CC BY
33
УДК 519.642.8
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, ПОРОЖДЕННЫХ ВОЗМУЩЕННЫМИ САМОСОПРЯЖЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ, МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ СЛЕДОВ
© 2013 С.И. Кадченко1
В статье разработан новый метод решения обратных задач порожденных возмущенными самосопряженными операторами по их спектральным характеристикам. Метод был проверен на обратных задачах для операторов типа Штурма — Лиувилля. Результаты многочисленных расчетов показали вычислительную эффективность метода.
Ключевые слова: обратная спектральная задача, теория возмущений, самосопряженные операторы, собственные числа, собственные функции, некорректно поставленные задачи.
Введение
В работах [1-6] был разработан численный метод вычисления собственных значений полуограниченных снизу дискретных операторов, который, по предложению автора статьи, был назван методом регуляризованных следов (РС). На основе построенной теории в статье разработан новый метод, позволяющий решать обратные спектральные задачи, порожденные дискретными полуограниченными снизу операторами заданными в гильбертовом пространстве.
Рассмотрим задачу нахождения собственных значений оператора Т + Р
где Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, Р — ограниченный оператор, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что известны собственные значения {^п}^=1 и ортонормированные собственные функции {^п}^=1 оператора Т, которые занумерованы в порядке возрастания собственных значений /лп по величине с учетом кратности. Обозначим через ип кратность собственного значения цп, а количество всех неравных друг другу собственных значений («„, которые лежат внутри окружности ТПо радиуса рПо = Мг>0+12+Мг>0 с центром в начале координат комплексной плоскости, через по. Пусть {вп}^==1 — собственные значения оператора Т+Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для всех п € N
1 Кадченко Сергей Иванович ([email protected]), кафедра уравнений математической физики Южно-Уральского государственного университета (Национального исследовательского университета), 454080, Российская Федерация, г. Челябинск, пр. Ленина, 76.
По
выполняются неравенства ап = ,——г < 1 тогда первые то = У' ип соб-
\№п+ип №п\
П=1
ственные значения {вп}т= 1 оператора Т + Р являются решениями системы mо нелинейных уравнений вида [8]
то то
^/% = ^РЇ + ^а(к\то)’ р= ^то- (!)
к = 1 к=1 к = 1
Здесь а^(т0) = 1 рКц(Т)
к
— &-е поправки теории возмуще-
ний оператора Т + Р целого порядка р, Дм (Т) — резольвента оператора Т.
Известно, что в этом случае контур ТПо содержит одинаковое количество собственных значений операторов Т и Т + Р [8].
Система уравнений (1) лежит в основе численного метода РС, позволяющего находить собственные значения возмущенных самосопряженных операторов в том случае, когда самосопряженные операторы имеют собственные значения с произвольной кратностью.
В работе [5] показано, что если Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р — ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, при этом система собственных функций {^к}'^°=і оператора Т является базисом Н, и существует по Є N такое, что для всех п Є N выполняются неравенства дп < 1, тогда
ж то
= БрАр - ^2^1 + 8р(т0), 1,т0) (2)
к=1 к=1
Іі
7і1 + 1
1Мто)1 < \ ^ ак (т0)
к=2
ір то р—2
7
+ П0р„0--------, ? = тахдп, іі Є Ж,
1 — д п>1
|5р(то)| < \ £ 4Р) (то) — £ ( Е СГК К-Г+
к=2 Кі = 1 т=0
Р N д‘р+1 ______
+ X/ Па*>) + Рпо/9п0у^> Р = 2,т0, ір Є Ж.
в = 1
К2^--Кр^, П {Кп}=0
то ^ ^
Здесь ёр(то) = [вр — вк(то)\, {вк(то)}т=1 — приближенные значения по Буб-
к=1
нову — Галеркину соответствующих собственных значений {вк}т=1 оператора Т + Р? А — Накт||кт =1? акт — ^к ёкт + Vкт? ёкт символ Кронекера, Vкт —
(1-> N ( 5 +1, 5 — р,
— (Ршк,&т), г — < _ След р-й степени матрицы А вычисляется по
[ 1, 5 — р-
формуле
то Р
БрАР — ^2 ГЪ= Зг ■ (3)
31,32,---,3р=1 я = 1
Формулы (3) были подобраны во время численных расчетов величин SpAp и многократно проверялась при 1 ^ p ^ 35.
т
т по
1. Формулы вычисления собственных значений методом РС
В данном разделе получим простые формулы, позволяющие с высокой вычислительной эффективностью находить собственные значения дискретного полуо-граниченного снизу оператора вида Т + Р, если собственные значения и собственные функции оператора Т известны.
Теорема 1 Пусть Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р — ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для всех п Є N выполняются неравенства цп < 1 и собственные функции {^п}П?=1 оператора Т являются базисом в Н, то собственные значения {вп}'т=01 оператора Т + Р вычисляются по формулам:
/3„ = рп + {Рип, ш„) + 61(п), п = 1, то0, (4)
где |Мп)| < (2п - 1 )рпГ^, Мп) = б^п) -61(п-1).
Доказательство. Из системы уравнений (1) для то = п и то = п — 1 при р = 1 получим
П П Ж
= Ш рк + ^а(1)(п) (5)
41}
к = 1 к=1 к = 1
г—1 п— 1 оо
Х^к = Е Рк +Е ак (п — 1)' (6)
к = 1 к = 1 к = 1
Вычитая из уравнения (5) уравнение (6), найдем
ж
Ри = Ри + ^[«(1)(п) — а(1)(п — 1)]- (7)
к=1
Используя (2), имеем
Ж
Х^а(1) (п) — а(1) (п — 1)] = £рЛ(п) — £рЛ(п — 1) — ри + Ып). (8)
к = 1
Из равенства (3) получаем
БрЛ(п) — БрЛ(п — 1) = ри + (Рип, Ши)- (9)
Подставляя равенства (8) и (9) в (7), найдем формулы (4).
Используя соотношения (2), найдем оценки погрешностей (51 (п) вычисления собственных значений оператора Т + Р
|<*1(п)| = |<*1 (п) - 51 (п - 1)1 < 1^1 (п)| + |<*1 (п - 1)1 <
<
2 2 Ч Ч
прп + (п- 1)рп-1 ---------- < (2п - 1 )рп
1 — д " ""1 — д
Используя формулы (4), построим численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами.
2. Решение обратных задач методом РС
Рассмотрим задачу восстановления потенциала Р по собственным значениям {рп}™=1 и собственным функциям {<^п}^=1 оператора Т и собственным значениям
{вп}^=1 оператора T + P в гильбертовом пространстве L2(a,b), где (a,b) — интервал изменения переменной s. Пусть T — дискретный полуограниченный снизу оператор, а P — ограниченный оператор умножения на функцию p(s). Если для всех n € N выполняются неравенства qn < 1 и собственные функции {шп}^=1 оператора T является базисом в L2(a,b), то согласно теореме 1 собственные значения {вп}т= i оператора T + P вычисляются по формулам:
гь _ _____
Рп = Mn + Lvl(s)p(s)ds + 5i{n), n = 1, m0.
J a
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма первого рода
, ь
Ap = K(x,s)p(s)ds = f (x), c ^ x ^ d, (10)
a
где функции f(x) и K(x, s) такие, что
/(in) = f3„ — — <5i(n), K(xn, s) = u>l(s), c^xn^d, n=l,m0.
Пусть ядро интегрального уравнения (10) K(x, s) непрерывно и замкнуто в квадрате П= [a,b] х [c,d], а функции p(s) € W2i[a,b] и f(x) € L2[c,d].
Задача решения интегрального уравнения фредгольма первого рода (10) является некорректно поставленной. Ее приближенное решение может быть найдено с
помощью метода регуляризации Н.А. Тихонова [9-10]. Численное решение уравнения (10) будет определять значения функции p(s) в узловых точках Sj, г = 1,/,
a = si < s2 < ... < si = b. Число узловых точек I можно выбрать достаточно
большим, чтобы получить хорошую точность при интерполяции функции p(s).
3. Численный эксперимент
Проиллюстрируем разработанный метод на следующей задачи Штурма — Ли-увилля
{—u" + p(s) u = в u, a < s < b;
cosa u'(a) + sina u(a) = 0; (11)
cosy u'(b) + sinj u(b) = 0, a,Y € R.
Рассмотрим оператор Tw = —w", причем функция ш удовлетворяет граничным условиям (11). Нетрудно показать, что оператор T самосопряженный и его собственные числа являются решением трансцендентного уравнения
[sin a sin (yfjia) + y/Ji cos a cos (yfjia)] х
х [sin7Cos(v/^6) — y//i'cos7sin(v/M^)]+
+ [VMCOsasin(v^a) — sinacos(A//Ia)]x
x [sin7 sin(v//Ib) + cos 7 cos (,//16)] =0,
а собственные функции имеют вид:
uin(s) = C„{[sinQ!sin(v//^a) + ^cos a cos(^a)] cos(^s)+
+ [%/Мп cos a sin(л/Мпа) — sin a COS(\/Thia)] sin(A//^ns)}j n = 1, OO.
Здесь {^n}^Li — собственные значения оператора T. Постоянные Cn находятся из условия нормировки.
При проведении численных экспериментов вначале, задавая функцию p(s), вычислялись собственные значения {вп}гт=01 задачи Штурма — Лиувилля (11) по
формулам (4) (#1 (п) = 0, п = 1,шо) и с помощью метода Бубнова — Галеркина. Собственные значения, найденные по формулам (4) в табл. 1, обозначены [Зп, а методом Бубнова — Галеркина — (Зп. Один из результатов приближенных расчетов собственных значений {вп}^ 1 задачи (11) приведен в табл. 1. Расчет был выполнен при то = 31, а = 0, Ь =1, с = Ц1, ! = 1лто, а = п/8, 7 = п/2, р(в) = = (1 + i)s.
Результаты расчетов показывают, что найденные собственные значения задачи (11) по формулам (4) и с помощью метода Бубнова — Галеркина хорошо согласуются. Надо отметить, что _по мере возрастания номера п собственного значения абсолютная погрешность \(Зп — [Зп\ уменьшается.
Кроме того, время, затраченное персональным компьютером при вычислении первых собственных значений оператора X + Г методом РС, меньше, чем при вычислении методом Бубнова — Галеркина. При этом чем больше номер вычисляемого собственного значения, тем больше разница во времени вычислений. Это связано с тем, что для вычисления собственных значений {вп}^ 1 оператора X + Р методом Бубнова — Галеркина надо находить собственные значения матрицы порядка п х п, а для их вычисления методом РС используются простые для вычислений формулы (4).
Таблица 1
п /Зп Яг | /Зп — /Зп |
1 1, 843707 + 0, 278536г 1,843669 +0,274578г 0 00395801
2 21,858542 + 0,486138г 21,858578 + 0,488020г 0 00188181
3 61,349731 + 0,495168г 61,349733 + 0,495847г 0 00067940
4 199, 528965 + 0, 498527г 199, 528965 +0,498736г 0 00020897
5 120, 570749 + 0, 497556г 120, 570749 +0,497902г 0 00034587
6 298, 225704 +0,499015г 298, 225704 +0,499155г 0 00013979
7 416, 661356 +0,499296г 416, 661356 +0,499396г 0 00010004
8 554,836068 + 0,499471г 554, 836068 +0,499547г 0 00007512
9 712, 749905 +0,499589г 712, 749905 +0,499647г 0 00005847
10 890,402901 + 0,499671г 890,402901 + 0,499718г 0 00004680
11 1087 795074 + 0 499731г 1087 795074 + 0 499769г 0 00003831
12 1304 926435 + 0 499775г 1304 926435 + 0 499807г 0 00003193
13 1541 796990 + 0 499810г 1541 796990 + 0 499837г 0 00002703
14 1798 406743 + 0 499837г 1798 406743 + 0 499860г 0 00002317
15 2074 755697 + 0 499859г 2074 755697 + 0 499879г 0 00002008
16 2370 843854 + 0 499876г 2370 843854 + 0 499894г 0 00001758
17 2686 671216 + 0 499891г 2686 671216+0 499906г 0 00001551
18 3022 237783 + 0 499903г 3022 237783 + 0 499917г 0 00001379
19 3377 543556 + 0 499913г 3377 543556 + 0 499926г 0 00001234
20 3752 588535 + 0 499922г 3752 588535 + 0 499933г 0 00001110
21 4147 372722 + 0 499929г 4147 372722 + 0 499939г 0 00001005
22 4561 896116 + 0 499936г 4561 896116+0 499945г 0 00001005
23 4996 158717+0 499941г 4996 158717+0 499950г 0 00000834
24 5450 160527 + 0 499946г 5450 160527+0 499954г 0 00000765
25 5923 901544+0 499951г 5923 901544+0 499958г 0 00000705
26 6417 381770+0 499954г 6417 381770+0 499961г 0 00000651
27 6930 601203 + 0 499958г 6930 601203+0 499964г 0 00000607
28 7463 559845 + 0 499961г 7463 559845 + 0 499966г 0 00000564
29 8016 257696 + 0 499963г 8016 257696 + 0 499969г 0 00000582
30 8588 694754 + 0 499966г 8588 694754 + 0 499971г 0 00000546
31 9180 871022 + 0 499968г 9180 871022 + 0 500107г 0 00013933
Изменим правую часть уравнения (10) и восстановим приближенные значения функции р(в) в узловых точках {вп}™=01- В табл. 2 приведен пример расчетов при 1{х„) = рп - цп - 0, 2 - 0,1г, п= 1, то0.
Таблица 2
п P{sn) 7(>п)
1 0, 0000 -0, 382389 - 0, 282987г 0,013575
2 0,0333 -0, 334504 - 0, 235054г 0, 000870
3 0,0667 -0,273961 - 0, 174422г 0,001278
4 0, 1000 -0, 207430 - 0, 107782г 0,002520
5 0, 1333 -0, 207430 - 0, 107782г 0,001078
6 0, 1667 -0,068987 + 0,030896г 0, 000322
7 0, 2000 0,000016 + 0, 100016г 0, 000587
8 0, 2333 0,067325 + 0, 167436г 0,000249
9 0, 2667 0,131982 +0,232196г 0,000212
10 0, 3000 0,193169 +0,293474г 0,000273
11 0, 3333 0, 250220 + 0, 350603г 0,000042
12 0, 3667 0,302565 +0,403011г 0,000026
13 0, 4000 0,349810 +0,450300г 0, 000048
14 0,4333 0,391633 +0,492152г 0, 000093
15 0,4667 0,427903 +0,528431г 0,000148
16 0, 5000 0, 458548 + 0, 559068г 0,000175
17 0, 5333 0,483687 +0,584180г 0,000200
18 0, 5667 0, 503493 + 0, 603942г 0,000184
19 0, 6000 0,518318 +0,618705г 0,000217
20 0, 6333 0, 528009 + 0, 627446г 0,000250
21 0, 6667 0, 528280 + 0, 627826г 0,000244
22 0, 7000 0, 528563 + 0, 628875г 0,000245
23 0, 7333 0, 530344 + 0, 630007г 0, 000265
24 0, 7667 0,530358 +0,629693г 0,000258
25 0, 8000 0,533227 +0,633008г 0,000251
26 0,8333 0,534701 + 0,633834г 0,000280
27 0,8667 0,534791 + 0,635014г 0,000271
28 0, 9000 0,535295 +0,634538г 0, 000256
29 0, 9333 0,536001 + 0,635901г 0,000277
30 0, 9667 0,537608 +0,637731г 0,000283
31 1, 0000 0, 537750 + 0, 637764г 0,000287
Здесь р(зп) — приближенное значение функции р(в) в узловых точках зп.
Величины 7п = \/(хп) — ^ К(хп, з)р>(з)с1з\ определяют поточечную абсолютную погрешность решения. Невязка, найденная в узловых точках вп приближенного решения р>(зп), равна \\^рГ— /\\ь2 = 0,003011. Параметр регуляризации а = 0,000815 при численном решении интегрального уравнения Фредгольма первого рода (10) методом регуляризации Тихонова вычислялся с помощью метода невязки.
Заключение
В работе разработан численный метод решения обратных спектральных задач для возмущенных самосопряженных операторов. В среде Maple написан пакет программ, позволяющий восстанавливать потенциал p(x) по спектральным характеристикам оператора A, порожденного дифференциальным выражением l[y] = = —y" + p(x) в гильбертовом пространстве L2(a,b). Метод достаточно прост в применении. Им с успехом могут пользоваться исследователи, не имеющие достаточных знаний в области спектрального анализа.
Литература
[1] Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.В. Дубровский [и др.] // ДАН России. 2001. Т. 380. № 2. С. 160-163.
[2] Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра—Зомерфельда / В.В. Дубровский [и др.] // ДАН России. 2001. Т. 378. № 4. С. 443-446.
[3] Вычисление первых собственных значений задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В.А. Садовничий [и др.] // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 6. С. 742-746.
[4] Кадченко С.И. Вычисление сумм рядов Релея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1494-1505.
[5] Кадченко С.И. Метод регуляризованных следов // Вестник Юж-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2009. № 37(170). Вып. 4. С. 4-23.
[6] Кадченко С.И., Рязанова Л.С. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов // Вестник Юж-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2011. № 17(234). Вып. 8. С. 46-51.
[7] Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. 659 с.
[8] Садовничий В.А. Теория операторов: учеб. для вузов: 3-е изд., стер. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.
[9] Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 501-505.
[10] Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы Киев: Наукова думка, 1986. 542 с.
Поступила в редакцию 3/ VI/2013;
в окончательном варианте — 3/ VI/2013.
NUMERICAL METHOD FOR THE SOLUTION OF INVERSE PROBLEMS GENERATED BY PERTURBATIONS OF SELF-ADJOINT OPERATORS BY METHOD OF REGULARIZED TRACES
© 2013 S.I. Kadchenko2
In the article a new method for the solution of inverse problems generated by perturbations of self-adjoint operators on their spectral characteristics is developed. The method was tested on inverse problems for Sturm-Liouville problems. The results of numerous calculations showed the computational efficiency of the method.
Key words: inverse spectral problem, perturbation theory, self-adjoint operators, eigen values, eigen functions, incorrectly formulated problems.
Paper received 3/ VI/2013. Paper accepted 3/ VI/2013.
2Kadchenko Sergey Ivanovich (kadchenkoamasu.ru), the Dept. of Equations of Mathematical Physics, Southern Ural State University, Chelyabinsk, 454080, Russian Federation.
