CC BY
16УДК 537.533.9, 519.688, 621.385
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ГРУППИРОВАНИЯ ИНТЕНСИВНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА В УЗКОЙ ТРУБЕ МЕТОДОМ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ШАГА
А.Ю. Байков,
канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой, Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: [email protected] О.А. Грушина, аспирантка,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: [email protected] М.Н. Стриханов,
д-р. физ.-мат. наук, проф., ректор,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: [email protected]
Аннотация. Для основного уравнения группирования электронного пучка в узкой трубе, решенного ранее в «приближении замороженного пучка» (ПЗП), получено новое решение в приближении, названном «методом кинематического шага» (МКШ). Новое решение соответствует неявной вычислительной схеме и поэтому должно обладать большей устойчивостью при моделировании клистрона с многозазорными электродинамическими системами.
Ключевые слова: математическое моделирование, электронные пучки, СВЧ-приборы, клистроны.
Abstract. The new solution of the electron beam bunching equation in the narrow tube is obtained. This equation was solved early «frozen bunch approach» (FBA). Now this equation is solved in the approach called by kinematic step method «KSM». The new solution corresponds to the implicit computing scheme and consequently should possess bigger stability when modeling klystron with multigap electrodynamic systems.
Keywords: mathematical modeling, electron beams, microwave devices, klystrons.
В работах [1-11] развита дискретно-аналитическая модель группирования электронного пучка в узкой трубе, позволяющая моделировать и проектировать мощные и сверхмощные клистроны с КПД = 80% и выше.
В этих работах исходная система уравнений, описывающая интенсивный электронный пучок, сведена к одному интегродифференциаль-ному уравнению движения «усредненных частиц», имеющему вид
&
2 г
гд е О (и) = —-
4г = -вге1 — Г б(«) ~ Р(2 + и, *)Ши , Ш т J
П / \
• X ехр
к=1
Г °к 1 и 1 1 • Г Л (ок а) 1
1 гт ) 1 Л (ок))
(1) (2)
о,/
- одномерная функция Грина, 2 - усредненная по азимуту и радиусу координата электронов пучка, а = гъ/ гТ отношение радиуса пучка к радиусу трубы, Де1 =71 - у02/с2, е, т - заряд и масса электрона, у0 -невозмущенная скорость пучка, £0 - диэлектрическая постоянная, 1 (х) -функция Бесселя, ак - к-ый корень функции Бесселя 1д(х), и - переменная интегрирования, имеющая смысл усредненной координаты относительно текущего значения,р(г, I) - плотность пространственного заряда в зависимости от усредненной координаты и от времени, п- количество учитываемых членов ряда (в [7] показано, что достаточно п== 2).
Уравнение (1) было решено в «приближении замороженного пучка» (ПЗП) [7], получены аппроксимации этого решения в виде ряда и в виде асимптотического разложения [9], соответствующие формулы реализованы в виде процедур программного комплекса К1уР [8-12], проведены тестовые расчеты, показавшие сочетания высокой скорости и точности [9-11], получены общие зависимости для связи КПД с коэффициентом усиления в двухрезонаторном клистроне [11].
Но, несмотря на высокую эффективность ПЗП-решения, оказалось, что возможны такие схемы построения клистронов и такие режимы работы, в которых это приближение работает плохо. Например, для сложного каскада, включающего многозазорную резонаторную систему, итерационная процедура для расчета наведенного тока и СВЧ-напряжений в зазорах может не сходиться, этот эффект тем сильнее, чем больше зазоров включает многозазорная система и чем больше ее общая электрическая длина. Вместе с тем системы с многозазорными
резонаторами являются перспективными конструкциями для создания мощных широкополосных клистронов в сантиметровом и миллиметровом диапазоне. Поэтому адекватное моделирование таких систем является весьма актуальной задачей.
Для моделирования трансформации электронного пучка в многоре-зонаторных системах, а также для расчета других аналогичных систем, предъявляющих высокие требования к устойчивости вычислительной процедуры, предложен другой, отличный от ПЗП способ решения уравнения (1), близкий к неявным вычислительным схемам, названный «Методом кинематического шага» (МКШ), который и рассматривается в данной работе.
МЕТОД КИНЕМАТИЧЕСКОГО ШАГА
Для решения задачи о группировании электронного пучка необходимо найти функцию прибытия t (2,1), имеющую смысл времени прибытия данной усредненной частицы в плоскость 2, t, - идентификатор усредненной частицы, имеющий смысл времени прохождения этой частицей начальной плоскости 2 = 0.
Преобразуем уравнение (1), записав его относительно функции прибытия. Это можно сделать на основе дифференциального соотношения
В уравнении (3) проведена замена переменной интегрирования и на переменную г' = 2 + и.
Для уравнения (3) поставим задачу Коши.
= _1 (_0)
а2 г Л 2
Уравнение (1) принимает вид
(3)
дг_ _ 1
5г VI (_0)
(4)
Функция Грина С описывает кулоновское взаимодействие усредненных частиц друг с другом. Этот эффект является поправочным к основному эффекту - модуляции плотности за счет модуляции скорости. Поэтому его можно учесть в рамках метода последовательных приближений.
Найдем функцию прибытия в нулевом приближении, считая, что кулоновское взаимодействие усредненных частиц друг с другом отсутствует, т. е. С = 0. Уравнение (3) примет вид
£=•>■ <5>
а решение задачи (5), (4) запишется в виде
(* - ^ V =& )+ ^ <6)
V (о )
Выражение (6) представляет искомую функцию прибытия в нулевом приближении - кинематическое решение уравнения (3).
В соответствии с методикой построения дискретно-аналитической модели [2] будем искать аналитическое решение для одного шага, т. е. в пределах 2 < 2 < 2 + Д2, где Д- величина шага. Соотношение (6) при 2=2 + Д можно рассматривать как предварительный «кинематический» шаг.
Перейдем к следующему приближению, т. е. найдем t (2, I), подставив выражение (6) в правую часть уравнения (3).
Для этого необходимо найти выражение для плотности пространственного зарядар(2', I) в кинематическом приближении.
Воспользуемся тем, что плотность заряда - периодическая функция времени и разложим ее в ряд Фурье
р (2', t) = (2')бш (кю t)+ Бк (2')соб (кю t)), (7)
к=1
п
Лк (2') = — р(2', фт (кю tу (ю t), (8)
п J
где
Бк
п
(2' ) = — I р (2', ') СОБ (кю t (ю t ) . п J
(9)
В силу закона сохранения заряда р Ж = у0 —0 [5], где у0- плотность тока невозмущенного пучка (в сечении 2 = 0) . г
После такой замены дифференциалов выражения (8), (9) преобразуются к следующему виду
п
У Гбш (кю t (г', ))
Л(г')=п I ('/Г — (ю-о),
п J ^ (г , tо)
п
у Г с°5 (кю t (г', t0))
1
В I-4 ■ , ч,.' — (ю t0)•
V (г , tо)
(10) (11)
Подставив соотношения (10), (11) в выражение (7), а затем результат вместе с выражением (2) в уравнение (3), получим
д2t (г, ^ )= 1
Эг2 V? (^ )
где й2 =Пр^У -1?^, п т г 0 а ? (а ,)
п
I—(ю t0 ?!
(12) (13)
Я = > кГ,
I
Iь = ехр
а, г — г
ип (кю((0) (г', t0)— t(0) (г, t0))).
(14)
(15)
Интеграл (15) берется, после его вычисления получаем
,2аЖО 1
' гтю 2 к 2 ,а V 00 )2'
Г ( кю
tl (tо)— ^ (t0 )+Аг
' 1 1
ч (0) vl 00)
Л/у
. (16)
Просуммируем ряд Я, входящий в выражение (12). Воспользуемся табличным рядом [13]
Т
<¥+78ш(кх)="
я sh ((я - х )а)
2 sh (х) ,
при 0 < х < 2я .
(17)
(18)
Условие (18) для аргумента синуса в выражении (16) может не выполняться. Но всегда можно подобрать такую целую величину т, чтобы это условие выполнялось после прибавления к аргументу синуса величины 2лтк.
Будем считать, что для всех значений s, t и ''0 такая величина т = т (8, t0, ''0) найдена. Тогда сумма ряда запишется в виде
К =
Яо , У1 2 ('0 )
sh
о Л ('0 )
гТю
я + 2я т -ю
t1 (t0 Н (t0 )+а^
_1___1_
V (t0 ) V (t0 )
¿11
гТю
sh
0sV1 (t0 )
. (19)
Подставив выражение (19) в выражение (12), получим
д2' (д г, t0)
= 2 "2(') •[
s=1
Г sh (Xs(to,to') + Ps(to,to') •Аг)
1 (ю ('0).
д(дг)2 ^ " 0 sh (s('0'))
В выражении (19) введены обозначения
(20)
ЦЖ) = 2РгеГ
(о sa) 1 1
!£0 оs2 ^ (оs ) Ю у,3^)'
а s ('0, '0 ) =
оs • ^('0 )
•(я+ 2ят-ю( ('0)-', (0'))),
(
Ps ('0, '0 ) = ~ •
Г
Уs ('0,'0 ) =Я
1 - чЫ
V1С0)
о s • Л1('0')
г ю '
л
(21)
(22)
(23)
(24)
а также проведена замена в левой части переменной 2 на переменную
Аг = г - г .
Выражение (20) легко дважды интегрируется по лг. Однако при интегрировании функция в (г0, г'0) попадает в знаменатель. Т.к. эта функция может обращаться в ноль при некоторых значениях г' в частности, при г'0 = г, то в подынтегральном выражении появляется особенность. Анализ выражения показывает, что эта особенность устранимая, избавиться от нее можно соответствующим доопределением функций в точках разрыва.
Введем следующие две вспомогательные всюду гладкие функции:
| /к(х)
, при х Ф 0
сг(х) = < х
[ 1, при х = 0
(24)
| сг(х) -1 /г(х)=\ х
, при х Ф 0
(25)
[ 0, при х = 0
и выразим через них результаты интегрирования по лг. В результате для производной функции прибытия и для самой функции прибытия получим следующие регулярные выражения:
Ш (лг, г0 )= 1
9 (А г ) V 1(д
-+л г
п
■I
эк
а, ?0) +
в,(?0, Ч )
-Аг
эк (, (л)
сг
(а / Ч А
М0А) л г
d (ш ?0)
(26)
^ (лг, ) = ^ (¿0) + Аг + л г2
п
I
V 1( г0)
( (а г0')) .Г эк
£ 2^2(о)
(г.(0)
-сгА
в, (г 0, г0)
А ск
л г
(а o, г)
_С <
+ 2-, / 0 ,0ч ^ (р,(())
(г.(0 )
Л (27)
d(ш
Выражения (26) и (27) дают решение поставленной задачи. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ
Сравним найденные решения (26)-(27) с полученными ранее решениями в ПЗП-приближении [5-9]. Решения (26)-(27) представлены
квадратурами. Это означает, что для нахождения перемещения каждой усредненной частицы на один шаг требуется вычислять интеграл. При этом для каждой частицы нужно находить функцию m, которая может привести к негладкости подынтегрального выражения и, следовательно, к необходимости вычислять интеграл исключительно суммой. Все это приводит к увеличению времени расчетов по сравнению с расчетами в ПЗП-приближении, где перемещение частицы на каждом шаге рассчитывается по аналитическим формулам.
Но, с другой стороны, решения (26)-(27) соответствует неявной вычислительной схеме, т. к. сила пространственного заряда учитывается не только в плоскости z, а на всем промежутке между плоскостями z и z + Az. Это должно привести к более устойчивой вычислительной процедуре, проверку устойчивости и эффективности этой процедуры предполагается провести в ходе дальнейшей работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Байков А.Ю., Петров Д.М. Дискретно-аналитическая модель клистрона. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию изобретения радио. - Москва. Май. 1995.
2. Байков А.Ю. Компьютерное моделирование мощных и сверхмощных резонаторных СВЧ-приборов // Информационно-измерительные и управляющие системы №4, Т. 8, 2010. С. 36-46.
3. Байков А.Ю., Грушина О.А. Реакция электронного пучка в узкой трубе на полигармонические и непериодические возмущения // Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе / Труды международной научно-практической конференции. Том 1. -М.: МФЮА, 2009. С. 97-100. Электронная версия: http://conf.mfua.ru
4. Байков А.Ю., Грушина О.А. Распространение продольных возмущений интенсивного электронного пучка в узкой трубе // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2010. Аннотации докладов в 3-х томах. Т. 2. Нанофизика и нанотехнологии. Фундаментальные проблемы науки. -М., 2010. С. 329.
5. Байков А.Ю., Грушина О.А. Аналитическое решение задачи группирования электронного пучка в режиме большой модуляции плотности // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова. Серия: научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXV. - M., 2010, С. 339-342.
6. Байков А.Ю., Грушина О.А. Исследование процесса группирования электронного пучка в клистроне на основе ПЗП-решения // Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе/ Труды всероссийской научно-практической конференции. - М., МФЮА, 2010. С.132-138. Электронная версия: http://conf.mfua.ru
7. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Математическая модель трансформации электронного пучка в узкой трубе // Журнал технической физики, 2012, №6. С. 90-100.
8. Грушина О.А. О возможности моделирования мощных клистронов со сверхвысоким КПД. // Тезисы докладов XIV Международной телекоммуникационной конференции студентов и молодых ученых «Молодежь и наука», ч. 2. - М., НИЯУ МИФИ, 2011. С. 101.
9. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Влияние пространственного заряда на процесс группирования в клистроне в рамках «приближения замороженного пучка» // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА, 2012, № 1. С.68-77.
10. Байков А.Ю., Грушина О. А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Компьютерное моделирование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в двухрезонаторном клистроне // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА, 2012, № 1. С.77-84.
11. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Моделирование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в сверхмощном импульсном двухрезонаторном клистроне сантиметрового диапазона // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012. Аннотации докладов в 3-х томах. Т. 3. Конференция «Методы математической физики и математическое моделирование физических процессов». Секция «Математическое моделирование физических процессов». - М., 2012. С. 155.
12. Байков А.Ю., Ежиков В.Б. Редактируемый интерфейс ввода-вывода данных для вычислительной модели, включающей многопараметрическую оптимизацию //Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА, 2011, №1, С. 173-182.
13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М., 1981. С. 730.
