О разрешимости параболической задачи на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 4 (2010). С. 74-84.

УДК 517.955

О РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

НА ГРАФЕ

Р.Ч. КУЛАЕВ

Аннотация. В работе рассматривается начально-краевая задача параболического типа, заданная на геометрическом графе (пространственной сети). Предполагается, что коэффициенты уравнения удовлетворяют на ребрах графа условию Гельдера по пространственной и временной переменным. На границе графа ставятся неоднородные условия первого, второго или третьего рода. В узловых точках графа решение уравнения удовлетворяет условию согласования производных и может иметь разрывы. При этом предполагается, что коэффициенты из условий на границе и в узлах графа удовлетворяют условию Гельдера по временной переменной. Доказывается теорема существования смешанной задачи, дающая представление решения через тепловые потенциалы.

Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение на графе, фундаментальное решение для уравнения на графе, метод потенциала.

В настоящей работе устанавливается разрешимость смешанной задачи на графе для дифференциального уравнения

д2и ди ди

ь— = р(х,г) — + д(х,г) — + о(х,г)и — — = /(х,г), (1)

где (х,г) Є Г х (0,Т] = Гт, Г — геометрический граф [1]. В каждой граничной вершине а графа Г решение уравнения должно удовлетворять условию

ди

а(а,г) — (а,г) + в(а,г) и(а,ї) = Н(а,ї), а Є дГ, г> 0. (2)

дх

А в каждой внутренней вершине а на решение уравнения (1) накладываются |1 (а)| — 1 условий, связывающих значения неизвестной функции, и одно условие согласования

ик(а, г) — ико(а, г) = тк(а,г), к, ко Є I(а),

V ак(а,г)к(а,г) = к(а,г), а Є У,Ь> 0. (3)

дх

кЄЇ(а)

В условиях согласования (3) считаем, что все производные посчитаны в направлении от вершины а.

В начальный момент времени г = 0 ставится условие

и(х, 0) = ф(х). (4)

Случай, когда коэффициенты уравнения (1) и краевых условий (2),(3) не зависят от времени, рассмотрен в работе [2], где показано, что решение смешанной задачи существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.

Начнем с введения основных понятий и обозначений (например, см. [1]).

R.Ch. Kulaev, About resolvability of a parabolic problem on the graph. © Кулаев Р.Ч. 2010.

Поступила 20 апреля 2010 г.

Под геометрическим графом в настоящей работе понимается одномерное стратифицированное многообразие, вложенное в Мга и обозначаемое через Г. Ребра графа — это пространственные гладкие кривые, не имеющие самопересечений. Вершина графа — точка, являющаяся концом одного или нескольких ребер. Ребра графа и вершины заданы независимо друг от друга, при этом ребра графа обозначаются через 7 или 7к, если они занумерованы, а вершины — через а, аj• или bj (при этом предполагается, что нумерация вершин независима от нумерации ребер).

Считая ребра графа Г занумерованными, обозначим через V множество вершин графа, которые являются концевыми точками двух и более ребер. Такие вершины мы называем внутренними. Вершины графа, не принадлежащие V, будем называть граничными и обозначать их через дГ. Если вершина а является концевой точкой ребра 7к, то будем говорить, что ребро 7к примыкает к вершине а. Множество индексов всех ребер, примыкающих к внутренней вершине а, обозначим I(а). Всюду далее полагаем, что граф Г является конечным и связным множеством в Кга.

Под функцией на графе понимается отображение и : Г ^ С. Через ик будем обозначать сужение функции и на ребро 7к, т. е. ик(х) = и(х) при х Є 7к, ик(х) = 0 при х Є Г\7к. Везде ниже полагаем, что все рассматриваемые функции равномерно непрерывны по переменной х на каждом ребре графа. Множество всех таких функций мы обозначим через С [Г]. Далее, если а — произвольная вершина (граничная или внутренняя) графа Г, то под ик (а) понимается Ііт ик (х), х Є 7к.

х^а

Дифференцирование функций по переменной х Є Г на каждом ребре 7 Є Г осуществляется по параметру, причем подразумевается, что для этого ребро параметризовано в одном из двух возможных направлений.

Под интегралом функции и Є С [Г], взятым по графу Г, понимаем сумму интегралов по всем ребрам графа.

На протяжении всей работы считаем выполненными следующие условия:

(I) Коэффициенты оператора Ь удовлетворяют условиям: р^,с Є С[Гу], р Є С1,1 [Гу],

іп£_ р(х,г) > 0 и, кроме того, для всех (х,г) Є Гу, (х0,г0) Є Гу и 0 < и < 1

(х,£)Є Гт

|р(х,г) — р(хо,*о)| ^ А(|х — хоГ + |г — го|^)

1я(х,г) — q(xо,tо)| < А(|х — хоГ)

|с(х,г) — с(хо,іо)| ^ А(|х — хоГ);

(II) Функции / (х,г) Є С [Гу ], ф(х) Є С 1[Г];

(III) При каждом а Є дГ и V функции а, ак, в, к, тк Є С[0, Т], причем тк удовлетворяют

условию Гельдера с показателем 1 <и ^ 1. Также полагаем, что ак > 0 на [0,Т], а(а,г)-либо равна тождественно нулю, либо а(а, Ї) > 0, в(а, г) ^ 0 на [0, Т] и а2(а, Ї) + в2(а, г) > 0

при а Є дГ, г Є [0,Т]. При этом, если для некоторой вершины а Є дГ будет а(а,ї) = 0, то

считаем, что функция к(а,г) удовлетворяет условию Гельдера с показателем 2 < и ^ 1.

Определение 1. Фундаментальным решением уравнения (1) в Гу назовем функцию Н(х,Р, £,г), определенную для всех (х,ї) Є Гу, (£, т) Є Гу, г> т, которая удовлетворяет следующим условиям:

a) для всех фиксированных (£,т) Є Гу она, как функция (х,ї), х Є Г, т < г ^ Т, удовлетворяет однородному уравнению (1);

b) для каждой функции ф(х) Є С [Г]

Ьт / Н(х,г; С,тУф(С) % = ф(х).

Г

Пусть Ик(х, $,,т) — фундаментальное решение уравнения (1), суженного на цилиндр 7к х [0,Т ] ( см. [3]). Доопределим функции И к на все множество Гу, положив их равными тождественно нулю на Гу \ {7к х [0,Т]}. Тогда фундаментальное решение уравнения (1) можно представить в виде

т

И(х,Ъ С,Т) = ^ Ик(М; £,Т) = г(х,Р, £,т) + го(х,г; £,т),

к=1

где

0,

я(х,г; С,т) = <

ехр(—р(^-хт)°2), ак — х,С — ьк, 1к = [ак,ьк];

0,

х Є 'Ук, С Є к =

Я0(х,Ь; С,т) = J J Я(х,Ь; п,с)Ф(п,а; С,т)йпйа,

т Г

І

Ф(х,г; С,т) = ЬЯ(х,г; С,т) + J ^ ЬЯ(х,Ь; ц,а)Ф(ц,а; С,т)<1ц<1а.

т Г

Из результатов [3] следует, что Ф(х,£; С,т) разлагается в ряд

ф(x, г; ^ т) = ^(ЬЯ^(x, г; & т), и=1

І

где (ЬЯ)1 = ЬЯ и (ЬЯ)и+1 = / / ЬЯ(х,г; п,&)(ЬЯ)и(ц,а; С,т)<іп<іа, а для фундаментального

т Г

решения Н(х,г; С,т), при х и С принадлежащих одному и тому же ребру, имеют место оценки:

С 1

\Н(х,г; С,т)| —

( /. — т )Г їх — СІ 1 2^

(5)

(г — ту ^ — С|1-2м,

дН

~дх (х,Ь;С,т)

- С 1 1 и < < 1

— (г — т у |х — с|2-2^— , 2 <^< .

При этом сужения Нк, , д^2', непрерывны по совокупности переменных (х, г; С, т),

когда х и С изменяются в 7к, к = 1, 2т, и 0 — т < г — Т.

Пусть а Є дГ и V, 7к — некоторое ребро графа Г, примыкающее к вершине а, и <£>к(а,г) Є С[0,Т]. Рассмотрим потенциал простого слоя с плотностью рк

І

ик(х, г,а) = J Нк(х,г; а, т)рк(а,т)<!т, х Є 7к.

о

Согласно [3] имеет место соотношение на скачке

І

дик 1 дНк

Ііт^—(х,г) = —-Рк(х,г) + -г— (х,г; а,т)фк(а,т)йт, х Є 7к.

х^а дх 2 / дх

Обозначим через 7° ограниченную гладкую кривую, содержащую 7к. Применяя теорему

о продолжении непрерывных функций [4, 5], для каждого к = 1, 2т продолжим коэффициенты рк, qk и Ск оператора Ь на множество 7° так, чтобы выполнялись условия (I), и

І

обозначим через И к(х,Ц £,т) фундаментальное решение уравнения (1), суженного на цилиндр х [0, Т]. Тогда фундаментальное решение И(х,Ь; £,т) на Гу можно представить в

т

виде И(х, £; £,т) = ^ Ик(х, £; £, т). При этом для функции И остаются справедливыми все к=1

описанные выше свойства. Более того, в этом случае Ик и определены и непрерывны для х и £ из окрестности каждого ребрау^.

Теорема 1. При условиях (I) - (III) существует решение задачи (1)-(4).

Доказательство. Решение задачи (1)-(4) будем искать в виде

и(х,і) = ^2 ^2 ик(х,і,аз)

аі ЄдГ и V кЄІ(а,) і

+ ^ Н(x,t; £ 0)ф(£)ё.£ - ! J Н(х,і; п,аз,т)/(^т)д1£д1'г =

Г 0 г

і

ЕЕ н (х,і; аз,т )^(аз,т)іт + [ Н ^, і; ^ Щ(0^

а^ ЄдГ и УкЄІ(ау) о г

(6)

Н (х,«; п,а, ,т)/(£, т Щіт,

0Г

где <^>к С[0,Т] подлежат определению. Подставляя выражение для п(х,Ь) в краевые условия (2), (3), с помощью соотношения на скачке, получаем систему из 2т интегральных уравнений.

Для граничных условий имеем

а(an, і)

к0 (ап, і) +

дНк0 , .

+ а (ап , і) д (ап, і; апі т)

+

дН

в(an, і') Нко (ап, і; ав, т) + a(an, і) ^ (an, і; ав, т)

дх

(ап,і) = Н(ап,і),

в(an, і)Нко (ап,> і; an, т) +

Vко (ап, т)б,т+

^ко (аз,т ^$т+

(7)

где ап Є дГ, 7ко = [ап,а3],

дН в(ап,і)Н (ап,і; С, 0) + а (ап, і) -д^ (ап,і; С, 0)

0Г

дН в (ап,і)Н (а,п,і; С,т) + а(а,п,і) дх (ап,і; С,т)

Ф(С Ж -/ (С,т )^(1т.

і

і

2

і

і

Условия непрерывности дают равенства

Ик(ап, Ь; ак, т)<рк(«к, т) + Ик(ап, Ь; ап, т)<рк(ап, т)

йт—

Ико (an, Ь; ако , т)^ко (ако ,т) + Ико (an, Ь; an, т^^ко (an, т)

йт

+Р (ап,Ь) = Гк (ап,Ь),

где

Рк(an,Ь)

Ик(ап,Ь; £, 0) + Ико(«п,Ь; £, 0)

Ф(£Ж —

Ик(оп,Ь; £,т)+

+ Ико (ап ,Ь; £, т)

а условия согласования дают

f (£, т )(1£(1т, ап Е д Г,7к = [ак ,ап],к Е I (оп );

2 ^ ак(ап,Ь')^к(ап,Ь) +

кеТ(ап)

0 к£1(ап)

ак(оп, т) (оп, Ь; ак, т)рк(ак, т) +

где

+ак(оп, т)(оп, Ь; Оп, т)<£к(оп, т)

дИк

йт + Р(ап, Ь) = к(ап, Ь),

Р(оп,Ь)= I ^2 ак(«п,Ь)-И(ап,Ь; £, 0)фк(£)й£—

р к€/(ап)

У ак(ап,Ь)-И(ап,Ь; £,т)f (£,т)й£йт, «п Е V.

(9)

0 р к^1 (ап)

При этом функции Р(ап,Ь) и Р(ап,Ь) непрерывны по Гельдеру с любым показателем V Е (0,1) как сумма функций, непрерывных по Гельдеру ( см. [3]).

В равенствах (7)-(9) все интегральные уравнения, получающиеся из условий (2), (3), не содержащих производную по х функции п(х,Ь), являются уравнениями Вольтерра 1-го рода. Сведем их к уравнениям второго рода. Для этого умножим обе части каждого уравнения 1-го рода на (г — Ь)-1 и проинтегрируем по Ь от 0 до г. Меняя порядок интегрирования по Ь и т, получим, например, для уравнения (8)

И к (ап, г; Ок, т )<рк (ак, т) + И к (ап, г; ап, т )<£к (ап, т)

йт—

(10)

И ко (ап, г; ако ,т )^ко («ко ,т) + И ко (ап ,г; Оп, т )^ко («п, т)

йт = Як (ап,г);

где

И к (ап,г; ак, т )= (г — Ь) 2 Ик (ап,Ь; ак ,т )йЬ

Ъ

Ъ

Ъ

г

г

г

Як (ап, г) = j (г — Ь) 2 [г к (ап,Ь) — Р (оп,Ь)]йЬ = j (г — Ь) 2 Як (ап,Ь)йЬ.

00 Из определения функций И(х,Ь; £,т) и X(х,Ь; £,т) следует, что

тг ( \ I0, к =п;

Ик(«п,г;ак,г) = < г~<----\ ;

[ 2УРк(«п, г), к = п.

В силу условий (1)-(Ш), мы можем применить в равенстве (10) следущую лемму работы

[6]:

Лемма 1. Если функция f (Ь) удовлетворяет условию Гельдера с показателем V, 1 < V ^ 1, то функцию

Ъ

Я(Ь) = J (Ь — в)-2 f (в)йв

а

можно дифференцировать по Ь, причем

Ъ

Я>(Ь) = f (Ь)(Ь — а)-2 +1 [(Ь — в)-2 и(Ь) — f (в))йв.

Дифференцируя (10) в точке г = і, получим

+

_1— 1 [' _з — —

і 2 Як(ап,і) + 2 (і - в) 2 (Як(ап,і) - Як(ап,т))(1т =

0

2 (/’ркіап,і}^к (ап,і) ^ко (ако ,т)) +

дН к, ч / ч дН к, ч , ч

——(ап,і; ак,т)^к(ак,т) + ——(ап,і; а,п,т)<рк(ап,т) ді ді

вт—

(11)

дН

ко

дН

(ап,і; ако,т)<Рко(ако,т) + (ап,і; ап,т)^ко(ап,т)

ді

вт.

Если в каком-нибудь из условий на границе а(ап,і) = 0, то аналогично можно показать, что соответствующее интегральное уравнение приводится к виду:

і

Г1 р(і) + 2 J(і - в)-22 (р(і) - р(т))вт =^2- /Рко (ап,і)¥ко (ап,і) +

0 (12)

+

дНко (ап,і; as,т)ірко(аз,т) + (ап,і; а,п,т)^ко(ап,т)

ді

ді

вт

Таким образом, система уравнений (7)-(9) сводится к системе интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода (7) (или (12)), (9), (11).

Покажем, что систему уравнений 2-го рода можно записать в виде

і

Ф(і) = ц,(і) + ! N(і,т)Ф(т)вт, (13)

0

і

і

где

Ф(і)

( Фі(і) \ ф2(і)

у ф2т(і') у

^(і) — вектор-столбец, N(і,т) = \\Nji(і,т)|| — матричная функция, і,і = 1, 2т.

Пусть ап Є V, I(ап) = {к0, к\,... , к3}. С вершиной ап будет связано в уравнений вида

^ фко (ап, і) ^

(13) и одно уравнение вида (9). Обозначим через Ф(ап,і) вектор-столбец фкі (ап,і

через Ф(ап ,і) — вектор-столбец

\ фке (ап,і)

, где ако, ак1,... , ака — вершины, смежные с

\ <Ркв (ак,,Ь)

ап. Тогда систему из в уравнений, связанных с вершиной ап, можно записать в матричной форме

Ъ

1 Л(ап,Ь)^(ап,Ь) = М(ап,Ь)+ I Я\(Ь,т)^(ап,т) + N2(Ь,т)Ц(ап,т)йт, (14)

где А(ап, і) — матрица вида

( л/прко(ап,і) -\!пркі (ап,і)

л/прко (ап, і) 0

л/прко (ап,і) \ ако (ап, і')

0

акі (an, і')

-\/прк2 (ап, і)

0

ак2 (an, і')

0

0

-\!пРке (ап, і)

ака (an, і') )

Поскольку веіА(ап,і) = ^ акі(ап, і)л/прко(ап, і) = 0, то матрица А(ап,і) обратима.

ІЄІ(ап)

Умножая обе части системы (14) на А-1(ап,і), и переобозначая неизвестные функции, получим систему интегральных уравнений вида (13).

Рассмотрим теперь случай ап Є дГ. Здесь мы имеем уравнение либо вида (7), либо вида

(11), которые, с учетом условий (I) и (III), легко разрешаются относительно <фко(ап,і).

Покажем теперь, что система (13) имеет непрерывное ограниченное решение, представимое в виде

І

Ж р

Ф(і) = »(і) + Е (і, т)^(т)вт,

Пі(і,т) = N (і, т),

где

Пи (і,т)

N (і,п)Ки-і(п,т )вп.

Оценим порядок особенностей ядра N(Ь,т) интегрального уравнения (13). Заметим, что функции Nji(Ь,т) являются линейными комбинациями функций И к (ап,Ь; а^ ,т),

^(ап,і; аз,т), и ^(ап,і; аз,т). Оценки для Нк(ап,і; аз,т) и ^(ап,і; аз,т) даются в (5), поэтому остается оценить (ап, і; аз, т).

0

і

0

Имеем

___ Ъ

-и — г 1

— (а, Ь; Ь, т ) = — (Ь — в) 2 И (а, в; Ь,т )йв =

Т

Ъ

— ['

= — (Ь — в)-2X(а, в; Ь, т)йв+

Т

Ъ в

+— I(Ь — в)-2 11 X(а, в; п, а)Ф(п, о; Ь, т)й^йайв =

т 0 Г

= 11 + ^,

Оценим сначала интеграл 11. Для этого применим следующую лемму (см. [6]):

Лемма 2. Если функция f (Ь) удовлетворяет условию Гельдера с показателем V,

1 < V ^ 1, то функцию

Ъ

Я(Ь) = ! (Ь — в)-1 (в — т)-1 f (в)йв

Т

можно дифференцировать по Ь, причем

Имеем

Ъ

Я(Ь) = 1 [(Ь — в)-3 (в — т)-2 (1’(Ь) — f (в))йв.

г — ((Ь )-2 , )-2 /Р(Ь,т) ( Р(Ь,Ь)(а — Ь)2 \а

11 = т](Ь — в) 2 (в — т) 2~2-— ехр{ — 4(в — г) ) йв =

Т

_ \/р(ь,т)

2п

Ъ

[ (ь — в)-2 (в — т)-2 х

X

р(Ь,Ь)(а — Ь)2\ ( р(Ь,Ь)(а — Ь)2

ехр------------77---------ч-- — ехр ■ —

йв.

4(Ь — т) ) 4(в — т)

Если а = Ь, то, очевидно, 11 = 0. Рассмотрим случай, когда а = Ь. По теореме о среднем,

р(Ь,Ь)(а — Ь)2 ' ( р(Ь,Ь)(а — Ь)2'

поэтому

еХН — 4(Ь — т) ) — “Ч " 4(в — т)

1

= - J(в — т + 9(Ь — в))-2(Ь — в)р(Ь, т)(а — Ь)2х

0 ( '

„ ( Р(Ь,Ь)(а — Ь)2 '

х ехр ——--------------—--------— ав,

V 4(в — т + в(Ь — в)))

,______ 1 Ъ

г = /р(Ь,т) 1 Ъ (Ь в)-2 (в т)-1 Р(Ь,Ь)(а — Ь)2 „

11 = ~2^1 ,1(г — в 2 (в — т) 2 4(в — т + в(Ь — в))2 х

0Т

^ ( Р(Ь,Ь)(а — Ь)2 '

х ехр ——---------------—------— авав.

V 4( в — т + в(Ь — в)))

Применяя неравенство

z exp(-z) ^ 2e 2 exp(—-), 0 ^ z < +to,

получим

1 t

1 , si

Так как

I1 ^ Cj J (t — s) 2 (s — т) 2 (s — т + O(t — s)) 1x

0 т

( p(b,t)(a — b)2 \ddO

x exp----------------------—---------— dsdO.

PV 8(s — т + O(t — s))J

t — т ^ s — т + O(t — s) =

= (s — т + O(t — s))v((s — т)(1 — 0) + O(t — т))1 v ^ (15)

^ (s — т)v(t — т)1 -vO1 -v, то, используя сначала правую часть неравенства (15), а затем левую, найдем при 0 < v < 2

^ ( Р(Ь,т )(a — b)2 \ 1

л <C «p(— -т г-x

1 t

x [ Ov-1dO t (t — s)-1 (s — т)-1 -vds = —— exp( — р(ь,т)a bb

J J t — т \ 8(t — т)

0т

Наконец неравенство

U - ( Р(Ь,т)(а — b)2\ / и\-2и ,и -

(t — т) exp[-------8{t—r)-) ^ C (а — b) p(b, т)

дает оценку

11 ^ (—гГ* , v € (° 0 ■ (16)

Рассмотрим теперь интеграл

t

д f

h = dt (t — s)-1 Zo(a, s; b, т)ds.

Применяя к 12 лемму 1, получим

_1 1 fl _3

12 = Zo(a,t; b, т)(t — т) 2 +- (t — s) 2 Zo(a,t; Ь,т) — Zo(a,s; Ь,т)

2

т

ds.

С помощью рассуждений, аналогичных проведенным в работе [7], можно показать, что при фиксированных (£,т) объемный потенциал Х0(х,Ь; £,т) непрерывен по Гельдеру на каждом множестве 7к х [0,Т] по переменной Ь с любым показателем V Е (0,1). Поэтому, с учетом определения параметрикса X, имеем оценку

Ъ

С1 _ Л .3 ^ С1 (1

Г2 ^ -------“Г + С2 (Ь — в) 2 +!Уйв ^ --------Г , Е (2, 1 ). (17)

(Ь — т)2 ] (Ь — т)2 \2 /

Т

Если в формуле (16) положить V = | ,то из оценок (5), (16) и (17) следует, что ядро N(Ь, т) системы (13) имеет особенность вида

\N(Ь,т)\ < т,—^Г-^.

1 1 (Ь — т) 1 2

Поэтому для решения системы (13) применим обычный метод последовательных приближений, откуда следует существование непрерывного и ограниченного решения Ф(Ь) системы.

Таким образом, если в формуле (7) в качестве (а^ ,Ь) взять компоненты решения Ф(Ь),

то функция и(х,Ь) будет удовлетворять всем условиям (2), (3). То, что и(х, Ь) удовлетворяет уравнению (1), следует из равенства ЬИ = 0 и следующего результата (см. [3]):

Теорема 2. Если функция f (х,Ь) непрерывна на [а,Ь] х [0,Т] и локально непрерывна по Гельдеру по переменной х Е (а,Ь), равномерно по Ь, то функция

I ь

W (x,t)

H (x,t;С,т )f (С,т )dCdT

Оа

будет непрерывной функцией в [а,Ь] х [0,Т], а будут непрерывны при

х Є [а,Ь], ї Є (0,Т], и ЬШ(х,ї) = —/(х,ї).

Остается доказать, что п(х,і) удовлетворяет начальному условию (4). Полагая в формулах (5) ^ Є (1,1), получим

H (x,t;С,т )f (С,т )dC^

Ог

C

dт

Ог

dC

(t — т )-\x — С\1-2-

J (t — т)- J \x — CI1 2-

Ог

dт

(t — т )-

H(x, t; aj, т)<p(aj, т)dт

dт (t — т )-

\x — aj\2--1 ^

dт

(t — т))

Из последних неравенств и определения фундаментального решения H(x,t; С,т) имеем

limu(x,t) = lim H(x,t; С, 0)^(C)dC = ф(x).

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2007. 272 с.

2. Кулаев Р.Ч. Метод конечного интегрального преобразования для параболической задачи на графе // Сибирский математический журнал. Т. 50, вып. 2. 2009. С. 350-355.

3. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1969. 272 с.

4. L.M. Graves, The theory of functions of real variables. McGraw-Hill, 1956. 308 p.

t

t

t

t

t

t

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

6. Камынин Л.И. О существовании решения краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами // Известия академии наук СССР (сер. матем.). Т. 28. C. 721-744.

7. W. Pogorzelsky, Proprietes des integrales de I’equation parabolique normale // Annales polonici mathematici. V. 4. 1957. P. 61-92.

Руслан Черменович Кулаев

Южный математический институт ВНЦ РАН,

ул. Маркуса, 22,

362027, г. Владикавказ, Россия E-mail: kulaev@smath.ru