CC BY
114) алгоритм оценивания для случаев регулярной и нерегулярной спутниковой информации, когда вторичная информация отсутствует, а коррекция при помощи первичных измерений возможна.
Результаты моделирования. Приведем некоторые результаты моделирования.
1. При достаточном числе видимых спутников интеграционные решения с использованием вторичной и первичной информации соизмеримы по точности.
2. Использование первых разностей первичных спутниковых измерений позволяет решать задачу, когда число видимых спутников меньше четырех.
3. Для тестирования алгоритма моделировались пропуски, например 5 мин, при которых спутниковые позиционные и скоростные решения отсутствуют. В эти моменты в случае слабой интеграции ошибки определения истинной траектории быстро нарастают, а в случае тесной интеграции они удерживаются почти на прежнем уровне (рисунок).
Заключение. Представлены модели задачи определения траекторных параметров движения малого спутника при помощи вторичной и первичной информации СНС. Показано, что следует использовать так называемые первые разности первичных спутниковых измерений, позволяющих решать задачу определения траекторных параметров при малом числе видимых спутников, когда информация СНС не всегда регулярна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть I: Математические модели инерциальной навигации. 3-е изд., исправленное и дополненное. М.: МАКС Пресс, 2011.
2. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть II: Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. 2-е изд., исправленное и дополненное. М.: МАКС Пресс, 2012.
3. Вавилова П.Б., Голован A.A., Парусников H.A., Трубников С.А. Математические модели и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS. Стандартный режим. М.: Изд-во МГУ, 2009.
4. Глобальная спутниковая навигационная система ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ ГЛО-НАСС (редакция 5.1). М., 2008 (URL: http://www.spacecorp.ru).
5. Александров В.В., Беленький А.Д., Бугров Д.И., Лебедев A.B., Лемак С.С., Герреро Санчез В.Ф. Оценка точности ориентации по телеметрии спутника "Татьяна-2" // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 3. 69-72.
Поступила в редакцию 05.11.2014
УДК 539.3:534.1
НОВЫЙ ПОДХОД В ЗАДАЧАХ О СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ПОДЗЕМНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
М. Ш. Исраилов1
Методом Е.А. Ильюшиной исследуются продольные колебания сегментных подземных трубопроводов. Показано, что "усредненная" скорость волн в периодически неоднородном трубопроводе определяется эффективными статическими модулями ячейки периодичности и что в случае использования на стыках прокладок из резины или мягкого металла эта скорость может быть значительно меньше скорости продольных волн в основной трубе. Последнее обстоятельство оправдывает рассмотрение в постановках задач о сейсмических колебаниях сверхзвукового режима, при котором скорость волн в трубопроводе меньше скорости волн в грунте.
Ключевые слова: сегментный трубопровод, сейсмические колебания, усредненная скорость.
The longitudinal vibrations of segmented buried pipelines are studied by E.A. Ilyushina's method. It is shown that the "averaged" wave velocity in a periodically inhomogeneous pipeline is defined by the effective static moduli of its cell and that, in the case of the use of rubber
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., директор НИИ математической физики и сейсмо-дииамики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
or soft metal layings at joints, this velocity may be rather less than the velocity of waves in the basic pipe. The last circumstance justifies the inclusion of the supersonic case (the case for which the wave velocity in a pipe is less than the wave velocity in the soil) into the formulation of the problems devoted to seismic vibrations.
Key words: segmented pipeline, seismic vibrations, averaged velocity.
1. Продольные колебания кусочно-неоднородного трубопровода. Метод исследования. Рассмотрим продольные смещения u(z,t) упругого трубопровода Z\ ^ z ^ z^+i, состоящего из N различных однородных участков с границами раздела z = zr . Предположим, что на концах трубы z = Z\ и z = zn+i задано напряжение an(t) пли перемещение u(t). Изучим стационарные колебания трубопровода, считая заданные граничные условия гармоническими функциями времени.
Тогда перемещение г-го участка ur(z,t) = Ur(z)e определяется из уравнения
Ui'(z) +u)2lrUr(z) = 0,
(1)
где штрих означает производную по аргументу и ш\г = ш/сг] сг = у/Ег/рг есть скорость распространения продольных волн в г-м участке трубы с модулем Юнга Ег и плотностью рг.
Следуя методу Е.А. Ильюшиной [1] исследования колебаний неоднородной структуры, найдем связь перемещений 17 и напряжений £ц (<тц = Ице~ш() на левой границе г-го участка трубопровода (г = гг) с их значениями на правой границе (г =
Введем двумерный вектор Ъг\ Z\ = 17г(г), Z'!2 = Т7и/ (ЕоШю) = Ег11'г/ (-ЕЬ^ю), где Ео, Со — нормировочные константы и шю = со/со. Тогда из общего решения 17г{х) = А\ со8и)\гг + Аг2 $,тш\гх уравнения (1) следует, что
СТЪТ
сг =
COS UJirZ — Pr sin UJirZ sinwirz Pr COS UJirZ
Pr = EoU)w/(Eru)ir
(2)
Записывая соотношения (2) для г-го и (г + 1)-го участков и учитывая условия непрерывности и и £ц на общей границе между этими участками, получаем (/гг = — гг — длина г-го участка)
Zr+l(zr+1) = DrZr(zr), Dr =
cos rhr Pr sin u)irhr —P~lsmwirhr cosui\rhr
(3)
Рекуррентные уравнения (3) дают связь между значениями вектора Ъг на г-м участке при г = гг и значениями Zí'+1 на (г + 1)-м участке при г = и позволяют находить значения 17 и Ец на любой внутренней границе раздела трубопровода, если известны их значения на одном из его концов.
2. Колебания двухкомпонентного трубопровода. Рассмотрим важный для практических приложений случай бесконечного двухкомпонентного трубопровода, состоящего из периодически повторяющихся однородных участков двух типов: г-й участок с константами Е\, шц, (г + 1)-й участок с константами Е2 = Ео, ш\2 = Шю, Л-2- Записывая соотношения (3) для двух соседних участков, найдем
Ъг+2 = £>гг, И = Б2 • Б1, (4)
где матрицы И1 и И2 определены выражением из (3) при г = 1 и г = 2 соответственно. При этом в И и Б2 следует принять Р\ = Е2С1/Е\С2, Р2 = 1 согласно принятым обозначениям.
Для рассматриваемой периодической структуры естественно предположить, что однотипные границы раздела колеблются с одинаковой частотой, но каждая со своей амплитудой. Тогда, подставляя в уравнение (4) представление Ъг в виде (Н = + /¿2)
Z1 ехр
(ikrh\
Zn ехр
г = ±2, ±4, ±6,... г = ±1, ±3, ±5,...
(5)
получаем следующее характеристическое уравнение:
cos kh = cos {wuhi + (¿12^2) — 7sinwn/z,i sinwi2/?.2, 7 = (1 — Pi)2/^Pi■
(6)
Поскольку для реальных сегментных трубопроводов длина сейсмической волны А = 2тт/к значительно больше длины к ячейки периодичности, то для спектрального уравнения (6) хорошим приближением является длинноволновое приближение, когда в нем при малых к и Сс> (а значит, и малых и)ц = ш/с\, Ш\2 = Ш/С2) в разложениях функций в ряды Тейлора удерживаются члены до второго порядка малости. Тогда средняя (или "усредненная") скорость распространения продольных возмущений в двухкомпонентном трубопроводе равна
<С> = + Л| + 2(1 +7)Л1Л2 , Хг^Ьг/сг, Л2 = Л,2/с2. (7)
Для средней скорости легко устанавливаются следующие важные утверждения.
Теорема 1. Средняя скорость распространения продольных волн в сегментном трубопроводе может быть вычислена исходя, из его эффективных статических характеристик, если рассматривать трубопровод как композит [2]. Тогда
(с) = у/ЩЩ, (8)
где
(,Р) = (¿1Р1 + ^292) ¡К (Е) = к/ {}11/Е1 + Н2/Е2) (9)
— соответственно средняя плотность и эффективный модуль Юнга двухкомпонентного стержня.
Выражение для средней плотности в (9) очевидно, а выражение для эффективного модуля Юнга получается введением понятия средней деформации ячейки периодичности согласно равенствам (а — продольное напряжение)
(е) к = На/ {Е) = ефг + е2Л,2 = Ьа/Ег + к2а/Е2.
Теорема 2. Без ограничения общности предположим, что с\ > с2. Тогда (с) < С\, т.е. средняя скорость меньше большей из скоростей распространения стержневых волн на участках ячейки двухкомпонентного трубопровода.
Следует отметить, что средняя скорость может быть меньше меньшей из скоростей распространения стержневых волн на участках трубопровода, т.е. меньше с2, в чем можно убедиться, представив (7) (или (8)) в виде
(с) = с2
\
-1
С1
+
Л.1Л.2
Р2 Р1 \С1
Таким образом, использование демпфирующего материала на стыках понижает скорость распространения волн в трубопроводе, что может инициировать переход в сверхзвуковой режим, когда возможно появление резонанса [3].
3. Примеры: существование периодических решений и численные значения для средней (или усредненной) скорости в двухкомпонентном трубопроводе. Чтобы количественно оценить эффект демпфирующей прокладки на стыках, рассмотрим два примера: а) трубопровод, состоящий из железных труб (большого диаметра) длиной 5,97 м, соединенных в сложных стыках резиновыми прокладками шириной 3 см, и Ь) трубопровод, состоящий из железных труб длиной 5,90 м, соединенных в сложных стыках свинцовыми прокладками шириной 10 см. В обоих случаях длина ячейки периодичности Л, = 6 м. Необходимые для вычисления средней скорости по формуле (7) механические характеристики материалов трубопровода (железа, резины и свинца) взяты из справочника Д. Кэя и Т. Лэби [4] и даются в системе СИ следующими значениями:
a) а = 4,3 • 103 м/с, с2 = 0,7-102 м/с, Ег = 13,0 • Ю10 Н/м2, Е2 = 0,4 • 107 Н/м2;
b) а = 4,3 • 103 м/с, с2 = 1,2 • 103 м/с, Ег = 13,0 • Ю10 Н/м2, Е2 = 1,62 • Ю10 Н/м2.
Выше (п. 2) для двухкомпонентного периодического трубопровода было допущено существование периодического решения в форме (5) с действительным к. Такое допущение означает, что границы раздела обоих типов колеблются с одинаковой частотой. Определим в рассматриваемых примерах области малых со, в которых предположение о действительности к выполнено, или, иначе говоря, области, в которых правая часть характеристического уравнения (6) не превышает по модулю единицы. Последнее справедливо в областях, где график функции у\ = совХ, X = (А1 + Л2) ш,
расположен между кривыми уо = а соsxX + /3 и уз = а соsxX — ¡3. здесь х = (Ai — Хо) / (Ai + Л9). а = 7/(2 + 7), /3 = 2/(2 + 7).
Рис. 1
Рис. 2
На рис. 1 и 2 приведены графики указанных функций при .малых со для примеров а и Ъ соответственно. Как видно, при положительных значениях аргумента X периодическое решение существует для интервата 0 < X < 0,2 (что соответствует частоте ш/2тт = / < 17 Гц) в примере а и для интервата 0 < X < 2,9 (что соответствует / < 325 Гц) в примере Ь. Таким образом, в случае резиновых прокладок в сложных стыках начиная с умеренных землетрясений интенсивности 2-3 балла но шкале Рихтера (преобладающая частота сейсмических колебаний ~ 10 Гц [5]) наблюдаются периодические колебания трубопровода. И только в случае слабых толчков возможны его апериодические движения. При использовании свинцовых прокладок периодические колебания имеют .место везде, за исключением узких областей изменения X вблизи точек X = ±3 (рис. 2), что объясняется не столь большой разницей в скоростях распространения продольных волн в элементах ячейки периодичности трубопровода в ¡том случае.
Средние скорости распространения волн, вычисленные по формуле (7), принимают в рассматриваемых примерах следующие значения: а) (с) « 350 м/с; Ь) (с) « 4,05 • 103 м/с. В примере а средняя скорость на порядок .меньше скорости волн в железном сегменте композитного трубопровода и меньше скорости распространения продольных волн в типичных грунтах 500-1-1500 м/с), что .может дать значительный эффект и повлиять на сейсмопрочностъ трубопровода в силу характера поведения решения в сверхзвуковой области [3].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильюшина Е.А. Вариант моментной теории упругости для одномерной сплошной среды неоднородной периодической структуры //Прикл. матем. и механ. 1972. 36, 6. 1086-1093.
2. Кристпенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982 (Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. A11 introduction. N.Y.: Academic Press, 1971).
3. Исраилов М.Ш. Сейсмодинамика подземного трубопровода // Проблемы механики. АН Республики Узбекистан. 2012. Вып. 3. 18-24.
4. Кэй Д., Лэби Т. Справочник физика-экспериментатора. М.: ИЛ, 1949 (Кaye G.W.C., Laby Т.Н. Tables of physical and chemical constants. L.: Longmans, 1941).
5. Kanai K. Engineering seismology. Tokyo: Univ. Tokyo Press, 1983.
Поступила в редакцию 12.11.2014
