CC BY
22УДК 537.533.9, 519.688, 621.385
ВЛИЯНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА НА ПРОЦЕСС ГРУППИРОВАНИЯ В КЛИСТРОНЕ В РАМКАХ «ПРИБЛИЖЕНИЯ ЗАМОРОЖЕННОГО ПУЧКА»
А.Ю. Байков,
канд. физ.-мат. наук, Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: [email protected] О.А. Грушина,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: [email protected] М.Н. Стриханов, д-р физ.- мат. наук,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: [email protected] А.А. Тищенко, канд. физ.-мат. наук,
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: [email protected]
Аннотация. В статье рассматривается реализация «приближения замороженного пучка» (ПЗП) в комплексе программ KlyP для моделирования мощных клистронов. Выводятся выражения для функции прибытия. Анализируются особенности группирования, которые ранее описывались недостаточно корректно, и определяется влияние этих особенностей на выходные характеристики приборов.
Ключевые слова: математическое моделирование, электронные пучки, СВЧ-приборы, клистроны.
Abstract. Realization of «froze beam approach» (FBA) in the program complex KlyP for modeling of powerful klystrons is considered. Expressions for arrival function are deduced. Features of bunching which were described earlier insufficiently correctly are considered, and influence of these features on the output characteristics of devices is analyzed.
Keywords: mathematical modeling, electron beams, microwave devices, klystrons.
Широкое применение мощных и сверхмощных многорезонаторных клистронов в промышленности, энергетике и в других областях возможно только при условии, что КПД таких приборов будет близок к 100%.
Для создания клистронов с таким высоким КПД на этапе их проектирования требуется многопараметрическая оптимизация (по 20 и более конструктивным параметрам), что приводит к необходимости большого количества (десятки, даже сотни тысяч) расчетов для одного проекта прибора при очень высоких требованиях к точности этих расчетов.
Эти условия приводят к необходимости разработки математической модели, характеризующейся высокой точностью, широкой областью адекватности и высоким быстродействием.
Математическая модель, сочетающая в себе эти качества, была разработана и названа дискретно-аналитической [1].
Одним из важных компонентов дискретно-аналитической модели клистрона является модель трансформации электронного пучка в трубе дрейфа.
Эта модель реализуется в виде конечных аналитических формул, позволяющих пересчитывать усредненные параметры электронного пучка (плотность, скорость заряда и т.д.) с текущей плоскости на следующую плоскость, отстоящую от текущей на пространственный шаг Уг.
Такие формулы можно получить исходя из общего уравнения трансформации электронного пучка в узкой трубе [2]
а
а г п е Г ^ ч д . . ,
а*=_в ге,т Jс(и) "дг р (2+и, *а
где
О(и) = ^ £ еХР
-0 к=1
о,
дг
и
( /1(0 ка) ^
Л(о к)
(1)
(2)
одномерная функция Грина, 2 - усредненная по азимуту и радиусу координата электронов пучка, а = гь/гт - отношение радиуса пучка к радиусу трубы, е, т - заряд и масса электрона, е0 - диэлектрическая постоянная, р(г,*) - плотность пространственного заряда в зависимости от усредненной координаты и от времени, /1(х) - функция Бесселя, ок -к-ый корень функции Бесселя /0(х), и - переменная интегрирования,
имеющая смысл усредненной координаты относительно текущего значения, рге1 = у! 1 - v02/с2 - релятивистский фактор.
В работе [3], в приближении ПЗП, были получены выражения для зависимости координаты «усредненной частицы» (продольного дифференциального элемента пучка) от текущего времени t и лагранжевой координаты t0. Эти выражения имеют вид
V V
V= V01Vt +--БШ
а
("«V t)-^ -^§4 (1 - СС8 (о^ ^)), (3)
ш Ф'&)
при > О
VV
^, to) = t + — ,
а
к (^У t)-^ -Ф1Н (1 - сЬ (Пф ^)) ,(4)
ш Ф'&)
при < О,
где
а
е 7о 4гт
2 п,
л, 2 . в
У0 Уте1 3
т Vo е 0 к=1
3 . к « ) к)
2
(5)
ю - частота СВЧ-сигнала, Vz(t,t0) = - 21 - координата усредненной частицы, отсчитанная от текущей плоскости, Vt = t -1 (t0) - время, отсчитанное от времени прибытия усредненной частицы в текущую плоскость, Vv =v1 (t0) - v01 - переменная составляющая скорости в текущей
г ш 2
плоскости, v01- средняя скорость в текущей плоскости, --ш t -
V01
переменная, имеющая смысл фазы частицы относительно пучка, % -значение переменной £ в текущей плоскости, Ф(£)- потенциальная функция, имеющая смысл распределения кулоновского потенциала в системе координат, движущейся вместе с пучком, v0- скорость невозмущенного пучка, у0- плотность тока невозмущенного пучка.
Для реализации дискретно-аналитической модели клистрона требуется обратная зависимость t(2, (функция прибытия), т.е. выражения (3), (4) необходимо обратить. В работе [3] такое обращение было проведено итерационным методом Ньютона. На основании полученных выражений были решены некоторые задачи, интересные с теоретической и практической точек зрения. В частности, решена задача о рассыпании моноскоростного сгустка и задача о максимальном КПД двухрезона-торного клистрона с бесконечно тонкими зазорами.
Однако при реализации в компьютерной программе моделирования мощных клистронов итерационная процедура метода Ньютона привела бы к неоправданному увеличению времени расчетов и, соответственно, к трудностям при проведении многопараметрической оптимизации.
В настоящей работе предложены два метода обращения выражений (3), (4), обеспечивающих гораздо более высокое быстродействие. Первый метод, основанный на переразложении ряда, обеспечивает уменьшение времени расчета в 4-5 раз по сравнению с итерационным методом Ньютона без уменьшения точности. Второй метод, основанный на использовании аппроксимационной формулы, обеспечивает увеличение быстродействия еще в 2-3 раза, причем во многих случаях точность тоже не уменьшается. Второй метод может использоваться для предварительных расчетов, так как высокая точность в этом случае все-таки не гарантирована.
Обратим сначала выражения (3),(4) методом переразложения ряда. Разложим правые части этих выражений в ряд Тейлора по степеням Vt. Для оценки необходимого количества членов ряда рассмотрим порядок величины n-ого члена. Так как аргументы синуса и косинуса в выражениях (3),(4) содержат произведение ^Vt, то n-ный член ряда будет содержать либо произведение (Q^t)" (разложение cos и ch), либо произведение Q4n-1VtnVv (разложение sin и sh ). Как было показано в [3], оптимальная величина и пространственного, и временного шага в безразмерных единицах одинакова и равна примерно 0,2. Параметр совпадает по порядку величины с параметром пространственного заряда D.p [4], который также является малой величиной, не превосходящей 0,1. Модуляция скорости Vv во всех трубах дрейфа клистрона также мала и не превосходит значение 0,2. Приведенные соображения дают оценку n-ного члена ряда примерно 2"10-2", т. е. пятый член не превосходит 10-8, а шестой 10-10. При моделировании клистрона требуется 200-400 пространственных шагов, поэтому погрешность на каждом шаге может привести к погрешности результата примерно на 2-3 порядка выше, следовательно, ограничение разложения четырьмя членами обуславливает максимальную погрешность в определении КПД прибора 10-5 (0,001%), а ограничение пятью членами - максимальную погрешность 10-7(0,00001%). В первом случае точность является достаточной, во втором - избыточной. Таким образом, в разложении можно ограничиться пятью членами ряда. Разложения (4),(5) в ряд Тейлора по степеням Vt до пятого члена приводит к одному универсальному выражению
^=„у - 4 ф: (у V шп^2 - ^ (а. 1 (V! - у01 к +
4 „01 121 „01 J 4 (6)
+^ ф» & )ф' & ) ^ ®3 п>4+480 (Ф: (^1 ))2 [*- 1 („1 - -01 к П^5
96 V01 480 ^ V01 ^
Обратная зависимость, VI (Чг) получается по известным формулам переразложения степенных рядов [5] и имеет вид
V =
1 1 2
-V* + - Ф» (У-^ шП>2 +
V 4 V, V,
1 V
гш2 ПФ»+
1 V („1 - „01 )
Ш2 П Ф»&) +
+ | 48Ф»(^ФК^ш3 п4р ф»(^1)Ф»(;>3 пр-^ + пр-^Ф%) V*4 +
. V („1 - „01) _ 1
96
(7)
(
^т1 Ф^К4 п6р-4г- + т3Ф»2(^1)ш4 „ V01) + ш4 Ц -
- -■ „01 „ 1 256 „1„01
64
„014„71 144
-ШФ^ш4 п4/-^?11 +^Ф^Ж4 пр ^ „7")
480 „т „ , 192 „т „,
Формула (7) дает искомое выражение для функции прибытия относительно текущей плоскости.
Построим теперь более простое, чем формула (7), аппроксимацион-ное выражение для функции прибытия.
Так как при малой модуляции скорости [4] функциональные зависимости Vz(Vt) и Vt(Vz) практически совпадают между собой и очень похожи на выражение (3), то логично в произвольном случае аппроксимировать функцию прибытия такой же зависимостью
Гшп ^ 1 Гшп 11
, где А, В - коэффициенты, которые
Vt = А 81
вт
В
1 - сов
/У
определяются условиями сшивания функции прибытия в текущей плоскости. Их можно определить, приравняв значения функции прибытия и ее первой производной по координате ъ к соответствующим значениям, полученным в результате предыдущего пространственного шага. В результате получим следующее выражение
Vt =
+1 ф;|1 - cos
f coQp Vz V
(8)
raQp vi I v0i I 2 vi
V
Выражение (8) дает аппроксимационную формулу для функции прибытия, обеспечивающую минимальное время расчета.
Разложение правой части выражения (8) в ряд Тейлора по степеням Vz совпадает с разложением (7) до второго члена включительно, последующие слагаемые отличаются. Точность выражения (8) можно оценить из результатов модельных расчетов, сравнив их с результатами, получающимися из выражения (7).
На основе полученных формул написаны процедуры на языке Fortran стандарта 95, которые добавлены в комплекс программ KlyP [2] и встроены в структуру программы в качестве двух дополнительных моделей трубы.
Расчеты проводились для трех моделей трубы.
1) ПЗП-модель на основании формулы (7).
2) Аппроксимированная ПЗП-модель на основании формулы (8).
3) Исходная модель, использовавшаяся ранее в программе KlyP.
Для исследования влияния точности учета пространственного заряда на характеристики клистронов, а также для определения точности аппроксимационной формулы (8) были проведены модельные расчеты в среде KlyPWin с Windows-ориентированным интерфейсом [6].
Первая серия расчетов проведена для телевизионного клистрона с выходной мощностью около 30kW. Сравнение результатов ПЗП-модели с исходной моделью (рис. 1) показало, что обе модели дают примерно одинаковое значение максимального КПД (около 70%), но при этом ПЗП-модель дает более правильное значение полосы усиления. Ап-проксимационная модель в этом случае достаточно хорошо совпадает с точной ПЗП-моделью (рис. 2), максимальное расхождение значений КПД (на правом краю полосы усиления) не превышает 3%. В данном случае все 3 модели дают очень близкие результаты.
Следующая серия расчетов была проведена для сверхмощного клистрона (выходная мощность около 75kW) с частотой 3GHz, предназначенного для питания коллайдера.
В этом случае, кривые АЧХ для ПЗП-модели (кривая 1) и для ап-проксимационной модели (кривая 2) достаточно хорошо совпадают между собой, но значительно отличаются от кривой 3, рассчитанной по исходной модели. Это связано с тем, что ПЗП-модель более кор-
1 2 I 3 | | 5 | е | 7
-—V-
/
// \
\
/
\
Ы \ \
I, / к ®
0,98 0,984 0,988 0.
1 I 2 I 3 I 5 | 6 [ 7
V
Г' 1
/
/
\
\
I N V
ЧЯ м:: пД п и яая пч Ю П! 1 г П4 1 ЧУ ПЯ 1 I 1? 1 7пк~ Я
1,004 1,008 II
V
Рис. 1. АЧХ телевизионного клистрона, рассчитанная по ПЗП-модели (кривая 1) и по исходной модели (кривая 2)
п
У
-.3
[ 02 1 003 1
Рис. 3. АЧХ сверхмощного 3GHz клистрона, рассчитанная по ПЗП-модели (кривая 1), по аппроксимационнной модели (кривая 2) и по исходной модели (кривая 3)
Яж
0,988 0.992 0.996
(О
йх
Рис. 2. АЧХ телевизионного клистрона, рассчитанная по ПЗП-модели (кривая 1) и по аппроксимационной модели (кривая 2)
ректно учитывает влияние пространственного заряда на процесс группирования. Это можно видеть по фазовым траекториям (рис.4), построенным для центральной частоты.
Как видно из рисунков, до 5-й трубы дрейфа, пока группирование идет без обгона, фазовые траектории на обоих рисунках практически совпадают. В середине 5-й трубы дрейфа начинается обгон, и ход фазовых траекторий начинает отличаться: исходная модель прогнозирует сохранение сгустка почти в неизменном виде, а ПЗП-модель дает быстрое рассыпание
сгустка. Последний результат является корректным с физической точки зрения - после обгона должно происходить именно быстрое рассыпание, т.к. после обгона ускоренные частицы оказываются впереди замедленных, и кулоновское отталкивание теперь не уменьшает, а увеличивает
Фазовые траектории - исходная модель
Z
Фазовые траектории - ПЗП-модель
35
Рис. 4. Фазовые траектории сверхмощного клистрона, рассчитанные по исходной модели и по ПЗП-модели
разность скоростей. Таким образом, ПЗП-модель, в отличие от исходной модели, дает физически корректный результат трансформации электронного пучка.
Последняя серия расчетов проведена для прибора мощностью 5 GW, также предназначенного для питания ускорителя.
Как видно из рис.5, результаты расчетов по ПЗП-модели (кривая
1) и по исходной модели (кривая
2) достаточно сильно отличаются. Результаты последних двух серий расчетов говорят о том, что исходная модель, использовавшаяся ранее в программе Юу^ может
1
1 J щ, I 3 "Г1 1 5 1 6 [ 7
а'
/ V
/ А
\\
/ А \
/ / \ \
95 0J зе о. 37 0, )3 0. 33 1.01 1.1 02 1. 13 1. И —
®0
Рис. 5. АЧХ 1 GHz клистрона с выходной мощностью 5GW, рассчитанная по ПЗП-модели (кривая 1) и по исходной модели (кривая 2)
давать значительную погрешность, поэтому для корректных расчетов необходимо использовать ПЗП-модель. При этом необходимо отметить, что существуют приборы (рис. 1), для которых результаты по исходной модели и по ПЗП-модели почти не отличаются.
Таким образом, получены два аналитических выражения для функции прибытия в рамках дискретно-аналитической модели, позволяющие сделать пересчет параметров пучка на один пространственный шаг в трубе дрейфа. Первое из выражений (7) обеспечивает такую же точность, что и предложенная ранее итерационная процедура, однако обладает в 4-5 раз более высоким быстродействием. Второе выражение позволяет повысить быстродействие еще в 2-3 раза, при этом может давать погрешность несколько процентов относительно первого выражения. Проведенные модельные расчеты для клистронов с различными выходными характеристиками, включая сверхмощные клистроны, позволяют сделать вывод о том, что полученные формулы дают значительно более корректные результаты, чем использовавшаяся ранее модель, построенная на основе формул линейного приближения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Байков А.Ю., Петров Д.М. Дискретно-аналитическая модель клистрона. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию изобретению радио, Москва, май 1995.
2. Байков А.Ю. Компьютерное моделирование мощных и сверхмощных резонаторных СВЧ-приборов// Информационно-измерительные и управляющие системы 2010. №4.
3. Байков А.Ю., Грушина О.А. Аналитическое решение задачи группирования электронного пучка в режиме большой модуляции плотности // Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова. Серия: научная сессия, посвященная Дню радио. Выпуск LXV. - M., 2010.
4. Байков А. Ю., Грушина О. А. Реакция электронного пучка в узкой трубе на полигармонические и непериодические возмущения // Математика, информатика, естествознание в экономике и в обществе / Труды международной научно-практической конференции. - М., 2009. http:// conf.mfua.ru/2009
5. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. Пер с англ. - М., 1978.
6. Байков А.Ю., Ежиков В.Б. Редактируемый интерфейс ввода-вывода данных для вычислительной модели, включающей многопараметрическую оптимизацию // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА. 2011. №1.
