Асимптотика решения спектральной задачи на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

© 2010 г. Р.Ч. Кулаев

Южный математический институт Southern Mathematical Institute

Владикавказского научного центра РАН, of Vladikavkaz Scientific Centre RAS,

ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027,

backoffice@smath.ru backoffice@smath.ru

Изучается неоднородная спектральная краевая задача на графе. Устанавливается асимптотика собственных значений. Даются асимптотические формулы, оценки для решения и функции Грина соответствующей однородной задачи.

Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение на графе, функция Грина, спектральная задача на графе.

The non-uniform spectral boundary value problem on the graph is studied in work. It is established asymptotic eigenvalues. Asymptotic formulas and estimations for the solution and Green's functions are given.

Keywords: graph, differential equation on the graph, Green's function, spectral problem on the graph.

Рассматривается спектральная задача, заданная на £ak(a)u'k (a) + {ßk (a) Я + Sk (a)}uk(a) = F(a), a e V. графе Г kel (a)

(pu')' + qu -Яи = Ф(х), x e Г . (1) В уравнении (1) полагаем p e С2[Г], if p(x) > 0,

В каждой граничной вершине графа задано усл0- Ф e С2 [Г]. В (2), (3) F(a) - числа, свои для каждой

вие

а(а)ы'(а) + {Р(а)Я + 5(а)}ы(а) = Е(а), а едГ , (2) а в каждой внутренней вершине - условия непрерывности и согласования

вершины а графа Г ; ак (а) > 0, рк (а) > 0 для всех вершин а е 5Г ^ V, к е I(а). В условиях согласования (3) все производные посчитаны в направлении к

Uk (a) - Uk0(a) = 0 , k , k о e I (a) , (3) вершине a .

Задача (1) - (3) возникает при изучении начально-краевой задачи, описывающей процесс распространения тепла вдоль сложносочлененной системы стержней [1].

Всюду в работе мы придерживаемся терминологии и обозначений из [2]. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (1), суженное на ребро ук, имеет 2 линейно-независимых решения:

sk (х, р), ск (х, р), р = у/~ Я . Продолжим их на весь граф Г , положив на остальных ребрах тождественно равными нулю. Получим фундаментальную систему

решений {грк (х, р)}2==1 однородного уравнения. Всюду в дальнейшем считаем, что ср2к_1(х, р) - продолжение функции sk (х, р), <р2к (х, р) - ск (х, р) .

Пусть Цу (и)}2™ - набор всех линейных функционалов, определяющих полную систему условий (2), (3). Тогда их можно записать в виде / ■ (и) = су, где

су = 0, если функционал I у описывает условие непрерывности; су = F(а), если 1у задает условие согласования или граничное условие в вершине а е5Г и V. Обозначим через Д(р) характеристический определитель задачи (1) - (3). Очевидно, что спектр однородной задачи (1) - (3) состоит из нулей характеристического определителя Д(р).

Пусть ре С не является нулем характеристического определителя Д(р); 0(х, р) - функция

Грина интегрального оператора, обращающего задачу (1) - (3) [2, гл. 3]. Тогда решение задачи (1) -(3) можно представить в виде

и( х) = | в(х, р) ^^ + Н (х, р), г Р(£)

Г, * л т Д к (х,£, р) 0( х,£ р) = 2———> к=1 Д(р)

А k (Р) =

Kk (x,f, р) li( Kk (■,f, Р))

0

l\ (9l(s Р))

12m (Kk (f Р)) 12m (9l О, Р)) ■■■

flk -l(x Р) f2k (x Р) ••• 0 ll(9lk-1<Л Р)) ll(9lk <Л Р)) ■■■ ll(92m <Л Р))

l2m (9lk-1<Л Р)) 2m (9lk <Л Р)) ■■■ l2m (92m 0' Р))

(4)

Kk (x,f, p) - функция Коши, определяемая равенством

Kk (x,f, р) =

(5)

l

2W (f, Р) -1

2W (f, Р)

92k-1(f, Р) 92k Р)

92k-1(x, Р) 92k <X Р)

92k-1(í, Р) 92k Р)

92k-l<X Р) 92k(x, Р)

f , x , и * У; % <f <x < ök;

ak <f<x < bk;

Wk (f, Р) =

H (x, Р) =

sk Р) ck Р)

dSk(f Р) dCk Р)

df df

0 9l( x, Р)

-Cl ll (9l (■, р))

Xk

= [ak, bk ]

А(Р)

92m (X, Р) ll(92m (■, Р))

Cm l2m (9l(,Р)) ■■■ l2m (92m (S Р))

. (6)

В формуле (5) неравенства на ребре ук = \ак, Ьк ] понимаются в смысле направления, определяемого заданной параметризацией ребра.

Асимптотические формулы для собственных значений

Согласно результатам [3] для однородного уравнения, соответствующего (1), фундаментальная система частных решений допускает следующее асимптотическое представление:

У г Т ( \

dx'

-9ik-l(x P) = Ш1 (x)]exP

x)]e

dx'

ipj0(1)( z)dz

V ak

\

(7)

-92k (x, P) = [2 (x)]exp ip J6>(2) (z)dz

V ak

' = 0,1,2,

1

где прямые скобки [] обозначают сумму [ +I \ — |.

Vp,

В (7) в (1)(x) = -=L=, в(2) (x) = —:=i= VP(x) VP( x)

наоборот, в(1)( x) = --

в(2)( x) =

при Im p > 0 и, 1

при

ylp(x) 4p( x)

Im p < 0 . Что касается функций [[') ], то полагаем

к) ]=

(e(s)(x))'

Vp( x)

при x eyk и

Xk и к0 пРи x £Yk .

Сначала выведем асимптотическую формулу для характеристического определителя А(р).

Пусть {а у }1^=1 - некоторая нумерация всех вершин

графа Г. Без ограничения общности можно считать, что функционалы 1 ■, определяющие условия

(2), (3), занумерованы так, что первые |/(а1) функционалов определяют условия в вершине а , следующие |/(а2)| - в а2 и т.д. Тогда характеристический определитель Д(р) можно рассмотреть как оп-

вы

ределитель блочной матрицы А(р) =

B(a 2) B(aw)

где

В(ау) - матрица размера |/(ау ) х 2т.

Пусть Мг (ау) - множество всех миноров матрицы В(ау-) порядка I/(ау )|, составленных из ненуле-

1

V

д

1

0

вых столбцов. Тогда характеристический определитель А(р) можно представить в виде суммы

А(р) = Zs„MTa)Mет(a2)..Mm(aN) , (8)

n

где en равно 1, либо -1, а различные миноры, входящие в одно произведение, не имеют элементов одного и того же столбца определителя А(р). Поскольку в минорах Mr (aj) все показательные функции могут

быть вынесены за знаки определителей как общие множители элементов столбцов, получаем

А(р) = Р1(р)в'р"1 + P2(p)eip"2 +. . .+Pa(p)e'm ,

m1 <m2 <...<mc

(9)

d^c A <• d^c - при Im p> 0 , ma = J .

Гу1 P( X)

ylp( x)

ylp( x)

мнимой оси

-'S

dx

'S-

dx

г V P(x) Г^/ p( x)

~ „ г ёх

ной 2 \ с центром в начале координат ком-

Гу1 Р( X)

плексной плоскости, границы которой параллельны вещественной оси.

Если все собственные значения задачи (1) - (3) занумеровать в порядке возрастания их модулей, то для них имеет место асимптотическое представление

((

h = -Pk = -

1 + O

\

nk J

dx

y/p( x)

Для каждого блока В(а ■), а ■ е 5Г и V, составим

минор М(а ■) по следующему правилу.

Минор М(а ■) содержит по одному столбцу от

каждого ребра, примыкающего к вершине а. При этом, если ребро ук, к е I (aj), параметризовано к

вершине а, то в минор М(а ■) входят элементы нечетного столбца матрицы В(а ) , соответствующего ребру ук. Если же ребро ук параметризовано от вершины а , то в М(а ) входит четный столбец матрицы В(а j), отвечающий ребру Ук.

Из правила построения миноров следует, что в разложении (8) одно слагаемое будет иметь вид П M(aj). Непосредственно вычисляя M(aj),

Если из р -плоскости выбросить внутренности малых кругов с центрами в нулях рк функции А(р), то в оставшейся части р-плоскости выполняется неравенство \Е(р)\ = \р— А(р)| > С > 0, где С зависит лишь от радиусов выбрасываемых кругов. Асимптотическое представление функции Н (х, р)

Разложим детерминант в формуле (6) по элементам 1-й строки и 1-го столбца. Учитывая определение чисел с ■, имеем

1 N N

Н(х, р) = --— 2 Рк (X,р) 2 Г(ап)АПк (р) , (10) А(р) к=1 п=1

где Апк - алгебраические дополнения характеристического определителя А(р). Как и в случае с А(р), представим определитель Ак (р) в виде

A! (P) = 2 P<ink\p)eiPOj

(nk )

dx

где <J

dx

получим т = ._

Г V Р( X)

при 1т р< 0. Если в правиле построения миноров М(аj) поменять четные столбцы на нечетные, и наоборот, то с помощью аналогичных рассуждений можно

ё>х л ^ёх

получить та = ] . при 1тр> 0 и т1 = — -

Г Vp(x)

Г Jp(x)

при 1т р< 0. Что касается Рп (р) в (8), то они представляют собой многочлены степени не выше степени ё многочленов Р1 (р), Ра (р). Поэтому для характеристического определителя получаем асимптотическую формулу А(р) = рё Е(р), где Е(р) - квазиполином с асимптотически постоянными коэффициентами. Индикаторная диаграмма квазиполинома Е(р) - отрезок

р(п1к> (р) - многочлен степени не выше ё . Учитывая отсутствие в Ак (р) элементов, содержащих мно-( \ житель ехр ¡р\в<-п\2)ё2 , п = 1 при к нечетном и

V Ук

п = 2 при к четном, и определение величин в^^х),

получим оценки, справедливые как в верхней, так и в нижней полуплоскостях

An

A 2k-

An

A 2k

-i(p)\ < С P

(P)| < C| Pd

expi '

Pj0(s)( z)dz

exp

ip J6>(s)(z)dz

(11)

Так как спектр однородной задачи (1) - (3) состоит из нулей характеристического определителя А(р), то,

используя теоремы о распределении корней квазиполиномов [4, гл I, § 2; 5, гл. III, § 1], можно сформулировать следующее утверждение.

Teoрема 1. Спектр однородной задачи (1) - (3) состоит из последовательности собственных значений, не имеющей конечной предельной точки. Все собственные значения расположены в полосе шири-

В (11) С - постоянное число; 5 = 1 при 1т р< 0 и 5 = 2 при 1тр> 0. Принимая во внимание (8) - (10), с помощью асимптотических представлений (7) и неравенств (11) получаем

dxv

H (x, P)

< NC max|F(a} )||p\

(12)

k=1

p exp

ipj0(s)( z)dz

V г

\E(P)\

С

k1

exp

Л

ip\e(X) (z)dz

V ak

Г

Г

x

m

+

+ Z-

k=1

pv exp I ip\e(s\z)dz

|E(p)|

C.

k 2

exp

f bk - ip|6>(2)( z)dz

у = 0,1,2.

Если из р -плоскости выбросить внутренности малых кругов с центрами в нулях Д(р) радиуса г, то, согласно теореме 1, в оставшейся части р -плоскости, которую мы обозначим через С , выполняется нера-

венство

pv exp| ipj8(s)(z)dz

|E(p)|

< C(r).

Таким образом, из последнего неравенства и оценки (12) следует

Теорема 2. Для всех ре Сг выполняется неравенство

dxv

-H (x, p)

<

NC max| F (a} )|| p

m

x Z Cki

k=1

exp

+C

k 2

f bk

exp

- ip\e{1){z)dz

2Wk (£, p)

2Wk (£, p)

(13)

Выносим, где возможно, общие множители элементов (2к _ 1) -го столбца в каждом произведении из (14). Тогда с помощью формул (7) и (13) сумма (14) может быть представлена в виде

Д01,2к_1(£, р) = (15)

( £ 1 = (/р)_1 3« (р)^® (£)]_1 ехр _ 1р ¡0(2) (¿)Ь

V ак У ( ък \

+ р 3« Ш2г$1 (£)] _1 ехр 1р |0(1) (2)Ь

V £ У Аналогично получается асимптотическая формула

для Д1,2к (£, р) - алгебраического дополнения элемента

1-й строки и 2к -го столбца определителя Д° (х,£, р)

Д1,2к (£, р) = (16)

( £ Л = (/р)_1 Зк2) (р)[2пк2 (£)]_1 ехр _ Iр ¡0(2) (2)Ь

V ак

( Ък \

+ (/р)_1 Зк22) (р)^« (£)] _1 ехр 1р | £(1) (2)сЬ

V £

V ак У

где Ск1, Ск 2 - числа, зависящие только от радиуса г выбрасываемых кругов.

Асимптотическое представление функции Грина

В определителе (4) умножим 2к -й столбец на ^к_1(£,а (2к _ 1 )-й - на ^ £р) . Сложим

В формулах (15) и (16) 3™(p) = Z P(jn)(p)e

»

P,

(n)

- многочлены степени не выше d и

maxi mjl < J

dx

y/p( x)

. А поскольку в определителе

Л02к (£, p) нет элементов с множителем exp (ipJ<9(2)(z)dz), растущим по абсолютной вели-

7k

оба полученных столбца с первым. Преобразованный таким образом определитель обозначим через Д0к (х, £, р). Очевидно, Д0к (х, £, р) = Дк (х, £, р). Обозначим элементы 1 -го столбца определителя Д0к (х, £, р) через (х, £, р). Используя (7), после несложных вычислений получим асимптотическое представление, справедливое как в верхней, так и в нижней полуплоскостях

К0( х,£, р) = 0 £еУи, х еУу, п * у;

dx

чине при |р| ^ ж, то max m(и) < J ___

Цг^Р(х)

Поэтому в части Cr комплексной плоскости будут выполняться неравенства

3

< Ci(r),

3k2s)(p)expl ipJe{2)(z)dz

< C2(r). (17)

(гр)У_1 [^ (х, £)] ехр 1р\ вт (2)С2 , ак <£< х < Ък;

Г х ; 1 _ (гр)у1 [^ (х, £)] ехр _ 1р\ в(т> (, ак < х <£< Ък;

V £ У

где Гк = [ак,!ък], ¿УЧх,£) =7^.

(£)

Пусть Д°2к_1(£, р) - алгебраическое дополнение элемента 1-й строки и ( 2к _1 )-го столбца определителя Д0к (х, £, р). Тогда аналогично (8) имеем Д01,2к_1(£,р) = 2^пМТп (а^М^ (а2)..М„ (ам). (14)

|А(р)| |Д(р)|

Таким образом, из (15) - (17) следует Теорема 3. Для всех ре Сг имеет место асимптотическое представление

— в( х, £, р) = 2 — К0 (х, £, р) +

дх к=10х

1 m .

+ Ci(r)(ip)v-1 Z [л kl (x)] exp

k=1

(

x

ipj0(1)( z)dz

V ak

(

x ^exp

V ak

( bk

5 3(1)(p)

-ipjö(2)(z)dz [2^k12)(£)]-1 +

Kp)

+ exp

£

ip^i z)dzW;)(£)]-1

J A(p) I

( b

+ C2 (r)(ip)v1 Z [Vka (£)] exp -ip Je(2\z)dz

k=1 x

m

x

X

1

Г

X

n

х -^exp

С 4 ^

- 1р\в{2\z)dz

V ak

+ exp

f bk ip\0k (z)dz

V 4

л

v^m 1!

где асимптотическое представление -K°(x,4, p) •

dX v

v = 0,1,2, дается формулой (13).

Литература

1. Кулаев Р.Ч. О параболической задаче на графе с краевыми условиями, содержащими производную по времени: Препринт № 1. Южный математический институт ВНЦ РАН. Владикавказ, 2009. 37 с.

2. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Покорный Ю.В. [и др.]. М., 2004. 272 с.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969. 528 с.

4. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976. 536 с.

5. РасуловМ.Л. Метод контурного интеграла. М., 1964. 462 с.

Поступила в редакцию

16 июля 2009 г.