CC BY
13
УДК 517. 955
О КОРРЕКТНОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ
© 2010 г. Р.Ч. Кулаев
Институт прикладной математики и информатики The Institute of Applied Mathematics
Владикавказского научного центра РАН and Informatics of the Vladikavkaz Scientific Centre RAS
ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, Markus St., 22, Vladikavkaz, RNO-A, 362027,
Республика Северная Осетия- Алания, 362027, [email protected]
kulaev@smath. ru
Исследуется вопрос корректности смешанной задачи для параболического уравнения на геометрическом графе. Доказывается единственность решения и его непрерывная зависимость от данных задачи. Устанавливается теорема существования, дающая представление решения в виде полного интегрального вычета.
Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение на графе, контурный интеграл, функция Грина.
The question of a correctness of the mixed problem for the parabolic equation on geometrical to the graph is investigated. Uniqueness of the solution and соntinuous dependence on data of a problem is proved. The theorem of the existence giving representation of the solution in the form of a full integrated deduction is established.
Keywords: graph, differential equation on the graph, cotour integral, Green's function.
В работе [1] была доказана теорема существования решения смешанной задачи для параболического уравнения на графе. Попутно дается представление решения в виде контурного интеграла. Доказывается единственность решения смешанной задачи на графе и его непрерывная зависимость от данных задачи.
Рассмотрим начально-краевую задачу для парабо-
2 ак{а) —— {а, f)+ßk (а) —— (a, f) + Sk (d)uk {a, t)
производные посчитаны в направлении к вершине а .
Рассматриваемая задача имеет естественную физическую интерпретацию. Она моделирует процесс
распространения тепла в системе стержней, копирующей граф Г. В узловых точках системы стержни могут быть спаяны или соединены муфтами, каждая из которых имеет свою теплоемкость, что выражается условиями (2), (3).
Предварительные сведения и обозначения
Под геометрическим графом в настоящей работе понимается одномерное стратифицированное многообразие, вложенное в В" и обозначаемое через Г [2]. Ребра графа - пространственные гладкие кривые, не имеющие самопересечений. Вершина - точка, являющаяся концом одного или нескольких ребер. Ребра и вершины заданы независимо друг от друга, при этом ребра обозначаются через у или ук, если они занумерованы, а вершины - через а, а^ или Ь]- (при
этом предполагается, что нумерация вершин не зависит от нумерации ребер).
Пусть Да - множество всех ребер графа Г ,
занумерованных произвольным образом. V -множество вершин графа, являющихся концевыми точками двух и более ребер. Такие вершины назовем внутренними. Вершины графа, не принадлежащие V, будем называть граничными и обозначать 31'. Если вершина а является концевой точкой ребра у^, то будем говорить, что ребро у^ примыкает к вершине а. Множество индексов всех ребер, примыкающих к внутренней вершине а, обозначим I(а). Всюду далее полагаем, что граф Г является конечным и
связным множеством в К".
Под функцией на графе понимается обычное отображение и: Г —>С. Пусть ик - сужение функции и на ребро уь, т.е. щ(х) = и(х) при хеук, щ(х) = 0 при х е Г \ у к . Везде ниже полагаем, что все рассматриваемые функции равномерно непрерывны по
лического дифференциального уравнения
ÇÏIÀ 5 ( Зы I
— = — Р(х)— \ + q{x)u + f(x,f)
dt дх\ дх )
(х,/)еГх[0,Г] = Гг> (1)
в котором Г - геометрический граф.
В каждой граничной вершине а графа Г решение уравнения должно удовлетворять условию
a(a) — (a,t) + ß(a)—(a,t) + S(a)u(a,t) = F(a) , дх dt
а&дТ, t>0. (2)
В каждой внутренней вершине а е д\ 'kjV на решение уравнения (1) накладываются условия непрерывности и одно условие согласования
uk(a,t)-uk (a,t) = 0 , к el(a) ,
kGl(a) ex a
= F(a), a^V. (3)
В начальный момент времени t = 0 ставится условие
и(х,0) = Ф(х). (4)
о
В формулах (1)-(4) полагаем реПГ],
inf р{х) > 0, / е С2[ГТ], Ф 6 С2[Г]. В (2), (3) F (а) -
хеГ
числа, свои для каждой вершины а графа Г ; ак (а) > 0, (а) > 0 для всех вершин а е 0Г kj V и к el(a). В условиях согласования (3) считаем, что все
переменной х на каждом ребре графа. Множество всех таких функций обозначим через С[Г]. Далее, если а - произвольная вершина (граничная или внутренняя) графа Г, то под щ(а) понимается
lim uk{x), xe/j.
х—>а
Дифференцирование функций по переменной хеГ на каждом ребре ук осуществляется по параметру, причем подразумевается, что для этого ребро параметризовано в одном из 2 возможных направлений. Под интегралом функции и е С[Г], взятым по графу Г , понимаем сумму интегралов по всем ребрам графа.
Спектральная задача, соответствующая смешанной задаче (1)-(4), имеет вид [2] (pu')' + qu-Au = Ф, (5)
а(а)и'(а) + ß(a)u(a) + S(a)u(a) = F(a) , а е <ЭГ , U]c(a,i) — U]c (a,f) = 0, к 1(а) , (6)
S <*к (Ф'к («)+{ßk (а)л + 8к («) H (а 0 = Fia),
ке/(а)
aeF.
В дальнейшем нам понадобятся следующие результаты работы [1].
Спектр задачи (5), (6) состоит из последовательности собственных значений, не имеющей конечной предельной точки. Обозначим через А(р) характеристический определитель задачи (5), (6), где р = V-/Ï. Нули характеристического определителя А(р) лежат
в полосе П конечной ширины с центром в начале координат комплексной р -плоскости, границы которой
параллельны вещественной оси. Выбросим из р-плоскости внутренности малых кругов радиуса г с центрами в нулях рк функции А(р) и обозначим
через Сг оставшуюся часть р -плоскости.
Пусть р<еСг. Обозначим через (7(х. ç.p) функцию Грина [2] интегрального оператора, обращающего спектральную задачу (5), (6). Функция Грина удовлетворяет следующему асимптотическому представлению [1]:
G(x,Ç,p) = ZKk(x,4,p) + к=1
, 1 ™ 1 ( ~ ^ + — 2 : ехр lPk=lJpk(x)
ip Jek(z)dz
. ak
f
*.< exp
+ exp
V ak
ък
? ip\ök{z)dzjfe^b
1
1 m
+"S I-
lPk=ljpk(x)
exp ip \6k(z)d:
(
exp
где K(x,^,p) - функция Коши, имеющая асимптоти-
ческое представление: Кк(х,^,р) = ip^ 'О.
xexp
ipi&k(z)dz V £
при ak<Ç<x<bk, где yk = [ak,bk];
(
при
-ip\9k{z)dz V #
ак^х<^<Ък и Kk(pc,Ç,p) = 0 при Çeyn, x e yj
1
В асимптотических формулах в(х) = 1
при
Im> 0,
в{х) = -
Jp(x)
s-1
2в(х)\в(х)\ ' 5 = 1,2; \i -сумма /л+î
т]р(х) при Im p < 0
Теорема единственности и непрерывной зависимости
Для доказательства единственности решения задачи (1)-(4) и его непрерывной зависимости от данных задачи понадобится один вспомогательный результат, который, несомненно, представляет и самостоятельный интерес. Это - теорема существования решения уравнения (1) с однородными краевыми условиями (2), (3) и ненулевым начальным условием (4). В отличие от решения этой же задачи, полученного в [2], здесь решение представляется в виде полного интегрального вычета.
Теорема 1. Существует решение у(х,/)еС[Г]п 2 1
пС ' 11 у | задачи (1)-(4) при нулевых значениях /•'(а), а едГиК. Оно представимо в виде
у(*,0 = --^Е I р\\0{х,^р)(<Ь(£УГрЬ + 2т „сп {г V
о )р(%)\
Доказательству теоремы 1 предпошлем следующую лемму.
Лемма. Пусть Сп, п е N - простой замкнутый контур, содержащий внутри только один полюс рп функции Грина С(х,£,,р). Тогда для любой функции
о
Ф е С^Г]
имеет место формула
ak
Доказательство. Рассмотрим в комплексной р ■ плоскости последовательность окружностей On с
< X Л
X
m
b
k
1
-—S f p\GÇx,Ç,pmÇ)—hrdp = Ф(х). (8)
X
n C Г
n
общим центром в начале координат, обладающих следующими свойствами: радиусы окружностей Оп неограниченно возрастают при п —»со ; существует положительное число г такое, что полюсы рп функции (¡(х.р) находятся на расстоянии, большем г, от каждой из окружностей О" для достаточно больших " .
функции добавить и отнять
1 Л, Л 1
р
р
/и{1\х,х) /и^\х,х) Ф(х)
(2) (
0(х)
в(х) р(х)
, то получим
о:
= I p\\G{x,{,pmz)^-dp+ 2т г,- I г р(4)
1 ( //(1)( x, x) M(2)(x, x)W x)
0(x) p(x)
\dp-
PiS)
1 ( n{1)( x, x) jU(2)(x, x)
2
(x)
(x)
p(x)
d
Ф(х) J dp
(9)
2 7П п р
^п
Согласно асимптотическим формулам (7), неглавная часть подынтегральной функции первых 2 слагаемых правой части (9) на контурах 0~ и убывает быстрее р 2 . Что же касается главной части этой функции, то с помощью асимптотического представления (7) и 2-кратного интегрирования по частям можно убедиться в том, что она представляется в виде
m
X exp
k=1
ip \9k{z)dz
ак
Р
+ exp
( ьк
ip\dk{z)dz
\
Ek2(x,P)
P
где Eks равномерно
ограничены на контурах Оп и Оп .
Поскольку вещественная часть степеней экспонент в последней формуле не положительна, то
lim J pi X exp
\к=1
A
ip \ek(z)dz
ak
Ek\ix,P)
P
+ exp
A
( h ip\6k(z)dz
Ek2( X>P)
•dp = 0
равномерно на Г\ и /На ..о. аейГиГ.
В(а,£) = К" : ||х - а|| < £ , 0<£ «1.
Следовательно, пределы интегралов по контурам Оп и О п в (9) при п —> со равны нулю. Поэтому, переходя к пределу в (9), получим (8). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Всякое решение уравнения (5), удовлетворяющее однородным условиям (6), можно записать в виде [2]
который можно представить в виде суммы двух интегралов, распространенных на части Оп и ()п окружности I n, расположенные в полуплоскостях Imp < 0 и Imр > 0. Далее, если к подынтегральной
у(х,р) = \G(x,Z,p)<tXg)-
г р(ё)
= \G(x,Z,p){jx+ р1 у(х, p)d^
(10)
где Dx
дифференциальный оператор
Ас = р(х)-^т+ чМ ■
Qxz ах дх Пусть - р2 - полюс функции Грина порядка /„ .
Для каждого / - введем интеграл
2т
х J р<рУ ¡G(x,Z,pm&-^-dp = 4'
С„ Г
(11)
]П'
определенный для любой функции ¥ е С[Г].
Обозначим через и(х, г) решение уравнения (1), удовлетворяющее однородным краевым условиям (2), (3) и неоднородному начальному условию (4). Оно существует и принадлежит <"2"' |Гу | п <"|Г| [1]. Подставим функцию и в (1) и применим к обеим частям полученного тождества оператор ¡1 ¡п, / = 0. %п . п е N.
Пользуясь возможностью вынести дифференцирование по г за знак интеграла и привлекая (10), получим
ö_ ~dt
= --i- J pipj ¡G(x,4,p)ix+ p2 y(£,t)*jLdp-2™c„ г pig)
J pipy iG(x^pX-p2)U(^t)^-dp-c„ г Pd)
-"i- J р<рУ iG(x^p)f&t)^-dp = 2m c„ г p(£)
= J P<pJ+2\G{x^p)U{^t)^Ldp-
2m Cn r p(£)
- J pipj \G(x^,p)f(^t)^-dp.
2m
c„
г
Pio
Последнее равенство в обозначениях (11) можно записать в виде
Применяя оператор к обеим частям начального условия, получим
о
n
x
X
(x,t) = Uj+l n(x,t) + fJn(xJ) , j = 0,Xn -1. (12)
O
n
(12), (13) имеет единственное решение на [0,Г]. Непосредственными вычислениями можно установить, что решением системы являются функции
= | 1рУ+11в(х,е,р}\е-02'Ф(£) +
2я7 ,
+ }e-P'lt-r)mT)dTiJL_dp.
. (14)
0 j Ж)
Заменим в (8) функцию Ф(х) на II(х, 1). Тогда, учитывая обозначения (11) и (14), получим
со
и (х, I ) = 1^0« (х, 0 =
и=1
1 00 Г 9
= -— £ I \е-Р <Ф(0 +
¿т п=\с г I
о J Ж)
Теорема доказана.
Теперь мы можем доказать основную теорему настоящей работы.
Теорема 2. Если / е С2 2[Гг], Ф е С2[Г], то задача (1)-(4) корректна по Адамару и ее решение может быть представлено в виде полного интегрального
, ч 1 , Г i Н(х,р) -n2t вычета u(x,t) =--: lim j <--:——е 1 ' +
2л7 (Hffln I р
а
Г I О
где Qn - последовательность расширяющихся замкнутых контуров р -плоскости, расположенных в Сг.
Я
Доказательство. Пусть у/е. (О,—); Ь - разомкнутый контур, лежащий в верхней полуплоскости комплексной р -плоскости, не имеющий общих точек с множеством П, и такой, что прямые шя,р = ц/. Ш£р = л — у/ являются для него асимптотами. Тогда решение задачи (1)-(4) можно представить в виде суммы [1]
и(хЛ) = Щ (х,/) + и2 (х,/) + Мз (х,/) =
т L Г О Р<Л)
где щ - решение однородного уравнения с неодно родными краевыми условиями и нулевым начальным условием; - с однородными краевыми условиями и ненулевым начальным условием; U3 - решение неод нородного уравнения с однородными краевыми и начальным условиями; Н(х,р)~ решение однородного
уравнения, соответствующего (5), удовлетворяющее условиям (6).
Единственность следует из того, что разность 2 решений является решением задачи (1)-(4) для соответствующего однородного уравнения и однородных краевых и начальном условиях. Это решение, согласно (15), при Ф = 0, / = 0 и F(a) = 0 равно нулю тождественно.
Остается показать, что решение непрерывно зависит от правых частей уравнения (1), краевых условий (2), (3) и начального условия (4). Пусть 17 -
контур, симметричный контуру L относительно ве-t tt
щественной оси; 0„ и Оп - части окружности Оп \ (()~ и 0~). Принимая во внимание равенства
-P2t
,-р-'
lim J -dp = lim J
Q„
P
-dp = 0 и складывая
ü„
интегралы из (15), взятые по контурам L и L .получим
«!(х,/)= lim — J е~р2< Н(Х-р) dp
> 2Я7 ,
р
1 ( - 1 ,2{x,t) + u3(x,t) = -— lim j p¡G(x,Z,pí e-p 'Ф(^) +
Im n—>mQ p v
' -- /
+ je-p-(<-r)ftf,T)dT 0
А
d¿¡
dp .
Согласно результатам [1], имеет место оценка |Н(х,р)| < Мтах|F(а^ ), из которой следует
|м1 (х, /)|< М max|F(aj )|, (16)
где М - постоянное число.
Рассмотрим сумму м2(х,/) + ;ц(х,/) из (16) при
любой функции Ф е С [Г], равной нулю в каждой вершине а е 9Г ^ V. Интегрируя по частям 2 раза, получим, что подынтегральные функции 2-го и 3-го
слагаемых в правой части (15) убывают быстрее р ". Следовательно, имеет место неравенство ^(х.фМ^фЦ
n
n
Из (16) и (17) следует непрерывная зависимость решения от начальных данных. Теорема доказана.
Литература
Кулаев Р.Ч. О параболической задаче на графе с краевыми условиями, содержащими производную по времени: препринт № 1 / Институт математики и информатики ВНЦ РАН. Владикавказ, 2009.
Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный [и др.]. М., 2005. 272 с.
Поступила в редакцию
9 февраля 2009 г.
