 1) — ри + Ып). (8)

к = 1

Из равенства (3) получаем

БрЛ(п) — БрЛ(п — 1) = ри + (Рип, Ши)- (9)

Подставляя равенства (8) и (9) в (7), найдем формулы (4).

Используя соотношения (2), найдем оценки погрешностей (51 (п) вычисления собственных значений оператора Т + Р

|<*1(п)| = |<*1 (п) - 51 (п - 1)1 < 1^1 (п)| + |<*1 (п - 1)1 <

<

2 2 Ч Ч

прп + (п- 1)рп-1 ---------- < (2п - 1 )рп

1 — д " ""1 — д

Используя формулы (4), построим численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами.

2. Решение обратных задач методом РС

Рассмотрим задачу восстановления потенциала Р по собственным значениям {рп}™=1 и собственным функциям {<^п}^=1 оператора Т и собственным значениям

{вп}^=1 оператора T + P в гильбертовом пространстве L2(a,b), где (a,b) — интервал изменения переменной s. Пусть T — дискретный полуограниченный снизу оператор, а P — ограниченный оператор умножения на функцию p(s). Если для всех n € N выполняются неравенства qn < 1 и собственные функции {шп}^=1 оператора T является базисом в L2(a,b), то согласно теореме 1 собственные значения {вп}т= i оператора T + P вычисляются по формулам:

гь _ _____

Рп = Mn + Lvl(s)p(s)ds + 5i{n), n = 1, m0.

J a

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода

, ь

Ap = K(x,s)p(s)ds = f (x), c ^ x ^ d, (10)

a

где функции f(x) и K(x, s) такие, что

/(in) = f3„ — — <5i(n), K(xn, s) = u>l(s), c^xn^d, n=l,m0.

Пусть ядро интегрального уравнения (10) K(x, s) непрерывно и замкнуто в квадрате П= [a,b] х [c,d], а функции p(s) € W2i[a,b] и f(x) € L2[c,d].

Задача решения интегрального уравнения фредгольма первого рода (10) является некорректно поставленной. Ее приближенное решение может быть найдено с

помощью метода регуляризации Н.А. Тихонова [9-10]. Численное решение уравнения (10) будет определять значения функции p(s) в узловых точках Sj, г = 1,/,

a = si < s2 < ... < si = b. Число узловых точек I можно выбрать достаточно

большим, чтобы получить хорошую точность при интерполяции функции p(s).

3. Численный эксперимент

Проиллюстрируем разработанный метод на следующей задачи Штурма — Ли-увилля

{—u" + p(s) u = в u, a < s < b;

cosa u'(a) + sina u(a) = 0; (11)

cosy u'(b) + sinj u(b) = 0, a,Y € R.

Рассмотрим оператор Tw = —w", причем функция ш удовлетворяет граничным условиям (11). Нетрудно показать, что оператор T самосопряженный и его собственные числа являются решением трансцендентного уравнения

[sin a sin (yfjia) + y/Ji cos a cos (yfjia)] х

х [sin7Cos(v/^6) — y//i'cos7sin(v/M^)]+

+ [VMCOsasin(v^a) — sinacos(A//Ia)]x

x [sin7 sin(v//Ib) + cos 7 cos (,//16)] =0,

а собственные функции имеют вид:

uin(s) = C„{[sinQ!sin(v//^a) + ^cos a cos(^a)] cos(^s)+

+ [%/Мп cos a sin(л/Мпа) — sin a COS(\/Thia)] sin(A//^ns)}j n = 1, OO.

Здесь {^n}^Li — собственные значения оператора T. Постоянные Cn находятся из условия нормировки.

При проведении численных экспериментов вначале, задавая функцию p(s), вычислялись собственные значения {вп}гт=01 задачи Штурма — Лиувилля (11) по

формулам (4) (#1 (п) = 0, п = 1,шо) и с помощью метода Бубнова — Галеркина. Собственные значения, найденные по формулам (4) в табл. 1, обозначены [Зп, а методом Бубнова — Галеркина — (Зп. Один из результатов приближенных расчетов собственных значений {вп}^ 1 задачи (11) приведен в табл. 1. Расчет был выполнен при то = 31, а = 0, Ь =1, с = Ц1, ! = 1лто, а = п/8, 7 = п/2, р(в) = = (1 + i)s.

Результаты расчетов показывают, что найденные собственные значения задачи (11) по формулам (4) и с помощью метода Бубнова — Галеркина хорошо согласуются. Надо отметить, что _по мере возрастания номера п собственного значения абсолютная погрешность \(Зп — [Зп\ уменьшается.

Кроме того, время, затраченное персональным компьютером при вычислении первых собственных значений оператора X + Г методом РС, меньше, чем при вычислении методом Бубнова — Галеркина. При этом чем больше номер вычисляемого собственного значения, тем больше разница во времени вычислений. Это связано с тем, что для вычисления собственных значений {вп}^ 1 оператора X + Р методом Бубнова — Галеркина надо находить собственные значения матрицы порядка п х п, а для их вычисления методом РС используются простые для вычислений формулы (4).

Таблица 1

п /Зп Яг | /Зп — /Зп |

1 1, 843707 + 0, 278536г 1,843669 +0,274578г 0 00395801

2 21,858542 + 0,486138г 21,858578 + 0,488020г 0 00188181

3 61,349731 + 0,495168г 61,349733 + 0,495847г 0 00067940

4 199, 528965 + 0, 498527г 199, 528965 +0,498736г 0 00020897

5 120, 570749 + 0, 497556г 120, 570749 +0,497902г 0 00034587

6 298, 225704 +0,499015г 298, 225704 +0,499155г 0 00013979

7 416, 661356 +0,499296г 416, 661356 +0,499396г 0 00010004

8 554,836068 + 0,499471г 554, 836068 +0,499547г 0 00007512

9 712, 749905 +0,499589г 712, 749905 +0,499647г 0 00005847

10 890,402901 + 0,499671г 890,402901 + 0,499718г 0 00004680

11 1087 795074 + 0 499731г 1087 795074 + 0 499769г 0 00003831

12 1304 926435 + 0 499775г 1304 926435 + 0 499807г 0 00003193

13 1541 796990 + 0 499810г 1541 796990 + 0 499837г 0 00002703

14 1798 406743 + 0 499837г 1798 406743 + 0 499860г 0 00002317

15 2074 755697 + 0 499859г 2074 755697 + 0 499879г 0 00002008

16 2370 843854 + 0 499876г 2370 843854 + 0 499894г 0 00001758

17 2686 671216 + 0 499891г 2686 671216+0 499906г 0 00001551

18 3022 237783 + 0 499903г 3022 237783 + 0 499917г 0 00001379

19 3377 543556 + 0 499913г 3377 543556 + 0 499926г 0 00001234

20 3752 588535 + 0 499922г 3752 588535 + 0 499933г 0 00001110

21 4147 372722 + 0 499929г 4147 372722 + 0 499939г 0 00001005

22 4561 896116 + 0 499936г 4561 896116+0 499945г 0 00001005

23 4996 158717+0 499941г 4996 158717+0 499950г 0 00000834

24 5450 160527 + 0 499946г 5450 160527+0 499954г 0 00000765

25 5923 901544+0 499951г 5923 901544+0 499958г 0 00000705

26 6417 381770+0 499954г 6417 381770+0 499961г 0 00000651

27 6930 601203 + 0 499958г 6930 601203+0 499964г 0 00000607

28 7463 559845 + 0 499961г 7463 559845 + 0 499966г 0 00000564

29 8016 257696 + 0 499963г 8016 257696 + 0 499969г 0 00000582

30 8588 694754 + 0 499966г 8588 694754 + 0 499971г 0 00000546

31 9180 871022 + 0 499968г 9180 871022 + 0 500107г 0 00013933

Изменим правую часть уравнения (10) и восстановим приближенные значения функции р(в) в узловых точках {вп}™=01- В табл. 2 приведен пример расчетов при 1{х„) = рп - цп - 0, 2 - 0,1г, п= 1, то0.

Таблица 2

п P{sn) 7(>п)

1 0, 0000 -0, 382389 - 0, 282987г 0,013575

2 0,0333 -0, 334504 - 0, 235054г 0, 000870

3 0,0667 -0,273961 - 0, 174422г 0,001278

4 0, 1000 -0, 207430 - 0, 107782г 0,002520

5 0, 1333 -0, 207430 - 0, 107782г 0,001078

6 0, 1667 -0,068987 + 0,030896г 0, 000322

7 0, 2000 0,000016 + 0, 100016г 0, 000587

8 0, 2333 0,067325 + 0, 167436г 0,000249

9 0, 2667 0,131982 +0,232196г 0,000212

10 0, 3000 0,193169 +0,293474г 0,000273

11 0, 3333 0, 250220 + 0, 350603г 0,000042

12 0, 3667 0,302565 +0,403011г 0,000026

13 0, 4000 0,349810 +0,450300г 0, 000048

14 0,4333 0,391633 +0,492152г 0, 000093

15 0,4667 0,427903 +0,528431г 0,000148

16 0, 5000 0, 458548 + 0, 559068г 0,000175

17 0, 5333 0,483687 +0,584180г 0,000200

18 0, 5667 0, 503493 + 0, 603942г 0,000184

19 0, 6000 0,518318 +0,618705г 0,000217

20 0, 6333 0, 528009 + 0, 627446г 0,000250

21 0, 6667 0, 528280 + 0, 627826г 0,000244

22 0, 7000 0, 528563 + 0, 628875г 0,000245

23 0, 7333 0, 530344 + 0, 630007г 0, 000265

24 0, 7667 0,530358 +0,629693г 0,000258

25 0, 8000 0,533227 +0,633008г 0,000251

26 0,8333 0,534701 + 0,633834г 0,000280

27 0,8667 0,534791 + 0,635014г 0,000271

28 0, 9000 0,535295 +0,634538г 0, 000256

29 0, 9333 0,536001 + 0,635901г 0,000277

30 0, 9667 0,537608 +0,637731г 0,000283

31 1, 0000 0, 537750 + 0, 637764г 0,000287

Здесь р(зп) — приближенное значение функции р(в) в узловых точках зп.

Величины 7п = \/(хп) — ^ К(хп, з)р>(з)с1з\ определяют поточечную абсолютную погрешность решения. Невязка, найденная в узловых точках вп приближенного решения р>(зп), равна \\^рГ— /\\ь2 = 0,003011. Параметр регуляризации а = 0,000815 при численном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода (10) методом регуляризации Тихонова вычислялся с помощью метода невязки.

Заключение

В работе разработан численный метод решения обратных спектральных задач для возмущенных самосопряженных операторов. В среде Maple написан пакет программ, позволяющий восстанавливать потенциал p(x) по спектральным характеристикам оператора A, порожденного дифференциальным выражением l[y] = = —y" + p(x) в гильбертовом пространстве L2(a,b). Метод достаточно прост в применении. Им с успехом могут пользоваться исследователи, не имеющие достаточных знаний в области спектрального анализа.

Литература

[1] Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.В. Дубровский [и др.] // ДАН России. 2001. Т. 380. № 2. С. 160-163.

[2] Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра—Зомерфельда / В.В. Дубровский [и др.] // ДАН России. 2001. Т. 378. № 4. С. 443-446.

[3] Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Садовничий [и др.] // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 6. С. 742-746.

[4] Кадченко С.И. Вычисление сумм рядов Релея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1494-1505.

[5] Кадченко С.И. Метод регуляризованных следов // Вестник Юж-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2009. № 37(170). Вып. 4. С. 4-23.

[6] Кадченко С.И., Рязанова Л.С. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов // Вестник Юж-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2011. № 17(234). Вып. 8. С. 46-51.

[7] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. 659 с.

[8] Садовничий В.А. Теория операторов: учеб. для вузов: 3-е изд., стер. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.

[9] Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 501-505.

[10] Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы Киев: Наукова думка, 1986. 542 с.

Поступила в редакцию 3/ VI/2013;

в окончательном варианте — 3/ VI/2013.

NUMERICAL METHOD FOR THE SOLUTION OF INVERSE PROBLEMS GENERATED BY PERTURBATIONS OF SELF-ADJOINT OPERATORS BY METHOD OF REGULARIZED TRACES

© 2013 S.I. Kadchenko2

In the article a new method for the solution of inverse problems generated by perturbations of self-adjoint operators on their spectral characteristics is developed. The method was tested on inverse problems for Sturm-Liouville problems. The results of numerous calculations showed the computational efficiency of the method.

Key words: inverse spectral problem, perturbation theory, self-adjoint operators, eigen values, eigen functions, incorrectly formulated problems.

Paper received 3/ VI/2013. Paper accepted 3/ VI/2013.

2Kadchenko Sergey Ivanovich (kadchenkoamasu.ru), the Dept. of Equations of Mathematical Physics, Southern Ural State University, Chelyabinsk, 454080, Russian Federation.