Решение центральной и боковой задач связи для одной системы первого ранга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.71

В.Р. Смилянский

РЕШЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ И БОКОВОЙ ЗАДАЧ СВЯЗИ ДЛЯ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО РАНГА

Решены в замкнутой форме центральная и боковая задачи связи для системы из п уравнений:

-= | А0 +—где Ш - вектор-решение; А0 = diag{Xь • ••, 1п}; А1 - постоянные матрицы, все

dz ^ г 0

1к - различны, все строки матрицы А1 - пропорциональны ее первой строке. Система имеет регулярную особую точку г = 0 и иррегулярную (первого ранга) г = да.

Рассматривается система из n уравнений:

= 1 A) + — 1 w ; w = colon• ,Wn};Ao = diag{1i, ... , In}, A =(avk)П, (1)

a z ^ z 0

где A0, A1 - постоянные матрицы; все строки матрицы A1 пропорциональны ее первой строке; 1v Ф если v Ф k.

Система (1) имеет регулярную особую точку z = 0 и иррегулярную (первого ранга) z = да. Фундаментальная матрица (ФМ) системы (1) может быть представлена в виде Y'(z) = S(z)zA, где матрица S(z) голоморфна при z = 0, а А - постоянная матрица. Формальная фундаментальная матрица системы (1) имеет вид

¥ _

Ф(z) = P(z)zReAoz ; P(z) = £Pvz-v ; det Po Ф 0, R = diag{rl5 ..., rn}, rk = akk (k = 1,n) , (2)

v=0

где Рп - постоянные матрицы. Введем линии ("линии Стокса") в комплексной плоскости г, определяемые условием

Яе 1 лг = Яе 1 нг = • = Яе 1 (2 < к < п). (3)

Возьмем какую-либо линию (3) в качестве исходной - ¡\ и последовательно (против часовой стрелки) обозначим остальные через ¡2, ¡3, ... . Введем "стандартные сектора" (С.С.).

¡2 - р + (п - 1)р < arg г < ¡2 + (п - 1)р; V = 1, 2, 3. (4)

В каждом С.С. любая пара выражений Яе 1а г, Яе 1р г (а Ф Р) становится равной только на одной линии Стокса.

Пусть матрица Р0 и нумерация характеристических корней 12, . ••, 1 (т. е. столбцов матрицы Ф (г) - см. (2)) зафиксированы. Тогда [1, § 4], [2, 3] в любом С.С. существует единственная ФМ, для которой формальная ФМ (2) является асимптотическим разложением в этом секторе для больших |г|. Ниже такую ФМ будем называть "асимптотически базисной" в соответствующем секторе.

Пусть матрица Р0 и нумерация ..., 1п зафиксированы. Пусть ФМ Фп(г) асимптотически базисна в п-м С.С. (4). Так как ^'(г), Ф^г), Ф2(г), Ф3(г) - ФМ системы (1), то существуют соотношения

Ф1(г) = Ф2(г) Ф2(г) = Ф3(г) У'(г) = Фп(г) П; п = 1,3, (5)

где Ть Т2, Т3 - постоянные неособые матрицы. Матрицы ¥2 дают решение боковой

задачи связи, а матрицы Ть Т2, Т3 - центральной задачи связи. Очевидно, что Т2 = ¥1 Т1, Тз = р2 ^Т).

В настоящей работе для системы (1) найдены в замкнутой форме матрицы Т1.

Для этого использовано представление векторов-решений у (г) системы (1) в виде контурных интегралов Лапласа [4, гл. 19, § 19.4]

у (г)° у (г, Е) = { / V (х) dX, (6)

Е

где V (х) - подходящим образом выбранный вектор-решение следующей системы из п уравнений:

(А)= (( + Е) , (7)

(Е - единичная матрица), а Е - контур, на котором выполняется условие на внеинтегральный член:

/х(ХЕ - АМх)!е=0. (8)

Для дальнейшего нам потребуется

Предложение 1. Жорданова форма 3А1 матрицы А\ для системы (1) имеет вид

3 а 1 = {0, • ,0, р}, р = ап + ... + апп. (9)

Из предложения 1 следует, что заменой w = Qй (столбцы матрицы Q - собственные векторы матрицы А1) система (1) может быть приведена к виду

^ = (Ч + и , Во = Q ->Ао Q = (Ьчк)П ; В = Q -^AlQ = ^{0, ... , 0, р}. (10)

аг ^ г 0

Для системы (10) задачи связи решены в [1, § 10], [5]. Однако в общем случае, когда элементы матриц А0, А1 - параметры, а п велико, фактический переход от (1) к (10) весьма затруднителен. Целесообразнее найти решение задач связи непосредственно для системы (1), что и сделано в настоящей работе.

* *

Рассмотрим это детальнее. Пусть Ф1(г), Ф2(г)- ФМ системы (10), асимптотически базисные в соответствующих С.С. (4). Соответствующая им формальная ФМ имеет вид

- */ \ (* -О Я А0г

Ф (г)=|ХРг ге

Чп=0 0

* * * *

Пусть известна постоянная неособая матрица ^ из соотношения Ф1(г) =Ф 2(г)¥х . ФМ

**

Ф](г) = QФ1 (г), Ф2(г) = Q Ф2(г) системы (1) асимптотически базисны в тех же С.С., что и со**

ответственно ФМ Ф1 (г), Ф2(г), так как любой элемент £-того столбца матрицы Ф1 (г), напри*

мер, является линейной комбинацией из элементов £-того столбца матрицы Ф1 (г). Следова-

*

тельно, справедливо соотношение Ф^) = Ф2(г) ^ . Но реально воспользоваться этим соотношением невозможно, если неизвестна матрица Q, так как соответствующая Ф^), Ф2(г) фор*

мальная ФМ Ф (г) = QФ (г).

В [1, § 10], [5] решения системы (10) также представлены в виде контурных интегралов Лапласа (6). Причем оказалось, что система, определяющая п(х) = оо1оп{\'1 (X), • , пп(X)}, состоит из (п - 1) алгебраических линейных однородных уравнений и одного линейного дифференциального уравнения (ЛДУ). Это позволило свести нахождение vn(X) к решению одного скалярного ЛДУ первого порядка и затем найти уп(Х). Прочие уг(Х) (1 = 1, п -1) выражены через

уп(Х) с помощью упомянутой подсистемы из (п - 1) алгебраических уравнений.

По-видимому, в настоящей работе впервые указана система вида (1), в зависимости от формы записи которой вектор п(X) определяется либо одним ЛДУ, либо системой из п ЛДУ, причем в обоих случаях найдено решение. Отметим также, что эти найденные решения различны.

Доказательство предложения 1. Характеристическое уравнение матрицы А1 имеет вид

(рЕ - А ) = рп +£ (- 1)п ^рп-п , (11)

п=1

где «V - сумма всех главных миноров порядка V матрицы А1 [6, гл. 2, § 1, п. 7]. Так как все строки матрицы А1 пропорциональны ее первой строке, то «V = 0 для V = 2,п . Отсюда следует: рп = 0 (п = 1, п -1), рп = р = ап + ... + апп. Собственный вектор q = ео1оп{^1 , • , qn }, принадлежащий собственному значению рп = 0, удовлетворяет системе уравнений А^ = 0 . Так как все строки матрицы А1 пропорциональны ее первой строке, то эта система имеет только одно независимое уравнение: + ... + а1п qn = 0. Оно имеет (п - 1) свободное неизвестное. Следовательно, фундаментальная система решений системы А^ = 0 состоит из (п - 1) линейно независимых

(собственных) векторов-решений. Ненулевому собственному значению рп = р принадлежит один линейно независимый собственный вектор. Следовательно, матрица А1 имеет п линейно

независимых собственных векторов и, следовательно, жорданова форма JA матрицы A1 диа-гональна.

Перейдем к решению задач связи для системы (1). Пусть нумерация ..., 1n выбрана из условия Re 1j z < Re j z в секторе l\ < arg z < l2. Тогда [1, § 5], [2], [3] Fi - верхняя треугольная матрица с единичными элементами на главной диагонали, а F2 - нижняя треугольная матрица с единичными элементами на главной диагонали. Именно такая нумерация 11, ..., 1n предполагается везде ниже. B [1, § 10], [7] дан "геометрический" способ такой нумерации 1k.

Л е м м а. Пусть все строки матрицы Ai пропорциональны ее первой строке. Тогда система (7) имеет вектор-решение v(x) = colon {v1 (x), • , vn (x) } вида

Vi(x) = C(x-lI) П(x-1v)-flvv , C = l = Щ. (12)

v=1 a11

Доказательство. Запишем систему (7) в виде

(l-x))x = ]£aivVv(X) + Vi(x), l = Щ. (13)

dX V=1

Подставим (12) в (13). В результате получаем

с п(<(4)(У=п(<| (tr<Ä)) • n(x)=n <x-1-)-a l=* (14)

Сокращая на n(x) и приводя подобные при (1/(Х - ^ v)), имеем

ГCla;v-a\Cv = о, l = Щ. (15)

£ (x-iv)

Для того чтобы (15) выполнялось при любом x, требуем

Cl avv - alv Cv = 0; l = 1,n ; v = 1, n ; v Ф l (16)

(при v = l уравнение (16) обращается в тождество). Покажем, что совокупность C1, c2, ..., Cn (из (12)) является решением системы (16). Так как все строки матрицы A1 пропорциональны первой

строке, то cl = (k = 1, n ). Подставляя это в (16), находим условие

a1k

^ = aL (k = Щ). (17)

avv avk

При фиксированных l и v это условие пропорциональности l-й и v-й строк матрицы A1. А это по предположению выполняется.

Ниже везде предполагается, что во всех решениях вида (6) компоненты vl(x) вектора v (x) совпадают с выражениями (12).

Для построения ФМ F1(z) проведем в x-плоскости из точки 1k полубесконечный луч fk так, чтобы он не встречал на своем пути других особых точек ij (j Ф k) подынтегральной функции в (6). Пусть контур Sk представляет собой петлю, идущую из бесконечности вдоль этого луча, обходящую точку x = 1k в положительном направлении (против часовой стрелки) и возвращающуюся к бесконечности вдоль этого же луча. Как известно [4, гл. 19, § 19.5], если на указанном луче выполнено условие Re(x - 1k) z < 0, то интеграл

Jk (z)° y(z, Sk) = eV Jez(X-4) V(X)dX (k = Щ) (18)

S k

является решением системы (1), причем решением, для которого k-тый столбец матрицы Ф (z) является асимптотическим разложением.

Обозначим аргумент левой стороны луча fk (если смотреть из точки 1k), т. е. линии, вдоль которой контур интегрирования идет из бесконечности к точке 1k, через w. На левой стороне луча fk задаем arg(x - 1k) = w (везде ниже многозначные функции (x -1k ) akk рассматриваются на римановой поверхности, причем левая сторона луча fk рассматривается как место склейки левого берега разреза нижнего листа (x - 1k) с правым берегом разреза верхнего листа). Условие на луче Re(x - 1k) z < 0 везде ниже будем записывать в виде

— < arg z + ra< —. (19)

Если w задано, то (19) однозначно определяет область arg z, где (18) асимптотически ба-зисно. В определенных пределах (wk, min < w < w k, max) луч fk можно поворачивать так, чтобы он не пересекал других особых точек 1j. Если при этом на луче постоянно выполнено (19), то такие решения являются аналитическими продолжениями исходного. Если под (18) понимать именно такое решение, то область асимптотической базисности больше, чем p

(f_ < arg z < f). Пусть все лучи f (k = ) параллельны и не пер™

других особых точек 1j (j Ф k) (это предполагается везде ниже). Тогда совокупность векторов yk (z) (k = 1, n ) в (18) составляет ФМ, асимптотически базисную в общем секторе, большем, чем p, т. е. асимптотически базисную в стандартном секторе. Введенную выше ФМ Oi(z) будем считать составленной из векторов-столбцов yk (z). Полагаем далее, что нумерация lk произведена "геометрическим" способом, указанным в [1, § 10], [7]. Кроме того, далее будем для определенности считать, что лучи fk перпендикулярны оси проектирования (см. там же).

Предложение 2. В асимптотическом разложении (2) для построенной выше ФМ F1(z) матрица Po = diag{[Po]11, [Po]22, ..., [Po]nn}, где

- zf^k ( - i 2prk

- 1ji (-rk)

V = 1 k

[Po]kk = (' -1ö Г(- rk) П (lk - 1v)-rv , (20)

V

v

i = V-T ; rk = ükk', Ck = Ük1/au; k = 1,n ; Г(- rk)- гамма-функция.

Доказательство. к-тая компонента укк(г), вектора ук (г) из (18) имеет вид (гп = апп):

Укк(г)° Ук((,^к) = е%к' |,г(Х-1кС(Х-1 к)-11!(Х-1п)-¿Х . (21)

Ек П=1

Прилагая к (21) известный способ [4, гл. 19] получения (2) из решения (18), нужно предста-

п

вить функцию —1п) Гп в виде многочлена по (Х - 1к) с остаточным членом (по формуле

п=1

V* к

Тейлора), подставить это в (21) и затем почленно проинтегрировать. Первое слагаемое этой суммы интегралов, соответствующее свободному члену многочлена (т. е. нулевому члену разложения по 1/г), имеет вид

" П (1 к — 1п)— Гп Ск 3(г); 3(г) = {/(Х—1 к)(Х — 1 к)— "к —1 ¿Х . (22)

П=1 Е к

пфк

Замена (Х - 1к) = т приводит интеграл 3(г) к виду

3(г)=|е^т Гк —1^т , (23)

Ек

где Е'к - соответствующая петля вокруг точки т = 0. Далее с использованием формулы (5) из [8, гл. 1, § 1.6], в которой предварительно сделана замена t = е~ ™т, находим

е'" П (1 к — 1п)— "п ск3 (г) = г" ^к* ске ™ " Г е—'2" "к — 10Г(— " )П (1 к —1,) — " . (24)

у=1 ^ 0 у=1

пфк V*к

Отсюда следует (20). Проводя аналогичную процедуру с 1-й компонентой у1 к (г) вектора ук (г) (I Ф к), находим, что первое слагаемое суммы интегралов, соответствующее свободному

члену многочлена, имеет вид г" е к G (О - константа), т. е. относится к первому члену разложения по 1/г. Следовательно, матрица Р0 диагональна.

Замечание. Так как нумерация 1к проведена "геометрическим" способом, то [1, § 10], [7]

(1к - 1 ) = (1 - 1к) е если у < к. (25)

Предложение 3. Пусть р Ф целому положительному числу (см. предложение 1). Тогда система (1) имеет (п - 1) линейно независимых решений, голоморфных в точке ъ = 0 и одно решение вида гР 5 (г), где вектор-функция 5 (г) голоморфна в точке ъ = 0.

Доказательство. Согласно [9 , гл. IV, § 4] в рассматриваемом случае ФМ системы (1) может быть представлена в виде Y'(z) = S(z)z , где матрица S(z) голоморфна при z = 0. Из этого непосредственно следует справедливость предложения 3. Предложение 3 доказано.

Пусть Ok - точка посередине отрезка, соединяющего 1k и 1k+1 (в Х-плоскости). Обозначим через mk замкнутый контур, выходящий из точки Ok и обходящий точку 1k против часовой

стрелки. Введем (n - 1) контуров интегрирования Wk = mk+1mkmk+1mk (k = 1, n -1), где m- означает обход по контуру mk в отрицательном направлении - по часовой стрелке. Для контуров Wk (k = 1, n -1) контура mk, mk+1, m- , mk+1 выходят (начинаются) из точки Ok. Введем также контур интегрирования Wn. Он представляет собой петлю, идущую из бесконечности вдоль луча (направленного также как и лучи контуров Sk), обходящую против часовой стрелки точку Х = 0 по окружности (например), такой, что все точки 1k (k = 1,n) лежат внутри ее, и возвращающуюся к бесконечности вдоль этого же луча. Начальные аргументы по-прежнему заданы в виде arg(X - 1k) = w (k = 1, n) на левой стороне луча контура Sk. Для двойной петли Wk (k = 1, n -1) их можно эквивалентно задать в точке Ok: arg(X-1 j )O = w + 9 j, где ö;- - угол, по модулю меньший p, на который нужно повернуть (против или по часовой стрелке) расположенный на левом берегу луча контура Sj вектор (Х - 1j), чтобы совместить его с точкой Ok. Для Wn можно эквивалентно считать, что arg (Х - 1j) = w (j = 1,n) на левой стороне луча контура Wn в бесконечности. На контурах Wk (k = 1, n ) выполняется условие (8).

Введем следующие n решений системы (1):

х-(z)° x (z,Wk)= JezX V(Х) dx, k = 1,n . (26)

Предложение 4. В окрестности z = 0 решения xk (z) имеют вид (avk , avn - постоянные векторы):

¥

х-(z)=Zavk^. k =1n -aok =colon{a1k > • . ank(27)

v=0

n _

aik = ci J (Х-1)-1П(Х-1п)-Гп^ , rv= avv , l =1,n;

Wk v=1

xn (z)= zPZavnzV , a0n = Co1on {am , • , ann }, ain = cie "" (e - O^P^ l = ln , (28)

v=0 ^ '

где Г(- p) - гамма-функция.

Доказательство. Разлагая ег>Х в ряд по (z Х) в (26) для k = 1, n -1 и почленно интегрируя, получаем (27). Для xn(z) произведем в интеграле (26) замену zX = t. Для компоненты xln(z) вектора xn (z) это приводит к выражению

xin(z) = z J ecl (t-zli)-1 П(т-zlv)-rv dt, l = 1,n , (29)

wn v=1

где контур интегрирования W'n в t-плоскости подобен контуру интегрирования Wn в Х-плоскос-ти. Полагая, что выполняется |t| > | z1v | (v = 1,n ), разлагаем каждый сомножитель (t -z1v) rv в ряд по z1v/t и результат почленно интегрируем. Это дает (28) (с использованием формулы (5)

в [8. гл. 1, § 1.6], в которой предварительно сделана замена t = е t). Предложение 4 доказано. Введенную выше ФМ Y'(z) будем считать составленной из векторов-столбцов xk (z). Т е о р е м а. Для построенных выше ФМ Fi(z), Y'(z) элементы [Fi]km матрицы Fi, элементы [F2]mk матрицы F2 и отличные от нуля элементы [T1]vk матрицы T1 имеют вид (нумерация 1k выбрана из условия Re lkz < Re lk+1z в секторе l1 < arg z < l2):

m-1

i 2 rv_

[1 ]km =gm, [F ]mk = gke , i = V=T , m = k +1, k + 2, • , n ; k = Щ; gv = [1 - е_,2я ^ ^ ; (30)

TU =-gk+1, T ]k+Uk =gk , k = ; (31)

-12 л ^ гп

[Т^ = * ~+1 , к = Щ, (32)

п

где формально ^ гп ° 0 .

п=п+1

Доказательство. В работе [7] (см. также [1, § 10]) для уравнения

d у у „

^ + + ап1 ))г = 0 (33)

dz п=0 dz

ап0, ап1 - постоянные, построены однострочечная ФМ Ф^г) из решений [7, формула (5)]

Ук (z) = *|ег((-ЯкП (( - \ )-1 dX , к = Щ (34)

Ек п =1

и однострочечная ФМ Х(г) из решений [7, формула (9)]

(г) е^Ш^)-, к = 1П, (35)

□к п=1

где константы гп определены для уравнения (33) (в [1, § 10], в формуле (3) для ук(г) - опечатка). Там же найдены матрицы Р2 для однострочечной ФМ Ф^г) (см. (24) в [7]) и матрица связи Т0 в соотношении Х(г) = Ф^Го (см. (14) в [7]).

Дословно повторяя для 1-й строки ФМ Ф^г), ^'(г) из настоящей работы рассуждения, проведенные в [7], [1, § 10], можно показать, что выражения (30) настоящей работы совпадают с (24) в [7], а выражения (31), (32) - с (14) в [7]. Содержание [7] составляет часть § 10 в [1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Смилянский В.Р. Центральная и боковая задачи связи для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с иррегулярной особой точкой. Новосибирск: НГУ, 1995. 317 с.

2. Смилянский В.Р. Некоторые свойства множителей Стокса I // Исследования по теории операторов и их приложениям: Сб. науч. тр. Киев: Наук. думка, 1979. С. 97 - 107.

3. Смилянский В.Р. Некоторые свойства множителей Стокса II // Теория операторов в функциональных пространствах и ее приложения: Сб. науч. тр. Киев: Наук. думка, 1981. С. 107 - 117.

4. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: Науч.-техн. изд-во Украины, 1939. 719с.

5. Смилянский В.Р. Центральная и боковая задачи связи для сопряженных систем и уравнений // Тр. Моск. мат. о-ва. Т. 56. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. С. 33 - 67.

6. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра). М.: Наука, 1965. 300 с.

7. Смилянский В.Р. Множители Стокса и коэффициенты связи для некоторых уравнений // Функциональный анализ и прикл. математика: Сб. науч. тр. Киев: Наук. думка, 1982. С. 157 -173.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

9. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.