Дискретно-аналитическая модель для одной задачи динамики нелинейной среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 537.533.9, 519.688, 621.385

ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ДЛЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЫ

А.Ю. Байков,

канд. физ.-мат. наук, доцент, заведующий кафедрой, Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: baikov.a@mfua.ru

Аннотация. Рассматривается новый класс математических моделей - дискретно-аналитические модели для описания динамики нелинейных сред. Обсуждаются результаты этого подхода в задаче моделирования динамики электронного пучка в узкой трубе, включая исследование процессов группирования и отбора энергии, реализацию модели в программе расчета мощных клистронов, а также результаты моделирования клистронов с высоким КПД.

Ключевые слова: нелинейные среды, математическое моделирование, электронные пучки, СВЧ-приборы, клистроны.

Abstract. The new class of mathematical models - discrete-analytical models for the nonlinear media dynamics is considered. The electron beam dynamics in a narrow tube model is discussed as the example of this approach. Research of electron beam bunching processes and energy transformation, computer realization of the model and the powerful klystrons with high efficiency projects are discussed too.

Keywords: non-linear media, mathematical modeling, electron beams, microwave devices, klystrons.

1. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЫ

Многие задачи моделирования как физических, так и социально-экономических процессов формулируются в терминах динамики нелинейной среды. Таковы задачи о течениях в средах, включая турбулентные течения, связанные с ними задачи моделирования атмосферных явлений, климата, последствий экологических катастроф, экосистем, экономических и социальных систем. Например, в [1] рассмотрена

структура власти в государстве как нелинейная среда и смоделирована динамика ее изменения.

Динамика нелинейных сред в настоящее время постепенно формируется как отдельная область науки, сформированная на основе, с одной стороны, физики сплошных сред (включая механику сплошных сред и электродинамику сплошных сред), а с другой стороны - классической нелинейной динамики.

В классической нелинейной динамике решается задача изменения во времени системы из N частиц, каждая из которых имеет к степеней свободы. Для каждой частицы заданы фазовые переменные - к обобщенных координат и к обобщенных скоростей, которые связаны между собой операцией дифференцирования по времени. Распространение этого подхода на химические, биологические, экологические, экономические и т.д. задачи приводит к необходимости рассматривать в качестве таких «частиц», компоненты химической реакции, биологические популяции, продукцию, финансы и т.д. Соответственно «координатами» становятся концентрация вещества, численность популяции, количество продукции и т.д.

Совокупность всех обобщенных координат и обобщенных скоростей в данный момент времени (вектор 4 = 4) - это состояние системы. Задача динамики - описать эволюцию состояния системы во времени, т.е. найти вектор-функцию 4 (), называемую фазовой кривой или траекторий системы, зная вектор 4о = 4(0) - начальное состояние системы.

Связь между 4о и 4 (0) задается оператором (фазовым потоком [2]), обычно представляющим собой систему обыкновенных дифференциальных переменных (СОДУ) 1-го или 2-го порядка. Рассмотрим фазовый поток в виде СОДУ 2-го порядка:

Ф=(1)

Ж &

Индексы г, т пробегают значения от 1 до kN. Для физических классических точечных частиц система уравнений (1) получается из 2-го закона Ньютона.

Таким образом, с математической точки зрения задача классической динамики сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1), для ее решения есть стандартные, хорошо отработанные и достаточно эффективные методы [3].

Задача значительно усложняется, если в систему уравнений (1) входят нелокальные зависимости. Например, в правую часть системы

могут войти некоторые функционалы 1к = 1к ^)], для нахождения которых нужно знать фазовую траекторию системы. В этом случае для решения задачи потребуется дополнительная итерационная процедура.

Задачи физики сплошных сред тоже можно рассматривать с точки зрения взаимодействующих частиц, но частицы при этом необходимо считать бесконечно малыми (дифференциальными). Система таких «частиц» представляет собой континуум - среду. Соответственно, динамика такой системы описывается либо дифференциальными уравнениями в частных производных, либо интегродифференциальными уравнениями.

В физике сплошных сред применяются 2 эквивалентных подхода.

Первый из них связан с применением переменных Эйлера (г, ^), в этом случае искомым является поле скоростей среды в зависимости от координат и времени, т.е. V (г, ^). Этот подход является традиционным, наибольшее количество задач в физике сплошных сред решено именно в переменных Эйлера. На эти же переменные ориентированы основные численные методы (МКР, МКЭ и т.д., [4]).

Второй подход основан на применении переменных Лагранжа [5], по сути совпадающих с фазовыми переменными классической динамики. Отличие заключается в том, что количество частиц из конечной величины превращается в континуум, соответственно, для идентификации частицы приходится использовать не дискретный номер, а непрерывную лагранжеву переменную (вообще говоря, векторную). В качестве такой переменной обычно выбирается начальный вектор Г0 = г ) \{=0. Набор значений Г0 является уникальным для каждой частицы и не меняется при ее движении. Траектории частиц среды представятся в виде г = г (, Г0 ), при этом все операторы, входящие в фазовый поток, должны действовать в пространстве }.

Динамика нелинейной среды - это область, возникающая как пересечение классической нелинейной динамики и физики сплошных сред.

Наиболее естественной постановкой задачи в динамике нелинейной среды является ее постановка в переменных Лагранжа - в этом случае сохраняется ее преемственность с классической динамикой.

Задачи динамики нелинейной среды решаются с помощью тех или иных компьютерных вычислительных процедур, в первую очередь - на основе методов конечных разностей и методов конечного элемента [4]. Одной из главных проблем при этом является очень большая вычислительная сложность таких методов, особенно при наличии дополнительных итерационных процедур. Это приводит к тому, что при моделиро-

вании сложных систем каждый вычислительный эксперимент требует большого времени, даже на суперкомпьютерах.

В настоящей работе рассматривается обзор результатов применения нового класса вычислительных методов - дискретно-аналитических методов - для одной задачи динамики нелинейной среды - динамики интенсивного электронного потока в мощных клистронах.

2. ДИСКРЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

(ОБЩАЯ ФОРМУЛИРОВКА)

Рассмотрим сначала дискретно-аналитическую модель нелинейной среды в общем виде.

В уравнениях динамики (1) особую роль играет время, т.к. рассматривается именно эволюция системы во времени. Т.е. время является «эволюционной переменной». Однако может оказаться, что удобно рассматривать эволюцию системы не во времени, а по отношению к какой-то другой величине. Например, при исследовании процессов в клистроне в качестве эволюционной переменной удобно взять продольную координату частицы, а время рассматривать как неизвестную функцию. Поэтому далее вместо времени t будем рассматривать произвольную эволюционную переменную

Будем считать, что динамика каждой частицы среды относительно эволюционной переменной определяется уравнениями вида (1). С учетом сделанных замечаний эта система запишется в виде

д ^ (д - >. = р„,) (5 «, Г), а§£), д,, р [? (д ,г>,г,д ]л

од

дд2

V

(2)

где 5 , ?) - обобщенная траектория частицы, определяемой лагранже-вым и переменными ?, в зависимости от эволюционной переменной а ?)- оператор (вообще говоря, интегродифференциальный), действующий в пространстве (д, ?), I [д(д, ?), ?, д] - некоторые функционалы. Размерность векторов 5, Г и р (размерность задачи) равна числу степеней свободы для каждой частицы; для обычной физической среды это либо 3, либо 2, либо 1. Величины 5 имеют смысл координат, но могут не совпадать с ними. Т.к. они определяют структуру среды, назовем их структурными переменными.

Вычислительная сложность задачи быстро растет с увеличением размерности среды, поэтому очень важно добиться уменьшения размерности без существенного ухудшения адекватности математической

модели. Это можно сделать, исходя из соображений симметрии, однородности и изотропности, т.е. из некоторой структурной инвариантности. Следует отметить, что в задачах движения среды такая структурная инвариантность почти никогда не бывает строгой, можно лишь говорить о некоторой «приблизительной» и «мягкой» инвариантности. Наиболее универсальный способ учета такой инвариантности - усреднение по соответствующей структурной переменной.

Процесс создания дискретно-аналитической модели состоит из следующих этапов.

П.1. Запись общих уравнений, описывающих рассматриваемую среду, с полной (максимальной) размерностью.

П.2. Понижение размерности путем усреднения по некоторым структурным переменным.

П.3. Запись полученных (усредненных) уравнений в лагранжевых координатах и приведение их к виду (2).

П.4. Выбор эволюционной переменной, по которой наилучшим образом реализуются последовательные шаги. Соответствующее преобразование уравнений.

П.5. Нахождение приближенного аналитического решения для одного шага по эволюционной переменной. Под аналитическим решением при этом понимается выражение через элементарные функции, специальные функции и квадратуры.

П.6. Компьютерная реализация модели.

Краеугольным камнем этого алгоритма является п.5 - это наиболее сложная и наименее формализуемая часть метода.

Отметим также п.3. Переход к лагранжевым координатам после усреднения можно интерпретировать как рассмотрение движения некоторых объектов «усредненных частиц» с уравнениями движения вида (2). Реализацию этого подхода для электронного пучка в узкой трубе мы рассмотрим далее.

3. ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОК В УЗКОЙ ТРУБЕ

Задача о трансформации электронного пучка в узкой трубе возникает, в первую очередь, при моделировании мощных многорезонатор-ных клистронов [6] и других систем с протяженными ускоренными электронными пучками, фокусируемыми продольными магнитными полями, например, промышленных ускорителей частиц, рентгеновских излучателей и т.д., высоковольтных вентильных устройств и т.д.

Рассмотрим реализацию дискретно-аналитического подхода для этого класса задач.

П.1. Исходная система, описывающая электронный пучок, двигающийся внутри узкого полого цилиндрического канала (трубы) с металлическими стенками в фокусирующем магнитном поле, имеет вид [7]:

|=;№В1) (3)

г V

Р =

1-4 (4>

с

Д = ~8гас11 (- -') • р (-', г)йът'

(5)

(о* - )• ^ (о* -)

^ (Г, Г) = (2—,) •е - •----5- —')?(6)

,=1 о* • [[+1(0 )]

где р - импульс электрона, е, т - заряд и масса электрона, Епз - электрическое поле, создаваемое электронами пучка (поле пространственного заряда), V - скорость электрона, В - индукция внешнего магнитного поля, с - скорость света, С3 (г, г') - трехмерная функция Грина для трубы, р (г, I) - плотность пространственного заряда в зависимости от координат и от времени, гТ - радиус трубы, ¿V - символ Кроне-кера, ок- к-ый корень функции Бесселя ^(х), (г, г, ф) - цилиндрические координаты радиус-вектора Г.

Пп. 2-3. Проведем усреднение по азимуту и по радиусу. В результате этой процедуры получается следующее уравнение [8]:

е г

л2

где

= - Рге1 — [о (и) •—р (г + и, t )Ли, (7)

т Л дг

—г

0(ы ) = —- ^ ехр

£0 к=1

Г у

. -1 к )

\2

(8)

- усредненная одномерная функция Грина, 2 - усредненная по азимуту и радиусу координата электронов пучка, а = гп/гТ - отношение радиуса пучка к радиусу трубы.

Уравнение (7) имеет вид (2), поэтому, как было отмечено, его можно интерпретировать как уравнение движения «усредненных частиц» - продольных дифференциальных элементов пучка [8].

Хотя производная по времени в уравнении (8) записана с помощью значка С, это, по своему смыслу, - частная производная, т.к. 2 = 2 (1, I) -функция двух переменных - времени I и лагранжевой переменной Значок С использован для того, чтобы отличить лагранжеву производную от эйлеровой.

П. 4. Выбор эволюционной переменной. Необходимо выбрать ее таким образом, чтобы реализация последовательных шагов по этой переменной происходила наиболее просто и естественно. Для клистронов такой переменной является продольная координата 2, т.к. электронный пучок в клистроне проходит последовательность труб дрейфа и зазоров резонаторов - их можно рассматривать как «большие пространственные шаги», которые, возможно, потребуется разбить на более мелкие. В этом случае время прибытия данной усредненной частицы в некоторую плоскость 2 становится функцией I = t (2,1), которую будем называть функцией прибытия.

Уравнение (7) приобретает вид

д 2 „ е

2 ¡га

д1 т

да

д

У

1

-Г = вге- Т- - 2')-ТГ Р(2', (9)

-

да!

да

Для уравнения (10) ставится стандартная задача Коши.

П. 5. В настоящее время получены 3 группы приближенных аналитических решений уравнения (9).

5-1. Линейное аналитическое решение [8-10] получается в приближении малой модуляции плотности заряда. Это решение не имеет ограничений по длине шага, оно может быть записано как в переменных ф, t), так и в переменных 2^, Наиболее простой вид это решение имеет в переменных 2(^ t) для однородного пучка, двигающегося с постоянной скоростью v0 и получающего в момент времени t = t возмущение скорости V Это решение можно записать в виде [8]:

*(Мо) = У0 • г + — У^^Б, (10)

гдеП/ = Д., ±(¿^Т Л О)

т у0 е0 к=1 ^ (ак) ^ ^

- параметр пространственного заряда.

В работах [8-10] показано, что известные из литературы аналитические выражения для трансформации гармонически модулированного пучка (см. [11], [12]) можно рассматривать как частный случай выражения (10). С другой стороны, из выражения (10) вытекают и другие решения, которые ранее в литературе не были описаны, например, трансформация короткого импульсного возмущения скорости [8].

Решение (10) с большой точностью описывает начало процесса группирования, т.е. хорошо подходит для моделирования первой трубы дрейфа клистрона, в том числе для нестандартных режимов скоростной модуляции (многочастотный режим и т.п.). При этом величина пространственного шага не ограничена, можно в качестве такого шага взять всю трубу дрейфа.

5-2. Приближение замороженного пучка (ПЗП). Это решение получено в работах [8], [13], [14] для условий, соответствующих процессу группирования пучка во всех трубах дрейфа клистрона, начиная со второй. Решение получено на основе медленности изменения плотности заряда в системе координат, связанной с пучком. Величина пространственного шага И при этом не может быть слишком большой, т.к. на большом шаге предположение о «замороженности» плотности заряда перестает выполняться. Проведенные оценки и тестовые расчеты показали, что оптимальная величина пространственного шага в безразмерных единицах, т.е. величина ® • ^ , где с - частота СВЧ-колебаний,

составляет примерно 0,2 гаё. Погрешность решения при этом не превышает 0,001.

ПЗП - решение может быть записано в разных видах, которые приведены и обсуждены в работах [8], [15].

5-3. Метод кинематического шага (МКШ). Получению этого решения посвящена отдельная статья «Решение уравнения группирования интенсивного электронного пучка в узкой трубе методом кинематического шага», опубликованная в этом номере журнала. Там же проведено сравнение с ПЗП-решением.

4. электронный пучок в зазоре резонатора

Исходная система уравнений, описывающая трансформацию многолучевого электронного пучка в зазоре резонатора, имеет вид аналогичный системе (3)-(5) со следующими корректировками.

1) В уравнении (3) к полю пространственного заряда Е добавится

г пз

СВЧ поле резонатора Е . После усреднения по сечению это поле даст дополнительный член в уравнение (7), который запишется в виде [7]:

Е~ (0 = , (12)

где - СВЧ-напряжение на зазоре, У (2)- функция, определяющая распределение поля по зазору, с1 - протяженность зазора.

2) Функция Грина (6) изменится. Вообще говоря, для многолучевого клистрона вид функции Грина достаточно сложен и сильно зависит от конфигурации электронно-оптической системы (от числа лучей, от взаимного расположения параллельных труб и т.д.). Но, учитывая малую протяженность зазора, можно использовать приближенную функцию Грина, исходя из следующих двух крайних случаев. Для однолучевого клистрона с тонкими зазорами можно считать, что функция Грина продолжает определяться выражением (6). Для многолучевого клистрона с большим количеством лучей можно взять функцию плоскопараллельного диодного промежутка - в виде треугольника [16]. Наиболее общая аппроксимация функции Грина зазора получается как линейная комбинация этих двух функций с коэффициентами, зависящими от продольной координаты 2.

3) СВЧ-напряжение на зазоре представляется в виде ряда Фурье, в котором, как правило, учитывается только одна, основная гармоника (остальные подавляются). Комплексная амплитуда этой гармоники определяется амплитудой конвекционного тока пучка и импедансом резонатора. Но конвекционный ток может быть найден только после расчета прохождения пучка через зазор, т.к. он зависит от группировки пучка в зазоре. Таким образом, амплитуды гармоник конвекционного тока и гармоник СВЧ-напряжения является функционалами, обозначенными в уравнении (2) как Iр , ?), ?]. Наличие таких функционалов делает неизбежной итерационную процедуру для решения неразрывной пары задач - задачи о трансформации электронного пучка в зазоре резонатора и задачи о возбуждении резонатора электронным пучком.

Подробно построение дискретно-аналитической модели зазора резонатора и многозазорной резонаторной системы рассмотрено в [7], [16], [18].

Отметим, что можно настраивать модель зазора, варьируя параметры, к которым относятся величина пространственного шага (количество парциальных зазоров), вид распределения СВЧ-поля по зазору, тип итерационной процедуры и некоторые другие модельные параметры. Усложнение модели приводит к повышению точности, но и увеличивает время расчета. Варьируя указанные параметры, можно добиться оптимального сочетания точности и быстродействия.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ МОЩНЫХ

КЛИСТРОНОВ С ВЫСОКИМ КПД

Дискретно-аналитическая модель клистрона была реализована в виде комплекса программ - сначала К1уР [18]—[19], а затем К1ур"Мп

[20], [25]—[27], в котором обеспечены возможности работы с деревом проектов, представления и анализа графической информации. В частности, в пакете есть возможность исследования процессов группирования и отбора энергии (фазовые траектории, графики распределения скорости и функции прибытия и т.п.), анализа и итоговых функциональных характеристик прибора (АЧХ, амплитудная характеристика, фазовая характеристика и т.д.).

В комплекс К1ур"^п входит также блок оптимизации, реализующий 2 метода многопараметрической оптимизации — метод зондирования

[21] и метод перебора с масштабированием [22].

Дискретно-аналитическая модель позволяет проводить большое количество расчетов за короткое время, расчет одной АЧХ на компьютере со средними параметрами составляет от долей секунды до нескольких секунд в зависимости от настройки модели. При оптимизации для нахождения одного локального экстремума требуется несколько тысяч расчетов АЧХ. Для нахождения «достаточно хорошего» экстремума, обеспечивающего высокий КПД, количество расчетов увеличивается до нескольких десятков и даже сотен тысяч. Что же касается глобального экстремума, то, по проведенным оценкам, количество вычислений АЧХ для его нахождения может превышать несколько миллионов. Дискретно-аналитическая модель делает реальным проведение такого количества расчетов и, таким образом, позволяет ставить и решать за-

дачу о глобальном экстремуме КПД в заданной полосе для прибора с заданной конфигурацией.

В настоящее время рассчитаны клистроны с достаточно высоким КПД в 70-80% [23-24]. Полученные решения являются достаточно хорошими локальными экстремумами, но, по всей видимости, ни одно из них не является глобальным экстремумом.

Для поиска глобального экстремума должна быть сформулирована специальная методика, работа в этом направлении началась.

Так, в работах [25-27] приведены результаты глобальной оптимизации двухрезонаторных клистронов и получены универсальные кривые зависимости максимального КПД от коэффициента усиления для различных клистронов, смоделированных на основе реальных электронно-оптических систем и реальных резонаторов. Показано, что максимальный КПД двухрезонаторного клистрона составляет 42-46% при оптимальном коэффициенте усиления 16-18dB.

В работе «Моделирование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в трехрезонаторном клистроне дециметрового диапазона», опубликованной в настоящем номере журнала, аналогичные исследования проведены для одного варианта трехрезонаторного клистрона.

6. ВЫВОДЫ

Сформулирован общий подход построения дискретно-аналитической модели динамики нелинейной среды, состоящий из 6-и пунктов.

Показана реализация этого подхода для решения задачи моделирования мощных клистронов с высоким КПД.

Показано, что на основе дискретно-аналитической модели может быть поставлена и решена задача проектировании клистрона с максимально возможным КПД, т.е. задача о глобальном максимуме КПД клистрона.

Рассмотренный подход может быть полезен и при решении других задач динамики нелинейной среды.

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М., 2005.

2. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. - М., 2003.

3. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. - М., 1994.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М. - СПб., 2000.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М., 1988.

6. Артюх И.Г., Байков А.Ю., Петров Д.М. Высокоэффективные пролетные клистроны. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной Дню радио. - Москва. Май 1997.

7. Байков А.Ю. Компьютерное моделирование мощных и сверхмощных резонаторных СВЧ-приборов // Информационно-измерительные и управляющие системы №4, Т. 8, 2010. С. 36-46.

8. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Математическая модель трансформации электронного пучка в узкой трубе // Журнал технической физики. 2012, №6. С. 90-100.

9. Байков А.Ю., Грушина О.А. Реакция электронного пучка в узкой трубе на полигармонические и непериодические возмущения // Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе / Труды международной научно-практической конференции. Том 1 - М., МФЮА, 2009. - С.97-100. Электронная версия: http://conf.mfua.ru

10. Байков А.Ю., Грушина О.А. Распространение продольных возмущений интенсивного электронного пучка в узкой трубе // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2010. Аннотации докладов в 3-х томах. Т.2. На-нофизика и нанотехнологии. Фундаментальные проблемы науки. -М., 2010.

11. Plasma frequency reduction factors in electron beams Branch, G. M.; Mihran, T. G. IRE Transactions on Electron Devices, vol. 2, issue 2, pp. 3-11. Abstract not Available. DOI: 10.1109/T-ED.1955.14065

12. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. - М., 1973.

13. Байков А.Ю., Грушина О.А. Аналитическое решение задачи группирования электронного пучка в режиме большой модуляции плотности // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова. Серия: научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXV. - M., 2010. С. 339-342.

14. Байков А.Ю., Грушина О.А. Исследование процесса группирования электронного пучка в клистроне на основе ПЗП-решения. //Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе/ Труды всероссийской научно-практической конференции. - М.: МФЮА, 2010. С. 132-138. Электронная версия: http://conf.mfua.ru

15. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Влияние пространственного заряда на процесс группирования в клистроне в рамках «приближения замороженного пучка» // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА, 2012, № 1. С. 68-77.

16. Нетребко Н.В., Николаев И.П., Полякова М.С., Шмальгаузен В.И. Электричество и магнетизм. - М., 2006.

17. Байков А.Ю. Математическое моделирование мощных и сверхмощных резонаторных приборов O-типа // Труды Международной научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе». - Москва. Май. 2005.

18. Байков А.Ю., Петров Д.М. Дискретно-аналитическая модель клистрона. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию изобретения радио. - Москва. Май. 1995.

19. Байков А.Ю., Ильясов Х.Х., Петров Д.М. KLYP - новая быстродействующая программа расчета клистрона. Тезисы докладов международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Саратов. Октябрь. 1994. С. 7-8.

20. Байков А.Ю., Ежиков В.Б. Редактируемый интерфейс ввода-вывода данных для вычислительной модели, включающей многопараметрическую оптимизацию // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА, 2011, №1. С. 173-182.

21. Байков А.Ю., Петров Д.М. Использование ЛШ-оптимизации для синтеза параметров мощных вакуумных резонаторных СВЧ-приборов О-типа. Тезисы докладов LX научной сессии, посвященной Дню радио. - Москва. 17-19 мая 2005 г., С. 165-169.

22. Байков А.Ю., Ежиков В.Б. Метод перебора с масштабированием в задачах одномерной оптимизации // Труды Международной научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе». - М., 2010. С. 53-57.

23. Байков А.Ю., Петров Д.М. Мощные широкополосные клистроны с высоким КПД (методика синтеза и результаты). Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Саратов. Сентябрь 1996, ч. 1. С. 22-23.

24. Байков А.Ю., Петров Д.М. Проблемы создания мощных и сверхмощных клистронов с высоким КПД. Тезисы докладов Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Саратов. 7-9 сентября, 1998. т. 1. С. 56-58.

25. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Компьютерное моделирование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в двухрезонаторном клистроне // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА, 2012, № 1. С.77-84.

26. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н., Тищенко А.А. Моделирование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в сверхмощном импульсном двухрезонаторном клистроне сантиметрового диапазона // Научная сессия НИЯУ МИФИ-2012. Аннотации докладов в 3-х томах. Т. 3. Конференция «Методы математической физики и математическое моделирование физических процессов». Секция «Математическое моделирование физических процессов». -М., 2012. С. 155.

27. Байков А.Ю., Грушина О.А., Стриханов М.Н. Исследование зависимости максимального КПД от коэффициента усиления в двух-резонаторных клистронах // Журнал технической физики. 2013, №4 (в печати).