CC BY
11Далее сравниваем решения на ячейках А, В, С, как показано на рис. 1, с периодическим решением D.
Из рис. 2 видно, что структурная функция очень похожа на периодическую. Различия наблюдаются более явно на тех ячейках, которые ближе к цилиндрической поверхности, о чем свидетельствует рис. 3.
Численные расчеты для поиска компонент структурных функций Nimn(x 1,^2), Vimn(x 1,^2), Uimn{x 1, Ж2) и Mimnix 1, Ж2) показывают, что в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором структурные функции не являются периодическими функциями координат. При удалении от границы, в глубь тела, на величину структурного параметра функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
2. Горбачев В.И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 57-60.
3. Горбачев В.И., Емельянов А.Н. Осреднение задач моментной упругости композитов // Упругость и неупругость: Доп. мат. Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, поев. 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 г.). М.: Изд-во МГУ, 2012. 81-88.
Поступила в редакцию 28.09.2016
УДК 539.3:534.1
СТАЦИОНАРНЫЕ СЕЙСМИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА
В ВЯЗКОУПРУГОМ ГРУНТЕ
М. HI. Исраилов1, Л. Р. Акчаматова2
Исследуются совместные стационарные продольные колебания трубопровода и вяз-коупругого грунта при землетрясении. В конкретных примерах грунтов, описываемых моделями Кельвипа-Фойгта и вязкой жидкости, выявлены принципиальные качественные и количественные эффекты влияния вязкости на поведение и сейсмостойкость металлических (стальных) и бетонных трубопроводов.
Ключевые слова: сейсмические колебания, трубопровод, вязкоупругий грунт.
Steady-state coupled longitudinal vibrations of a pipeline and a viscoelastic soil during an earthquake are studied. Using specific examples of soils described by the Kelvin-Voigt model and by the viscous liquid model, the main qualitative and quantitative effects of viscosity on the behavior and seismic stability of metallic (steel) and concrete pipelines are clarified.
Key words: seismic vibrations, pipeline, viscoelastic soil.
1. Постановка и решение задачи об установившихся сейсмических колебаниях трубопровода в вязкоупругом грунте. Уравнение продольных колебаний трубопровода, вызванных распространением сейсмических волн в окружающем его линейно-вязкоупругом грунте, выведено в [1]. Метод вывода основан на решении "внешней" задачи о сдвиговых колебаниях вязкоупругого грунта для вычисления касательных напряжений на поверхности трубопровода (сил взаимодействия), приводящих его в продольное движение, и использовании установленной в работе аналогии трубопровода с линейной цепочкой сосредоточенных масс, когда он моделируется жесткими сегментами, соединенными на стыках упругими пружинами (в случае упругого трубопровода). При этом в постановке задачи для грунта граничные условия (заданные перемещения woiz,t) в сейсмической
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф. Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
2Акчаматова Лариса Рамдыевна — ассист. Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: akchamatovaQmail.ru.
волне в направлении оси трубопровода) сносятся с поверхности земли на коаксиальную трубопроводу цилиндрическую поверхность г = R, радиус которой равен или меньше, чем глубина залегания трубы. Здесь (г, 9, z) — координаты точек среды (грунта) в цилиндрической системе, ось z которой направлена вдоль оси трубопровода, а t — время. Полученное описанным образом уравнение продольных сейсмических колебаний трубопровода в вязкоупругом грунте, которое имеет вид
^ = Ш + SEHR/а) {Mw° -U)-jnt- т)М*,т) - U{z,T)] drj , с§ (1)
и есть интегродифференциальное уравнение относительно продольного перемещения трубопровода U(z,t). Константа /л и функция релаксации T(t) характеризуют сдвиговые механические свойства вязкоупругого грунта в зависимости касательных напряжений arz от сдвиговых деформаций erz (в определяющем соотношении)
CT г
ъ
2perz- J Г(t - T)erz(r) dr, (2)
а константа E (модуль Юнга) характеризует механические свойства материала трубопровода плотности р'. Наконец, S есть площадь поперечного сечения трубопровода радиуса а; в дальнейшем примем S = irD5(l — 5/D) ~ irD5 при толщине стенок труб 5, существенно меньших диаметра D = 2а {5/D<. 1).
Рассматривается случай стационарных (или установившихся) колебаний трубопровода и вязко-упругого грунта, когда заданные на границе г = R продольные перемещения изменяются по закону
wo(z, t) = Ао exp [iu)(z/c — t)] , (3)
Где с — "видимая" (на поверхности земли) скорость распространения сейсмической волны, соответствующая общему случаю, когда плоскость равной фазы падающей плоской сейсмической волны образует произвольный угол с осью трубопровода. В отличие от постановки упругой задачи возможность реализации граничного условия (3), когда перемещения wq на поверхности г = R есть колебания постоянной амплитуды, нуждается в разъяснении из-за затухания волн в вязкоупругой среде. Во-первых, такая постановка оправдана малой продолжительностью толчков при землетрясении (обычно 5-10 с), когда амплитуда колебаний в данной точке на поверхности земли не успевает заметно измениться за этот промежуток времени. Более того, задание на границе колебаний с постоянной амплитудой дает верхнюю границу для амплитуды колебаний трубопровода, получаемой с учетом затухания колебаний на границе. Во-вторых, возможен другой случай реализации граничного условия (3), когда только слой грунта а ^ г ^ R, непосредственно окружающий трубопровод, предполагается вязкоупругим, а вне этого слоя грунт считается упругим. Тогда при глубине залегания трубопровода, большей R, поверхность г = R есть граница раздела между этими средами и условие непрерывности перемещений на ней приводит к условию (3).
Когда в уравнении (1) функция wq(z,t) имеет вид (3), оно допускает решение того же вида
U(z,t) = Aexp[iu(z/c-t)], (4)
т.е. решение в виде стационарных колебаний. Чтобы убедиться в этом, достаточно после подстановки функций (3) и (4) в уравнение (1) интеграл в правой части (1) путем простых преобразований привести к форме 2р (Ао — A) G(iw) exp [iu)(z/c — t)], где обозначено
оо оо оо
2рС{ш) = J r(n)eít,;ri (1т\ = J г(п) cos сот\ dn + г J Г(п) sin шц dn. (5)
0 0 о
Предполагается, что функция релаксации T(t) такова, что интегралы, входящие в (5), являются сходящимися (это условие выполнено, например, для экспоненциально убывающих ядер релаксации). Полученный результат приводит к следующему выражению для комплексной амплитуды
колебаний трубопровода в вязкоупругом грунте:
А = А° ' = Л lgMI 6ХР ' (6)
где
<р{ш) = аг<^ [0,{ш)/0"{ш)] , = 0>(ш) + гО:'{ш), д= |1 - М2| а<Нп(Д/а).
Знак "плюс" в знаменателе выражения (6) для А берется в дозвуковом случае, когда число Маха М = с/со < 1, а "минус" в сверхзвуковом случае М > 1. Модуль |<5(ш)| комплексного числа С,) характеризует изменение амплитуды колебаний трубопровода (в сравнении с амплитудой колебаний в сейсмической волне), а аргумент этого числа со) изменение (сдвиг) фазы этих колебаний. Решение (6) совпадает с упругим решением [2|, когда отсутствует вязкость, т.е. С(ш) = 0.
2. Исследование влияния вязкости грунта на сейсмические колебания и сейсмостойкость трубопровода в частных случаях. Хотя решение (6) для произвольной вязкости (функции релаксации) позволяет сделать определенные выводы, для полного выявления качественных и количественных эффектов влияния вязкоупругих свойств грунта на сейсмические колебания и динамические напряжения в трубопроводе рассмотрим конкретные примеры.
(а) Колебания -трубопровода в вязкоупругом грунте, описываемом .моделью Кельвина Фойгта. В этом случае связь между касательными напряжениями и сдвиговыми деформациями дается соотношением
аГ2 = 2цегх + г](1,£Г2/М, (7)
где г] коэффициент вязкости. Легко показать, что это соотношение следует из определяющего уравнения (2) при сингулярном ядре релаксации, пропорциональном производной дельта-функции, а именно при Г(£) = —г]8'(1). В этом случае интегралы в (5) вычисляются в конечном виде и С{ш) = шг]/{2ц) = гг/, если ввести безразмерный коэффициент вязкости г/ = шг]/{2ц). Следовательно, в случае вязкоупругого грунта, описываемого моделью Кельвина Фойгта (7), отношение амплитуды продольных колебаний трубопровода к амплитуде колебаний в сейсмической волне определяется, согласно (6), выражением
\А\/Ао =
1 — гг/
±д(Е/ц)(со/с)'2 + 1 - гг]'
П ~ 2ц'
(8)
Тем же соотношением (8) определяются и безразмерные максимальные напряжения растяжения сжатия в трубопроводе (Ттах = Е\ди/дг\ = Е(со/с)\А\, отнесенные к максимальным продольным напряжениям сГщах = Е\дь)о/дг\ = Е(со/с)Ао, которые возникали бы в трубопроводе при его перемещениях, равных продольным перемещениям грунта в сейсмической волне. Действительно, тогда Сщах/Стах = I1 /-
Графики, иллюстрирующие зависимость этих величин (у = /Ао) от безразмерной вязкости г/ для стальных и бетонных трубопроводов, помещенных в различные грунты, приведены на рис. 1. Здесь верхнее семейство кривых соответствует стальному трубопроводу, а нижнее бетонному. В каждом семействе кривые 1 получены для мягкого грунта, кривые 2 для глины и кривые 3 для уплотненной глины. В расчетах принимались следующие численные значения для констант и параметров, входящих в определяемые величины. Для стальных трубопроводов Е = 2-Ю11 Н/м2, со = 5000 м/с, а = 0,3 м, 5 = 0,01 м; для бетонных трубопроводов Е = 2 • Ю10 Н/м2, со = 3500 м/с, а = 0,3 м, 6 = 0,02 м. Глубина заложения К = 1,5 м. Механические характеристики грунтов взяты из работы [3|: мягкие грунты /л = 3,38 • 108 Н/м2, с = С2 = 450 м/с; неуплотненная глина /л = 4,0 • 108Н/м , с = 450 м/с и уплотненная глина /л = 6,48 • 108 Н/м , с = 600 м/с. Во всех случаях принимается, что со/с = 0,1 м-1; при этом длина сейсмической волны Л = 2жс/ш ~ 63 м (она соответствует частоте сейсмических волн / = ш/(2ж) ~ 7,0 Гц в мягких грунтах и глинах и частоте 9,5 Гц в уплотненной глине). Графики показывают существенно большее влияние вязкости на амплитуды колебаний и сейсмостойкость бетонных (аебеетоцементных) трубопроводов, чем на амплитуды колебаний металлических трубопроводов.
(Ь) Колебания, трубопровода в вязкой жидкости (водоиасыщеиио.ы грунте). Пусть среда, в которую помещен трубопровод, является вязкой жидкостью (сжимаемой или несжимаемой), описываемой определяющим соотношением агх = г]с1гГ2/(И, получаемым из (7) при ¡л = 0. Для нахождения
Рис. 1
