CC BY
11Натуральные координаты (и, ip) строятся явно по бертрановским координатам (в, ф) из теоремы 1 (т.е. таким, в которых метрика принимает вид (4)): и = J (зависимость монотонная, так как
и'в < 0), координата Lp берется такой же.
Сформулируем еще один критерий для поверхностей Бертрана с псевдоримановой метрикой. Теорема 3. Необходимым и достаточным условием того, что поверхность S (a, b) х S1 с псевдоримановой метрикой вращения (7) будет поверхностью Бертрана, является следующее тождество, выполненное на (а,Ь):
ß4 - 5ß2(f"f - О + 4 (ff - f'2)2 - 3//'(/"7 - ff") = 0, (8)
где ß — положительная рациональная константа; функция f(v) предполагается, положительной, строго монотонной.
Здесь не указываются возможные промежутки изменения параметра и.
Замечание 4. Согласно [4], для случая с римановой метрикой необходимое условие на f(u) выглядит
так:
ßA - 5/?2(-/7 + f2) + 4(-/7 + Г2)2 - з//'(/"7 - ff") = о. (9)
Уравнение (9) получается из (8), если вместо f(u) подставить г ■ f(u) (то же верно и для метрики).
Замечание 5. Уравнение (8) для поверхностей Бертрана (3) (отвечающих t = 0) легко интегрируется, а именно оно имеет следующее решение:
f(u) = -3- ch (ç^-iu + uo)j ,
где Ci > 0, Uq — константы интегрирования. Таким образом, поверхность Бертрана при t = 0 представляет собой кусок однополостного гиперболоида.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe // C.r. Acad. sei. Paris. 1873. 77. 849-853.
2. Darboux G. Étude d'une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution // Bull. S.M.F. 1877. 5. 100-113.
3. Liebmann H. Über die Zentralbewegung in der nichteuklidische Geometrie, Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft // Math. Phys. Kl. 1903. 55. 146-153.
4. Santoprete M. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution //J. Math. Phys. 2008. 49, N 4.
5. Загрядский O.A., Кудрявцева E.A., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.
6. Болеинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.
7. Fomenko А. Т. The integrability of some Hamiltonian systems // Ann. Global Anal, and Geom. 1983. 1, N 2. 1-10.
Поступила в редакцию 04.06.2014
УДК 539.3:534.1
АНАЛОГИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПОЧКИ АТОМОВ В СЕЙСМОДИНАМИКЕ
ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА
М. Ш. Исраилов1
В задаче о совместных сейсмических колебаниях среды и сегментного трубопровода с податливыми стыками установлена аналогия с линейной цепочкой сосредоточенных масс. Аналогия дает простой способ исследования проблем сейсмодинамики трубопровода путем
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., директор НИИ математической физики и сейсмодинамики
Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
сведения задачи для среды к одномерной задаче о сдвиговых колебаниях цилиндрического слоя. В качестве примеров получены уравнения связанных движений трубопровода с учетом вязкоупругих свойств среды или вязкоупругого деформирования на стыках.
Ключевые слова: сейсмодинамика, подземный трубопровод, аналогия линейной цепочки.
In the problem of coupled seismic vibrations of an elastic medium and a segmented pipe supplied with flexible joints, it is drawn an analogy to the linear lattice of concentrated masses. The analogy leads to a simple procedure for studying pipeline seismodynamical problems by reducing the problem for a medium to the one-dimensional one devoted to the shearing vibrations of a cylindrical layer. As examples, the equations for coupled pipeline motions are obtained with consideration of the viscoelastic properties of the medium or the viscoelastic deformation of joints.
Key words: seismodynamics, underground pipeline, analogy of linear lattice.
1. Колебания жесткого трубопровода в упругой среде. Рассматривается задача о совместных колебаниях упругой среды и бесконечного абсолютно жесткого трубопровода, проложенного на глубине г = R, в условиях антиплоской деформации. Это означает, что в цилиндрической системе координат (г, 9, z) единственной отличной от нуля компонентой вектора перемещений среды является компонента uz = w = We~tujt, не зависящая от z, где со — частота колебаний.
Считая все функции (w и граничные условия) гармоническими функциями времени t и заданное сейсмическое движение Wq на расстоянии II от оси трубопровода не зависящим от угловой координаты 9, получаем, что W как функция только координаты г удовлетворяет уравнению
d2W 1 dW uj
агг г ar С2
где величина С2 = \/р/р есть скорость распространения сдвиговых волн в упругой среде; р — плотность среды, а р — ее модуль сдвига.
Граничные условия имеют вид (а — внешний радиус трубопровода)
W(R) = W0, W(a) = U. (2)
Здесь U, Wo означают соответственно амплитуду колебаний трубопровода (и = Ue~lujt) и сейсмической волны (wo = Woe~lujt). Второе условие в (2) выражает условие прилипания среды и трубопровода. Решение задачи (1), (2) легко находится и имеет вид
W (г) = [Yq (kR) U-Yo (ка) И^ - ^^ [Jo (kR) U - J0 (ка) ,
A = J0 (ка) Y0 (kR) - J0 (kR) Y0 (ka).
Здесь Jo и Yq — соответственно функции Бесселя первого и второго рода.
Длина сейсмической волны Л значительно больше глубины залегания R и тем более радиуса трубопровода а. В этих случаях аргументы бесселевых функций, входящих в решение (3), являются малыми величинами: ка = 2тта/Х >С 1, kR = 2irR/\ >С 1. Тогда, пользуясь асимптотическими представлениями функций Бесселя для малых значений аргумента (см., например, [1]), получаем из (3) асимптотику касательных напряжений arz = pdw/dr на поверхности трубопровода:
»зте №"с,) =(а,°" »> • (4)
Асимптотическое представление (4) не зависит от к и совпадает с квазистатическим решением сформулированной задачи.
2. Аналогия линейной цепочки. На длине сейсмической волны Л ~ 100 4- 200 м располагается порядка 10-40 сегментов трубопровода длины h ~ 5 4- 10 м, и потому эти сегменты (предполагаемые абсолютно жесткими) можно считать точечными массами, соединенными упругими пружинами или элементами, моделирующими более сложные механические свойства соединений на стыках. Сегменты трубопровода считаются однородными и имеющими одну и ту же длину h. Тогда точечные массы расположены в центрах масс сегментов и находятся на расстоянии h друг от друга. Результирующие силы, возникающие от действия касательных напряжений на поверхностях сегментов, прилагаются к этим точечным
массам и являются возбуждающими силами, приводящими такую систему в колебательное движение. Таким образом, мы получили для трубопровода с жесткими недсформируемыми сегментами, соединенными податливыми стыками, модель, состоящую из равноотстоящих друг от друга точечных масс, связанных между собой, скажем, упругими пружинами. Такая модель (см., например, [2, 3]) описывает колебания одноатомной решетки.
Указанная результирующая сила, действующая на п-й сегмент трубопровода, согласно (4), равна (ип — смещение п-го сегмента)
2тг
= Л I Огг\г=аа(1в = (^оп - ип) . (5)
о
Масса сегмента равна Мп = М = БНр', где Б = тг (а2 — б2) — площадь поперечного сечения (при внутреннем радиусе &), а р' — плотность материала трубопровода.
Уравнение движения п-й массы Мп = Бкр', связанной с соседними массами пружинами жесткости /, при внешней возбуждающей силе (5) имеет вид
(12ип _ ип+1 +ип-1 - 2ип 2ттр . _ .
с2 М2 к2 + БПп (К/а) [ШОп Пп)' ^
где со = л///р'. Первое слагаемое в правой части (6) представляет собой (поделенную на Shf) сумму упругих сил, действующих на массу со стороны пружин.
Уравнение (6) и выражает аналогию линейной цепочки атомов, согласно которой сейсмические колебания трубопровода с податливыми стыками и существенно более жесткими сегментами могут рассматриваться как колебания линейной системы точечных масс, связанных между собой упругими пружинами.
Введением полевой функции u(z,t), такой, что u(zn,t) = ип, zn = nh, п = 0, ±1, ±2,..., можно перейти от дискретной структуры к непрерывной. Разлагая в (6) функции ип±\ = и (zn ± К) в окрестности точки zn = z в ряды Тейлора и удерживая члены до порядка h2 включительно, получаем для u(z, t) неоднородное уравнение Клейна-Гордона (wo(z,t) = Won)
1 д2и д2и 2-гтр
c2W=d^ + Sfln(R/a) {W0~U)- (7)
Для строгого перехода к непрерывной структуре с разложением в ряды Тейлора при малых приращениях ±h/Л аргумента необходимо перейти к безразмерной переменной z'n = zn/X (z' = -г/Л). В случае непрерывного трубопровода можно мысленно разбить его на сегменты и положить / = Е (жесткость пружин положить равной модулю Юнга материала трубопровода). Тогда уравнение (7) в точности совпадет с полученным в работах [4, 5].
Установленная аналогия позволяет учесть
1) влияние неупругих свойств грунта на связанные сейсмические колебания трубопровода путем решения одномерной задачи о сдвиговых колебаниях цилиндрического слоя. При этом, как отмечено выше, решение последней достаточно получить в квазистатическом, приближении;
2) неупругие механические свойства стыков путем замены упругих пружин в построенной выше модели на элементы, обладающие неупругими свойствами.
3. Примеры. 1. Учет вязкоупругих свойств среды. Пусть среда, окружающая трубопровод, обладает вязкоупругими свойствами, так что касательное напряжение связано со сдвиговой деформацией erz равенством
t
arz(t) = 2perz(t) - J T(t - т)егх(т) dr. (8)
— oo
Тогда сформулированная в п. 1 задача о колебаниях цилиндрического слоя в квазистатическом приближении сводится к интегрированию уравнения Dr (dw/dr) = 0, Dr = д/дг + 1 /г при граничных условиях (2) для функции w(r, t). Решение этой задачи тривиально находится, что в соответствии с аналогией линейной цепочки приводит к уравнению колебаний трубопровода в вязкоупругой среде
1 д2и _ д2и . 7г
Сп dt2 dz2
+ SElJWa) \ - U) - j nt- т) Mr) - и(т)\ dr I . (9)
В литературе [6, 7] предложен частный случай уравнения (9) для взаимодействия трубопровода с грунтом по модели Кельвина-Фойгта, полученный без решения задачи для среды и потому содержащий члены с неопределенными коэффициентами.
2. Учет, вязкоупругих свойств стыков трубопровода,. Пусть стыки снабжены демпфирующим материалом и моделируются вязкоупругим элементом, так что (продольные) напряжение а и деформация е связаны соотношением, аналогичным (8) (в котором нужно заменить /л на Е и ядро Г на Ti). Тогда, поступая так же, как и в п. 2, получаем следующее уравнение для продольных колебаний трубопровода:
t
1 rfiu rfiu 1 / „ , N d2u(z,r) , 2-7Гß . .
= J " T) dT + SEln (R/a) {W° ~ U) ■
— oo
Приведенные примеры демонстрируют, что аналогия дает простые способы учета неупругих или нелинейных свойств среды (грунта) и законов деформирования сложных стыков при исследовании сейсмических колебаний подземных трубопроводов или протяженных сооружений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.: ГИФМЛ, 1963.
2. Brillouin L. Wave propagation in periodic structures. N.Y.: Dover, 1953.
3. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория макроскопических и тепловых свойств кристаллов. М.; Л.: ГИФМЛ, 1963.
4. Иераилов М.Ш. Связанные задачи сейсмодинамики трубопровода // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 5. 41-45.
5. Israilov M.Sh. Seismodynamics of an underground pipeline // Proc. 15th World Conf. on Earthq. Engng. (15WCEE). Lissabon, 2012. Paper N 2125.
6. Mavridis G.A., Pitilakis K.D. Axial and transverse seismic analysis of buried pipelines // Proc. 11th World Conf. on Earthq. Engng. (11WCEE). New Mexico, 1996. Paper N 1605.
7. Dvivedi J.P., Singh V.P., Lai R.K. Dynamic analysis of buried pipelines under linear viscoelastic soil conditions // Adv. Theor. Appl. Mech. 2010. 3, N 12. 551-558.
Поступила в редакцию 14.03.2014
