Алгоритм вычисления спектров предфрактальных графов с полной трехвершинной затравкой, старые ребра которых в траектории не пересекаются Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1 ББК 22.174.2 Б 18

Байрамукова З.Х.

Старший преподаватель кафедры математики Северо-Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии, Черкесск, тел. (8782) 293582, e-mail: [email protected] Кочкаров А.М.

Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математики Северо-Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии, Черкесск, тел. (8782) 293582, e-mail: ah-mat_kochkarov@mail. ru

Хапаева Л.Х.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и информационных технологий Северо-Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии, Черкесск, e-mail: Le-lia.kazalieva@yandex. ru

Алгоритм вычисления спектров предфрактальных графов с полной трехвершинной затравкой, старые ребра которых в траектории не пересекаются

(Рецензирована)

Аннотация. Впервые исследуется задача вычисления спектров предфрактальных графов, старые ребра которых в траектории не пересекаются. Для предфрактального графа с полной трехвершинной затравкой получена рекуррентная формула, позволяющая определить характеристический многочлен и значительно упростить вычисление спектра.

Ключевые слова: спектр предфрактального графа, старые ребра которого в траектории не пересекаются.

Bayramukova Z.Kh.

Senior Lecturer of Department of Mathematics, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, ph. (8782) 293582, e-mail: [email protected] Kochkarov A.M.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Department of Mathematics, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, ph. (8782) 293582, e-mail: [email protected] Khapaeva L.Kh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Informatics and Information Technologies Department, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, e-mail: Le-lia.kazalieva@yandex. ru

An algorithm for calculating the spectra for prefractal graphs with the full three-vertex primers with the non-crossed path old edges

Abstract. In this paper, the problem of calculating the spectra of prefractal graphs, the old edges of which are not crossed on the path, was investigated for the first time. The recurrent formula was obtained for prefractal graph with the full three-vertex primer, which allows us to define the characteristic polynom and significantly simplify the spectrum calculation.

Keywords: the spectrum of the prefractal graph, the old edges of which are not crossed on the path.

В последнее время активизировалось изучение математики в области фракталов и фрактальной геометрии. Как известно, фракталы пронизывают окружающую природу повсюду. Например, они прослеживаются в структуре облаков, рек, рисунках листьев. К настоящему времени известно огромное количество объектов фрактальной структуры [1], как, например, фрактальные антенны, структуры порождения. Поэтому возникла необходимость создания математической теории [2] исследования поведения фракталов (фрактальных структур), которая будет позволять классифицировать фракталы, определить их суть, то есть чем они порождены, понимать плотность вещества, заполняющего определенную часть пространства (вычисляя размерности фракталов) [3]. В настоящее время в направлении создания математической теории получены результаты в работах [2-4].

Как известно, теория графов [5] позволяет моделировать объекты дискретной структуры, связи между ними. Но когда исследуемый процесс является детерминированным, как

*Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-07-00231а.

только исследуемый объект является объектом фрактальной структуры, изменяющимся во времени, его невозможно моделировать с помощью теории графов. Для этого необходима специальная теория фрактальных и предфрактальных графов. Эта теория развивается в нескольких направлениях: распознавание структуры [6, 7]; исследование топологических, метрических характеристик [6, 7]; использование линейной алгебры, в частности теории матриц для определения спектров предфрактальных графов и за счет этого выявление различных свойств их структуры [8]. В направлении изучения спектров графов - спектральной теории графов, опубликована работа [9]. Вычислению спектров предфрактальных графов, сохраняющих смежность старых ребер, посвящены работы [10-12].

В настоящей работе впервые исследуется задача вычисления спектров предфракталь-ных графов, старые ребра которых в траектории не пересекаются.

Приведем основные определения, используемые в данной работе, и систему обозначений.

Термином затравка условимся называть какой-либо связный граф Н = (Ж, Q). Для определения фрактального (предфрактального) графа [6, 10, 13] потребуется операция замены вершины затравкой (3В3). Суть операции 3В3 заключается в следующем. В данном графе

О = (V, Е) у намеченной для замещения вершины ~ е V выделяется множество V = {у V, ] = 1,2,...,|у, смежных ей вершин. Далее из графа О удаляется вершина ~ и все инцидентные ей ребра. Затем каждая вершина у еV, ] = 1,2,..., V , соединяется ребром с вершиной затравки Н = (Ж, Q). В случае, когда смежность старых ребер сохраняется, все вершины у е V, ] = 1,2,..., V , соединяются с одной и той же вершиной затравки Н = (Ж,Q), а если

старые ребра не пересекаются, то с различными вершинами.

Предфрактальный граф будем обозначать через Оь =(уь, Еь), где VL - множество вершин графа, а EL - множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе I = 1,2,..., L -1 графе О1 = ((,Ег) каждую его вершину затравкой Н = (Ж, Q). На этапе I = 1 предфрактальному графу соответствует затравка О1 = Н . Об описанном процессе говорят, что предфрактальный граф Оь =(Уь, EL) порожден затравкой Н = (Ж,Q) [6, 10, 13]. Процесс порождения предфрактального графа , по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов О1зО2,...,Оь, называемый траекторией. Фрактальный граф О = (V,Е), порожденный затравкой Н = (Ж, Q), определяется бесконечной траекторией. Для предфрактального графа Оь, ребра, появившиеся на I-м, I е {1,2,...,Ь}, этапе порождения, будем называть ребрами ранга I. Новыми ребрами предфрактального графа Оь назовем ребра ранга L, а все остальные ребра назовем старыми.

Рассмотрим предфрактальный граф Оъ =V, EL) с трехвершинной полной затравкой Н = (Ж, Q), старые ребра которого в траектории не пересекаются. Граф-затравка Н = (Ж, Q) - предфрактальный граф первого этапа траектории Ох = Н, имеет матрицу смежности

(0 1 1 ^

A =

1 0 1 1 1 0

. Характеристический многочлен графа затравки [9]

у

РО1 (Л) = |Л-Лх\ = Л -3А-2 = (Л +1)2(Л-2). (1)

Для того чтобы выявить закономерность, как траектория предфрактального графа GL отражается на характеристических многочленах, будем последовательно по этапам траектории находить характеристические многочлены предфрактальных графов О2,03,...,GL .

Представим характеристический многочлен графа G, в виде

PGi (A) = |A 2 - A„

C1 -aI1 - aI1

- aI1 AI j Bj - aI1

- aI1 Bj - aI1 AI1

(2)

где 11 - единичная матрица порядка 3; 12 - единичная матрица порядка 9 (в общем случае 11 - единичная матрица порядка п1; п - число вершин затравки; I - номер этапа траектории

( 0 -1 0 ^

предфрактального графа); C1 = AI1; B1 =

; a = 1.

0 0 -1

-10 0

ч У

Используя обобщенный алгоритм Гаусса [14], приведем определитель (2) к нижнему квазитреугольному виду. Умножим третью блочную строку на матрицу -(( -а11 )-(А/1) 1

слева и прибавим ко второй строке. Ясно, что (А11) 1 = А11. Затем третью строку умножим на

матрицу (а11 )•[ —11 | =а11 слева и прибавим к первой строке. В результате этих преобразо-

V А ) А

ваний получим:

Pg2 (A) =

c -a I1

1 A 1

-aI1 )-aI1

A

a(( -a )-a^1 -((1 a )A( -a )+a/1 0

A

-aI1

A

Bj -aI1

AI1

1

Вынесем множитель — из второй блочной строки и упростим выражение:

А

pg2 (a)=\ai\ a •

C1 -a I1 1 A 1

ABT-(A + a))) A /

i(B1 - (A + a)) A211 - (B1 -aI1)• ( - aI1,

Преобразуем произведение

( -aI1 ))Bj-aI1 )= B1 • Bj-a(B1 + Bj )+a211 = I1 +aA1 +a211,

поскольку

( 0 -1 0} ( 0 0 - Л (10 0^

B1 + Bj =- A1, B1 • Bj =

0 0 -1 -1 0 0

у

-1 0 0 0 -1 0

0 1 0 0 0 1

= I1 .

(3)

у

Таким образом,

Pg, (A) =

a

C1 -a /1

1 A 1

a

A

( -(A + a)

(-(A + a)) ^^I1 -A1

a

Применяя обобщенный алгоритм Гаусса, приведем матрицу в последнем выражении к нижнему квазитреугольному виду, для чего умножим вторую блочную строку слева на матрицу

a(Bj-(A + a) )

A2 -1 -a2

a

Y1

I - A1

и прибавим к первой:

0

ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016

Po, Л) =

= а

= а

с Ii --Вт -(л + а)i,)•

Л2 -1 -а7

а

Л-1

Ii - A

Л2-1 -а2

а

Ii - A

((-(Л + а)Ii)

С- —Ii -а(-Л + ааЬ)•[

•((-(Л + а )i,) 0

Л2 -1-а2

а

Ii - A

Л2 -1-а2

л-1

а

Ii - A

•((-(Л + а )Ij

Найдем А =

Л -1 -а

2

а

12 1 „.2

-Ii - A

2

Л -1 - —

а

Ii - A

и упростим выражение

-(х+аЩ*---^ I, - A

Y

• (в, - (Л + a)I, ). Чтобы избежать излишней громозд-

кости преобразуемых выражений, введем обозначение

Л2 -1 -а2

а = ■

а

(4)

Итак,

(Л2 -1 -а2

а

a +1

(а +1)2 (а - 2)

I, - A, =(aIi - A,)-i = )

(а -1 1 1 Л

1 a -1 1

( а -1 -1> -1

-1 -1 1

а = А

V-1 -1 а )

a

а+1 а -1 а+1 а +1 а +1 а2-1

1 а -1

(а + 1)(а - 2)

((а -1), + A,),

А=

Л2 -1 -а2

а

I, - A

|а/, - A,\ = PGi(а) = а3 -3а- 2 = (а + i)2(а - 2)

-ВТ-(Л + а

Л

Л2 -1 -а2

а

V1

I, - A,

•(в, -(Л + а),) =

-а

-(В -(Л + а),) ((а-1), + A,)•( - (Л+ —)),).

Л(а + 1)(а - 2)

Упростим произведение матриц в последнем выражении, раскрыв скобки: ((а -1В + А -(Л + а)(а -1)/1 - (Л + а)Л1 - (Л + а)11) = = (а -+ В1ТЛ1В1 - (Л + а)(а - 1) -(Л + а)Л1Б1 -- (Л + а\а - 1)ДГ - (Л + а)БТА +(Л + а)2 (а -1)/1 +(Л + а)2 А = = (а - 1)В1ТВ1 + В1ТЛ1В1 -(Л + а)а - 1)(( + ВТ )-( + «)(( + ВТ Л1 )+(Л + а)2 (а -1)/1 + (Л + а)2 Л1. Вычислим значение выражений В1ТЛ1В1 и Л1В1 + В1ТЛ1, учитывая формулы (3).

в1ТЛ1в1 = -ВТ (в1 + ВТ )в1 = -(в1тв1 + ВТ ■ ВТ )в1 = -(в1тв1 в1 + В1ТВ1ТВ1)=-(в1 + ВТ)=л1 , л1в1 + вТ А = -(в1 + вТ )в1 - вТ (в1 + вТ )= -в1в1 - вТв1| - вТвХ[ - вТвТ =

= -211 - ((В1 + вТвТ ) = -211 + ВТ + В1 = -211 - Л1

поскольку

= - вТ

(0 -1 01 (0 -1 01 (0 0 11

в, в, = 0 0 -1 0 0 -1 = = 1 0 01

V-1 0 0) V-1 0 0) V0 1 0)

1

(0 0 -^ ( 0 0 - ( 0 1 0 1

BB = -1 0 0 -1 0 0 = = 0 0 1

10 -1 0 J 10 -1 0 J 11 0 0 J

=- Д-

Таким образом,

PG? (Л) = а3 (а +1)2 (а - 2) | C-аI -

а

а

Л 1 Л(а + 1)а - 2) - (l + (Л + аХа -1)+(Л + а)+(Л + а)2 |.

({а -1)+2(Л + а)+(Л + а)2 (а -1)

Л(а +1 - 2)

Учитывая, что С1 = Л11, замечаем, что выражение под знаком определителя имеет вид

Л111 -а1 А1, где

Л = f (Л, а) = Л-

а

а

) )(а -1)+2(Л + а)+(Л + а)2 (а -1)),

Л Л(а +1)а - 2)

а = g (Л, а) = Л(а + аа - 2) (1 ЛЛ + а^а -1)+(Л + а)+(Л + а)2). Вынесем множитель а1 за знак определителя и по формуле (1) получим

(л Л

PG2(л) = а3(а +1)2(а-2) -а' • PGi а =а3(а +1)2(а-2)• (Я +а1 )2(Я -2а1).

\а1 J

(5)

(6)

(7)

Упростим выражения (5)-(7). С учетом (4) получаем

= ( ) = (л-а2\л2 -1 -а2 +а\л-а-1)-а2(Л-а- 1)((Я + а)2 +1)-а3(Л + а +1) Л =f \Л,а)= ГТГт i 2 "V* л ,

а1 = g (Л,а) =

Л(Л2 -1 -а2 + а\Л-а-1)

Ла2 (Л + а-1) Л(ЛЯ -1 -а2 +а\Л-а-1)'

Найдем также

Я +а1 = Следовательно,

Л3 - (за2 -а + 1)Л-2а

3 2

3 +а

Я- 2а, = Л ~Л(а + 1) - ^

Л-а -1

Л2 -1 -а2 + а

р0г (л) = (л3 - (за2 - а +1 )л - 2а3 + а2 )2 (Л + а +1 )(л2 -Л(а +1) - 2а2) = рвг (Л, а). (8)

Вспоминая что, а = 1, получаем

рсг (Л) = (Л - 3 Л -1)2 (Л + 2)(Л2 - 2 Л - 2).

Таким образом, задача вычисления спектра предфрактального графа G2, то есть собственных значений матрицы смежности - корней характеристического уравнения (уравнения девятой степени) - сведена к решению алгебраического уравнения третьей степени.

Перейдем к рассмотрению предфрактального графа G3 и определению его характери-

стического многочлена

PG3 (Л).

Характеристический многочлен PGз (Л) = |Я13 - A3|, где I3 - единичная матрица порядка

33 = 27 , A3 - матрица смежности графа G3, можно представить в виде

PG3 (л)=|лз - A31

C2 -а12

-а12

-а12

Л12 B2 - а12

- а12 B2 - od2

Я12

(9)

а

Здесь B2 =

( 0 - I1 0 ^

0 - I 00

V- Л

С 2 =

(С о 0 Л11 о BT

0 ^ Bi л

а = 1.

1 у

Можно заметить, что определитель (9) схож с определителем (2) и, естественно, будем его находить, выполняя те же самые преобразования, что и при определении ра(Л). Здесь

необходимо учитывать, что блоки матрицы в (9) имеют порядок 9. В результате получаем

а

PG

(Л) = а9 (а +1)2 (а - 2)J

с -аI -

- ((а -1+2(Л + а)+(Л + а)2 (а -1))2

а

Л 2 Л(а + 1)(а - 2) (1 + (Л + а\а -1)+(Л + а)+(Л + а)2 )a(2)

Л(а +1) (а - 2)

Здесь мы учли то, что если в квадратной матрице каждый элемент заменить его произведением на единичную матрицу порядка к (в данном случае £=3), то ее определитель будет равен £-й степени определителя исходной матрицы. Матрица А(2) получена из матрицы А1,

заменой ее элементов на их произведения с единичной матрицей 11. Очевидно, ее порядок равен 9, а также А(2) отличен от А2. Подставляя матрицу С2 в последнюю формулу, получим

PG

(Л) = а9 ((а +1)2 (а - 2) •

C1

- а111 - а111 Л111 B1 - а111 - а111 Bf - а111 Л111

-а111

(10)

Сравнивая определитель в (10) с формулой (2), видим, что он получится из (2), если заменить Л на Д, а а на а1. Естественно, выполнить такую же замену в формуле (7) и подставить в формулу (10). Таким образом,

РСъ (Л) = а9 ((а +1)2 (а - 2) • а? ((1 +1)2 ( - 2) • Д + а2) 2 (Д - 2а2) , (11)

где

а1 =

Л2 -1 -а12

а1

Л2 = f (Л1, а1 ) = f(f (Л а\ g(Л а)) , а2 = g(Л1, а1 ) = g(f(Л а). g(Л а)) .

Можно заметить, что при получении формулы (11), операция приведения к нижнему квазитреугольному виду фактически была выполнена дважды. Упростив формулу (11), получаем

Р0ъ (Л) = (Л2 -1 -а2 +а)6(Д -1 -а2 -2а)3 х х(Д + а1 +1)(Л3 - (2 - а1 +1Л - 2а^ + а? ) (Д - Л (а, +1) - 2а!2),

то есть

PG} (Л) = (Л2 -1 -а2 +а)6(Л2 -1 -а2 -2а)3РСгДа). = PG} Да).

Рассмотрим предфрактальный граф G4 и найдем его характеристический многочлен

Pg4 (Л) = \Л14 - A

Сз -а13

-а13

-а13

Здесь B3 =

( 0 -12 0 ^ 0 0 - I 2

V-12 0 0 у

С3 =

Л13 B3 - od 3

-а13 B3 -а13 Л13 (С2 0 0 ^

0 Л12 B2 , а = 1.

v 0 B2T Л12 у

(12)

Сравнивая выражение (12) с (10), видим, что операция приведения к нижнему квазитреугольному виду должна применяться трижды. В результате чего, с учетом порядков блоков, получим

0

PG (Я) = а27((a +1)2(a - 2)) • а? (( +1)2 (a1 - 2)) • а23(a2 +1)2 (a2 - 2)• (Я3 + а3)2(Я - 2а3),

где

а2 =

Я2 - 1 -а2 а2

Я3 = /(Я2,а2 ) , аз = ) .

После упрощения получаем

рса(л)=(л2 -1 -а2 + а)(л2 -1 -а2 -2а)(Я -1 -а2 + а,)()2 -1 -а2 -2а,) х

х() +а2 +1)() -(За22 -а2 +1)/-2а32 + а2^)^Я -/2(а2 +1)-2а22).

Отсюда

РСл(Я)=(Я2 -1 -а2 +аУ(Л2 -1 -а2 -2а)9РС}(Я,,а2) = РСл()2,а2). Р0з (Я2,а2) равен Ра ()1,а1) при замене Я на Я , а на а1, Я на Я2, а1 на а2.

Предфрактальный граф аь имеет характеристический многочлен Ра (Я) = \)1Ь - ЛЬ|, который можно представить в виде

(13)

Здесь BL-1 =

Q-1 -а1 -1 ~а11 -1

PGl (Я) = -а11-1 Я-1 BL -1 -а11 -1

-а11-1 BL -а11-1 Я-1

f 0 - h-2 0 > f С ^ L-2 0 0 1

0 0 - h-2 , = 0 Я-2 BL-2

V- h- 20 0 у V 0 в т я L-2 L-2 У

а = 1.

Используя обобщенный алгоритм Гаусса для приведения определителя к нижнему квазитреугольному виду Ь-1 раз, получаем для определения характеристического многочлена Ра1 (Я) = \)1Ь - ЛЬ | рекуррентную формулу

(Я) = [паГ ( +1)2(ц - 2))3^+аL-1)2(

- 2аL-1) .

(14)

Я -1 -а2

Здесь принято ai = —-—, Я1-1 = f(Я1-2,а1-2),

а,

а-1 = g (Я1 - 2 , а L-2) ,

a0 = a.

а0 = а = 1.

Преобразовав (14), имеем

PGl (Я) = (Я2 -1 - а2 + а)2'3"2 (Я2 -1 - а2 - 2а 2 *

L-2

Я -1 -а2 +а,

V i=1

)2 (Я2 -1 - а2 - 2а,)}L 2 ! ^j(ЯL-1 + аL-1) 2 (( - 2а1-1).

Или

а

Ра1 (Л)=(Я -1 -а2 + а) (я2 -1 -а2 -2а) Р^(Яь_2,аь_2). Ра (Я-2, аЬ-2) равен Ра ()Ь-3, аЬ-3) при замене Л на) , а на а1, ) на )+1, аг на г = 1,...,Ь -1.

Таким образом, доказана

Теорема. Характеристический многочлен предфрактального графа аь с полной трех-вершинной затравкой, с непересекающимися в траектории старыми ребрами, определяется по формуле

Pgl(Я) = (я2 -1 -а2 +а) (я2 -1 -а2 -2а) P^(Яь_2,аь_2), где PGl 1 (Я1_2,а1_2) равен PGl 1 (Я1_3,а1_3) при замене Я на Я, а на а1, Яiна Яг+1, аi на аг+1,

4

X

I = 1,...,Ь -1, р02 (л) = (л3 - (за2 -а + 1Д-2а3 +а2)2(Л + а +1 )(л2-Л(а +1)-2а2) = Р0г (Л,а) ,

ЛЬ-1 = /(ЛЬ-2 , аЬ-2 ) , аЬ-1 = 8(ЛЬ-2 , аЬ-2 ) ,

= ( ) =(ЛЛ-а2 \л2 -1 -а2 + а\Л-а-1)-а2 (Л-а- 1)((Л + а)2 + 1)-а3 (Л + а +1) Л =1 (Л,а) = л(ЛЛ -1 -а2 +а)(Л-а-1) '

\ Ла2 (Л + а-1) 1

а = 8(Ла =л(Д -1 -а» +а\л-а-1)' а =''

Доказанная теорема представляет алгоритм вычисления характеристического многочлена рассмотренного предфрактального графа и упрощает вычисление его спектра.

Примечания:

1. Фракталы в физике: труды Шестого междунар. симпозиума по фракталам в физике. 1985. М.: Мир, 1988. 672 с.

2. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 261 с.

3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 656 с.

4. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир, 1993. 176 с.

5. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич. М.: Наука, 1990. 384 с.

6. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998. 170 с.

7. Кочкаров А.А. Структурная динамика: свойства и количественные характеристики предфрактальных графов. М.: Вега-Инфо, 2012. 120 с.

8. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М., Кунижева Л.А. Оценка диаметра области распространения вирусов по моделям на предфрактальных графах // Научный журнал КубГАУ. 2014. № 09 (103). С. 1-10.

9. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов: теория и применение. Киев: Наукова Думка, 1984. 384 с.

10. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры пред-фрактальных графов с затравками - циклами, сохраняющими смежность старых ребер // Научный журнал КубГАУ. 2012. № 81 (07). С. 1-10.

11. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры пред-фрактальных графов с полными затравками, в которых смежность старых ребер сохраняется // Перспективные системы и задачи управления: материалы Шестой науч.-практ. конф. Таганрог, 2011. С. 291-294.

12. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Определение спектров предфрактальных графов определенных структур для принятия управленческих решений // Перспективные системы и задачи управления: материалы Девятой науч.-практ. конф. Таганрог, 2014. С. 326-335.

13. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Алгоритм вычисления определителей матриц смежностей предфрактальных графов с полными затравками, сохраняющих смежность старых ребер в траектории // Научный журнал КубГАУ. 2013. № 81 (07). С. 1-10.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

References:

1. Fractals in Physics: proceedings of the Sixth International Symposium on fractals in Physics. 1985. M.: Mir, 1988. 672 pp.

2. Feder E. Fractals. M.: Mir, 1991. 261 pp.

3. Mandelbrot B. Fractal Geometry of Nature. M.: Institute of computer research, 2002. 656 pp.

4. Peitgen H.-O., Richter P.H. The beauty of fractals. M.: Mir, 1993. 176 pp.

5. Lectures on the theory of graphs / V.A. Emelichev, O.I. Melnikov, V.I. Sarvanov, R.I. Tyshkevich. M.: Nauka, 1990. 384 pp.

6. Kochkarov A.M. Recognition of fractal graphs. An algorithmic approach. Nyzhny Arkhyz: RAS SAO, 1998. 170 pp.

7. Kochkarov A. A. Structural dynamics: properties and quantitative characteristics of prefractal graphs. M.: Vega-Info, 2012. 120 pp.

8. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M., Kunizheva L.A. Estimation of viruses distribution area diameter using models on prefractal graphs // Scientific Journal of KubSAU. 2014. No. 09 (103). P. 1-10.

9.Cvetkovic D., Doob M., Sachs H. Spectra of Graphs: Theory and Application. Naukova Dumka, 1984. 384 pp.

10. Bayramukova Z.K., Kochkarov A.M. Spectra of prefractal graphs with the priming cycles, keeping edges of old contiguity // Scientific Journal of KubSAU. 2012. No. 81 (07). P. 1-10.

11. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Spectra of the pre-fractal graphs with full primers in which contiguity of old edges is retained // Prospective systems and control problems: proceedings of the Sixth scientific and practical. conf. Taganrog, 2011. P. 291-294.

12. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Definition of spectra in pre-fractal graphs of certain structures for taking control decisions // Prospective systems and control problems: proceedings of the Ninth scientific and practical. conf. Taganrog, 2014. P. 326-335.

13. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Algorithm of calculation of determinants of matrices contiguity of prefractal graphs with full primers, keeping old edges contiguity in trajectory // Scientific Journal of KubSAU. No. 2013. 81 (07). P. 1-10.

14. Gantmakher F.R. Theory of matrices. M.: Nauka, 1988. 552 pp.