Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром к простейшему виду Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.21

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

ДИКАРЕВ В.А.

Предлагается метод преобразования системы линейных дифференциальных уравнений с малым параметром при производной к системе с максимально возможным числом нулевых элементов её главной матрицы. Указываются условия, при выполнении которых поставленная задача может быть решена. Все используемые в работе матрицы допускают разложения в асимптотические ряды. Предполагается их голоморфность. Существенно используются результаты В.И. Арнольда.

1. Введение и постановка задачи

Исследованию при е^- 0 решений системы линейных дифференциальных уравнений

dx . , ч

е = A(t, е)х, (1)

dt

где матрица A(t,е) - m-го порядка допускает разложение в асимптотический ряд

A(t,е) = Ao(t) + eAi(t) +... + enAn(t) +..., (2)

посвящено много работ (см. например [1-4] и содержащуюся в них литературу). Один из способов решения этой задачи состоит в том, что ищется матрица C(t, е) с асимптотическим разложением

C(t, е) = C0(t) + еCl(t) +... + еnCn (t) +... (3)

такая, что замена x = C(t, е)у приводит систему (1) к виду

е = B(t, е)у, (4)

dt

в которой матрица B(t, е) с асимптотическим разложением

B(t, е) = B0 (t) + EB1(t) +... + еnBn (t) +... (5)

имеет более простой вид, чем A(t, е). Точнее, матрица B(t, е) имеет больше нулевых элементов, чем A(t, е), что может привести к тому, что система (3) будет распадаться на подсистемы низких порядков.

Целью работы является такое преобразование системы дифференциальных уравнений с малым парамет-

ром, в результате которого получается система с максимально возможным числом нулевых элементов её главной матрицы.

Задача работы состоит в максимальном упрощении главной матрицы исследуемой системы.

Ниже предлагается такая замена (3), после реализации которой получаем систему (4) с максимально возможным числом нулевых элементов матрицы B0 при заданной жордановой форме матрицы A0 . В частности, наша теорема обобщает теорему о блок-диагона-лизации (см. [2,3,5]). Этот результатудаётся получить с помощью теоремы В.И. Арнольда [6] о нормальной форме семейства матриц, голоморфно зависящих от параметра. Дальнейшие построения носят локальный характер по t. Все матрицы вида (2), (3), (5) предполагаются аналитическими по t в окрестности точки t = 0 и по е : 0 <|е|<е0, ееЕ, где у - некоторый сектор с центром в нуле, симметричный относительно вещественной оси. Асимптотические разложения вида (2), (3), (5) будем считать равномерными по t в окрестности точки t = 0 .

2. Решение поставленной задачи

Используется результат В.И. Арнольда [6]. Пусть матрица A(t) голоморфна по t в окрестности t = 0 . Тогда существует невырожденная голоморфная матрица R(t) такая, что R-1AR = B , где матрица B(t) имеет следующую структуру: B(t) = B0 + (t). Здесь

B0 есть жорданова нормальная форма матрицы A(0), а матрица B1 (t) имеет блочно-диагональную форму, причём каждый блок B1 (t) соответствует диагональному блоку B0 , имеющему равные собственные значения. Чтобы описать структуру блока матрицы B^ (t), допустим для упрощения нумерации столбцов и строк, что соответствующий блок B0 расположен в верхнем левом углу B0 и имеет жордановы клетки размера П1 > П2 >... > nk. Тогда в рассматриваемом блоке матрицы B1 (t) отличны от нуля лишь элементы, стоящие на пересечении строк и столбцов соответственно с номерами % + П2 +... + nj, ij. Здесь i < j < k и n1 + n2 + .. + nj-1 +1 < ij < n1 + n2 + .. + nk . Элементы матрицы B1 (t) голоморфны по t в окрестности t = 0 и B1(0) = 0.

Множество матриц B1 (t), отвечающих фиксированной матрице B0 , образует линейное подпространство M в пространстве E всех матриц m-го порядка. Размерность м равна размерности централизатора матрицы A0(0) (т.е. множества матриц, коммутирующих с A0 (0)). Обозначим dimM = d.

Используем следующий факт, доказанный в [6].

А) Пусть TA0 (0) - линейный оператор в пространстве матриц E , определяемых равенством

Ta(0)(X) = Ao(0)X - XAo(0).

Тогда M является прямым дополнением к образу оператора тАо(0) в пространстве E.

Отметим, что ядро оператора тАо(0) совпадает с централизатором матрицы Ао(0) . В частности, dimKerTAo(o) = d.

В) Образ оператора TAo(t):

TA0(t)X = Ao(t)X - XAo(t)

в сумме (вообще говоря не прямой) даёт всё пространство E.

Свойство В следует из А и полунепрерывности области значений оператора TAo(t) .

Докажем, что существует матрица C = C(t, е), имеющая асимптотическое разложение вида (3), такая , что после замены x = Cy система (1) переходит в систему (4), матрица B = B(t, е) допускает асимптотическое разложение вида (5), Bo (t) есть нормальная форма Арнольда матрицы Ao (t), а Bn (t) (n > 1) - аналитическая матрица и Bn (t) е M .

Доказательство теоремы проведём в 2 этапа. Сначала сконструируем нормальные ряды (3) и (5), а затем построим матрицы C и B , обладающие требуемыми свойствами, для которых эти ряды являются асимптотическими.

1. Считаем, что матрица Ao(t) уже приведена к нормальной форме Арнольда. Этого можно добиться с помощью преобразования x = Ry , где R = R(t) -матрица, приводящая Ao (t) к нормальной форме. Будем искать C в виде ряда

C(t, е) = I + eCi (t) +... + en Cn (t) +... (6)

В результате замены x = Cy получим систему

е ^C-1(AC -eC')y dt

Обозначим матрицу этой системы через B(t, е). Имеем уравнение

еС = AC - CB . (7)

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях е в этом равенстве. Получим

Bo(t) = Ao(t) ,

Bn - (AoCn - CnAo) =

= A1Cn-1 +... + An - Cn-1 - Cn-1B -... - C1Bn-1. (8)

Допустим, что нам уже известны матрицы Bo = Ao , Bb....,Bn_1, Co = I, Cb...,Cn_1. Покажем, как определить Bn и Cn . Выберем в пространстве матриц E

РИ, 2010, № 2

2 л

линейное подпространство L размерности m - d такое, что LIM = 0, LI KerTAo(0) = 0. В силу полунепрерывности Kert\o(t) при достаточно малых t справедливо также, что

L1 KerTAo (t) = o. (9)

Обозначим стоящую справа в (8) известную матрицу через S = S(t). Тогда (8) перепишется в виде

Bn -KerTA0(t)(Cn) = S.

В силу свойства В и (9) это уравнение однозначно разрешимо относительно Bn и Cn . Полученные матрицы Bn и Cn аналитичны по t , так как находятся в результате решения системы линейных уравнений, при котором производятся лишь рациональные операции над элементами Ao и S . Построение формальных рядов (3) и (6) для матриц C и B на этом закончено.

2. Лемма 1 (см. [2, с. 65). Пусть функция a^(t) k = 0,1,... голоморфна в T, где T - круг |t| < to, и пусть у - произвольный сектор вида |argе|<а, О < |е| < ео . Тогда существует функция f (t, е), голоморфная по обеим переменным в TXE, и такая, что имеет место равномерное в T асимптотическое представление

х k f(t^) = ^ ak №ек

к=o

при е ^ О в у .

Используя лемму 1, построим матрицы C = C(t, е), B = B(t, е), для которых полученные формальные ряды (3) и (6) являются асимптотическими и, кроме того,

B(t, е) - Bo(t) е M. Делая замену x = Cy , перейдём от системы (1) к системе

dy ~

е dt" = B(t’ ^y, (10)

причём матрица

IB = C-1(AC -еС') (11)

разлагается в асимптотический ряд по степеням е , поскольку Co (t) = Co(t) = I.

Так как равенство (11) получается из (7) заменой C на C и B на B, то коэффициенты асимптотического ряда для B равны Bn .

Рассмотрим уравнение

еС ' = BC - Cb(1). (12)

Лемма 2. Существуют матрицы C(t, е) и B(1)(t,е), удовлетворяющие (12), такие, что с -1 = О , B(1) - B = О и B(1) - Bo е M.

Для доказательства леммы 2 нам потребуется

Лемма 3. Пусть g(t,z,u) и f(t,z,e) суть N -мерное вектор-функции от комплексных переменных t и е и от N -мерных комплексных векторов z и и. Предположим, что

а) g(t,z,u) и f(t,z,e) голоморфны по совокупности переменных при |t| < t0 , |z| < z0, |u| < u0 , 0 < |e| < s0 , eeE ;

невырожденная в силу (13) и (14). Сведение к указанному выше частному случаю имеет место при достаточно малых у и еу', а это условие выполнено, поскольку уравнение (16) имеет малое решение у при достаточно малом е .

Доказательство леммы 2. Полагая B-Ё = B(2), B(1) - Ё = Ё(3), C = I + C(1) , перепишем (12) так:

b) f (t, z,e) имеет асимптотическое разложение в ряд по степеням е при е — 0, ееЕ, равномерное по t и z при |t| < t0, \z\ < z0;

c) g(0,0,0) = lim f (0,0, e) = 0. Матрицы Якоби

е—>0

jgj_

V5uk J

u=t=z=0

(13)

lim

s—0 ееЕ

,dzk

^gj I

dzk

u=t=z=0

(14)

невырождены. Здесь fj(t,z,s) и gj(t,z,u), j = 1,2,...,N - компоненты f и g .

Т огда если дифференциальному уравнению

g(t,y, еу') = f(t,y, е) (15)

формально удовлетворяет ряд £ угЁ)ег , коэффици-

r=1

енты которого голоморфны при |t| < t0 , то существует

решение у = <p(t, е) уравнения (15), определённое в области

И < t1 < t0, 0 <|е|<е1 <е0, ееЕ*,

и такое, что фЁ,е) = Е уг008 при е — 0 , ееЕ* рав-

r=1

номерно по t. Здесь l * - некоторый подсектор сектора L.

Доказательство. Для случая g(t,z,u) = u эта лемма доказана в [2, с. 176]. Мы сведём лемму 2 к этому случаю. Покажем, что (15) можно разрешить относительно еу' при достаточно малых t, у, еу'. Это следует из (13). Значит, уравнение (15) можно переписать в виде

еу' = F(t^, е).

Далее матрица

lim

е—0 ееЕ

1

.dzk J

t=z=0

(16)

еС(1) = ЁC(1) - C(1)B +

+b(2)(i+c(1)) - (I+c(1))b(3). (17)

Введём в пространстве матриц E скалярное произведение по формуле

(A,B) = sp(AB*).

Выберем базис Фj (j = 1,2,...,m2 -d) в ортогональном дополнении к M. Умножим обе части (17) слева на (I + C(1))-1 и скалярно домножим полученное таким образом равенство справа на ®j. Получим

е((1 + C(1))C(1), Фj) = ((ЁC(1) - С(1)Ё), Фj) -- (C(1) (I + C(1) )-1 (13C(1) - С(1)Ё), Ф:) +

(18)

+((I + C(1))-1Ё(2)(I + C(1)),Фj), j = 1,2,...,m2 -d,

Ё(3) e M, поскольку Ё - Ё0 е M по построению, а Ё(1) - Ё0 е M по требованию леммы. Поэтому члены (Ё(3), Фj) = 0 в равенстве (18) опущены.

Будем искать вектор C(1), удовлетворяющий (18), в подпространстве L (напомним, что dimL = m2 - d). Тогда систему (18) можно рассматривать как уравнение вида (15) относительно вектора C(1) е L, N = m2 - d.

Системе (18) формально удовлетворяет ряд для вектора с(1) по степеням е с коэффициентами, равными нулю. Для того чтобы применить лемму 3, проверим невырожденность матриц (13) и (14). Вместо доказательства невырожденности этих матриц нам удобно будет доказать невырожденность соответствующих линейных форм, т.е. дифференциалов. Матрице (13)

отвечает дифференциал Sg(t, z,u)|t=z=u=0, где z = C(1), u = sC(1), причём 5t и SC(1) полагаем равными нулю:

S((I + C(1))-1 еС(1)'

t=0, C(1) =0, C(1)'=0

= (8(еС(1)'), Ф j),

(19)

где через 8(еС(1)') обозначим дифференциал

еС(1) .Если бы правая часть (19) равнялась нулю при j = 1,...,m2 -d, то SC(1)' еM. Но C(1) еL,значит,

SC(1)' е L, а M П L = 0.

Аналогичным образом матрице (14) отвечает предел при е 0 дифференциала

5f(t,z,s)-g(t,z,u))|t=z=u=0 ,

где z = С*-1-*, и = еС®, причём 5t = SleC*-1-*') = 0. Этот предел равен

((В0 (0)5С(1) - 5С(1)В0 (0)), ) =

= (ТАо(о)(8С(1)),Фр, (20)

поскольку ВС) = о и В0(О) = А0 (0). Если бы правая часть (20) была равна нулю при всех j, то величина Тао(0)(8С^) принадлежала бы М, что невозможно согласно А. Следовательно, 6С(|) е КсгТЛ()(0). что противоречит условиям 5C(1)eL, ЬПКегТАо(0)=0. Поэтому применима лемма 3, и уравнение (18) имеет

решение с В) = о .Из (17) теперь следует, что В*-3-* е М и ВР) = 0 • Лемма 2 доказана.

Теперь мы можем закончить доказательство теоремы. Сделаем в (10) замену у =Bz . Нетрудно видеть из (10), что z удовлетворяет уравнению

= B(1)(t,e)z (21)

dt

Из леммы 2 теперь следует, что матрица В® обладает свойствами, которыми, согласно формулировке теоремы, должна обладать матрица В. Действительно,

В(0 _В = 0 и, значит, В(|) допускает разложение в асимптотический ряд (5) с найденными ранее коэффициентами Bn (t). Кроме того, ВП) -В0еМ. Матрица же преобразования х = CCz , согласно лемме 2 разлагается в асимптотический ряд, стоящий справа в (6), поскольку с -I = 0 • Теорема доказана.

Предложенный в статье метод минимизации числа ненулевых элементов главной матрицы исследуемой системы применим и в случае, когда её коэффициенты являются случайными величинами.

3. Заключение

Научная новизна работы состоит в следующем: произведено преобразование исходной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производной, в результате которого главная матрица преобразованной системы имеетмаксимальное число нулевых элементов.

Практическая ценность работы заключается в том, что преобразованная система уравнений требует минимальных затрат машинного времени, поскольку главная матрица системы содержит максимальное число нулевых элементов.

Литература: 1. Агапова И.С., Дикарев В.А., Подгорбунс-кий Н.С. Процесс глобальной блок-диагонализации матриц //Радиоэлектроника и информатика. 2007. №1. С. 24-29. 2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968. 464 с. 3. Фещенко С.Ф., ШкилъН.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев: Наук, думка, 1966. 251 с. 4. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с. 5. Sibuya Y. Sur un systeme des equations differentielles ordinaires lineaires a coefficients periodiques et contenant des parameters, J. Fac. Sci., Univ. Tokyo, (1), 7 (1954). 229-241. 6. Арнольд В.И. YMH,XXVI. 1971. Вып. 2(158).

Поступила в редколлегию 22.05.2010

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61164, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел. 343-57-03.