CC BY
2&ij — d>ij — bij — 6ij, i, j — 1,2,3, CLyy — djj — by у — ^, 'у — 4,5,6. Тогда из (1) и (10) имеем
= S11 + s22 + S33 + 2(S12 + S23 + S3l) = F{vuf, (11)
что представляет собой полную систему определяющих соотношений для модели изотропного вяз-копластического течения. В квадратичных формах (10) и (11), разумеется, можно исключить S33, пользуясь тем, что tr s = 0.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шемякин Е.И. Анизотропия пластического состояния // Численные методы механики сплошной среды. 1973. 4, № 4. 150-162.
2. Победря Б.Е. Теория течения анизотропной среды // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. 101-108.
3. Берестова С.А., Митюшов Е.А. О физических уравнениях теории пластического течения анизотропных материалов // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2004. № 5. 96-105.
4. Аннин Б.Д., Остросаблин Н.И. Анизотропия упругих свойств материалов // Прикл. механ. и техн. физ. 2008. 48, № 6. 131-151.
5. Hill R. Constitutive modelling of orthotopic plasticity in sheet metals //J. Mech. and Phys. Solids. 1990. 38, N 5. 405-417.
6. Жигалкин B.M., Рынков Б. А. Анизотропное упрочнение ортотропного материала // Прикл. механ. и техн. физ. 1995. 36, № 5. 81-86.
Поступила в редакцию 18.02.2022
УДК 539.3:534.1
О СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОГО ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА
М. Ш. Исраилов1, С.Е. Носов2
Исследуются совместные с упругим грунтом нестационарные колебания полубесконечного подземного трубопровода, вызванные распространением вдоль него продольной сейсмической волны. Задача не является автомодельной и ее решение встречает значительные трудности, в отличие от случая бесконечного трубопровода. Показано, что постановка и рассмотрение данной проблемы, выполненные ранее Т. Рашидовым, некорректны и не приводят к ее решению.
Ключевые слова: сейсмические волны, полубесконечный подземный трубопровод, нестационарные колебания.
Unsteady oscillations of a semi-infinite underground pipeline and elastic soil caused by the propagation of a longitudinal seismic wave along the pipeline are studied. The problem is not self-similar and its solution meets significant difficulties unlike the case of an infinite
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., гл. науч. сотр. Комплексного НИИ РАН, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
2 Носов Святослав Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Рос. гос. ун-та нефти и газа им. Губкина, e-mail: s-e-nQnewmail .ru.
Israilov Mukhady Shakhidovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Chief Researcher of the Complex Research Institute of the Russian Academy of Sciences (Grozny).
Nosov Svyatoslav Evgenyevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Gubkin Russian State University of Oil and Gas.
pipeline. It is shown that the formulation and consideration of this problem performed earlier by T. Rashidov are incorrect and do not lead to its solution.
Key words: seismic waves, semi-infinite underground pipeline, nonstationary vibrations.
1. Вводные замечания. Первые работы по продольным сейсмическим колебаниям подземных трубопроводов [1-3] относятся к случаю бесконечного трубопровода. При этом решение нестационарных задач упрощается, так как они являются автомодельными и сводятся к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений. Кроме того, в указанных работах динамические процессы в среде (грунте) не рассматривались и влияние среды на трубопровод учитывалось через "силу взаимодействия". Эта сила считается пропорциональной относительному перемещению трубопровода (которое понимается как разность между перемещением грунта в сейсмической волне и перемещением трубы в одном и том же сечении); предполагается, что она определяется из опытов или результатов наблюдений при землетрясениях.
В более точной (связанной) постановке задачи о совместных колебаниях бесконечного трубопровода и окружающего его грунта исследовались в работах [4-6], где сила взаимодействия получает точное теоретическое значение из решения внешней задачи для грунта. Этот факт важен еще и в силу того обстоятельства, что установки и опыты, предложенные для определения силы и коэффициента взаимодействия (в названной выше пропорциональной зависимости) в [3, 7], не описывают адекватно условия сейсмической задачи [8, 9] и потому вызывает вопросы достоверность найденных из таких опытов значений.
В работе [10] Т. Рашидовым предпринята попытка постановки и решения задачи о нестационарных колебаниях полубесконечного трубопровода под действием сейсмической волны. Однако приведенное в ней рассмотрение ошибочно, поскольку "сейсмическая волна" задается как функция только времени. Движение грунта, задаваемое такой функцией (не зависящей от координат), представляет собой не волну, а движение абсолютно твердого тела. По этой причине неверно решаемое в работе уравнение относительного движения трубопровода, в силу чего правильное решение в изображениях имеет другой вид и содержащиеся в работе выкладки по обращению Лаплас-преобразования по времени не относятся к данной задаче.
Другой способ решения задачи о нахождении нестационарных волновых движений в полубесконечном трубопроводе при распространении вдоль него ступенчатой сейсмической волны представлен в работе [11, гл. 5]. При этом считается, что взаимодействие с грунтом подчиняется закону сухого трения и ступенчатая волна в грунте не искажается присутствием трубопровода. Принятие сейсмической волны в виде ступенчатой нагрузки является сильным ограничением, так как метод решения задачи таков, что его распространение на произвольное движение в сейсмической волне (скажем, колебательное движение) не очевидно, если оно вообще возможно. При этом принцип суперпозиции неприменим, поскольку задача в целом нелинейная из-за учета трения, хотя и разбивается на серию линейных задач.
2. Сила взаимодействия с грунтом и постановка задачи о сейсмических колебаниях полубесконечного трубопровода. Теоретическое значение силы и коэффициента взаимодействия проще всего получить из решения модельной внешней задачи для упругого грунта о распространении плоской продольной волны вдоль бесконечного трубопровода, находящегося на глубине r = Ro ((r,9,z) — цилиндрические координаты с осью z, совпадающей с осью трубопровода). Если снести краевые условия (равенство продольных перемещений вдоль оси z в грунте продольным перемещениям в заданной продольной волне -u° = wo (t — z/c\)) на коаксиальную поверхности трубы цилиндрическую поверхность r = R < Ro и считать деформации в паправлении z преобладающими, то, как показано в работах [4, 5, 12], одно из двух уравнений Ламе осесимметричной задачи (для продольных перемещений грунта = w) сводится к отдельному уравнению (не содержащему остающегося ненулевого перемещения ur)
d2w (Z, r) dr2
1 dw (Z, r) _ r dr
где Z = £ — х/с\ (Ь — время, а С\ — скорость продольных волн в грунте). Интегрируя это уравнение при краевых условиях, означающих, что на внешней границе г = К перемещения грунта и> совпадают с перемещениями частиц в падающей волне -шо и что на внутренней границе г = а (а — радиус трубы) они совпадают с продольными перемещениями трубопровода и, получаем
w=
In (г/а) ln (R/а)
(w0 — u) + u, ar
a ln (R/a)
(wo — u).
(1)
r=a
Второе соотношение в (1) дает теоретическое значение касательного напряжения агх на поверхности трубопровода в зависимости от относительного перемещения в случае упругого грунта с модулем сдвига Такая зависимость верна в пренебрежении радиальным расширением трубопровода, т.е. когда иг = 0 при г = а. Этот же результат получен в [8] методом анализа размерностей, а в [Щ — в случае, когда скорость распространения волны вдоль трубы с > в\ (что возможно, например, если продольная волна падает наклонно к трубопроводу). Имея в виду и такие ситуации, будем в дальнейшем обозначать скорость распространения волны в грунте через с вместо с\.
Вид соотношения для касательного напряжения в (1) не зависит от конкретных значений перемещения трубы, и потому можно считать, что та же зависимость справедлива и в случае полубесконечного трубопровода. Тогда поверхностная сила, действующая на поверхности элемента трубы единичной длины, равна (-—о — и) / 1п (К/а) и уравнение вынужденных сейсмических колебаний трубопровода принимает вид
- с2 —+к2 (wn - v) к2 = 27ф dt2 dz2 и), k-Sp,ln{R/ay
(2)
Здесь со — скорость продольных волн в тру бопроводе, S — площадь его поперечного сечения, ар' — плотность материала трубы.
В начальный момент времени t = 0 трубопровод находится в состоянии покоя: заданы нулевые начальные условия u(0, z) = u(0, z) = 0 (U = du/dt).
На конце z = 0 задано одно из двух краевых условий:
а) u(t, 0) = 0; b) u(t, 0) = wo (t).
(3)
Условие а физически означает, что конец трубопровода прикреплен к массивному сооружению, которое можно считать неподвижным при не очень сильных землетрясениях, а Ь означает, что это сооружение, а тем самым и конец трубопровода следуют движению в сейсмической волне, что близко к реальности при сильных землетрясениях.
3. Решение задачи методом преобразования Лапласа. Решая сформулированную выше задачу (2), (3) с помощью преобразования Лапласа по времени, получаем следующие выражения для продольных деформаций е = в изображениях (в — параметр преобразования и чертой сверху помечены изображения по Лапласу функций):
S2±ß2 \ Со
а) ё (s, z) = ( v " д' '" e-VFWz/co _ ie-sz/c J ß2 =
k2
1 - M
-21 '
b) e(s,z) =
ys2 + k2+ ±ß2 (k2z/c0 _ *LP-sz/c
со
s2 ± в2
со
(4)
wo(s).
Здесь число Маха М = с/со, ^^^^^^е ^^^^и в сверхзвуковом случае М > 1, нижние — в
дозвуковом случае М < 1, а в-5г/сШо(в) есть изображение падающей волны.
Отметим, что в работе Т. Рашидова [10] не возникают до- и сверхзвуковые режимы, поскольку вводимая там функция не зависит от г (не является волной). Л.В. Никитин в своей постановке [11] рассматривал только дозвуковой режим.
Учитывая, что точные оригиналы (обратные преобразования по Лапласу) функций, входящих в формулы (4), получить затруднительно, ограничимся асимптотическими решениями вблизи фрон-
г=0
деформации (и напряжения).
Пусть падающая волна представляет собой вблизи фронта ступеньку деформации — еоЛ, (£ — г/с), где ео — константа (имеющая размерность скорости) иЬ (£) — единичная функция Хевисайда. Таким образом, выписанная функция есть оригинал изображения вв-5г/сШо(в). Тогда из асимптотического
в
свертке, следующие результаты:
>1
1 П ( z \ 1 _ / z
— cosр [ t----cosp [t--
Co V со / с V с
и на конце z = 0
при М < 1
e(¿, 0) = -е0 ( — -- ) (1 — eos (3¿), max le (í, 0)1 = 2е0 (—--\co c) Vc0 c
e (t, z) « -£o { (- ~ -) ~ [- ch/? (t - -) - - ch/? (t - -)1 )
c0 c c0 c0 c c
z=0
•(í, 0) = -e0 (- - — ) (ch f3¿ - 1), max\e (t, 0)| = 2e0 (- - — ) (ch f3t0 - 1). c c0 c c0
(6)
(7)
(8)
Асимптотика (8), в отличие от (6), неограниченно возрастает со временем, но она справедлива только для малых времен и потому время Ь должно быть ограничено, например продолжительностью единичных толчков при землетрясении (Ь ^ ¿о).
Аналогичным образом получаем асимптотическое представление решения (46), соответствующего граничным условиям (36): при М > 1
£ (t, Z)
z=0
c0
c0
£0
1
c0
eos /3 (t —— ) — - eos (3 (t — c0 c
e(t, 0) = ^ +£0
1 1 £0
---(eos /3t, max le (t, 0)1 = —.
c0 c c0
(9)
(10)
<1
свойством решения соответствующей задачи для бесконечного трубопровода. В каждом сечении трубопровода в части, охваченной падающей волной в грунте, это решение весьма мало отличается от падающей волны [5]. Сказанное верно, по крайней мере, для падающей волны гармонического типа за фронтом, т.е. для волны wo = £оh (t — z/c) sin wo (t — z/c). Поэтому в граничном условии (36) в этом случае можно wo заменить на значение решения для бесконечного трубопровода, взятого z=0
бесконечной трубы, взятое в точках z > 0, совпадает с решением для полубесконечного трубопровода при краевом условии (36) на конце. Указанное решение для бесконечного трубопровода, полученное в работе [5], записывается (для деформаций) в принятых здесь обозначениях в виде
wo
О 1 + (wo/в)2
sign (t - е-Р\*~г/с\ eos Wo [t
(11)
В отличие от асимптотических решений (5), (7), (9) решение (11) справедливо при всех значениях переменных ¿иг.
4. Выводы. 1. К решению (11) относятся все выводы, сделанные в [5], касающиеся свойств решения в дозвуковом режиме обтекания. Главный из них состоит в том, что максимальные (по абсолютной величине) перемещения и деформации в трубопроводе достигаются в его части, охваченной падающей сейсмической волной, и они незначительно отличаются от предельных перемещений и деформаций в этой волне.
2. Из сравнения решений (6) и (10) для сверхзвукового режима видно, что максимальные деформации (а значит, и максимальные напряжения) в трубопроводе с закрепленным концом могут почти в два раза превышать максимальные значения этих величин в трубопроводе с незакрепленным концом, движущимся как частицы грунта в падающей волне.
3. В сверхзвуковом случае даже в трубопроводе с подвижным концом максимальная деформация, определяемая формулой (10), превышает деформацию во/с, вычисляемую по инженерной теории "жесткого защемления" трубы в грунте (принятой в нормативных документах по сейсмостойкому строительству [13] как дающей верхнюю границу для деформаций и напряжений).
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 20-08-00024).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sakurai A., Takahashi Т. Dynamic stress of underground pipelines during earthquakes // Proc. 4th World Conf. on Earthq. Engng. Chile: Santiago, 1969. 81^95.
2. Ильюшин A.A., Рашидов Т. О действии сейсмической волны на подземный трубопровод // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. 1971. № 1. 37—42 (Ильюшин A.A. Труды. Т. IV. Моделирование динамических процессов в твердых телах и инженерные приложения. М.: Физматлит, 2009).
3. Рашидов Т. Динамическая теория сейсмостойкости сложных систем подземных сооружений. Ташкент: Изд-во "ФАН" УзССР, 1973.
4. Israilov M.Sh. Seismodynamics of an underground pipeline // Proc. 15th World Conf. on Earthq. Engng. Portugal, Lissabon, 2012. Paper 2125.
5. Георгиевский Д.В., Исраилов М.Ш. Сейсмодинамика протяженных подземных сооружений и грунтов: постановки задач и автомодельные решения // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2015. № 4. 138—151.
6. Исраилов М.Ш. Связанные сейсмические колебания трубопровода в бесконечной упругой среде // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2016. № 1. 57-66.
7. Рашидов Т., Хожметов Г.Х. Сейсмостойкость подземных трубопроводов. Ташкент: Изд-во "Фан" УзССР, 1985.
8. Исраилов М.Ш. Сейсмодинамика протяженных подземных сооружений: границы применимости инженерных подходов и неправомерность аналогии с наземными сооружениями // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2017. № 1. 55-59.
9. Исраилов М.Ш., Хасамбиев М.В. Об опытном определении коэффициента продольного взаимодействия грунта и трубопровода при сейсмических колебаниях // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2020. № 5. 8-18.
10. Рашидов Т. Расчет подземного трубопровода на действие кратковременной и внезапно приложенной сейсмической нагрузки // Изв. АН УзССР. Сер. техн. наук. 1968. № 3. 49-58.
11. Никитин Л.В. Статика и динамика твердых тел с внешним сухим трением. М.: Изд-во "Московский лицей", 1998.
12. Исраилов М.Ш. О гипотезе Ильюшина в сейсмодинамике подземных сооружений // Упругость и неупругость. Мат-лы Междунар. науч. симп. по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 105-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2016. 323-328.
13. Нормы проектирования атомных станций: НП 031-01. М., 2001. Приложение 6. Основные положения расчета линейно-протяженных конструкций.
Поступила в редакцию 10.11.2021
УДК 517.95: 532.54
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В РЕЖИМЕ С ОБОСТРЕНИЕМ И ОСТАНОВИВШЕЙСЯ ТЕПЛОВОЙ ВОЛНОЙ
В. Л. Натяганов1, Ю.Д. Скобенникова2
Для квазилинейного уравнения теплопроводности в полупространстве получено обобщение решения Самарского-Соболя в режиме с обострением и локализацией тепла. Обсуждается аналогия этого решения с летним прогревом влагонасыщенной почвы в зоне вечной мерзлоты.
Ключевые слова: локализация тепла, остановившаяся тепловая волна, режим с обострением, уравнение теплопроводности, фазовый переход, фронт прогрева.
The generalization of Samarskiy-Sobol solution in the mode of heat exacerbation and
1 Натяганов Владимир Леонидович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:tenzor-homeQyandex.ru.
2 Скобенникова Юлия Дмитриевна — аси. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lasik28Qmail.ru.
Natyaganov Vladimir Leonidovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
Skobennikova Yuliia Dmitrievna — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.
