Применение конечных интегральных преобразований на графе к решению задач математической физики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2007, Том 9, Выпуск 4

УДК 517.927

ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА ГРАФЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Р. Ч. Кулаев

В работе приводится общая схема применения конечного интегрального преобразования на геометрическом графе (пространственной сети) для решения задач математической физики.

Ключевые слова: геометрический граф, краевая задача на графе, интегральное преобразование на графе.

Результаты данной работы развивают изложенную в [1] теорию конечных интегральных преобразований для линейного дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением

д2 и ди

Ьи = Л(х)—^ + Б(х)— + С(х)и, Л(х) = 0,х е Г. (1)

дх2 дх

Оператор Ь действует на множестве функций, определенных на конечном геометрическом графе Г С Ж", которые удовлетворяют на границе дГ графа условиям

и(Ь) = 0, Ь е дГ, (2)

а в каждой внутренней вершине а графа — условиям

щ(а) = аг(а)щ0 (а), г0,г е I (а), ^ вг (а) ^^ (а) = 0, (3)

г61 (а)

где I(а) — индексы ребер, примыкающих к вершине а, {аг(а)}г6/(а) и {вг(а)}г6/(а) — наборы чисел, свои для каждой вершины графа.

В выражении (1) А, Б, С : Г ^ Ж функции равномерно непрерывные на каждом ребре графа.

1. Основные понятия

Напомним основные понятия и результаты из [1]. Открытый связный геометрический граф (в дальнейшем просто граф) состоит из конечного набора непересекающихся произвольно занумерованных интервалов {7г}™ пространства Ж" и совокупности V(Г) точек пространства Ж", которые являются концевыми точками двух и более интервалов. При этом интервалы ^г называются ребрами графа, а точки множества V(Г) его внутренними вершинами. Концы ребер графа, не принадлежащие V(Г) называются граничными

© 2007 Кулаев Р. Ч.

вершинами и обозначаются дГ. Если вершина а является концом ребра 7», то говорят, что ребро 7» примыкает к вершине а.

Обозначим через С [Г] множество всех функций и : Г ^ Ж, определенных на графе Г и равномерно непрерывных на каждом ребре 7» £ Г. Во внутренних вершинах графа каждая функция из С [Г] может иметь различные пределы вдоль ребер, примыкающих к одной вершине. Если а — произвольная вершина (граничная или внутренняя), то под и» (а) понимается Иш и»(ж), х £ 7».

Дифференцирование функции по переменной х £ 7» внутри каждого ребра 7» осуществляется по параметру, причем предполагается, что для этого ребро 7» параметризовано в одном из двух возможных направлений. Производная функции и(ж) определена на объединении всех ребер графа. Множество функций из С [Г], имеющих непрерывные

т

производные на и 7», обозначим через С 1[Г], а множество функций из С 1[Г], непрерывно

г=1

т

дифференцируемых на и 7» — через С2[Г].

ъ=1

На графе Г рассмотрим спектральную задачу

Ьи = —Аги (4)

с условиями (2), (3).

Пусть {А&— спектр задачи (4), (2), (3), {Ни (х)}^° — корневые (собственные и присоединенные) функции, а {Н£ (х)}^° — корневые функции задачи сопряженной к задаче (4), (2), (3). Тогда [1], если — множество всех функций пространства С2[Г], удовлетворяющих условиям (2), (3), то под интегральным преобразованием, порожденным дифференциальным оператором Ь, понимаем интегральный оператор : ^ ¿2, представляемый в виде счетной системы равенств

й(Ак) = У и(ж)Н£(х)г(х) ^х, к £ N. (5)

г

Здесь г — весовая функция, приводящая выражение Ь к самосопряженному виду. Оператор ставит в соответствие каждой функции (оригиналу) из последовательность (изображение) ее коэффициентов Фурье по системе корневых функций {Н^}. Обратное преобразование (формула обращения) ^Х—1 : ¿2 ^ ^Х(О^) ^ С2[Г] совместно с устанавливает взаимнооднозначное соответствие между оригиналами и изображениями. При этом определяется как разложение оригинала в ряд по системе {Ни}:

те

&—1 й = и(х) = ^ Нк (х)и(Ак). (6)

и=1

2. Общая схема применения конечных интегральных преобразований к решению задач математической физики

Применение конечных интегральных преобразований для получения решений краевых задач математической физики проиллюстрируем на примере одномерной задачи.

Всюду далее нами рассматриваются функции и : Г х [0, Т] ^ Ж, у которых первая (пространственная) переменная имеет областью своего изменения граф Г, а вторая

(временная) — отрезок [0, T] С R. Для всякой такой функции u(x, t) через Ui(x, t) обозначается ее сужение на ребро Yi, т. е. полагается Ui(x,t) = u(x,t) при x G Yi и Ui(x,t) = 0 при x G Г \ Yi. Все рассматриваемые ниже функции предполагаются равномерно непрерывными на каждом ребре графа.

Пусть требуется найти решение u = u(x, t) дифференциального уравнения в частных производных

д2 u du

+ n~gt = Lu + f (x,t) (a,b = const) (7)

со следующими краевыми и начальными условиями:

u(b,t) = 0, b G дГ, (8)

du

u(x, 0)= p(x), — (x, 0)= ф(x), (9)

где р, ф — заданные функции из C[Г]. В каждой внутренней вершине a G V(Г) решение u(x,t) удовлетворяет при каждом t G [0,T] условиям (2), (3).

Уравнение (7) рассматривается на Г х [0, T] и принимается по пространственной переменной x G Г как уравнение на графе.

Применим к системе (7)-(9) конечное интегральное преобразование (5), другими словами, найдем результат действия на систему (7)-(9) оператора Lx. При этом оригиналу u(x, t) сопоставляется изображение

u(Xk,t) = J u(x,t)hk(x)r(x) dx, г

а исходной задаче (7)-(9) в пространстве оригиналов сопоставляются следующие краевые задачи в пространстве изображений [1]:

+ ndu + Xk u = f(Xk ,t), (Ю)

du

u(\k, 0)= p(\k), dt (Xk, 0) = 4>(\k), k G N, (11)

где

f(Xk,t) = J f (x,t)hk(x)r(x) dx, г

p(xk) = j p(x)hk(x)r(x) dx, (12) г

tp(\k) = J ф(x)hk(x)r(x) dx. г

Счетная система обыкновенных дифференциальных уравнений (10) с условиями (11) эквивалентна дифференциальному уравнению в частных производных (7) с условиями (8), (9). Таким образом в пространстве изображений мы имеем более простую задачу — задачу Коши (10), (11).

Решение задачи Коши (10), (11) задается равенством:

ь

и(Аи,*) = У /(Аи,«)К(Аи,¿,5) ^

+ ^(Аи) | (Аи,0) + пК(Ак,0)1 + ).К(Ак,0).

(13)

В формуле (13): К(Аи,¿,5) — функция Коши (фундаментальное решение); интегралом задается решение уравнения (10), удовлетворяющее однородным начальным условиям

ди

и(Аи, 0) = 0, — (Аи, 0) = 0;

внеинтегральные слагаемые дают решение соответствующего (10) однородного уравнения с неоднородными условиями (11).

В случае . = 0 функция Коши определяется по правилу:

К (Ак ,¿,5) =

1

.Ш (5)

где ^ч(Аи, ■) и ^2(Аи, ■) — фундаментальная система решений, соответствующего уравнению (10) однородного уравнения, Ш(■) — определитель Вронского. В частности, в гиперболическом случае (а = 0, Ь = 0)

К (Аи ,¿,5) = ^^тд/—^ (4 — 5). У.Аи у .

Если . = 0, п = 0, то в силу Аи ^ при к ^ [2], найдется такой номер N, что при к > N будет выполняться неравенство ^ ^ и тогда

К (Аи ,¿,5) = <

2 -п \/п2 — 4.Аи

-е увп-

\/ п2 — "" 2.

2 - ^ (^ . — П2 —. = е ят-

л/ 4.А& — п2 2.

(£ — 5), при к < N, (£ — 5), при к > N

- 23- (*-«) е %

при А^ =

,2

.

В параболическом случае (. = 0, п = 0) левая часть (10) принимает вид п + Аии и

К (Аи ,¿,5) = 1 е- V(ь-5).

Возвращаясь теперь из пространства изображений и в пространство оригиналов, применим к (13) оператор Ь-1 — формулу обращения (6). Приходим, с учетом (12), к формальному решению исходной задачи (7)-(9):

те те „ „

и(х,£) = ^] Ни (х)и(Ак = ^ Ни (х) у у ДЫНи (£)г(£)К(Ак ,¿,5) ^

и=1 и=1 о г

+ Ни (х)

и=1

дК

¥>(0 (Аи, 0) + пК(Аи, 0) + ^(£).К(Аи, 0)

Н£(£)г(£) ¿е.

В (14) первая сумма отражает вклад в решение от неоднородной части уравнения (7), а вторая — от начальных условий (9).

3. Обоснование метода интегрального преобразования

В этом пункте будет дано обоснование изложенного в п. 2 метода для следующей смешанной задачи:

d2u д ( дп\

W = дх [ф)дх)- q(x)u +f (x,t) = -LoU + f (x,t), (15)

(x,t) G Гт = r x [0,T], ди

u(x, 0) = v(x), — (x, 0) = ф(х), x G Г, (16)

u(b,t) = 0, b G дГ. (17)

В каждой внутренней вершине a G V(Г) задаются условия непрерывности и условие согласования:

ui(a,t) = uj(a,t), i,j G I(a), ^ pi(a)(a,t) = 0. (18)

iel (a)

/ m \

Предполагаем, что p G C1 [Г], inf p(x) > p0 > 0, q G C[Г], q ^ 0, f G C U Yi x [0, T] ,

жег \i=i J

V G С1(Г), ф G C(Г).

Рассматриваемая задача является частным случаем задачи (7)-(9) (ß = 1, п = 0, ai(a) = 1, ßi(a) = pi(a) = lim p(x), x G Yi) и имеет естественную физическую интерпретацию [3]. Она моделирует процесс малых поперечных колебаний натянутой сетки из струн, копирующей в состоянии покоя плоский граф Г. Эта же задача описывает малые продольные деформации сетки из упругих стержней. В обоих случаях сетка закреплена на границе, что выражается условиями (17). Условия (18) дают непрерывность деформации в узлах сетки и условия баланса сил, действующих на узел со стороны каждой из примыкающих струн (стержней). Задача (15)-(18) получается вследствие применения вариационного принципа минимизации энергетического функционала [3].

3.1. Классическое решение. Единственность и непрерывная зависимость классического решения. Для задачи (15)-(18) формальное решение (14) принимает вид

те

u(x, t) = ^2 u(^k,t)hk(x), (19)

k=i

где

t

1 r 1

u(Xk, t) = f (Xk, s) sin^/xk(t - s) ds + tp(Xk) cos^/Xkt + ф(\k) sin^/xkt, (20)

V Xk J \ xk

0

f (Xk,t), V(Xk), ^p(Xk) определяются равенствами (12), а hk — нормированные корневые функции спектральной задачи

L0h = -Xh, x G Г,

h|dr = 0, hi(a) = hj(a), i,j G I(a), ^ Pi(a)hi(a) = 0, a G V(Г). (21)

iei (a)

Задача (21) является самосопряженной, поэтому все функции Ни являются собственными и, в силу теоремы разложения [2], образуют полную ортонормированную систему в Ь2(Г) — пространстве суммируемых на Г с квадратом функций.

Определение. Функцию и(х^) £ С2[Гт] П С 1[ГТ и дГт], удовлетворяющую в Гт уравнению (15), начальным условиям (16), условиям (17) на дГт = дГ х [0,Т] и условиям (18) на V(Г) х [0, Т] назовем классическим решением смешанной задачи (15)-(18).

В дальнейших рассуждениях очень важную роль играет интеграл энергии

✓ 2ю=2 /

ди

ди

т + Пах' + 9и

представляющей собой сумму кинетической и потенциальной энергий колеблющейся системы.

Лемма 1. Пусть и(х^) —классическое решение (15)—(18). Тогда

т

✓ 2(*) = (0) + | I/(х,5) ди (х,5) (х(5,

о г

(22)

где

✓ 2(0) = + Р^'2 + ] ¿х, г £ [0,Т].

< Умножим уравнение (15) на д- и проинтегрируем по Гт:

Гт

ди ди д2и

= у + Ьои)

т

Е1

т

ди д2

и

(¿(х +

2 т

ди

*) о + 0 г0

т

ог ог

• + -и-ди»

Р» дх \ дх / дх дt

ди

Ж

Ьои(х dí

го

д ди» ди»

(х

■ и

ди» ди» ди» ди» И И "яг(а,, (а,) ях (а,, *) — I] яг (Ь,, *)р» (Ь,) ях (Ь,, ¿и ^

г* (а,

а, 6У(Г) ¿6/(а,)

ди 2 ди 2 2

ж + РЫ +9и

т

т

о

(х — Е I (а,^ Р»(а,)(а,^

т

Е

Ь, 6 дГ 0

ди»

„ ^ (а-а, 6У (Г) о »6/(а,)

ди»

(Ь,, (Ь, ) (Ь,

(И

Из условий (17), (18) следует равенство нулю всех сумм, поэтому

^ ^ 2

гт

ди 2 ди 2

ж + Р Ы +""2

2

т

(х.

2

2

Ь, бдГ

о

Заменяя Т на получим (22). >

Для доказательства единственности и непрерывной зависимости классического решения задачи (15)-(18) применим метод интегралов энергии.

Предположим, что и = и(х, ¿) является классическим решением гиперболической задачи. Так как р(х) > Ро > 0 на Г, то

2 1 с / п \ 2

du

dx

L2 (Г)

(t) < 1 Мтг! dx < - J2(t)

Po У V^x/ Po

т. е.

du

Аналогично,

dx du

(t) W i2 j (t).

Ь2(Г) V po

dt

(¿) < ^2 ^ (¿).

¿2 (Г)

Дифференцируя равенство (22) по Ь и применяя неравенство Коши — Буняковского,

имеем

ди

2|J(t)J'(t)| < ||/IU2(Г)(t)

dt 1

¿2(Г)

J(t) < X2 I/11L2(Г) (t).

(t) < II/|L2(r)(t^V2 J (t),

Отсюда получаем оценку для ^ (¿):

ь

✓ (*) < ✓ (0) + -¿=1 II/Надф (5. о

Из этой оценки выводим неравенства:

ди

dt du

L2 (Г)

(t) < V2J(0)+ / II/|L2(r)(s) ds,

dx

L2(r)

t

(t) ^ Vp0 J (0) + / II/11L2 (г) (s) ds,

(23)

(24)

Аналогично, дифференцируя функцию ||и|¿2(г) (¿), применяя неравенство Коши — Буняковского и неравенство (23), получается оценка:

ь

НиНъкпФ < 1М1ь2(Г) + ¿2 ✓ (0) i + 1 ^ — 5) II/|Ь2(Г)(5) (5. (25)

о

Теперь, используя полученные оценки, докажем следующую теорему.

Теорема 1. Классическое решение задачи (15)—(18) единственно и непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что

lu - uIIL2(r) (t) +

du du (t) + L2 (Г) du du

at - at dx dx L2 (Г)

(t)

< C(^ - <^с[Г] + - IL2(Г) + II/ - /Ik^)), t G [0,T].

Здесь u, u — классические решения, а C = const не зависит от t.

ди ди

~дЬ — ~dt

ди ди

dx dx

< Единственность решения вытекает из того, что, в силу неравенства (25), однородная задача (15)-(18) (при р = 0, ф = 0, f = 0) имеет только нулевое решение.

Докажем непрерывную зависимость решения от начальных данных. Функция и — и является классическим решением задачи (15)-(18) с заменой на f — f, р — р, ф — ф соответственно. Для решения и — U оценим величину J (0):

J2 (0) = \j [(ф — Ф)2+p (( — О2 + q (р — р)2]dx

г

< C1 (\\Ф — Ф\\2Ыг) + У — р'|Ц2(г) + \\р — Ф\\о[г]) .

Применяя теперь к решению и — и оценку (25) и последнее неравенство, получим:

\\и — u\\L2(T)(t) < с{\\р — ф\\сг + У — Ф'\\Ь2{Г) + \\Ф — Ф\\Ь2(Г) + \\f — f\\b2(r)(t)).

Аналогично, используя неравенства (23), (24) и оценку для J (0), устанавливаются неравенства:

(t) < с[\\р — р\\с[Г] + У — р'У^г) + \\Ф — ФК(Г) + \\f — f \\L2(r)(t)),

L2 (г)

(t) < с[\\р — р\с[Г] + У — р'Уыг) + \\Ф — ФК(Г) + \\f — f\\L2(r)(t)). >

L2(r)

3.2. Обобщенное решение.

Определение. Пусть существуют последовательности fn £ C [U™ 1 Yi х [0, T]], рп £ с1 [Г], фп £ с [Г], n £ N, такие, что

1) fn ^ f в ¿2[Г] равномерно по t на [0,T];

рп ^ р в с [Г], фп ^ ф в Ь2[Г], р'п ^ р в Ь2[Г};

2) при каждом k £ N существует классическое решение un(x,t) смешанной задачи

д2 и

= Loип + fn(x, t),

дип (28)

ип(х, 0) = рп(х), (x, 0) = фп(х),

удовлетворяющие условиям (17), (18).

Тогда, если существует функция v,(x,t), непрерывная в L2(r) по t на [0, T] и такая, что ип ^ и в L2(r) равномерно по t, то функцию и назовем обобщенным решением задачи (15)-(18).

Теорема 2. Обобщенное решение задачи (15)—(18) единственно.

< Пусть v,n(x,t) — последовательность классических решений, сходящаяся к обобщенному решению u(x, t) в смысле определения. Применяя к функциям ип оценку (25) и переходя к пределу с учетом (27), (28), убеждаемся в справедливости оценки (25) для обобщенного решения. Аналогично для обобщенного решения устанавливаются оценки (23), (24), откуда уже следует единственность обобщенного решения. >

Теорема 3. Если ф £ , ф £ ^2(Г) и / непрерывна по Ь в ¿2(Т), то обобщенное решение задачи (15)-(18) существует и представляется рядом (19) — формальным решением.

< Пользуясь теоремой разложения [2], представим функцию ф в виде равномерно сходящегося ряда

те

ф(ж) = £ ф(Ак )Лк(ж), (29)

к=1

а функции ф и / в виде рядов

те те

ф(ж) = £ ф(Ак (ж), / (ж, Ь) = £ /(А*, (ж), (30)

к=1 к=1 сходящихся к ним в £2(Г), причем последний ряд сходится равномерно по Ь. Это следует из непрерывности функции / по Ь.

Обозначим через ип, фп, фп, /п частичные суммы рядов (19), (29) и (30) соответствен-

п

но. Из определения функций н(А&, Ь) следует, что ип(ж,Ь) = ^ и(А&, (ж) принадле-

к=1

жит С2[ГТ] П С 1[ГТ и дГт]. Далее,

д 2 и п те

+ £оип = ^(и"(Ак (ж) + и(Ак ) = ^ /(А&(ж) = /п(ж,Ь),

к=1 к=1

ди

Пп(ж, 0) = фп(ж), "д^1 (ж, 0) = фп(ж),

т. е. функции ип, п £ Н, удовлетворяют (28).

Таким образом, построена последовательность ип(ж,Ь) классических решений задачи (28) таких, что выполнены соотношения (27). Остается показать, что последовательность ип сходится в £2(Г) равномерно по Ь. Но это сразу следует, если примерить к разности ип — ир оценку (26) и привлечь соотношения (27). >

3.3. Существование классического решения. Пусть С(ж, в) — функция Грина интегрального оператора, обращающего дифференциальный оператор £о, действующий на множестве функций из С2[Г], удовлетворяющих условиям (2), (3) [3]. Тогда собственные функции {Л&} удовлетворяют уравнению

Лк (ж)

Г

= У С(ж, (в) ^

£ М^ = С(ж,ж). (31)

и равенству

£ ]Л к=1 Ак

Причем последний ряд сходится равномерно на Г. Докажем равномерную сходимость рядов

£ I Ч (ж) 12, £ I Лк (ж) 12. (32)

к=1 Ак ' к=1 А3 Равномерная сходимость первого ряда вытекает из равенства

Лк (ж)

= J СХ(ж,5)Лк(в) = (СХ,Лк),

Ак У ^

Г

свойств функции Грина, равенства Парсеваля для и леммы Дини.

Равномерная сходимость второго ряда вытекает из равномерной сходимости ряда (31), первого ряда (32) и дифференциального уравнения

/// ч Р'(х), , ц(х) - Хк

1к(х) = - Ш к (Х) + -фГ'

Лемма 2. Пусть р, Ьо р, ф £ и f, ^ £ Ь2(Гт). Тогда ряд (19) и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по Ь один и два раза, сходятся равномерно на Гт.

< Рассмотрим функции и(Хк,Ь), определяемые равенством (20). Так как í

1 Г ч ............1

1 Г 1

п(Хк, Ь) = f (Хк, в) зтт/хкк(Ь - в) йв + р(Хк) созу/ХкЬ + —= ф(Хк) ат^/хкЬ

V Х^ у хк

о

í

= -1 ^(Хк, Ь) - ¡(Хк, 0) С08\/%^ - и ¡'(Хк, в) С08\/%(Ь - в) йв

о

+ р(Хк) сов л/ХкЬ + —ф(Хк) вш л/ХкЬ,

Хк

í

и'(Хк,Ь) = ! ¡(Хк,в)со8л/Хк(Ь - в) йв - \/хкр(Хк)8тл/ХкЬ + ф(Хк)со8л/ХкЬ

о

1 __1 г _

= —= ¡'(Хк, 0)sin^/хk Ь + —= ¡'(Хк,в)ё1пЛ/Хк(Ь - в) йв Хк Хк

о

- л/Хкр(Хк)вту/ХкЬ + ф(Хк)сов\/ХкЬ,

í

(Хк,Ь) = ] (Хк, Ь) - Хки(Хк, Ь) = ¡(Хк, 0) совл/ХкЬ + ^ ¡'(Хк, в) совл/Хк(Ь - в) йв

и

о

- Хкр(Хк) совл/ХкЬ - Хкф(Хк) вту/ХкЬ,

то

т

Хк\и(Хк,Ь)\2 < С(\¡(Хк,ь)\2 + \/(Хк, 0)|2+тI \,Г(Хк,в)\2 йв+Хк\р(Хк)|2+Хк\ф(Хк)\2), (33)

о

т

Хк\и'(Хк ,Ь)\2 < С (И (Хк, 0)\2 + т| ¡'(Хк ,в)\2 йв + Х|\р(Хк )\2 + Хк\ф(Хк )\2),

о т

\и''(Хк ,Ь)\2 < С (¡(Хк, 0)\2 + т! ¡'(Хк ,в)\2 йв + Хк\р(Хк )\2 + Хк\ф (Хк )\2).

о

Так как ¡', ^ £ Ь2(Гт), то ряды

т

те те

2

^2\ЯХк ,Ь)\2 и £ ¡'(Хк ,Ь)\2 йЬ (34)

к=1 к=1 0

сходятся равномерно по Ь (напомним, что f (Хк,Ь) = (¡,Ь!к)).

Так как Ьо ф € , то £0 ф € ¿2(Г) и

АкФ(Ак) = Ак(ф, Лк) = Ак(Ьо ф, Лк) = (Ь°ф, Лк).

Поэтому

те

ЕА4к I ф(Ак) I к=1

Аналогично

те

ЕАк I Ф(Ак) I к=1

Из оценок (33) и сходимости рядов (34)-(36) следует утверждение леммы. >

Теорема (существование классического решения). Пусть ф, Ьф, ф € и /,

€ Ь2(ГТ). Тогда ряд (14) представляет классическое решение задачи (15)-(19).

< Из сходимости рядов (31), (32) и леммы 2 следует равномерная сходимость на Гу ряда (19) и всех рядов, полученных почленным дифференцированием по ж и Ь один и два раза. >

Литература

1. Кулаев Р. Ч. Интегральное преобразование на графе для дифференциального оператора второго порядка // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, вып. 2.—С. 78-85.

2. Завгородний М. Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // ДАН.— 1994.—Т. 335, № 3.—С. 281-282.

3. Покорный Ю. В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах.—М.: Физматлит, 2004.—272 с.

= 11Ьо фУь2(г)-

= 11Ьоф1к2 (Г).

(35)

(36)

2

2

Статья поступила 3 сентября 2007 г.

КУЛАЕВ РУСЛАН ЧЕРМЕНОВИЧ, к. ф.-м. н. Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Владикавказ, 362027, РОССИЯ