Асимптотика решения спектральной задачи на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

© 2010 г. Р.Ч. Кулаев

Южный математический институт Southern Mathematical Institute

Владикавказского научного центра РАН, of Vladikavkaz Scientific Centre RAS,

ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027,

[email protected] [email protected]

Изучается неоднородная спектральная краевая задача на графе. Устанавливается асимптотика собственных значений. Даются асимптотические формулы, оценки для решения и функции Грина соответствующей однородной задачи.

Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение на графе, функция Грина, спектральная задача на графе.

The non-uniform spectral boundary value problem on the graph is studied in work. It is established asymptotic eigenvalues. Asymptotic formulas and estimations for the solution and Green's functions are given.

Keywords: graph, differential equation on the graph, Green's function, spectral problem on the graph.

Рассматривается спектральная задача, заданная на £ak(a)u'k (a) + {ßk (a) Я + Sk (a)}uk(a) = F(a), a e V. графе Г kel (a)

(pu')' + qu -Яи = Ф(х), x e Г . (1) В уравнении (1) полагаем p e С2[Г], if p(x) > 0,

В каждой граничной вершине графа задано усл0- Ф e С2 [Г]. В (2), (3) F(a) - числа, свои для каждой

вие

а(а)ы'(а) + {Р(а)Я + 5(а)}ы(а) = Е(а), а едГ , (2) а в каждой внутренней вершине - условия непрерывности и согласования

вершины а графа Г ; ак (а) > 0, рк (а) > 0 для всех вершин а е 5Г ^ V, к е I(а). В условиях согласования (3) все производные посчитаны в направлении к

Uk (a) - Uk0(a) = 0 , k , k о e I (a) , (3) вершине a .

Задача (1) - (3) возникает при изучении начально-краевой задачи, описывающей процесс распространения тепла вдоль сложносочлененной системы стержней [1].

Всюду в работе мы придерживаемся терминологии и обозначений из [2]. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее уравнению (1), суженное на ребро ук, имеет 2 линейно-независимых решения:

sk (х, р), ск (х, р), р = у/~ Я . Продолжим их на весь граф Г , положив на остальных ребрах тождественно равными нулю. Получим фундаментальную систему

решений {грк (х, р)}2==1 однородного уравнения. Всюду в дальнейшем считаем, что ср2к_1(х, р) - продолжение функции sk (х, р), <р2к (х, р) - ск (х, р) .

Пусть Цу (и)}2™ - набор всех линейных функционалов, определяющих полную систему условий (2), (3). Тогда их можно записать в виде / ■ (и) = су, где

су = 0, если функционал I у описывает условие непрерывности; су = F(а), если 1у задает условие согласования или граничное условие в вершине а е5Г и V. Обозначим через Д(р) характеристический определитель задачи (1) - (3). Очевидно, что спектр однородной задачи (1) - (3) состоит из нулей характеристического определителя Д(р).

Пусть ре С не является нулем характеристического определителя Д(р); 0(х, р) - функция

Грина интегрального оператора, обращающего задачу (1) - (3) [2, гл. 3]. Тогда решение задачи (1) -(3) можно представить в виде

и( х) = | в(х, р) ^^ + Н (х, р), г Р(£)

Г, * л т Д к (х,£, р) 0( х,£ р) = 2———> к=1 Д(р)

А k (Р) =

Kk (x,f, р) li( Kk (■,f, Р))

0

l\ (9l(s Р))

12m (Kk (f Р)) 12m (9l О, Р)) ■■■

flk -l(x Р) f2k (x Р) ••• 0 ll(9lk-1<Л Р)) ll(9lk <Л Р)) ■■■ ll(92m <Л Р))

l2m (9lk-1<Л Р)) 2m (9lk <Л Р)) ■■■ l2m (92m 0' Р))

(4)

Kk (x,f, p) - функция Коши, определяемая равенством

Kk (x,f, р) =

(5)

l

2W (f, Р) -1

2W (f, Р)

92k-1(f, Р) 92k Р)

92k-1(x, Р) 92k <X Р)

92k-1(í, Р) 92k Р)

92k-l<X Р) 92k(x, Р)

f , x , и * У; % <f <x < ök;

ak <f<x < bk;

Wk (f, Р) =

H (x, Р) =

sk Р) ck Р)

dSk(f Р) dCk Р)

df df

0 9l( x, Р)

-Cl ll (9l (■, р))

Xk

= [ak, bk ]

А(Р)

92m (X, Р) ll(92m (■, Р))

Cm l2m (9l(,Р)) ■■■ l2m (92m (S Р))

. (6)

В формуле (5) неравенства на ребре ук = \ак, Ьк ] понимаются в смысле направления, определяемого заданной параметризацией ребра.

Асимптотические формулы для собственных значений

Согласно результатам [3] для однородного уравнения, соответствующего (1), фундаментальная система частных решений допускает следующее асимптотическое представление:

У г Т ( \

dx'

-9ik-l(x P) = Ш1 (x)]exP

x)]e

dx'

ipj0(1)( z)dz

V ak

\

(7)

-92k (x, P) = [2 (x)]exp ip J6>(2) (z)dz

V ak

' = 0,1,2,

1

где прямые скобки [] обозначают сумму [ +I \ — |.

Vp,

В (7) в (1)(x) = -=L=, в(2) (x) = —:=i= VP(x) VP( x)

наоборот, в(1)( x) = --

в(2)( x) =

при Im p > 0 и, 1

при

ylp(x) 4p( x)

Im p < 0 . Что касается функций [[') ], то полагаем

к) ]=

(e(s)(x))'

Vp( x)

при x eyk и

Xk и к0 пРи x £Yk .

Сначала выведем асимптотическую формулу для характеристического определителя А(р).

Пусть {а у }1^=1 - некоторая нумерация всех вершин

графа Г. Без ограничения общности можно считать, что функционалы 1 ■, определяющие условия

(2), (3), занумерованы так, что первые |/(а1) функционалов определяют условия в вершине а , следующие |/(а2)| - в а2 и т.д. Тогда характеристический определитель Д(р) можно рассмотреть как оп-

вы

ределитель блочной матрицы А(р) =

B(a 2) B(aw)

где

В(ау) - матрица размера |/(ау ) х 2т.

Пусть Мг (ау) - множество всех миноров матрицы В(ау-) порядка I/(ау )|, составленных из ненуле-

1

V

д

1

0

вых столбцов. Тогда характеристический определитель А(р) можно представить в виде суммы

А(р) = Zs„MTa)Mет(a2)..Mm(aN) , (8)

n

где en равно 1, либо -1, а различные миноры, входящие в одно произведение, не имеют элементов одного и того же столбца определителя А(р). Поскольку в минорах Mr (aj) все показательные функции могут

быть вынесены за знаки определителей как общие множители элементов столбцов, получаем

А(р) = Р1(р)в'р"1 + P2(p)eip"2 +. . .+Pa(p)e'm ,

m1 <m2 <...<mc

(9)

d^c A <• d^c - при Im p> 0 , ma = J .

Гу1 P( X)

ylp( x)

ylp( x)

мнимой оси

-'S

dx

'S-

dx

г V P(x) Г^/ p( x)

~ „ г ёх

ной 2 \ с центром в начале координат ком-

Гу1 Р( X)

плексной плоскости, границы которой параллельны вещественной оси.

Если все собственные значения задачи (1) - (3) занумеровать в порядке возрастания их модулей, то для них имеет место асимптотическое представление

((

h = -Pk = -

1 + O

\

nk J

dx

y/p( x)

Для каждого блока В(а ■), а ■ е 5Г и V, составим

минор М(а ■) по следующему правилу.

Минор М(а ■) содержит по одному столбцу от

каждого ребра, примыкающего к вершине а. При этом, если ребро ук, к е I (aj), параметризовано к

вершине а, то в минор М(а ■) входят элементы нечетного столбца матрицы В(а ) , соответствующего ребру ук. Если же ребро ук параметризовано от вершины а , то в М(а ) входит четный столбец матрицы В(а j), отвечающий ребру Ук.

Из правила построения миноров следует, что в разложении (8) одно слагаемое будет иметь вид П M(aj). Непосредственно вычисляя M(aj),

Если из р -плоскости выбросить внутренности малых кругов с центрами в нулях рк функции А(р), то в оставшейся части р-плоскости выполняется неравенство \Е(р)\ = \р— А(р)| > С > 0, где С зависит лишь от радиусов выбрасываемых кругов. Асимптотическое представление функции Н (х, р)

Разложим детерминант в формуле (6) по элементам 1-й строки и 1-го столбца. Учитывая определение чисел с ■, имеем

1 N N

Н(х, р) = --— 2 Рк (X,р) 2 Г(ап)АПк (р) , (10) А(р) к=1 п=1

где Апк - алгебраические дополнения характеристического определителя А(р). Как и в случае с А(р), представим определитель Ак (р) в виде

A! (P) = 2 P<ink\p)eiPOj

(nk )

dx

где <J

dx

получим т = ._

Г V Р( X)

при 1т р< 0. Если в правиле построения миноров М(аj) поменять четные столбцы на нечетные, и наоборот, то с помощью аналогичных рассуждений можно

ё>х л ^ёх

получить та = ] . при 1тр> 0 и т1 = — -

Г Vp(x)

Г Jp(x)

при 1т р< 0. Что касается Рп (р) в (8), то они представляют собой многочлены степени не выше степени ё многочленов Р1 (р), Ра (р). Поэтому для характеристического определителя получаем асимптотическую формулу А(р) = рё Е(р), где Е(р) - квазиполином с асимптотически постоянными коэффициентами. Индикаторная диаграмма квазиполинома Е(р) - отрезок

р(п1к> (р) - многочлен степени не выше ё . Учитывая отсутствие в Ак (р) элементов, содержащих мно-( \ житель ехр ¡р\в<-п\2)ё2 , п = 1 при к нечетном и

V Ук

п = 2 при к четном, и определение величин в^^х),

получим оценки, справедливые как в верхней, так и в нижней полуплоскостях

An

A 2k-

An

A 2k

-i(p)\ < С P

(P)| < C| Pd

expi '

Pj0(s)( z)dz

exp

ip J6>(s)(z)dz

(11)

Так как спектр однородной задачи (1) - (3) состоит из нулей характеристического определителя А(р), то,

используя теоремы о распределении корней квазиполиномов [4, гл I, § 2; 5, гл. III, § 1], можно сформулировать следующее утверждение.

Teoрема 1. Спектр однородной задачи (1) - (3) состоит из последовательности собственных значений, не имеющей конечной предельной точки. Все собственные значения расположены в полосе шири-

В (11) С - постоянное число; 5 = 1 при 1т р< 0 и 5 = 2 при 1тр> 0. Принимая во внимание (8) - (10), с помощью асимптотических представлений (7) и неравенств (11) получаем

dxv

H (x, P)

< NC max|F(a} )||p\

(12)

k=1

p exp

ipj0(s)( z)dz

V г

\E(P)\

С

k1

exp

Л

ip\e(X) (z)dz

V ak

Г

Г

x

m

+

+ Z-

k=1

pv exp I ip\e(s\z)dz

|E(p)|

C.

k 2

exp

f bk - ip|6>(2)( z)dz

у = 0,1,2.

Если из р -плоскости выбросить внутренности малых кругов с центрами в нулях Д(р) радиуса г, то, согласно теореме 1, в оставшейся части р -плоскости, которую мы обозначим через С , выполняется нера-

венство

pv exp| ipj8(s)(z)dz

|E(p)|

< C(r).

Таким образом, из последнего неравенства и оценки (12) следует

Теорема 2. Для всех ре Сг выполняется неравенство

dxv

-H (x, p)

<

NC max| F (a} )|| p

m

x Z Cki

k=1

exp

+C

k 2

f bk

exp

- ip\e{1){z)dz

2Wk (£, p)

2Wk (£, p)

(13)

Выносим, где возможно, общие множители элементов (2к _ 1) -го столбца в каждом произведении из (14). Тогда с помощью формул (7) и (13) сумма (14) может быть представлена в виде

Д01,2к_1(£, р) = (15)

( £ 1 = (/р)_1 3« (р)^® (£)]_1 ехр _ 1р ¡0(2) (¿)Ь

V ак У ( ък \

+ р 3« Ш2г$1 (£)] _1 ехр 1р |0(1) (2)Ь

V £ У Аналогично получается асимптотическая формула

для Д1,2к (£, р) - алгебраического дополнения элемента

1-й строки и 2к -го столбца определителя Д° (х,£, р)

Д1,2к (£, р) = (16)

( £ Л = (/р)_1 Зк2) (р)[2пк2 (£)]_1 ехр _ Iр ¡0(2) (2)Ь

V ак

( Ък \

+ (/р)_1 Зк22) (р)^« (£)] _1 ехр 1р | £(1) (2)сЬ

V £

V ак У

где Ск1, Ск 2 - числа, зависящие только от радиуса г выбрасываемых кругов.

Асимптотическое представление функции Грина

В определителе (4) умножим 2к -й столбец на ^к_1(£,а (2к _ 1 )-й - на ^ £р) . Сложим

В формулах (15) и (16) 3™(p) = Z P(jn)(p)e

»

P,

(n)

- многочлены степени не выше d и

maxi mjl < J

dx

y/p( x)

. А поскольку в определителе

Л02к (£, p) нет элементов с множителем exp (ipJ<9(2)(z)dz), растущим по абсолютной вели-

7k

оба полученных столбца с первым. Преобразованный таким образом определитель обозначим через Д0к (х, £, р). Очевидно, Д0к (х, £, р) = Дк (х, £, р). Обозначим элементы 1 -го столбца определителя Д0к (х, £, р) через (х, £, р). Используя (7), после несложных вычислений получим асимптотическое представление, справедливое как в верхней, так и в нижней полуплоскостях

К0( х,£, р) = 0 £еУи, х еУу, п * у;

dx

чине при |р| ^ ж, то max m(и) < J ___

Цг^Р(х)

Поэтому в части Cr комплексной плоскости будут выполняться неравенства

3

< Ci(r),

3k2s)(p)expl ipJe{2)(z)dz

< C2(r). (17)

(гр)У_1 [^ (х, £)] ехр 1р\ вт (2)С2 , ак <£< х < Ък;

Г х ; 1 _ (гр)у1 [^ (х, £)] ехр _ 1р\ в(т> (, ак < х <£< Ък;

V £ У

где Гк = [ак,!ък], ¿УЧх,£) =7^.

(£)

Пусть Д°2к_1(£, р) - алгебраическое дополнение элемента 1-й строки и ( 2к _1 )-го столбца определителя Д0к (х, £, р). Тогда аналогично (8) имеем Д01,2к_1(£,р) = 2^пМТп (а^М^ (а2)..М„ (ам). (14)

|А(р)| |Д(р)|

Таким образом, из (15) - (17) следует Теорема 3. Для всех ре Сг имеет место асимптотическое представление

— в( х, £, р) = 2 — К0 (х, £, р) +

дх к=10х

1 m .

+ Ci(r)(ip)v-1 Z [л kl (x)] exp

k=1

(

x

ipj0(1)( z)dz

V ak

(

x ^exp

V ak

( bk

5 3(1)(p)

-ipjö(2)(z)dz [2^k12)(£)]-1 +

Kp)

+ exp

£

ip^i z)dzW;)(£)]-1

J A(p) I

( b

+ C2 (r)(ip)v1 Z [Vka (£)] exp -ip Je(2\z)dz

k=1 x

m

x

X

1

Г

X

n

х -^exp

С 4 ^

- 1р\в{2\z)dz

V ak

+ exp

f bk ip\0k (z)dz

V 4

л

v^m 1!

где асимптотическое представление -K°(x,4, p) •

dX v

v = 0,1,2, дается формулой (13).

Литература

1. Кулаев Р.Ч. О параболической задаче на графе с краевыми условиями, содержащими производную по времени: Препринт № 1. Южный математический институт ВНЦ РАН. Владикавказ, 2009. 37 с.

2. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Покорный Ю.В. [и др.]. М., 2004. 272 с.

3. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969. 528 с.

4. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976. 536 с.

5. РасуловМ.Л. Метод контурного интеграла. М., 1964. 462 с.

Поступила в редакцию

16 июля 2009 г.