Эффективные характеристики волокнистых композитов в линейной моментной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Kooi В., Tamminga A. Completeness via correspondence for extensions of the logic of paradox // Rev. Symb. Log. 2012. 5, N 4. 720-730.

3. Tamminga A. Correspondence analysis for strong three-valued logic // Логические исследования. 2014. 20. 255-268.

4. Heyting A. Die Formalen Regeln der intuitionistischen Logik // Sitzungsber. Preussischen Acad. Wiss. Berlin. 1930. 42-46.

5. Gödel K. Zum intuitionistischen Aussgenkalkül // Anz. Akad. Wiss. Wien. 1932. 69. 65-66.

6. Jaskowski S. Recherches sur le système de la logique intuitioniste // Actes Congr. Int. phil. sei. 1936. 6. 58-61.

7. Lukasiewicz J. Die Logik und das Grundlagenproblem // Entreti. Zürich fondements et méthode sei. math. 1941. 12. 6-9.

8. Сметпанич Я. С. О полноте исчисления высказываний с дополнительной операцией от одной переменной // Тр. Моск. матем. о-ва. 1960. 9. 357-371.

9. Янков В. А. Об исчислении слабого закона исключенного третьего // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. 32, № 5. 1044-1051.

10. Карпенко А. С. Развитие многозначной логики. М.: ЛКИ, 2010.

11. Henkin L. The completeness of the first-order functional calculus //J. Symb. Log. 1949. 14, N 3. 159-166.

Поступила в редакцию 02.11.2016

УДК 511

ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

А. Н. Емельянов1

Рассматривается постановка специальной краевой задачи, из решения которой находятся эффективные характеристики в линейной моментной теории упругости. Представлена процедура отыскания эффективных характеристик на примере волокнистого композита, матрица и включения которого изотропны. Также представлены краевые эффекты структурных функций.

Ключевые слова: осреднение, моментная теория упругости, эффективные характеристики, волокнистый композит, краевой эффект.

In this paper a special boundary value problem used to find the homogenized material functions in the linear moment theory of elasticity is considered. The procedure of finding the homogenized material functions is discussed by the example of a fibrous composite material whose matrix and inclusions are isotropic. Boundary effects of structural functions are also presented.

Key words: homogenization, moment theory of elasticity, homogenized material functions, fibrous composite, boundary effects.

1. Постановка исходной и сопутствующей задач. В моментной теории упругости кроме напряжений и деформаций присутствуют тензоры моментных напряжений и тензор искривлений [1]. Все эти тензоры несимметричны. Постановка статической задачи моментной упругости включает: уравнения равновесия

Xi — 0 , Hjij tijk&jk ^ — 0 ,

определяющие соотношения

= CijkiSki + Bijki>cki, /j,ji = В^ыеы + Dijki>cki;

1 Емельянов Александр Николаевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: emlaldrQgmail.com.

соотношения типа Коши граничные условия

а3гп3 | Ер = Рг ' I = иг ' ^3гп3 | £т = тг ' I = >

здесь ву, — перемещения, деформации и напряжения; Шг, >%•, /л^ — вращения, искривления и моментные напряжения; Х^, — объемные силы и моменты; Т,и, — поверхность тела, где заданы перемещения и напряжения соответственно; £т — поверхность тела, где заданы вращения и моментные напряжения соответственно.

Коэффициенты С^ы, О^къ В^ы являются компонентами тензоров четвертого ранга. В выражении для свободной энергии они симметричны по первой и второй парам индексов, но не симметричны по индексам в парах. Под сопутствующей задачей будем понимать задачу, аналогичную исходной задаче, для тела той же самой формы и с теми же входными данными, но с другими материальными характеристиками и В^ы. Обозначим через Уг, е^, т^- перемещения, деформации и напряжения, а через "фг, тт^, углы вращения, моментные деформации и моментные напряжения в сопутствующей задаче. Постановка сопутствующей задачи дается следующими формулами:

Т^г,^ — 0 , ^ — 0 ,

тзг = С%к1е1к + В^к17Т1к , ^ = В^к1еш + ;

?Лк = + еш'фз , Ш = ~фк,1;

ГЛП.7 I Ер = ' ^ I = ' I Ет = ' ^ I = "

В работе [2] получено представление решения исходной задачи моментной теории упругости в виде рядов по всевозможным производным от деформаций и искривлений в сопутствующей задаче:

оо

Уп{х) = Уг(х) + ^ ек1,г1..лч(х) + ЩкЦ1..Лч(х) 7Тк1,п..лч(х)] ,

д=0

^г(х) = грг(х) + ^ &к1,п-Лч{х) + МШ^..лч(х) (ж)] ,

9=0

где коэффициенты Мцец1..л (х), [/¿иг 1...г (ж), Уцец1..лч(,х) и Мцец1..лч(х) — структурные функции. Как показано в работе [3], они удовлетворяют системе рекуррентных уравнений. Началом рекурсии являются следующие уравнения:

(1)

\_Cijmn С^ы {^ктп,1 + еш ) + ВцыУк тпл —

[^цтп Вук1 (уМктп>1 + (-ШзУвтп) Оцк^ктп^] j = €гзг (^~'rjmn ,

Где Сгзтп = Сг^тп + Сг^к\ {^ктп,1

+ еш ^шп тпл 1

\_Bijmn Сцк1 (иктП}1 + ¿Ыз-^-втп) В^к1Мктп,{\ ^ = 0,

Вцк1(иктп>1 (-Ыв-^-втп) DijklMkmn,i\ ^ — Сг^'г- (^Вгзтп Brjmn^J ,

Где Вг^тп — Вг^тп С^м(иктп,1 ^-Шз-Мзтп) В^к1МктП}1.

Также в работе [3] показано, что в качестве материальных тензоров сопутствующей задачи можно принять эффективные тензоры модулей неоднородного тела:

Сутп = (ргзтп) = (Сутго С^к\{1ЯктГ1^

+ еш

) + ВцыУк тпл / )

В^утп = (А;шп) = + В^к1(иктп1 + (-кЫ^-втп) ,

^утп — (-^цтп) — (-^уш Сцы(иктп,1 (■Шз-^-зт/п) В^к1Мктп^ —

— \Bijmn} — {Вцтп ВцЫ {^ктп,1 (-Шз^зт/п) Уктп,1}•

2. Краевой эффект структурных функций волокнистого композита. Рассматривается бесконечное в одном направлении упругое тело с моментными свойствами. Пусть ось жз задает это направление. В двух других направлениях тело ограничено цилиндрической поверхностью. Поперечное сечение тела имеет периодическую структуру, где каждая ячейка периодичности представляет собой квадрат с квадратным включением. Направим оси х\ и ж 2 вдоль сторон ячейки периодичности. В этом случае коэффициенты Су и, -Оуы и В^ы являются функциями координат х\ и засчитаем, что все искомые функции Мктп^, иктп^, Уктп^, Мктп^ также зависят только от х\ и Х2- Добавив условия изотропности матрицы и включения ячейки, вместо систем уравнений (1) получим

\_CiJmn + С^кЬ^ктп,Ь + С^к1^ШзУзтп + В^Лс£,Уктп,ь\ ^ = 0 ;

1 - ( о _ ~ > (3)

/^г/тга + ВикЬ^к тп, Ь + Вг

ЗЫ^-ЫзУзтлг + В>икьУк

где с°гзтп = {Сг^тп) = (СГ]тп + Сг;]кЬ(МктП:Ь + ек18Узтп) + Вг^кьуктп>ь), здесь и далее индексы 1^,к,1,т,п,г,8 = 1,2,3, а индексы = 1,2.

Система уравнений (2) для функций Мктп, 11ктп примет вид

[Витп + С^к^кт^Ь + Сик1вк13Мзтп + ВикЬМктп,ь\ ^ = 0 ,

1 - Г о _ - А (4)

[^Утп Вг.;кьиктпуь В,ик1€к13М3тп 1)гЛсЬ-^ктп,Ь\ J — ^З^у-^г^тп Brjmn I ,

Где Б -тп = (-Вг^тга) = (5Птп Crjk[J(Ukmn,L + £к1зМзтп) Вг^к^Мктп,ь) .

Рассмотрим систему (3). Ее можно разбить на две независимые системы интегродифференци-альных уравнений второго порядка:

[С/ ^/тга

[-Е>3/тга + В^кь{^Ьтп,К + ^ЬКзУзтп) + £>3//Г3J+ (5)

+^3// (Ситп + Сикь{^Ьтп,К + ^ЬКзУзтп) + ВикзУзтп,К^ = £3.7/С°

-<о

у итп '

[Сз7тп + Сз^з(ЛГЗтга,/С + £3/Гй^тга) + -Е>3//ГЬ ^ = 0 ,

[Витп + Викг{^Зтп,К + (-гКвУвтп) + А^/ГЬ^тга./г] 7 + (6)

+ £^р(Сттп + Срдкз(Щтп,К + £3КвУвшп) + ВткьУьтп,К) = е/дрС°дтга .

Зафиксируем (тп) € {(11); (12);... ; (33)} и обозначим (ж1, жг) = Щггт(х\,х2), а (¿¿"^(ж!, Жг) = Итп(ж1, Жг). Введем объемные нагрузки

у(™») _ |У\ т 1

^ — ^Ытп] J 1

у(тп) _ Гп 1 _

— *->итп\ J I '^¡дру^рдтп ^

о

рдтп

Система уравнений (5) соответствует плоской задаче моментной теории упругости, а система (6) — антиплоской. Таким образом, решая системы уравнений плоской и антиплоской задач для всех вариантов объемных нагрузок при (тп) € {(11); (12);... ; (33)}, мы получим все компоненты структурных функций Л^тга(ж 1,Жг) и Жг). Последние далее можно использовать для вычисления эффективных модулей и В^^, которые в свою очередь могут выступать в качестве материальных тензоров сопутствующей задачи Сг°ы и

Аналогичную процедуру можно провести с системой уравнений (4) для поиска всех компонент структурных функций и1тп(х\, жг) и М1тп(х\, жг). Последние далее можно использовать для

вычисления эффективных модулей Щ^}, которые в свою очередь могут выступать в качестве материальных тензоров сопутствующей задачи

При решении вспомогательных задач для отыскания всех компонент структурных функций ^1тп(х1,Х2), У1тп(х1,х2), ЩтЛхг, Х2) и М/тга(ж 1,^2) можно наблюдать краевой эффект. Например, рассмотрим композит, состоящий из 25 ячеек периодичности (т.е. 5x5, как показано на рис. 1). Решаем вспомогательную задачу для поиска структурной функции Хщ, причем единственное решение систем интегродифференциальных уравнений этой задачи выбираем из условий однородности на границе, т.е. из условия Л^ш^ъ (2, Сз)1се£ = 0.

Одновременно с этим решаем вспомогательную задачу на ячейке для нахождения структурных функций, причем единственное решение этих систем выбирается из условия периодичности

N111 ((1,(2,(3)^=0 = Лгш(СьС2,Сз)1и=1 ('>■ = 1)2)3) и условия нормировки = 0.

И □

Рис. 1. Поперечное сечение композита

Рис. 2. График функции Яш

0.087

0.175

0.262

0,349

0,437

Рис. 3. График функции на различных ячейках

087

175

262

349

437

Далее сравниваем решения на ячейках А, В, С, как показано на рис. 1, с периодическим решением D.

Из рис. 2 видно, что структурная функция очень похожа на периодическую. Различия наблюдаются более явно на тех ячейках, которые ближе к цилиндрической поверхности, о чем свидетельствует рис. 3.

Численные расчеты для поиска компонент структурных функций Nimn(x 1,^2), Vimn(x 1,^2), Uimn{x 1, Ж2) и Mimnix 1,^2) показывают, что в окрестности контура поперечного сечения имеется пограничный слой, в котором структурные функции не являются периодическими функциями координат. При удалении от границы, в глубь тела, на величину структурного параметра функции стремятся к своим периодическим значениям на ячейке периодичности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

2. Горбачев В.И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 57-60.

3. Горбачев В.И., Емельянов А.Н. Осреднение задач моментной упругости композитов // Упругость и неупругость: Доп. мат. Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, поев. 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 г.). М.: Изд-во МГУ, 2012. 81-88.

Поступила в редакцию 28.09.2016

УДК 539.3:534.1

СТАЦИОНАРНЫЕ СЕЙСМИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРУБОПРОВОДА

В ВЯЗКОУПРУГОМ ГРУНТЕ

М. HI. Исраилов1, Л. Р. Акчаматова2

Исследуются совместные стационарные продольные колебания трубопровода и вяз-коупругого грунта при землетрясении. В конкретных примерах грунтов, описываемых моделями Кельвина-Фойгта и вязкой жидкости, выявлены принципиальные качественные и количественные эффекты влияния вязкости на поведение и сейсмостойкость металлических (стальных) и бетонных трубопроводов.

Ключевые слова: сейсмические колебания, трубопровод, вязкоупругий грунт.

Steady-state coupled longitudinal vibrations of a pipeline and a viscoelastic soil during an earthquake are studied. Using specific examples of soils described by the Kelvin-Voigt model and by the viscous liquid model, the main qualitative and quantitative effects of viscosity on the behavior and seismic stability of metallic (steel) and concrete pipelines are clarified.

Key words: seismic vibrations, pipeline, viscoelastic soil.

1. Постановка и решение задачи об установившихся сейсмических колебаниях трубопровода в вязкоупругом грунте. Уравнение продольных колебаний трубопровода, вызванных распространением сейсмических волн в окружающем его линейно-вязкоупругом грунте, выведено в [1]. Метод вывода основан на решении "внешней" задачи о сдвиговых колебаниях вязкоупругого грунта для вычисления касательных напряжений на поверхности трубопровода (сил взаимодействия), приводящих его в продольное движение, и использовании установленной в работе аналогии трубопровода с линейной цепочкой сосредоточенных масс, когда он моделируется жесткими сегментами, соединенными на стыках упругими пружинами (в случае упругого трубопровода). При этом в постановке задачи для грунта граничные условия (заданные перемещения woiz,t) в сейсмической

1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф. Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.

2Акчаматова Лариса Рамдыевна — ассист. Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: akchamatovaQmail.ru.