Эффективные материальные функции слоистых композитов в линейной моментной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

областей высших гармоник. Варьируя параметры so и v, можно менять начальные условия и соотношения амплитуд обертонов при переходном процессе, оставаясь в области притяжения, например, первой гармоники. Заметим, что значение собственной функции ф\ (so) > 0, если so € (0,1). Колебания на первом основном тоне всегда возбуждаются в начале переходного процесса. Последнее утверждение не справедливо для старших обертонов, т.е. может оказаться, что какой-то обертон будет отсутствовать, если Фк (So) = о.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 12-014)0536, 12-08-00637, 13—01— 00184) и ФЦП RFMEF 157714X0080.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стретт Дж.В. (лорд Рэлэй). Теория звука. Т. 1, 2. 2-е изд. М.: ГИТТЛ, 1955.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

3. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. 2-е изд. М.: Либроком, 2010.

4. Хизгияев C.B. Автоколебания двухмассового осциллятора с сухим трением // Прикл. матем. и механ. 2007. № 6. 1004-1013.

5. Pascal M. Dynamics and stability of a two degrees of freedom oscillator with an elastic stop //J. Comput. and Nonlinear Dynamics. 2006. 1, N 1. 94-102.

6. Вилъке В.Г., Шаповалов И.Л. Автоколебания двух тел с нелинейным трением // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 4. 39-45.

7. Сумбат,ов A.C., Юпин Е.К. Избранные задачи механики систем с сухим трением. М.: Физматлит, 2013.

8. Вильке В.Г. Теоретическая механика. 3-е изд. СПб.: Лань, 2003.

9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Физматлит, 1962.

Поступила в редакцию 12.04.2013

УДК 511

ЭФФЕКТИВНЫЕ МАТЕРИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТОВ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

А. Н. Емельянов1

Рассматривается постановка специальной краевой задачи, из решения которой находятся эффективные материальные функции в линейной моментной теории упругости. Представлена процедура нахождения эффективных материальных функций на примере слоистого композита, каждый слой которого изотропен.

Ключевые слова: осреднение, моментная теория упругости, эффективные материальные функции.

A special boundary value problem whose solution is used to find the homogenized material functions in the linear moment theory of elasticity is considered. A procedure for finding the homogenized material functions is discussed using an example of a composite laminate whose layers are isotropic.

Key words: homogenization, moment theory of elasticity, homogenized material functions.

1. Постановка исходной и сопутствующей задач. В моментной теории упругости кроме напряжений и деформаций присутствуют тензоры моментных напряжений и тензор искривлений [1]. Все эти тензоры несимметричны. Постановка статической задачи моментной упругости включает: уравнения равновесия

Xi — 0 , H'jijj (-ijk&jk Yi — 0 ,

определяющие соотношения

(Tji = CijklSkl + BijkiKki , Hji = BijkiEkl + Dijkl^kl ;

1 Емельянов Александр Николаевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: emlaldrQgmail.com.

соотношения типа Коши

и граничные условия

а3гп3 | т.р = Рг ' 1 = ' I £т = > ^ I = '

Коэффициенты В^к[ являются компонентами тензоров четвертого ранга. В выражении

для свободной энергии они симметричны по первой и второй паре индексов, но они несимметричные по индексам в парах. Под сопутствующей задачей будем понимать задачу, аналогичную исходной задаче, для тела той же самой формы и с теми же входными данными, но с другими материальными характеристиками и Обозначим через Vi, е^, т^ перемещения, деформации и напряжения, а через "фг, тт^, углы вращения, моментные деформации и моментные напряжения в сопутствующей задаче. Постановка сопутствующей задачи дается следующими формулами:

"Ь — 0 , ^-цк^к ^ — 0 ,

тзг = + В°^к1щк , = В^к1в1к + Щк11Т1к ;

е-ш = + ШзФз, тгш = Фк,1; т3гп3 | Ер = Рг > ^ | = Щ > | £т = > ^ I = "

В работе [2] получено представление решения исходной задачи моментной теории упругости в виде рядов по всевозможным производным от деформаций и искривлений в сопутствующей задаче:

и,

(ж) = Уг(х) + ^ [^¡¿1...!,(ж) е.к1,п..лч{х) + ЩкИъ.Лч{х) Ък1,11..лч{х)] ,

9=0

(¿¿(ж) = фг{х) + [угк1ч..лч(х) ек1А1..Лч(х) + Мшгь..г? (ж) ТТк1,Ь..Лч (ж)] , 9=0

где коэффициенты Жшгь..г?(ж), С/"шг1...г,(ж), \^ки1..л„(х) и Мшгь..г?(ж), как показано в работе [31, удовлетворяют системе рекуррентных уравнений. Началом рекурсии являются следующие уравнения:

[Сутго ~Ь Сцк1 (-/Vктп,1 + еш Узтлг) Вцк1\^ктп,1\ — 0) Где Сг]тп = Сг^тп + (-/Vктп,1

Узтлг) Вг^к{\/'ктп,11 \_Bijmn + С^ы(иктщ1 + еш ) + ВцыМк тпл —

[Д;шп Вцк1 (иктп,1 (■Шз-^-зт/п) О^^Мктп,^ j = ^íjr(Brjmn Brjmn*J,

(1)

(2)

Где — Вг^тп С'т'^^ (-Ыз-^-зтп) Вг^к1Мктп,1-

Также в работе [3] показано, что в качестве "материальных" тензоров сопутствующей задачи можно принять эффективные тензоры модулей неоднородного тела

C'íjmn = Х^гзтп) = (Cijmn С^к1{^ктп,1 + еш Узтлг) Вцк1Уктп,1 >, (3)

= = (Д;шп В^к1 {иктп,1 (■Шз-^-зт/п) В)^к1Мктп_[^ , (4)

^íjmn — — {Вцтп Сцк1(иктп,1 (-Ыз-^-зтп) BijкlMкmnJXJ —

— ( Ч"7-"-} — {Вцтп Вцк1(№ктп,1 (-Шз^зт/п) D^jkl\^ктп,1}• (5)

2. Случай слоистой среды. Пусть ось жз перпендикулярна слоям среды. В этом случае коэффициенты Сцк1, и В^к1 являются функциями координаты жз. Считаем, что все искомые функции

^тп(д)) С^Ьгаг(д) > ^гтп(д)) ^ктп(д) также зависят только от х3. Рекуррентные уравнения (1) и (2) становятся обыкновенными интегродифференциальными уравнениями. Добавив условие изотропности слоев, вместо систем уравнений (1) и (2) получим

\^гЗкЗ^'ктп + ^гЗтп + С^ЗА^шУвтп] = 0, * = ^(С'г^т.га) С'г^т.га^ ) (6)

ч Сгутп — ктп ^г]тп Сг^к1(-к1зУзтт

\ржк2>и'ктп + СгЗыеы5М5тга] = 0,

* \_^ИкЗ^-ктп -ОгЗтга] — , (7)

ч Вг^тп — ^гук^и!гтп Сг^к1бк13Мзтп. Угловые скобки означают среднее значение функции по толщине плиты, т.е.

ь

(/> = ^ J /(жз)ЖЕЗ.

о

Через обозначена толщина плиты. Условия на границах плиты принимают вид

СгЗтп(д)\хз=о;Ь = ^ ' тп(д)\хз=о;Ь = ^ ' Азтга(д)\хз=о;Ь = ^ ' тп(д)\хз=о;Ь =

что соответствует свободным от силовых и моментных нагрузок лицевым поверхностям плиты.

3. Определение эффективных материальных функций. Из формул (3) и (5) следует соответственно

^íjmn — — (Cijmn С^кЗ^ктп СцШ^-ШзУзтп) 1

В^тп = (Вцтп) = {С^кЗи'ктп + С^к^Шз^зти) = (В^тп) = {Вцк?Уктп) •

Для отыскания эффективных материальных функций следует решать системы уравнений (6) и (7). Рассмотрим систему (6). Из первого уравнения находим

С^кЗ^'ктп + СгЧтп + СгШШзУзтп = ^шп = СОПЭ!;,

откуда

^ктп — ^'/с3г3^^гтг ^к313 {^гЗтп С^к^-кыУзтп) ■

Учитывая, что {^ктп) = 0, найдем константы интегрирования Кгтп:

Ктп = (Сгзйз) (^313^3тга) + (С^кз) (СшзС13аь€аь3Узтп). Здесь под понимается матрица, обратная к матрице С^кз- Выразим N'kmn через функции Уктп-

^ктп = Ск31з{^13Рз) (СрЗдзСдЗтп) ~ Ск3д3Сягтп + Скш(С13р3) (Ср3д3Сд3аь€аь3У3тп) —

^к313^13аЬ^аЬзУзтп- (9)

Подставив это выражение в последнюю формулу системы уравнений (6), получим

Сутга — С^тп СгзоЬ^-аЬзУзтт (Ю)

где С^тп выражается через модули упругости точно так же, как и в симметричной механике упругих слоистых композитов [4]:

/у* ____/^у—1 I II^ С \

^Цтп — °гзтп ~ ^ V кЗ^ кЗдЗ^ яЗтп т ^цк3^к313\°13р3/ \ирЗдЗи<?Зтга/,

а — тензор четвертого ранга — интегральный оператор вида

С^аЬ = СцаЬ — С^кзСкзд3СдЗаЬ + С^кзСкз13{Сщ3) {Ср3д3СдЗаь{») ). (11)

При свертке этого оператора с тензором ранга ^ 2 последний подставляется в угловые скобки вместо (•), например

гр _ / < гр / < 1 / " Т I 1 I1 \ 1 /— 1 / < гр \

^уаЬ+аЬ — ^^аЬ+аЬ ~ ^чкЗ^ кЗдЗ^Я^Ь1 аЬ + ^^к3^к313\°13р3 / [^рЗдЗ^дЗаЬ1 аЬ/ ■

Подставив во второе уравнение системы (6) выражения (10), будем иметь

[-СгЗйЗ^гтга] = еЧ> {^(рг^тп) ~ + г]аь(*)^ ~ ^аЪз^зтп- (12)

Полученное уравнение является интегродифференциальным уравнением второго порядка, поскольку в его правую часть входит как сама искомая функция, так и интегралы от нее в комбинации с модулями упругости. Из структуры уравнения (12) видно, что при итерационном подходе к решению данного уравнения искомая функция пропорциональна свободному члену (первое слагаемое), представляющему собой отклонение функции, зависящей от свойств материалов слоев, от своего среднего значения. В таком случае второе слагаемое в правой части уравнения (12) будет порядка квадрата данного отклонения. Поэтому если свойства материалов различных слоев мало отличаются друг от друга, то можно пренебречь вторым слагаемым, т.е.

{РгЗкзУктг^ ~ Агтп, (13)

ГДе Агтп = {(рг.]тп) ~ &*]тп) '

Единственное решение системы (13) будем искать из условий {У1тп) = 0, (Уктп) = 0.

В итоге будем иметь

- 7 — — -1 / — 7 \

Чшп ~ ПкЗдЗ ] Адтп(у) (1У - ^"¿{^з} 1 / £>¿3 J Адтп(У) (й/ \ ,

хз

Уктп ~ J

О

пкздз I Аашп{у)(1у-Ок^з(^з> 1 (ор3\3 у Адтп(у)с1у

хз

^кЗдЗ / А

_ 0

/ / Т)~1 кЗдЗ

\о

О

хз

с1х 3 —

7 -1 / 7 ^

ПкЗдЗ / Аяшп{у) йу - (£>"¿3 / Адтп(у)с1у

(14)

(1х 3

Выражения для Л^тга могут быть получены подстановкой (14) в формулу (9) и дальнейшим интегрированием при условии (Л^ктп) = 0. Однако для нахождения искомых эффективных материальных функций С° тга и В°^тп достаточно знать Уктп-

Коэффициенты С?тга определяются по следующим формулам:

С^тп = ( {СцаЬ — С^кзСк3д3СдЗаЬ + (С^кзСкз13) (С^) Ср3д3СдЗтп^ (бта^пЪ + ^аЪзУзтп)^ ■ Исходя из (8) коэффициенты В°-тп можно определить двумя способами. Первый способ:

/ хз \ Щтп = ( (ЩкзВк3(}3 ~ {В^кзВк113){0~3р3) '^"¿з) J £дзг({С*зтп) ~ С*зтп(у)^ йу \ . (15)

Модули определяются по формулам (4):

= (Вцтп) = {-Сцтп В)^кзМктп,1}•

Кроме этого необходимо проверить, что оба способа определения В°-тп дают одинаковые результаты, т.е.

(¿ути) = (®ути) = (^г/йЗ^/стга •

Рассмотрим уравнения (7). Из первого уравнения получим

и'ктп = ^к31з{^13рз) {ср3д3сд3аьеаьзмзтп) — ск3д3сд3аьеаьзмзтп. (16)

Подставим найденное выражение (16) в последнюю формулу системы (7) и определим функции В^тп:

Вцтп — Сзтп^ (1^)

где оператор С*^аЬ задается выражением (11). В соответствии с (17) второе уравнение системы (7) примет вид

[Аз/й Мктп + Азтга] — В- гтп1 (18)

где Ктп = rjab(^) ^ ~~ Crjaj^jeal}змзmn.

Интегрируя уравнение (18) при условии (Мктп) = 0, получаем

хз

хз

?рЗдзАзтп) ~ АздзАзтп ~ (А^з(Азрз) 1 {ВрЗдз(*)) ~ ВкЗдз) J Едшп(У) Лу.

Уравнение (18) является интегродифференциальным уравнением второго порядка, в котором, как и в уравнении (12), если свойства материалов различных слоев мало отличаются друг от друга, то основной вклад в решение дает свободный член. Найдем приближенное решение этого уравнения, учитывая в правой части только свободный член:

хз 1 хз .

Мктп ~ J £>*к3тп Г1У~\/ ПкЗтп (1У ) > (19)

Где А!3тга = Аз1|з(Азрз) (-^рЗдзАзпгп) ~~ АздзАз«мг-

Выражения для 11ктп могут быть получены подстановкой (19) в формулу (16) и дальнейшим интегрированием при условии (ик,тп) = 0. Однако для нахождения искомых эффективных материальных фуНКЦИЙ ДОСТаТОЧНО ЗНаТЬ Мктп-

Коэффициенты определяются по следующим формулам:

B^íjmn = (А;шп) = В)^кзМктп,1) =

= (Щтп) ~ (А^йзАздзАзтп) + (■ЩкЗ Аз13) (АзрЗ) 1 (^рЗдЗАзтп) •

Используя формулу (8), вычислим коэффициенты В°^тп вторым способом и покажем, что получится выражение, равное (15):

В^тп = (в^тп^ = (с^аЬеаЪзМзтг^1 =

= ( (СцаЬ - СцкзСк1фСдЧаЪ + (Сг^зС^з) (С^д) Срз*3Сд3аЬ^ €аЬзМзтп^ =

О '

хз

~ ( ^ijab^abs

^s3mn dy

хз

Cijabf-abs

D

s3mn

dy ) =

^г jab

X3

a

ijab J

eabsDs3mn dy ) —

X3

- D.

ijs3 J tabs ( C^abmn 0

c,

abmn

abmn

)-c.

abmn

dy) = (B

Jijmn

'цзЗ J еэаЬ ( ( С,

0 1

4. Вид анизотропии. Представим тензор С^-к1 в виде матрицы 9x9, используя обозначения Ц}аМа13Ц}13 = £^С^Ыеки 101 = £11, = £22, ™3 = £33, и)4 = £(23), Ю5 = £(31), Ю6 = £(12), И}7 = в[23], 108 = £[31], ц}д = £[12]) где = = — • Согласно работе [5], мы имеем трансверсально-

изотропный случай как для так и для (или Е3(0)[О ^ в ^ 2-/г], ^1(71")). Это означает, что

тензор как и определяется 8 независимыми константами. А для тензора В^-к1 получим сим-

метрию чуть более общего случая Е3(0)[О ^ в ^ 2-/г]. Это соответственно означает, что тензор В^-к1 определяется 13 независимыми константами, но многие из них нулевые.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975.

2. Горбачёв В.И. Интегральные формулы в симметричной и несимметричной упругости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 57-60.

3. Горбачёв В.И., Емельянов А.Н. Осреднение задач моментной упругости композитов // Упругость и неупругость: Доп. мат-лы. Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, поев. 100-летию со дня рождения A.A. Ильюшина (Москва, 20-21 января 2011 г.). М.: Изд-во МГУ, 2012. 81-88.

4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Eringen A.C. Microcontinuum field theories: foundations and solids. N. Y.: Springer, 1999.

Поступила в редакцию 10.07.2013

УДК 531.36

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИЛОВОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ СФЕРИЧЕСКОГО СЕГМЕНТА ПО СФЕРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ С ТРЕНИЕМ

А. А. Жулидова1

Изучается задача о движении шарового сегмента по внутренней поверхности полусферы с сухим трением. Получены выражения для коэффициентов плотности давления, являющейся линейной функцией от координат, и найдены значения этих коэффициентов для частных случаев движения тела (чистое скольжение, чистое верчение). Также представлены выражения для сил и моментов с учетом полученных коэффициентов.

Ключевые слова: сферическая поверхность, сухое трение, плотность давления как линейная функция от координат.

The problem of motion of a spherical segment on the inner surface of a hemisphere with dry friction is studied. A number of expressions for the pressure density coefficients are obtained in the case when this density depends linearly on coordinates. These coefficients are determined for the special cases of sliding or rotation and are used to derive expressions for forces and moments.

Key words: spherical surface, dry friction, pressure density as a linear function of coordinates.

Рассматриваемая задача опирается на известную задачу о движении тела по плоскости с сухим трением (см., например, [1]).

1 Жулидова Анна Александровна — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anna.zhulidovaQgmail.com.