Новый метод вычисления рядов поправок теории возмущений дискретных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

НОВЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ ПОПРАВОК ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ОПЕРАТОРОВ *

С.И. Кадченко

Разработан новый численный метод вычисления числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов. Получены оценки предельных абсолютных погрешностей их вычисления.

Ключевые слова: дискретный оператор, поправки теории возмущений.

Теоретическое обоснование нового метода вычисления собственных чисел возмущенных дискретных полуограниченных операторов, основанного на теории регуляризованных следов, дано в работах [1-9]. Основная трудность его применения состоит в вычислении сумм числовых рядов, членами которых являются поправки теории возмущений. В данной работе предложен эффективный численный метод, позволяющий с необходимой точностью вычислять суммы этих числовых рядов.

1. Основные теоретические положения

Рассмотрим дискретный, полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть — собственные числа оператора Т , занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а —

его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим собственным числам. Пусть — собственные числа оператора Т + Р,

занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Если для некоторого натурального числа по вы-

21| / »И

полняется неравенство —— < 1, ёПо = |/%0+1 — /%0|, то по собственных

&По

чисел {Рп}^= 1 оператора Т + Р являются решениями системы по нелинейных уравнений

по по *Р

ХЖ = 23^* + ХМР)(по) + г£)(«о)> ¿р € ЛГ, р = 1,п0. (1)

_________к=1_____к=1______к=1

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 00-01-00777).

Здесь 4Р)(«о) = / /#І?ДТ) [РІ?ДТ)1% - поправки теории воз-

¿/її% гр 1_

-¡-по

І ^ I ^

мущений оператора Т + Р, є^ ^ щ (щ), Тпо — круг радиусом

к=ір-\-1

|/%0 + 1 ~Ь ¡¿по |

2

Rfj.iT) — резольвента оператора Т.

рпо = ------------ с центром в начале координат комплексной плоскости,

Лемма 1. Если Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р — ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве II. тогда метод Бубнова - Галеркина в применении к спектральной задаче

ІТ + Р)ср = Рср (2)

сходится.

Доказательство. Запишем уравнение (2) в виде

(Т + Р - \Е)<р = ІР - \)<р. (3)

Так как Т — дискретный оператор, а Р — ограниченный оператор, тогда оператор Т + Р дискретный [13]. По определению, для дискретного оператора Т+Р существует резольвентный оператор Р\(Т+Р) = (7'+ /’ — А/*,') '. который вполне непрерывный в Н [13]. Действуя слева на обе части уравнения (3) оператором Р\(Т + Р), получим

<р = (/3^ А)і?а(Т + Р)^. (4)

На основании [11] метод Бубнова - Галеркина в применении к задаче об отыскании собственных чисел уравнения (4), а следовательно, и уравнений (3) и (2) сходится. □

Приближенное решение спектральной задачи (2), следуя методу Бубнова - Галеркина, будем искать в виде

П

Рп = '^а<к)шк, (5)

к=і

где Шк — ортонормированные собственные функции самосопряженного оператора Т(дискретный полуограниченный оператор является самосопряженным). Подставляя (5) в уравнение (2), получим

п п

^2 41) (т+= /?(") Е 4П) "*• к=1 к=1

Здесь — п-е приближения по Бубнову - Галеркину к соответствующим собственным числам ß оператора Т + Р. Так как Тш^ = [¿кшк> т0

П П

+ р)шк = /?(п) к=1 к=1

Коэффициенты {а^}^=1 определяются из требования, чтобы левая часть последнего уравнения была ортогональна к функциям В результа-

те получим систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов Г (п)\п \ак >к=1

П

^2akl) iß(n) - ßk)hm ~ (Puk,wm) =0, m=l,n. (6)

k=1

Приравняв определитель этой системы к нулю, приходим к уравнению

det Ц/З^Е — А|| =0,

определяющему приближенные значения первых собственных чисел {Afc”^}fe=і оператора Т + Р. Здесь Е — единичная матрица размера п х п, А = liefernIIfc=i) akm = ßkhm + (P^k,^m), hm ~ СИМВОЛ Кронекера.

Известно, что для собственных чисел {ß^}k=i матрицы А справедливы равенства [12]

П

^2 {ßk^Y = sp АР> (7)

к=1

где Sp Ар — след р-й степени матрицы А. Обозначим

4ПР} = ßk ~ (ßkn))P’ k,p = l,n,

П , 4

Мп) = Е % ■

к=і

Если операторы Т и Р удовлетворяют требованиям леммы 1, то

=л» |й‘ - К”)”1=°’ Ук'р є

Теорема 1. Пусть Т — дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р — ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом

пространстве Н, и для, некоторого натурального числа па выполняется

2Ц/Ц ,

неравенство д = —-— < 1; тогда, аг

*по

Е ““("о) = Е Е

к=1 к=1т=1

п0 Р

+ Е П Узвзг + $р{па),

,3р= 1 8 = 1

* (7*+1

\Ь(т)\ < ¿ 1а[ )(п0)| + «ОРпо----^ (9)

й=2 Я — 1

|5р(п0)| < Мр(п0) + Мр(щ) + \а'к)(т)\ +

дг,+1

) 7;

9 -1

Здесь 6р(п0) = X] 4;°^ 4р°^ = " (4"°^) ’ — собственные числа

к=1

оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности, {/3^”°^— приближенные значения по Бубнову - Галеркину соответствующих собственных чисел, {Рк}^1 оператора Т + Р,

по р-2 по Р

кы = \Т,Есг^у*П’ »Р("») = | Е II •

к=1т=1 Л ,52, ••• Лр=1 «=1

Укгп = (Ршк,шт)> {/■**;}&= 1 — собственные числа, оператора Т, занумерованные в порядке возрастания их величин с учетом кратности, а —

его ортонормированные собственные функции, соответствующие этим

собственным числам, рПо = 1^п°+1 )

Г 5 + 1, 5 ф р,

Г~ \ 1, 8= р.

Доказательство. Если выполнены условия теоремы, то для первых по собственных чисел {Р^У^°=1 оператора Т + Р справедливы уравнения (1). Тогда из (1), (7) и (8) при п = по получим

ОО По

= Бр Ар + 6р(по), р = 1 ,п0, (10)

к=1 к=1

где А = \\акгп\\1°т=1, акт = ЦкЬт + (Рык, Шт). Вычисляя следы матриц Ар, Р = 1,^0,

По р п 0 по Р

вр ар = '¡г П амг И"<•<• + И П амг

...... к=1 31,32,-,3Р=1 р 5=1

П

?г=1

-£(«+п*)'+ Ё И-

к=1 31,32,—,Зр=1 Р 5=1

П

?г=1

По р-1 по р

= X] + X Рк’^кк ) + X П

к=1 т=1 31,32,— ,Зр=1 Я=1

равенство (10) перепишем в виде

ОО по р— 1 по Р

Е ““("«) = ЕЕ сРі‘ї'Кїт+ Е П^. + М"»)- (“)

й=1 Ыт=1 ,І2,." >Ір=1 «=1

р!

где (7™ = ——------гг — число сочетаний из р различных элементов по т

‘ т\(р — т)\

раз. Воспользовавшись (11), найдем

ОО По

41)ы + £41)ы = 5]% + мп°).

к=2 &=1

ОО По

4р)(по)+Х4р)(по)=рЕ^Г^+ й=2 й=1

по р-2 по Р

+ЕЕСГ«" + Е

Ыго=1 31,32,— ,3р=1 8=1

Используя явную запись первой поправки теории возмущений

по

а^Нт) = р^ц^Укк, к=1

получим

оо

(!)/

$і(по) = £4 ы

й=2

оо по р—2

«»„) =

к=2 й=1т=1

по Р

Тогда

или

Здесь

■ £ П У3'3т, р 2- "<• •

31,32,— ,Зр=1 5=1

і^і(«о)і < £ 41}ы ’ к=2

сю , ч по р-2

1Мпо)1 = £ 4}ы + Е Е ср'^к'¥кк

к=2 й=1т=1

По Р ______

£ П ^5> , Р = 2, по

31,32,— ,Зр=1 «=1

|<5р(тго)| < Мр(щ) + Мр(щ) + ЕК’ы

к=2

по р-2 по р

а«»о) = | £ £ с”й'1-гт”’, дм«,). £ гк>

Ыт=1 31,32,— ,Зр=1 «=1

Применяя оценки [6-8]

|аіР)(по)| < п0РРІп0дк, к,р Є Ж,

имеем

сю < сю

Х|4р)ы =Е|4р)(по) + Ё |4р)ы 6=2 6=2 6=і+1

<

* і п о*+1

- ¿2 |4 (по) + рп0(%0-—, р,і Є N.

1 С[

к=2

Окончательно из (12) и (13) найдем

І+1

\$і(п0)\ < ^2\а(к\по) + ^'ОРп0~\~2. ’ * Є М‘

1 С[

к=2

і+1

|5р(п0)| < Мр(п0) + мр(щ) + ^2\4Р\т) + рщ/?Поу—

1 С[

(12)

(13)

рЄ N.

к=2

Теорема доказана.

□

Нетрудно получить оценку чисел Жр(по) и Мр(па)

по Р по Р

ъы= Е II' < Е Пир1

31,32,— ,Зр=1 «=1 31,32,— ,Зр=1 «=1

то есть

Обозначая

ПОЛУЧИМ

31,32,— ¿Р=1 8=1

Нр(по) < По

ЛпоЯ\р

= тах

1<п<по, 1<то<р-2

лт ,,т-\гр—т

р ¡¿к Vкк

(14)

По р—2 По р—2

мР( «„) = ] е Е < Е Е

6=1 го=1 к=1т=1

= щ(р - 2)(2р(п0)

ИЛИ

Мр(по) < п0(р - 2)<Эр(п0).

Замечание 1. Первые I поправки теории возмущений а^(по) можно вычислять, используя формулы, приведенные в работах [6-8].

Замечание 2. Если поправки а^(щ) не вычислять, то оценки (9) надо ослабить, положив I = 1:

(15)

\$1(по)\ < По/^10

ч

1-9

|5р(п0)| < Мр(щ) + Лгр(п0) +рщ(Рпо

(16)

1-9'

р = 2 ,п0.

Замечание 3. Алгоритм вычисления сумм числовых рядов теории возму-

ос

щений ^ 4 (по) дискретных операторов, основанный на формулах (9), к=1

достаточно прост, и вычислительная эффективность его намного выше, чем у алгоритма, основанного на формулах, приведенных в работах [6-8].

2. Спектральная задача Орра — Зоммерфельда

Рассмотрим применение данного метода вычисления числовых рядов

ОО , N

теории возмущений ^2 (по) на примере спектральной задачи гидроди-к=і

намической теории устойчивости Орра - Зоммерфельда [13]:

(Т2 + и - рТ)<р = О, 0 < у < 1, (17)

т

- о комплексный спектраль-

где Т = —--т: + а2, и = іаМІиТ + -г4гУ Р ауг \ ауг)

ный параметр, который связан со спектральным параметром задачи Орра - Зоммерфельда с равенством /3 = гаМ, где а = —-----волновое число, А

- лис п ^и*

— длина волны возмущения, V = 4—— у{1 — у) + —у — скорость основного

* и *

плоскопараллельного течения вязкой жидкости между двумя параллельными ПЛОСКОСТЯМИ, и с — скорость в середине промежутка между плоскостями,

из — скорость верхней плоскости относительно нижней, ІЇ =----------число

V

1

Рейнольса, V — кинематическая вязкость жидкости, ¿7* = 11с + -118 — характерная скорость, ¿* = 26 — характерная длина, 2Ь — расстояние между плоскостями.

Введем оператор О:

С Т'2 + Г - ;1Т. (•<//< 1. (19)

заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве ¿2(0,1). К области определения Ид оператора О отнесем все функции (р(у) класса ^4 р

С4(0,1) П С1 [О,1], ——^ Є ¿2(0,1), удовлетворяющие граничным условиям (18): У

Бо = [ер Є С4(0,1) П Сг[0,1], ^ Є ¿2(0,1) : ¥>(0) =

<1(р( 0) ё(р( 1)

йу йу

Рассмотрим дифференциальный оператор

= Ф) = ‘Щ = ‘Щ = 0).

(IV (IV )

(І2

То - ~ї~7ї + а

заданный в сепарабельном гильбертовом пространстве ¿2(0,1), и неоднородную краевую задачу

То<р = /(у), 1 < у < о,

¥>(0) = ¥>(1) = 0, (20)

¥>€С4(0,1)Г|С'1[0,1], ¿2(0,1).

Лемма 2. Решение задачи (20) единственно и выражается формулой

*<»> 4®-«я™«-

о

У

- !8Ца{у -с)]/(0^с}, 0 < у < 1. (21)

о

Доказательство. Для того, чтобы решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (20) было единственным в области определения оператора Т0

Ота = {¥>(*/) е С4(0,1) П Сг[0,1], ^ € ¿2(0,1) : ¥>(0) = Ф) = о},

необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение

имело только нулевое решение В От0 [17]. Нетрудно убедиться, что одно-

родная задача

¿09? = 0, 0 < у < 1,

¥>( 0) = ¥>(1) = 0

имеет только тривиальное решение. Поэтому решение задачи (20) единственно.

Построим решение этой задачи, используя метод вариации произвольных постоянных. В соответствии с этим методом общее решение неоднородного дифференциального уравнения (20) будем искать в виде

<р(у) = С1(у)еаУ + С2(у)е-аУ,

где еау и еГау — линейно независимые решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Для нахождения функций С\(у)

и С2(у) составим систему двух линейных уравнений относительно С[(у) и

Щу):

С[{у)еаУ + С'2{у)е-аУ = О,

С[(у)еаУ-С>2(у)е-<*» = -^,

а

интегрируя которую, получим

У

<р{у) = С^У + С2е-ау - - [зЦа(у - С)]/(С)^, у € [о, 1]. (22)

а ]

0

Удовлетворив граничным условиям (20), находим

Сг + С2 = о,

1

о

Отсюда

Сг = -С2,

1

= -2^1^

о

Подставляя найденные значения С\ и С2 в (22), имеем

1 у

~ау _ р—ау г 1 г

<р(у) = 2а як а ] ~ « / Ма(У “ ОШСШ =

0 о

1 У

1 гзЩау)

8Ь[а(1 - £)]/(£)<*£ - / йЬ[а(у - Ш(£)^}-

а I зЬ(а)

о о

Это и доказывает лемму . □

Замечание 4. Так как задача (20) имеет единственное решение в области

БТо = [ср € С4(0,1) П С^О,1], ^ € Ь2(0,1) : у>(0) = ¥>(1) = о},

то в Дг0 оператор То обратим:

і у

Т0-7 = /8Ь[а(1 - $)]/т - /8Ь[а(у - С)]/(С)^}. (23)

о о

Непосредственно применять новый метод к нахождению первых собственных чисел спектральной задачи (17), (18) нельзя, так как оператор / сРи \

17 = іаН\її?Г + —2^ не является ограниченным на ¿2(0,1). Но можно построить вспомогательную задачу, у которой множество собственных чисел совпадает с множеством собственных чисел спектральной задачи (17), (18) и к которой применим разработанный нами метод. В самом деле, используя (19) и (23), получим

вір = (Т2 + и - рТ)<р = (Т + ИТ-1 - /3)Т<р =

= (Т + ит-1 - /3)/ = 0.

Здесь оператор Т является сужением оператора То на множество Ид С -От0 5 а / = Т<р.

Рассмотрим спектральную задачу

(т + г7т-1)/ = /з/,

/ = ^>, (24)

(р Є Левее функции (р Є -Ос удовлетворяют граничным условиям

„(0) = »,(1) = Щ = Щ = 0.

ау ау

Первые два условия использовались нами при нахождении оператора Т^1, а из двух последних следует

ЙТ-1/(0) _ ёт-1л 1)

<% ¿у

= 0. (25)

Всякое решение уравнения (17), удовлетворяющее граничным условиям (18), удовлетворяет также уравнению (24) и граничным условиям (25), и наоборот. Следовательно, множество собственных чисел спектральных задач (17), (18), (24), (25) совпадают, а их собственные функции связаны соотношением Т<р = f.

Лемма 3. Для нормы оператора Р = 1/Т 1, заданного в сепарабельном гильбертовом пространстве ¿2(0,1), справедлива оценка

ІРІІ < аМ

1

-0<»<1

Доказательство. Очевидно, что

тах |и(у)| Н—2 тах

а о<»<1

<]2и(у)

с),у2

(26)

ІРІІ = аК

иТ •

(12и

сіу2 < осИ[ ||й|

т-

= аН

ё2г

<іу2

:Т-

(¿2И 1

й+ -т^Т-1

ау2

<

<

< аК

тах |«(у)1 + тах 0<»<1' 0<у<1

ё2и(у) 11т_1||

<іу2

Из (20) и [18]

1

а‘

ІРІІ < аК

тах \и(у)\ Н—^ тах

10<у<1

ег о<у<1

ёги(у)

Лемма доказана.

□

Замечание 5. Из оценки (26) следует, что оператор Р является ограниченным в ¿г(0,1).

Найдем собственные числа и собственные функции следующей краевой задачи:

Тш = цш, 0 < у < 1, (27)

и = Т<р, ірЄ £>с,

<гг-Ч о) «гг-'Щ)

<г„ = <г„ = °’ (28)

где Т-1 — обратный оператор к оператору Т, который определяется формулой (23).

Лемма 4. Спектральная задача (27), (28) имеет множество собственных чисел

{а2 + <?2}^і (29)

«(cos qn - ch а) її

sm(qny) + cos(qny) j

OO

n= 1

(30)

и множество собственных функций

Vi •

I Lqn sna — asmqn

где числа qn являются корням,и трансцендентного уравнения

4ае_“д — 2а ^1 + e_2a^gcosg + ^1 — е-2“^ ^а2 — g2^ sing = 0. (31)

Доказательство. Задача (27), (28) имеет нетривиальное решение только в случае, когда ц > а2. Обозначая д2 = ц — а2, запишем общее решение дифференциального уравнения (27)

ш(у) = С\ sin(qy) + С2 cos(qy). Используя (23), найдем 1

(32)

Т~ ш(у) =

а2 + q2

{“(»)

sha

sha

dT0 luj(y) dy

a2 + q2

|Ci[gcos(gy)

ach(ay) .

---------sino

sha

-C2[q sm(qy) + ash(ay)

ach(ay). i

---------(eos q — ch a) f.

sha J

Удовлетворив граничным условиям (28), получим

a

Cilq

■ smg

sha .

. a ch a

6i geosq----------—smg

a(cos g — ch a)

£"2 , Oí

sha

a cha —г—і sha

sha cos g — ch a)

gsing + asha+

= 0.

Из первого уравнения системы (33) следует, что

a(cos g — ch a)

Ci = —-----------;--C2.

gsna — a smg

Подставляя (34) во второе уравнение системы (33), найдем

g cos g

a cha

■ smg

-a sha

a(cos g — ch a) sha V gsha — asing

a cha,

gsing-

sha

:(cosg — cha) = 0.

(33)

Приведем подобные члены в полученном уравнении: sha

= 0.

2aq — 2agchacosg + (a2 + q2) shasing Так как sh a Ф 0, to

2ag — 2ag ch a cos q + (a2 + g2) sh a sin q = 0

или

™|™ g ^ ___________________ g ^

2ag — 2aq---------cosg + (a + q )---------sing = 0.

Отсюда получаем трансцендентное уравнение (31), которое имеет счетное множество корней. Значит, спектральная задача (27), (28) имеет счетное множество собственных чисел

{«2 + <&}%=!

и счетное множество собственных функций

ra(cosg„^cha) . . . . Л!00 1П

i С2п ---г-------:--sin{qny) + COS{qny) \ , y G 0,1 .

I Lqn sha - a smgn J) n=i

Лемма доказана. □

Замечание 6. Множество собственных чисел {pn}^Li задачи (27), (28) не имеет конечных предельных точек. При этом все собственные числа вещественные, неотрицательные и простые [18].

Замечание 7. Собственные функции задачи (27), (28) всегда можно сделать вещественными.

Замечание 8. Из построения собственных функций (30) спектральной задачи (27), (28) следует, что других собственных функций она не имеет. Следовательно, система собственных функций (30) полна в ¿2(0,1).

Лемма 5. Собственные функции (30) оператора Т, соответствующие различным собственным, числам,, ортогональны.

Доказательство. Пусть цп и (п ф k) — собственные числа, а ujn(y) и Wfe(y) — соответствующие им собственные функции задачи (27), (28). Запишем уравнение (27) в виде

d2uj(y) 2

dy2

q ш{у) = 0,

где д2 = ц — а2, ц > а2, д — корень трансцендентного уравнения (31). Тогда функции шп{у) и шк{у) являются решениями соответствующих уравнений

^Шп{у) 2

ёу2

Чпшп{'У) = О,

#Щ(у) 2

ёу2

Якшк{у) = О,

Первое из этих уравнений умножим на Шк(у), а второе — на шп(у), затем вычтем почленно одно из другого и проинтегрируем на отрезке [0,1]. В результате получим

шк{у)СІ ^3^ ~ шп{у)СІ + (<1п ~ <1к)шп(у)щ(у) ¿у =

= /{і {¿у

о

Шк(у)

7 V — 10 \& / Iі

ёуі ёу

ёу

ёу

ІЯп Як)^т,

Лшп{у)

ип(у)

Лшк{у)

ІЯІ^ЯІ) / шп(у)шк(у)<1у = 0.

ёу ёу

о

Так как Тш = цш и Т^1Т = Е (Е — единичный оператор), то ёшп(у) 1 с)Т-1Тьоп{у) 1 ¿Г-ЧЫ

длу

По аналогии

Поэтому

длу

Лшк{у)

ёу

— /¿г

= 0.

ёу

= 0.

(яп~Як) J ип(у)щ(у)ёу = 0, о

а так как дпф Як-, имеем

1

ип{у)шк{у)Лу = 0, пфк,

о

что и требовалось доказать.

□

Замечание 9. Числа {С2П}^і, входящие в (30), находятся из условий

нормировки / шп(у)шк(у)ду = 8пк (5п1; — символ Кронекера) собственных о

функций задачи (27), (28).

Лемма 6. Оператор Т, заданный краевой задачей (27), (28) с областью определения

1>г = [ш = Т<р,<р€ £>с:

йу

йу

= 0

самосопряженный.

Доказательство. Вначале покажем, что оператор Т симметрический. Для этого проинтегрируем по частям два раза и убедимся, что для С(у),т](у) € От

д2С(у) 2а/ Ч1 /41 ^С(у) , ч 1

—21 + « С(у) пШу = —хг^Ы ^

(ТС,Г}) =

ёу2

<іу

(Іу <іу

<іу

+СЫ

сіу

(12г/(у)

ду2

о2г](у) С,{у)йу =

(у)

Лу ГІ(У) о + іу

(Тгі, С).

Так как Т£ = //£, то

д( (у) 1 дТ-^ТСІУ) 1

сіу

По аналогии

Следовательно,

сіу

(Ігі(у) 1

= Д-ЧС»1 = 0.

о ау

сіу

= 0.

Кроме того, множество Ит, как легко видеть, плотно в ¿2(0,1). Итак, Т — симметрический оператор. В силу того, что Н(Т) = Ь2(0,1) (Н(Т) — область изменения оператора Т), то оператор Т — самосопрженный[13]. □

й2

Таким образом, мы показали, что оператор Т = —— + а

ау

за-

данный спектральной задачей (27), (28), самосопряженный, а оператор / с12й \

Р = 1/Т-1 = — ограниченный в ¿2(0,1). Поэтому для

оо

вычисления ЧИСЛОВЫХ рядов ^2 аЩпо) поправок теории возмущений опе-

п=1

ратора Т + Р можно использовать методику, описанную во втором разделе.

Систему уравнений (1) для нахождения значений первых по собственных чисел спектральных задач (17), (18) или (24), (25) можно за-

писать в виде

по

Е<*

по оо

“(¿йЛЕ^ + Е^о*)

(35)

В статье [9] показано, что поправки теории возмущений аЩпо) вычисляются по формулам

4р)ы =

.!)*+!

к

/ П УзтЗз ■

п=ІЗі,32,- ,3к т=1

хгев^

где Уу = (РШі,Шз), 8 = |

-1

П (/* - н»

т= 1

т + 1, т < к, 1, т = к

(36)

ГЄ8

Чп \ к

П (р - н»

т=1

0; Зт Ф — 1, к,

1

(11і

= <

(I- 1)!ф^П *

П (/* - н»

т= 1

і Зт, — п

I — число совпадений, ]т = п для любых т = 1, к, {Рп}^=і и —

собственные числа и соответствующие им ортонормированные собственные функции оператора Т.

п0

В табл. 1 приведены результаты вычисления сумм Ор{щ) = £ сегі(щ)

п=1

С использованием формулы (36) И сумм рядов теории возмущений 8р(па) = сю

£ ссп(щ) оператора Т + Р при щ 1. I 1, 11с = 10, І2 = 13, а = 1.

П = 1

Таблица 1

р М4) *р(4) М4) - «р(4)1

1 3,04 • 10-4 +1,57-104 3,04 • 10-4 + 1, 57 • 101 г 3,04 • 10-4

2 —3, 54 + 3, 56 • Ю1* —3, 54 + 3, 56 • ЮЧ 4,84 • 10-2

3 3,04 - 1,57- 104г 5, 74 — 6,14 • 104г 5,48

4 — 1,09 • 105 + 2,19 • 107г — 1,09 • 105 + 2,19 • 107г 4,40 • 102

Из табл. 1 видно, что рамках допустимых погрешностей результаты вычислений сгр(по) и ,Эр(4) хорошо согласуются.

Выводы. Предложен и обоснован новый метод, позволяющий с определенный точностью вычислять суммы числовых рядов теории возмущений дискретных операторов. Проведенные численные эксперименты показали его надежность и эффективность.

Список литературы

1. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов // Тр. семинара им. И.П. Петровского. М., 1994. Вып. 17. С. 244-248.

2. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.В. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения между параллельными плоскостями при малых числах Рейнольдса // ДАН РАН. 1997. Т. 355, № 5. С. 600-604.

3. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.В. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 1. С. 50-53.

4. Садовничий В.А., Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.В. Вычисление первых собственных чисел задачи гидродинамической устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // Дифференц. уравнения. ДАН РАН. 2001. Т. 381, № 3. С. 320-324.

5. Кадченко С.И. Новый метод вычисления собственных чисел спектральной задачи Орра - Зоммерфельда // Электромагнитные волны и электроннные системы. 2000. Т. 35, № 6. С. 4-10.

6. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.В., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи Орра-Зоммерфельда // ДАН РАН. 2001. Т. 378, № 4. С. 443-446.

7. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.В., Садовничий В.А. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе // ДАН РАН. 2001. Т. 380, № 2. С. 160-163.

8. Дубровский В.В., Кадченко С.И., Кравченко В.В., Садовничий В.А.

Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами // ДАН РАН. 2001. Т. 381, № 3. С. 320324.

9. Кадченко С.И. Новый метод вычисления первых собственных чисел дискретных несамосопряженных операторов // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. Челябинск. 2002. С. 42-59.

10. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высшая школа, 1999.

11. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физики. М.: Наука, 1957.

12. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.

13. Лин Цао-цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958.

14. Тихонов A.H., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1958.

Магнитогорский государственный университет e-mail: [email protected]