О методе конечного интегрального преобразования для гиперболической задачи на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

О МЕТОДЕ КОНЕЧНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ

© 2009 г. Р. Ч. Кулаев

Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, 362027, г. Владикавказ, ул. Маркуса, 22, [email protected]

Institute of Applied Mathematics and Information Theory of Vladikavkaz Scientific Centre, 362027, Vladikavkaz, Marcus St., 22, baskoffice@smath. ru

Излагается метод конечного интегрального преобразования решения смешанной задачи для уравнения гиперболического типа, заданного на геометрическом графе. На основе доказываемых априорных оценок дается обоснование метода.

Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение, интегральное преобразование на графе.

In work the method of final integrated transformation for the decision of the mixed problem on geometrical graph is stated. The substantiation of a method is given.

Keywords: graph, the differential equation, integrated transformation on the graph.

Интерес к дифференциальным уравнениям на геометрических графах и краевым задачам для них растет из года в год. И связано это прежде всего с тем, что подобные уравнения возникают при описании многих физических явлений (эволюционных процессов в упругих системах, при моделировании электрических и гидравлических сетей и др.). Поэтому естественным становится вопрос о методах аналитического решения задач на геометрических графах. В настоящей работе мы применяем конечное интегральное преобразование на графе [1] для решения следующей смешанной задачи:

д2и dt2

-ZT \ Р(х) ^r |" Ч(х)и + /(*= t) = Lu+ f(x, t), ox I ox

(x,t)eFT =Гх I,T u(pc,0) = <p(x) ,

dt

хеГ.

(1) (2) (3)

и(р,Г) = 0, Ъ(ЕдТ. Уравнение (1) рассматривается по пространственной переменной х е Г как уравнение на графе. В каждой внутренней вершине а графа задаются условия непрерывности и согласования:

и! (а, = <2г (р)щ (а, , /',/0 е 1(а) ,

2 Д(й)^(Й,/) = 0.

Ш(а) ОХ

(4)

Предполагаем, что р е С1 _, тГ р(х) > р0> 0,

хеГ

/ е С |> ср^С'Ц у Рассматриваемая задача имеет естественную физическую интерпретацию [2]. При а1(а) = I. Д(а) = />г(а) она моделирует процесс малых поперечных колебаний натянутой сетки из струн, копирующей в состоянии покоя плоский граф Г. Сетка закреплена на границе, что выражается условиями (3); (4) дают непрерывность деформации в узлах сетки и условия баланса сил, дейст-

вующих на узел со стороны каждой из примыкающих струн. Эта же задача описывает малые продольные деформации сетки из упругих стержней. Задача (1)-(4) получается вследствие применения вариационного принципа минимизации энергетического функционала [2].

1. Основные понятия и обозначения

Прежде всего дадим определения графа и функции [2], заданной на графе. Пусть дано конечное множество

попарно непересекающихся открытых отрезков Д ^

пространства Я". V - множество точек пространства Кп, являющихся концевыми точками двух и более интервалов; объединение всех точек интервалов у, и множества V-Г - геометрический граф (в дальнейшем просто граф). При этом интервалы у, будем называть ребрами графа Г, а точки множества V - его внутренними вершинами. Концевые точки ребер графа, не принадлежащие V, будем называть граничными вершинами графа Г . Совокупность всех граничных вершин обозначим через ЭГ. Если вершина а является концевой точкой ребра у ,, то будем говорить, что ребро у , примыкает к вершине а . Множество индексов всех ребер, примыкающих к внутренней вершине а, обозначим I(а). Всюду далее полагаем, что граф

является связным множеством в Я " и не содержит циклических маршрутов.

Будем рассматривать вещественнозначные функции нескольких переменных, у которых одна переменная имеет областью своего изменения граф Г. Области изменения других переменных могут быть различны, но пока они нас не интересуют, поэтому, в целях упрощения записи, для таких функций примем и=и(х), хеГ, а н, - сужение функции и на ребро у,-, т. е. иДх)=и(х) при х<е/1, иДх) = 0 при

х е Г \ у t . Везде ниже полагаем, что все рассматриваемые функции и: Г —»R равномерно непрерывны по переменной х на каждом ребре графа. Множество всех таких функций обозначим через С ["_. Далее, если а - произвольная вершина (граничная или внутренняя) графа Г , то под ut(ä) понимается lim ut(x),

х—>а

X<E/i ■

Дифференцирование функций по переменной х е Г внутри каждого ребра у е Г осуществляется по параметру, причем подразумевается, что для этого ребро параметризовано в одном из двух возможных

'/Л d п а~ь Л

направлении, т.е. иг (х0)= — (о+^й-r)L=s >

ds °

x0 e у = (a,b), s0 = |x0 - й||, при ориентации от b к а .

Пусть С1 - множество функций из С' [ _. имеющих внутри каждого ребра равномерно непрерывные производные; С2 f _- множество функций из

df _, имеющих на каждом ребре непрерывные производные 2-го порядка.

Под дифференциальным выражением 2-го порядка на графе будем понимать выражение вида

A( x)

д2и дх2

-В(х)— + С(х)и.

дх

Здесь А , В , С - функции одной переменной, определенные на графе Г . Дифференциальное выражение определено на множестве С2 f _. Его можно трактовать в виде системы m обычных дифференциальных выражений, рассматриваемых на каждом ребре графа.

Под интегралом функции и с С ['_. взятым по графу, понимаем сумму интегралов по всем ребрам

т

графа, т. е. Ju(x)dx = £ /иг (x)dx .

г

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, с учетом выбранной ориентации ребер графа, опреде-

Ь! а, - Ь, ляется равенством J ui(x)dx = )ui(ai + 5-)ds, где

7i a,- h

Yi =(«гЛ)> 0<s<lj, lt =\\at -¿¿I.

Интегральным преобразованием функции и е С _ называем линейный интегральный оператор Зи = ¡u(x)0(<^,x)dx, ставящий в соответствие и новую функцию и = г'(ц) = ли . При этом область преобразования - конечный граф Г ; Ф(с. х) - ядро интегрального преобразования. Функцию и - и(^) будем называть интегральным преобразованием или изображением, а совокупность всех изображений u -пространством изображений.

Преобразование = и{х), где 3 1 - оператор,

обратный оператору 3, переводящее функции и в и , будем называть обратным преобразованием, или формулой обращения.

2. Некоторые спектральные свойства краевых задач на графе

В дальнейших рассуждениях нам понадобятся некоторые предложения, связанные со следующей спектральной краевой задачей:

Ьи = (рИ'У = -ЛИ . (5)

Уравнение (5) следует понимать как дифференциальное, заданное на графе. Для входящих в (5) функций сохраняем те же предположения, что и выше. В каждой вершине Л с ЯГ кф) = 0, (6) в каждой внутренней вершине а

дИ,

hl(a) = al(a)hlo(a), £ Д.(a)--1 (a) = О,

Ш(а) ОХ

---W),

л /„ч

М0бДо), (7)

где 4, (а) Д7(а), Д (а) ~\Иа) - наборы вещественных чисел, свои для каждой вершины аеГ. Полагаем, что «¿о (а) = 1, а1 (а)Р1 (а) > 0 .

В (7) производные подсчитаны при параметризации ребер в направлении к вершине а .

Задача (5)-(7) обладает следующими свойствами [2, 3]:

1) спектр задачи состоит из последовательности собственных значений, не имеющей конечной предельной точки;

2) если граф Г не имеет циклических маршрутов, то спектр задачи вещественен;

3)задача

h(b) = 0, Ъ е 9Г, hj{a) = a*(a)hjQ (а),

dh,

(8)

(9)

2 А»—Ч«) = 0, Мое/(а),

Ш(а) ОХ

р, («)/?»

где ai (а) =-, Д (а) = a¡ (а)pi (а), являет-

Рг («)А0 («)

ся сопряженной для задачи (5)-(7);

4) спектры задач (5)-(7) и (8), (9) совпадают с учетом кратностей;

5) система корневых (собственных и присоединенных) функций полна, т. е. всякая функция, истокообразно представимая через функцию Грина интегрального оператора, обращающего задачу (5)-(7), разлагается в равномерно сходящийся на Г ряд по корневым функциям задачи (5)-(7).

Пусть ^ у - последовательность собственных

значений задачи (5)-(7), расположенных в порядке возрастания, причем каждое значение входит в последовательность столько раз, какова его алгебраическая

кратность;

4

3J

J - последовательности кор-

невых функций задач (5)-(7) и (8), (9); /)(/,) - множество функций класса С 2 ^ _, удовлетворяющих (6),

(7); !)(!'') - подмножество функций из С2 ['_. удовлетворяющих (9). Тогда, как показывает свойство 5),

и

для

всякой функции

и е D(L)

имеем

(11)

и= Iи{Лк)1гк{х) .

к=1

Если и е 1Н1,), то ряд (11) сходится на Г к функции и равномерно. Формулы (10) и (11) устанавливают взаимооднозначное соответствие между оригиналами из О(Ь) и их изображениями.

С учетом результатов п. 2 формула (10) принимает вид

и(Ак) = $р(х)и(х)1гк (х)с!х , (12)

где р - функция, определяющая оператор Р из леммы 1.

Применим к задаче (1)-(4) конечное интегральное преобразование (12). В пространстве изображений задача примет вид

d 2 u dt2

+ Äku = f(Äk,t)

du

u{Äk,0) = (p{Xk), —(4,0(14) dt

где f (4, t) = j p(x)f (x, t)hk (x)dx,

<P(h ) = \ P(x)<P(x)hk (x)dx, ) = J p(x)v(x)h (x)dx • Решение задачи (13), (14) задается равенством

и(4>0 =

1

и(х) = ^дкИк (х) , дк=\1г1 (х)и(х)й?х •

к=1 Г

В общем случае задача (5)-(7) не является самосопряженной. Для ее самосопряженности необходимо и достаточно, чтобы для любой вершины аеГ существовала константа С (а) такая, что (а) = = сх1 (а)р^ (а)С(а), /' е 1(а). Последнее условие гарантирует выполнение равенства /,у для всех и, уе £>(£)• Здесь - скалярное произведение в 1,2 - пространстве суммируемых с квадратом на Г функций.

Имеют место следующие утверждения.

Лемма 1 [4]. Существует линейный ограниченный оператор Р , взаимноодназначно отображающий пространство 1X1,) на !)(!*) и определяемый равенством 1'и = р(х)и(х). где и е 1X1.). р:Г—>К - положительная функция, постоянная на каждом ребре графа Г.

Теорема 1 [4]. Все корневые функции у являются собственными и образуют базис Рисса в

¿2 Г

Из теоремы следует, что для каждой функции / е Г _ее РОД Фурье по системе 4- ^ сходится к ней в среднем квадратичном.

Всюду далее будем считать, что в /,2 ['_ скалярное произведение определяется по формуле = \Ри- vdx, где Р - оператор из леммы 1.

3. Метод интегрального преобразования для смешанной задачи на графе

Как уже отмечалось выше, в [1] построено интегральное преобразование для краевой задачи на графе. Напомним основные результаты работы [1].

Интегральное преобразование на графе задается в виде интегрального оператора :/,2 ['^/2. представляемого в виде счетной системы равенств

(10)

и(Ак) = | и(х)кк {x)dx, к е N,

* О» Л

где, по-прежнему, % у , ^ - последовательности собственных значений и собственных функций задачи (8), (9).

Оператор Ь ставит в соответствие каждо й функции (оригиналу) меХ2 последовательность (изображение) и = ^ коэффициентов Фурье по системе собственных функций ^ . Обратное преобра-

зование (формула обращения) 3: /2 ^ /,2 [ опреде- теграл энеРгии ■>

(13)

х J f(Лк,5)srnV4 (t-s)ds + tp(Xk)cosJTkt + 0

1

y/(Äk)sm JAkt

(15)

а для смешанной задачи получаем формальное решение

СО _

(16)

к=1

4. Обоснование метода интегрального преобразования

Далее дается обоснование метода решения задачи (1)-(4). Обоснование метода интегрального преобразования проводится на основе априорных оценок функционала энергии.

Классическое решение. Единственность и непрерывная зависимость классического решения. Функцию м(х,/) е С2 ^С1 ^и^Гу , удовлетворяющую в Гу уравнению (1), начальным условиям (2), условиям (3) на 8ГТ =8Гх | ,Т~_ и (4) на Ух | ,Т~_,

назовем классическим решением смешанной задачи (1)-(4).

В дальнейших рассуждениях важную роль играет ин-

ляется как разложение оригинала в ряд по биортого-нальной системе у собственных функций задачи (5)-(7):

Эй"1]2 ( дил 2 ~5j +P\lk

+ qu

dx ,

представляющей собой сумму кинетической и потенциальной энергий колеблющейся системы. Здесь р -функция, определяемая в лемме 1.

Лемма 2. Пусть u(x, t) - классическое решение (1)-(4). Тогда

t

J2(t)=J2{Q) + )\p{x)f{x,s) — {x,s)dxds , (17)

dt

or

+ pep" + qcp" ctx ,

t e \,T~.

где ■ ■

г

Доказательство. Умножим уравнение (1) на

du

р — и проинтегрируем по I ■/■.

dt

, . du , , , du J /у —dxdt = J p —

dt

dt

dt2

л

- Lu

r du']2 (du^)2 2 +qu

dxdt =

dx-

- S C(aj )J

a^V

dUj Qu.

£ ß1{aJ)^{aJ,t) St ieI(aA 8x

dt -

. r du , , 1 ,

J P) —dxdt =-J P

гr c!t 2 r

(duY (du I 2

Ы Ч&1

г

dx.

du

dx

(t)< — i pp[^f \ dx< — J 2(t) :

l2IZ Рог КС*) Po

т. е.

du

dx

Аналогично

2

V PoJ (t). du

dt

l2\_

< 42j (t).

2\j{t)J'{t)\<\\f\\LiVit)

cki

dt

l2\

\ALi <t^J (t) -

J(t)<-r

fiVlLtt

40 •

Отсюда получаем оценку для J(t): J(t) < ./(0) + 1

+ —:= J f . -(s)ds, из которой выводим неравенства:

720"

l2[_

L2l_

(t)<4lJ(0) + J \\/\\L f 4s)ds, 0 2 1 -

Po

(t)<J—J(0) + J \\f\\L f <s)ds.

r\ 2 " —

(18) (19)

II и 2

Аналогично, дифференцируя функцию ||и||^ |,-(t),

применяя неравенство Коши - Буняковского и (18), получим

IML^'H

\\LA^J(0)t +

(20)

( И.Ьо I

0 2

Используя полученные оценки, докажем теорему. Теорема 2. Классическое решение задачи (1)-(4) единственно и непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что

\\и - u|| «.-(t) -

L2 I _

du du (t) + L2t_ u du

lit ~~dt dx dx

(t)

L2f~

+lf-fUr :(t)) -

ъ^дго о « дх

Из условий (3), (4) следует равенство нулю всех сумм, поэтому

\2

Заменяя Т на t, получим (17). Лемма доказана.

Для доказательства единственности и непрерывной зависимости классического решения задачи (1)-(4) применим метод интегралов энергии.

Предположим, что и - и(х, /) является классическим решением гиперболической задачи. Так как р(х) > ро > 0 наГ , то

t е \,Т~. (21)

Здесь и , и - классические решения, С = const не зависит от t.

Доказательство. Единственность решения вытекает из того, что в силу неравенства (20) однородная задача (1)-(4) (при ср = 0 , у/= 0 , / = 0 ) имеет только нулевое решение.

Докажем непрерьшную зависимость решения от начальных данных. Функция и—и является классическим решением задачи (1)-(4) с заменой /'. <р . ///

на f — f, (р — <р , цг — ц/ соответственно. Для решения

и —и оценим величину J (0):

J2(S>)=\\p\s-Y)2 +р(р'-р)2 +q((p-p)2~^c<

<С!(¡р-ЩгсII<р--г).

Применяя к решению и—и оценку (20) и последнее неравенство, получим

(t)).

На основе неравенств (18), (19) и оценки для J (0) устанавливаются неравенства:

cki ciu

~8t ~~dt

Дифференцируя равенство (17) по t и применяя неравенство Коши - Буняковского, имеем

l2 fj j

У-v'\L2V

+ f -

du du

dx dx

l2 fj J

I L2y-

I

(t)),

let;

+ f -

(0).

Теорема доказана.

Обобщенное решение. Пусть существуют последовательности /„ с С срп е С1 (//„ е С ['_. п £ ТУ, такие, что:

1 )/„=>/ (22) в ¡^ равномерно по г на [). 7

2) при каждом и е N существует классическое решение ип (х, ^ смешанной задачи

t

T

T

0

T

0

о

и—и

я2

О иг, dt2

= Lun +/«(4=0,

ип (х,0) = <рп (х), — (х,0) = ц/п (X) dt

(23)

удовлетворяющее условиям (3), (4).

Тогда, если существует функция и(х,/), непрерывная в \ _ по г на |,Т и такая, что ип =>и в Х2 _ равномерно по г, то функцию и назовем обобщенным решением задачи (1)-(4).

Теорема 3. Обобщенное решение задачи (1)-(4) единственно.

Доказательство. Пусть ып (x, t) - последовательность классических решений, сходящаяся к обобщенному решению ы(x, ^ в смысле определения. Применяя к ып оценку (20) и переходя к пределу, с учетом (22), (23), убеждаемся в справедливости оценки (20) для обобщенного решения. Аналогично для обобщенного решения устанавливаются оценки (18), (19), откуда уже следует единственность обобщенного решения. Теорема доказана.

Теорема 4. Если (р е 1X1,), у/ е /,2 [' . / непрерывна по г в Х2 _, то обобщенное решение задачи (1)-(4) существует и представляется рядом (16) -формальным решением.

Доказательство. Пользуясь теоремой разложения, представим функцию ф в виде равномерно сходящегося ряда

<р(х)= 2>(4)A¿(X) >

k=\

а функции ц/ и / в виде рядов

(24)

9/2 к=1

= I/ (4 >')**(*) = /„(*>'),

к=1

Зы

ип (х,0) = <рп (х), — (х,0) = у/п (х) . ¿я

т.е. функции и„, п е N удовлетворяют уравнению (23).

Таким образом, построена последовательность ип (х,г) классических решений задачи (23), таких, что выполнены соотношения (22). Остается показать, что последовательность ип сходится в Ь2 равномерно по I. Но это сразу следует, если примерить к разно-

сти ип-ир оценку (21) и привлечь соотношения (22). Теорема доказана.

Существование классического решения. Пусть 0(х, s) - функция Грина интегрального оператора, обращающего дифференциальный оператор Ь [2]. Тогда собственные функции ^ удовлетворяют

уравнению

^ \hk (х)\' к=1 4

hk (x)

= J G(x, s)hk (s)ds и равенству

Л д

■ = G(x, х),

(26)

причем последний ряд сходится равномерно на А. Докажем равномерную сходимость рядов

^\hk(x)2 ^\hk(x)\2

к=1 Л^ к=1 $

(27)

Равномерная сходимость 1-го ряда вытекает из равенства

= I('к Фк= (^к,Ик),

Лк А

свойств функции Грина, равенства Парсеваля для G и леммы Дини.

Равномерная сходимость 2-го ряда вытекает из равномерной сходимости ряда (26), первого ряда (27) и дифференциального уравнения

р(х)

Лемма 3. Пусть

р(х)

Ьф, \¡j е D(L) и f,

¥(х) = ZWih)h(*) , /(х,0=1 Д4,t)h(x), (25) k=1 _ k=1

сходящихся к ним в Z2 f _, причем последний ряд сходится равномерно по t. Это следует из непрерывности функции f по t .

Обозначим через и„, q>n, у/„, /„ частичные суммы рядов (16), (24) и (25) соответственно. Из определения

и —

функций й(40 следует, что un(x,t)= Хм(4/Ж(х)

k=l

принадлежит С2 |т Далее

32и„

-Lun = 1(и (Xk,t)hk{pc)-u(Xk,t)Lhk) =

8f

— sL2(At) . Тогда ряд (16) и ряды, полученные из

dt

него почленным дифференцированием по t один и два раза, сходятся равномерно на Кт .

Доказательство. Рассмотрим функции ü(Xk,t), определяемые равенством (15). Так как

- I ' - i—

м (4, 0 = ~¡= I f^k ,s)Sln л!Лк (* - s)ds +

_ V4 0

+ ф(Х к )cosJXkt + 1 _

+ -=ц/(Х k )smjxkt = лМ/fc

= {f{Xk, 0 - /(4 ,0) eos 0 -

Ák

1 ,—

--¡ f(Ak,s) eos y] Xk (t-s)ds +

h o

+ ф (Xk) cos -Jx^t + i— ^"(4) sin -Jx^t,

U '(4 '0 = 1/(4 ' C0S V 4 (t ~ s)ds -

_ o

= JIk<f> (Xk) sin T4~t + í^^k) cosjxkt = 1

/(4 '0) sin y¡Xkt +

/4 o

■ 1 /(4 , s) sin V 4 (/ - +

t

к

t

1

+ уркФ к )sin7^ + к ) cos yßkt,

й"(Лк, 7) = f(ÄuJ) - Лкй(Лк, 7) = = f(Äk,0) cos Jlj~t +

+ i/'(4^)cosV4 V ~ s)ds ~ 0 _

- кФ (4) cos yßk>t - V41W (4 ) sin ^41,

то получаем оценки

4\u (4, t f< c( f (Лк, t )2 + | f (Лк ,o)2 + +n| f (Лк, sf ds+4\¿(4 tf+ (4 )|2),

I ,2 i- \2 T\- |2

4|й'(4>0| <С(Л4,0) +П/'(4^)

0

(28)

|й'(4,о|2 <С(|/(Яь0)Г +г}|/'(4^)Г^ +

|2 Г. + 7

о'

+ 4t|0(4 )|2 + (4 )|2)-

5/"

Так как /, — е Z2 М-/-), то ряды

dt

2

T.

I 1/(4^)1 и 2 ||/'(4^)| Л (29)

¿=г 1 ¿=10

сходятся равномерно по г (напомним, что 7(4,7) = (/, )). Так как 1ф е £>(£), то 12ф е ¿2 [А]

к Л?кф(Лк) = Л\(ф,Нк) = Лк(Ьф,кк) = (Ь2ф,кк). Поэтому

. ОО . I__I

\ л\\1р(лк,е)\ ъ^ЫлА 1 k=1 1 1

I

Аналогично

I2^

^) = м

(30)

(31)

шения). Пусть ф. Ьф, <// е /Л/.) и /.

С

5? '

Тогда ряд (16) представляет классическое решение задачи (1) - (4).

du

U(x,0) = <р(х) , — (х,0) = ц/(х,0), dt

u(pt,f) = 0, z=l,2,3. (33)

Во внутренней вершине a графа задаются условия вида

щ (а, 7) = и2 (ci, 7) = м3 (а, 7) ,

9м,

du г,

du?

ии 1 СИТ (7М-3

—-(а,7) + 2——(а,7) + 3—-(а,7)=0 .

dx дх сЬс

Рассматриваемая задача моделирует процесс малых поперечных колебаний натянутой сетки из струн.

Для решения задачи применим метод интегрального преобразования. Согласно общей теории, построение интегрального преобразования непосредственно связано со следующей спектральной задачей:

d 2 h dx2

= -Лк , h(bj) = 0, / = 1,2,3, Aj (а) = й2 (а) = ^з (а) >

dhi dhr, dli?

dx dx dx

(34)

Собственные значения и собственные функции задачи (34), а также собственные функции сопряженной задачи были найдены в [1]. Если, по-прежнему,

р{к у - собственные значения, а ^ и ^

биортонормированные системы собственных функций задачи (34) и ее сопряженной задачи, то [1]

2ч 2 _2

4 =

(«-—) л при£ = 4и-3;

при£ = 4и-2; п2л2 при к = 4п -1,4«;

Из оценок (28) и сходимости рядов (29)-(31) следует утверждение леммы.

Теорема 5. (существование классического ре-

V2

Ак(х) =—Скsin 4h IIх - >

' 1 ^ 1

где п ,k<=N, С4и_3 =

:L2(ÄT). С

4n- 1

-1

v0y

(-1)

Г 1 ^

n+1

С

4n—2

( 1 ^ 1

V

е1)n

С4n -

е1)

^ 1

„.И1сх°д!мо!т1р!до!1т(2!); (2?) h*k(-х)=2у ск sin ix-^, где с.

и леммы 3 следует равномерная сходимость на А,, ряда (16) и всех рядов, полученных почленным дифференцированием по х и г один и два раза. Теорема доказана.

Пример. Пусть задан граф Г , состоящий из трех ребер = (й;, а), 7 = 1,2,3 с общим концом а . Длины ребер и У2 равны единице, длина ребра у^ равна двум.

3

Г 1 ^

4^ 3

1

2

3(-1)

^ 1

С.

4^ 2

3М)n

с.

4n—1

Г з ^

-3

v0^

, г * _

с 4n _

1

2

3(-1)

^ 1

В формулах для hk и /;,;. считаем, что при хг= 1.2.3 b=bj, а Ск и С^ равны 7 -й компо-

На множестве Гх Ц,Г_ рассматривается диффе- ненте соответствующего столбца.

ренциальное уравнение в частных производных

92М dt2

(х,7) = ^-(х,7) dx2

(32)

Применяя к задаче (32), (33) интегральное преобразование (12), приходим к следующей задаче Коши для изображения г7(А4,/):

дополненное начальными и граничными условиями

2

1

2

d 2 u dt2

+ Лк и — О .

du

и(Лк,0) = (р(Лк), — (Лк,Щ=у/(Лк), keN. dt

Находим решение этой задачи

и(Ак,^ = <р(Ак) сов + sm^Л^t.

л/4

Применяя обратное преобразование (16), получим решение задачи (32), (33)

и(х,/) = ^и(Лк,1)Ик(х) = к=1

X hk (x) cps/VJ cp(x)hk (x)dx-

hk

k=i

sin JA^t *

+ j— )y/(x)hk (x)dx ^.

Замечание. Изложенная в работе теория оставляет открытым вопрос об обосновании метода интегрального преобразования для задачи на графе, содержащем циклические маршруты. Однако, если задача на графе с циклами является самосопряженной, а именно такими и являются большинство задач математической физи-

ки, то все результаты работы остаются справедливыми. Как уже отмечалось выше, для самосопряженности задачи (1)-(3) необходимо и достаточно, чтобы для каждой вершины а е V существовала константа с (а), такая, что Д (а) = С(а)а, (а)р1 (а), / е /(а). Доказательства всех теорем для самосопряженной задачи на произвольном графе (с циклами или без) остаются теми же, что и в данной работе, с той лишь разницей, что в этом случае функция р, определяемая в лемме 1, равна тождественно единице.

Литература

1. Кулаев Р.Ч. Интегральное преобразование на графе

дифференциального оператора второго порядка // Владикавказский мат. журн. 2005. Т. 7, вып. 2. С. 78-85.

2. Дифференциальные уравнения на геометрических гра-

фах / Ю.В. Покорный [и др.]. М., 2004. 272 с

3. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых

функций краевой задачи на графе // Докл. РАН. 1994. Т. 335, № 3. С. 281-282.

4. Кулаев Р.Ч. Конечное интегральное преобразование на

графе. Препринт 2. ИПМИ ВНЦ РАН. 2007.

Поступила в редакцию

15 февраля 2008 г.