О выводе и вычислении функционалов в нелинейных статистических краевых задачах механики композитов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Е.Ю. Макарова, Ю.В. Соколкин

Пермский государственный технический университет

О ВЫВОДЕ И ВЫЧИСЛЕНИИ ФУНКЦИОНАЛОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СТАТИСТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ КОМПОЗИТОВ

Рассматривается способ построения функционалов для микронеоднородных сред с учетом накопления структурных повреждений.

Ключевые слова: статистическая краевая задача, механика композитов, квазиизотроп-ные тела, эффективные модули упругости, функция Грина, микронеоднородная среда, структурные повреждения.

В работе [1] устанавливается важное свойство микронеоднородных квазиизотропных тел, когда моделью сравнения является однородная сплошная среда с осредненными свойствами:

4 = ФуаР(0) еаР ’ (1)

где в у (г) - структурные деформации микронеоднородной среды;

еч = (в у) - макроскопические деформации микронеоднородной среды;

0 утп (г) - случайные модули упругости микронеоднородной среды;

Фуар(0) - случайный функционал, зависящий от упругих свойств

микронеоднородной среды.

В работе [2] указан метод вычисления моментов различных порядков функционала Фуар (0), позволяющий вычислять как эффективные

свойства микронеоднородной среды, так и структурные поля деформирования. На основе полученного решения устанавливается важное свойство микронеоднородной среды: если упругие свойства микроне-однородной среды являются локально-эргодическими, то и поля деформирования микронеоднородной среды являются локально-эргоди-ческими.

В работе [3] дается обобщение соотношения (1) на микронеодно-родные тела, когда моделью сравнения является микронеоднородная среда с регулярной структурой. Если микронеоднородная среда макро-

скопически однородна и макроанизотропна, перемещения границы тела, имеющего конечные размеры, детерминированы, дисперсии физических свойств среды конечны, микродеформации регулярной среды в пределах структурного элемента - гладкие функции координат, то существует случайный функционал Ф(р)(0), не зависящий от граничных условий, такой, что пульсации структурных деформаций £ (г)

связаны со структурными деформациями в регулярной среде £(р) (г) соотношением

в°(г) = Ф(р)(0):в(р)(г). (2)

В этой же работе приводится общий метод вычисления функционала

Ф(р) (0) для микронеоднородных сред. Соотношение (2) позволяет

получить более точные формулы для расчета эффективных свойств композитов. Для макроскопически однородной квазиизотропной среды в корреляционном приближении получаем следующие зависимости:

С * = С(р ^*+/0° 0° \т *

Сутп Сутп \ а?тп / Т уа8р ’

где С*тп - эффективные модули упругости композита; сУ}* - макроскопические модули упругости регулярной среды сравнения; /*а8р -

изотропный тензор четвертого ранга, зависящий от макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.

Аналогичные зависимости получаем для эффективных модулей упругости квазиизотропных композитов с учетом конечных дисперсий физических свойств среды:

С * = С ( р ) * + /0° 0° \ Т * + +

Сутп Сутп \ У'у8 аДтп /Т уа1§р^

/ \ * * * (3) + \0 у'у30 а1р1Т151 0 а2^2Т 2^2 '' "0 акРктп/ ТУа18р1 ТТ1а251р2 •••ТТ к-1а25к-1?* +

Соотношение (3) представляет собой решение задачи, если соответствующие ряды сходятся. Сходимость рядов в каждом конкретном случае устанавливается непосредственной проверкой при заданных свойствах структурных компонентов [1].

Перейдем теперь к вычислению моментных функций второго порядка структурных деформаций. Перемножив уравнение (2), взятое относительно двух произвольно выбранных точек трехмерного пространства и применив оператор математического ожидания, находим моментную функцию второго порядка структурных деформаций:

Цтп ( г1, г2) = СПу? ( г1 ) 4р} ( г2 ) , (4)

где через Цутп (г1, г2) = (^°у (г1)в°тп (г2)^ обозначена моментная функция второго порядка структурных деформаций; Г}рт% = (ф(рр1ф}}г^ -

коэффициенты, зависящие только от физических свойств элементов структуры.

Для квазиизотропной среды эти коэффициенты вычисляются в явном виде. Тогда из уравнения (4) получаем явные аналитические зависимости для моментных функций второго порядка структурных деформаций:

где ^УбОр0 (г', г") - моментная функция второго порядка структурных модулей упругости:

*У&" (г', г’) = (0°ф„р (г', г')е°у5а|, (г', г')) . (6)

Если поля упругих свойств микронеоднородной среды (6) являются локально-эргодическими, то и поля структурных деформаций, как следует из формулы (5), также являются локально-эргодическими.

Для описания структурного разрушения и прогнозирования прочностных свойств композитов в определяющие соотношения вводится новый материальный носитель оУутп (гк), зависящий от условий

нагружения [4]. Таким образом, в качестве математической модели процесса квазистатического деформирования и разрушения в рамках такого подхода может быть поставлена стохастическая краевая задача механики композитов [4]:

V- о(г) = 0, е(г) = def и(г), с(г) = С :[1 - ю(г)]: г, ц(г)| 5 = г*- г, (7) где С - тензор модулей упругости изотропной сплошной среды; I -^ ^ единичный тензор четвертого ранга; г - заданный тензор макродеформаций; и(г) - тензор структурных перемещений.

Для замыкания системы уравнений (7) необходимо дополнить ее уравнениями для определения ш (г). Будем предполагать, что заданы явные зависимости

ш (г) = ш (Ч) >

где гк (г) - инварианты тензора структурных деформаций.

Наложим на случайное поле ш (г) математические ограничения

общего характера в виде локально-статистической однородности и локальной эргодичности.

Случайное поле ш (г) есть локально-статистически однородное поле,

если многоточечный закон распределения /0п) (г1, г2,„., гп), п = 1, 2, 3, ...

не изменяется после параллельного переноса точек М1 (г1),

М2 (г2) ,.„, Мп (гп) на равные расстояния, не превышающие характерного

размера некоторой области статистической зависимости V* с V. Под областью V* понимается шар, радиус которого равен е /, 0 < е << 1, / -характерный размер конструкции.

Случайное поле ш (г) есть локально-эргодическое поле если

ш (г ) локально-статистически однородно и моментные функции произвольного порядка к финитны в области V* с V, т.е.

г1,г2, и» ы -• (* к=2,3,",

гт = тах |г - г у |, I, у = 1, к, Б - характерный размер области V*.

Сформулируем свойство микронеоднородных сред аналогично свойству (1). Если микронеоднородная среда с однородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании локально-эргодические, средние деформации макроскопически гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Фр (ш), зависящий только от поля структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций г° связаны со средними деформациями е (г) в регулярной среде сравнения соотношениями:

£• (г) = Ф(р)(ш): е (г). (8)

Доказательство соотношения (8) аналогично доказательству соотношения (1).

Из соотношения (8) вытекает, что если поля структурных повреждений локально-эргодические, то и поля деформирования тоже являются локально-эргодическими. Как показывают прямые численные эксперименты [5, 6], локальность полей структурных повреждений имеет место на стадии дисперсного накопления повреждений, что является признаком ближнего порядка во взаимодействии полей микродеформаций и структурных повреждений на начальном этапе структурного разрушения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к укрупнению дефектов и местной локализации повреждений.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда поля упругих свойств

0 (г) и структурных повреждений ш (г) являются локально-эргодичес-

кими. Будем также предполагать, что эти поля являются собственными, т.е. отсутствует взаимная корреляция между полями:

(0 (г) ш (г )) = °-

Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (2). Если микронеоднородная среда с неоднородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании локально-эргодические, структурные деформации в периодической среде сравнения в пределах упругого элемента - гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то существует случайный функционал Фр (0, ш), зависящий от полей упругих свойств и структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций г° связаны со структурными деформациями £(р) (г) в регулярной среде сравнения соотношениями:

£• (г ) = Ф( р)( 0, ш): £( р )(г). (9)

Для доказательства формулы (9) рассмотрим стохастическую краевую задачу механики микронеоднородных сред в отсутствии объемных сил:

V-а(г) = 0, г (г ) = def и (г), а (г ) = 0 (г ):[1 - ш (г)]: г (г),

ш (г) = ш (г) (10)

с условиями специального вида

—^ [ г (г) dIV = г*,

dIV I У '

<11У

которые, как известно [4], эквивалентны условиям на поверхности 5 тела V:

и (г)| 5= г*-г- (11)

Р"

при макроскопически однородном деформированном состоянии.

Идея излагаемого ниже метода заключается в использовании в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:

V - а(р)(г) = 0, г(р) (г) = def и(р^ (г), а(р) (г) = С(р) (г): г(р) (г),

[ г(р)(г)dV = г*, dIV I У '

где и(р) (г), г(р) (г), а(р) (г) - детерминированные периодические функции структурных перемещений, деформаций и напряжений, С(р) (г) -

тензор структурных модулей упругости среды с регулярной структурой. Предположим, что решение краевой задачи (4) нам известно [7]:

г( р) (г) = Nр) (г): г*, г( р) (г) = г* + г( р ^ (г),

С( р}(г) + С(р)( г): ^р)(г)

(р)(г): N( р)|

, 0*(р) = с*( р )г*

где С*( р ^ - эффективные модули упругости среды с регулярной структурой; Nр) (г) - структурные функции [7]; [...] - оператор осреднения

по представительному объему.

С целью доказательства соотношения (9) исследуем решение краевой задачи (10) с граничными условиями (11), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничных условиях:

где

П = 00° def и(р) + 0°: def и° - ^0°: def и° ^,

л° _ л° л° / \ л° °

Цтп ^ 1/тп 1/уб\ ^убтп/ ^ууб® убтп ,

®1/тп ®(/уб [ 1убтп ^убтп ] *

Уравнения (12) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структурой С(р) (г) и перемещениями и° (г), обусловленными действием

фиктивных случайных объемных сил V - П .

При введении функции Грина среды с регулярной структурой

в(р)(г, г') система дифференциальных уравнений (12) преобразуется

в систему интегро-дифференциальных уравнений:

и° (г ) = |в( р}(г, г')-^- П (г')] dV '* (13)

V

Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем (6):

Vu° (г)= ]У0(р)( г, г')•[V• П (г')] dУ'* (14)

V

Уравнение (13) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородности и квазиизотропности микронеоднородной среды.

В первом приближений полагаем:

Vu° (г)= ^(р)•V•(0°:г(р})dV(15)

V

Для макроскопически однородной среды интегралы в выражение (15) фактически распространяются на е2^ -окрестность микронеод-нородной среды, где ер - постоянны, поэтому соотношения (15) принимают вид:

Vu°l) (г)^р(р/: е(р!, (16)

где Vр(1)) = JvG(р)(г,г')(v'• 0°)dV', а Vр(1)^ (00°,г) тензор-функционал

V

третьего ранга относительно физических свойств микронеоднородной среды.

Подставляя (15) в (14), с учетом (16) получаем второе приближение:

vum( г )=^р<;;^рМ): гр),

V

Окончательно запишем:

Vu° (г) = Vр(р): г(р),

го

Vр("^^р^ * (17)

к=1

Поскольку пульсации структурных деформаций определяются выражением

г° (г ) = def и° (г),

то в силу (17) приходим к соотношению (9):

г° (г) = Ф( р) (0, ю): г( р) (г),

где функционал Ф(р) (0, ю) определяется уравнением:

Ф( р) (0, ю) = def р(р) (0, ю).

В первом (корреляционном) приближении эти функционалы определяются следующими соотношениями:

(д0(р) эр(р) ^

иРтп | р ]тп

дх3 дх;

V 3 )

(18)

гЛ

ф(р = -

1-тп 2

др!т> г^рУ-г') д 8° (.

~ёх~ ~г~дх~ дх-:8 (г) '*'•

где G(/p'(г, г') - тензорная функция Грина для периодической среды сравнения с неоднородными свойствами.

Из соотношения (18) следует, что указанные выше функционалы являются функционалами относительно свойств микронеоднородной среды 0-тп (г) и тензора микроповреждаемости и>.тп, а также функциями относительно текущей координаты г. Из уравнения (10) следует, что моментная функция второго порядка функционала Ф^П однозначно определяется через моментную функцию второго порядка функционала р^П ., где через запятую обозначается дифференцирование по координате х.. Следовательно, для вычисления моментной функции второго порядка необходимо вычислить двойной интеграл

рутп/ *\=Яр(тП(г) Яри(г)

р^гЛ , ! ях Ях

Ях,- Яхп

] 4 (19)

ГГдО,1Р )(г, г-) ЯРУ( г* ■г') я2 К$тп (г-, г-)

Ях. Яхч ЯхрЯх5 ’

где через Кт (^г") = \01тп (г')0*рт (г")) обозначена структурная моментная функция второго порядка свойств микронеоднородной среды. Как показывают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, эта функция локальна (затухает на расстояниях намного меньших линейного размера элемента) и имеет область отрицательных значений [1, 4]. Для корреляционной функции, входящей в соотношение (19), используются аппроксимирующие зависимости через единичные функции, предложенные в [1]. Тогда для описания

функции Fpimmn (г,г*) достаточно вычислить некоторые значения этой

функции, получаемые при г = г* = 0 в уравнении (19). Для вычисления интеграла (25) необходимо знать функцию Грина г, г-) для неод-

нородной среды сравнения с периодической структурой. Используя технику осреднения, предложенную в работе [3], представим функцию

Грина (0, 0, г) в виде асимптотического ряда разложения по ма-

лому параметру а:

(0,%; 0, г) = о; (г) + аЛ^ (%

Т1

э2/

2 (2) / ч52^ав(г)

+ а2^ (5)1ТаГи"+ (20)

Т1 Т 2

-1п

+ апж(п) (%) 5 с;р(г) +

г>'аРт1Т2-Тп (%}дхудху ...ЭхТ

Т1 Т2 Тп

где С; (г) - функция Грина для эквивалентной однородной изотропной или анизотропной среды сравнения с модулями упругости С^*; Стп - эффективные модули упругости неоднородной среды сравнения с периодической структурой; Т (%) - локальные функции

быстрых координат % п-го уровня, а - малый параметр (0 < а = ИЬ<< 1);

I - характерный линейный размер неоднородности; Ь - характерный линейный размер конструкции.

Рассмотрим случай, когда микронеоднородная среда макроскопически однородна и квазиизотропна. В этом случае первое слагаемое в выражении (20) есть тензор Кельвина - Сомильяны для однородной

изотропной среды сравнения с эффективными свойствами Срт • Подставляя формулу (20) в соотношение (19) и используя метод, предложенный в работе [2], получаем

рцт (о, о)=11^ }. (21)

где через I* -д обозначен изотропный тензор четвертого ранга, зависящий от макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.

В силу свойства предельной локальности функционала р(т2 j

и вычисленного главного значения (21) следует, что функционал р22 j аппроксимируется координатной зависимостью

5р(р

1Шп

дх,

= 4Л,™ (г). (22)

В этом случае поправка, как это следует из формулы (22), вычисляется в явном виде:

Рассмотрим одномерный случай накопления структурных повреждений

Пусть элементарный макрообъем первого порядка малости (с характерным линейным размером ) представляет собой совокупность микрообъемов второго порядка малости (с характерным линейным размером а21). Будем предполагать, что для каждого элементарного объема второго порядка малости возможно лишь два состояния: либо элементарный объем разрушен, либо нет. Введем скалярную функцию ю, равную единице в неразрушенных микрообъемах и нулю - в разрушенных. Тогда

Таким образом, математическое ожидание функции микроповрежден-ности, введенное с помощью функции (23), совпадает с вероятностью разрушения микрообъемов второго порядка малости.

Запишем теперь закон Гука для элементарных объемов первого порядка малости:

где величины со звездочками относятся к элементарному объему первого порядка малости. Величина ю* имеет смысл вероятности разрушения р* элементарного объема первого порядка малости. Из соотношения (24) для момента разрушения величина макронапряжений равна пределу прочности а* = ав, а макродеформация равна предельной деформации: е* = . Отсюда находим формулу для оценки крити-

ческого значения макроповрежденности:

(г )=Е (г )р-®(£)Хг) •

с вероятностью р с вероятностью (1 - р).

(23)

Из соотношения (23) находим

Н=р.

(24)

Юр = 1 -^ ■ (25)

Е

Установим теперь связь между вероятностями макроскопического раз* тт ^

рушения р и структурного разрушения р. Принимая степенной закон

распределения микроповреждений

¥ (ю) = (ю)а , 0 <ю< 1, а> 0, (26)

неизвестные постоянные а определим по формуле

ю

1

= |ю ¥ '(ю) й ю = р. (27)

Из (27) находим

Р

а =

1 - Р

Из формулы (26) получаем зависимость вероятности макроразрушения от вероятности микроразрушения

Р*=1 -(< )(1-р) ■

Как видно из формулы (25), не является новой константой

материала, а выражается через известные предельные макроскопические характеристики материала.

Если записать обобщенный закон Г ука через связи первых и вторых инвариантов, то для изотропных материалов получим два независимых критерия разрушения, аналогично тому, как это сделано выше для одномерного случая.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 10-08-92-062).

Библиографический список

1. Волков С. Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. - Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. - 208 с.

2. Соколкин Ю.В. О методе вычисления многоточечных момент-ных функций полей деформирования и напряжений в микронеодно-родных средах // Структурно-механическое исследование композиционных материалов конструкций. - Свердловск, 1984. - С. 12-14.

0

3. Макарова Е.Ю. Синтез современных методов усреднения при решении стохастических краевых задач механики микронеоднородных сред // Механика композит. материалов. - 1999. - Т. 35, № 1. - С. 3-12.

4. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел. - М.: Наука, 1984. - 116 с.

5. Соколкин Ю.В., Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Рочев И.Н. Накопление структурных повреждений и устойчивое закритическое деформирование композитных материалов // Механика композит. материалов. - 1998. - Т. 34, № 2. - С. 234-250.

6. Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Зайцев А.В. Эволюция структурных повреждений и макроразрушение неоднородной среды на за-критической стадии деформирования // Механика композит. материалов. - 1997. - Т. 33, № 3. - С. 329-339.

7. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 336 с.

Получено 29.11.2010