Простейшие теоремы непрерывного приближения для системы регулирования с бинарно управляемым объектом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.935.4

ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ НЕПРЕРЫВНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С БИНАРНО УПРАВЛЯЕМЫМ ОБЪЕКТОМ

© 2015 А. М. Фрумкин

ст. науч. сотрудник кафедры математического анализа и прикладной математики, канд. техн. наук, e-mail: frumkinam@mail. ru

Курский государственный университет

Рассматривается система, состоящая из бинарно управляемого объекта, задаваемого двумя линейными неоднородными дифференциальными уравнениями, и простейшего программного ШИМ-регулятора. Для данной системы определяется квазиэквивалентная линейная неоднородная система. Показывается, что если для выбранного коэффициента заполнения импульса матрица квазиэквивалентной системы гурвицева, то при достаточно малом периоде ШИМ в исходной системе существует асимптотически устойчивый периодический установившийся процесс. Этот процесс сходится при бесконечном уменьшении периода ШИМ к соответствующему процессу в квазиэквивалентной системе.

Ключевые слова: ШИМ-система, система непрерывного приближения, бинарно управляемый объект, программный регулятор, установившийся процесс, асимптотическая устойчивость.

В системах широтно-импульсного (ШИМ) регулирования период повторения импульсов, как правило, мал по сравнению с временными характеристиками протекания переходных процессов в объекте управления при фиксированных значениях управляющей переменной. Поэтому возникает возможность путем применения некоторых процедур предельного перехода к элементам модели системы (при периоде, стремящемся к нулю) получить упрощенную модель системы с непрерывно изменяющейся управляющей переменной, свойства которой предположительно должны быть близкими к свойствам рассматриваемой ШИМ-системы. Полученную систему с непрерывно изменяющейся управляющей переменной можно назвать системой непрерывного приближения для исходной ШИМ-системы. Далее возникают задачи точного определения того, в каком смысле свойства ШИМ-системы близки к свойствам системы непрерывного приближения, и задачи доказательства близости свойств. Соответствующие теоремы можно назвать теоремами непрерывного приближения. Например, желательно доказать следующие утверждения.

У.1. Если в системе непрерывного приближения существует установившийся процесс, то при достаточно малом периоде управления в ШИМ-системе также существует установившийся периодический процесс с тем же периодом, причем при стремлении периода к нулю значения величин в периодическом процессе сходятся к значениям соответствующих величин в рассмотренном установившемся процессе в системе непрерывного приближения.

У.2. Если рассматриваемый установившийся процесс в системе непрерывного приближения асимптотически устойчив по Ляпунову [Гелиг 2006], то при достаточно малом периоде управления установившийся периодический процесс в ШИМ-системе также асимптотически устойчив.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Математические модели систем ШИМ-регулирования традиционно строятся по аналогии с моделями систем регулирования с непрерывным управлением [Гелиг 2006; Жусубалиев 2008]. Модель системы включает модели двух подсистем - объекта и регулятора. Если считать возмущения условно постоянными величинами, то объект моделируется обыкновенным дифференциальным уравнением вида x' = f(x, а), где x -

вектор состояния, а - переменная управления, которая может принимать значения в некотором промежутке. В случае ШИМ-систем регулятор устанавливает только два граничных значения управляющей переменной. Методами масштабирования переменных удобно так преобразовать уравнение объекта, что промежутком изменения управляющей переменной становится отрезок [0,1]. Тогда регулятор моделируется как некоторый оператор r (импульсный модулятор), ставящий в соответствие процессу изменения в промежутке [0,t] состояний объекта x[0,t] кусочно-постоянную функцию a=r(x[0,t]) со значениями в множестве {0,1}. Таким образом, моделью системы становится пара уравнений:

x'(t) = f(x(t),a(t)) , a(t)=r(x[0,t]).

Так как управление а принимает только два значения (ноль и один), то для исследования системы (1) фактически требуются только два векторных поля: f0(x)=f(x,0) и f1(x)=f(x,1). Каждое из этих полей порождает свой собственный фазовый поток [Арнольд 1975] (или закон эволюции) g0 и g1. Процесс эволюции объекта разбивается на промежутки, в каждом из которых эволюция описывается одним из этих законов. С этой точки зрения модель объекта управления задается тройкой (X,f0,f1) или тройкой (X,g0,g1), где X - векторное пространство, в котором определены фазовые потоки. В нашей статье [Фрумкин 2009] такая модель названа моделью бинарно управляемого объекта. Задача управления бинарно управляемым объектом состоит в том, чтобы задавать моменты «переключения» от одного закона к другому. Процесс регулирования разделяется на циклы, состоящие из двух полуциклов. В первом полуцикле эволюция объекта регулирования происходит по одному из законов (будем считать, что по закону g1), во втором - по другому закону (g0). Если длительность первого полуцикла равна т1>0, а второго равна т0>0 и состояние объекта в начале цикла равно xeX, то состояние объекта y в конце цикла определяется формулой:

y=gto(g1(x,n),T0). Величину

М

Т1 +т 0

можно назвать коэффициентом заполнения

импульса в рассматриваемом цикле регулирования.

В статье описывается соответствие между последовательностями выдержек времени, определяющими управление, и кусочно-постоянными управлениями. В ней показывается, что при уменьшении длительности циклов кусочно-постоянного управления и одновременном приближении коэффициентов заполнения импульса для всех циклов к заданной кусочно-непрерывной функции а процесс в объекте приближается к решению уравнения

x'=a-f1(x)+(1-a)-f0(x)

Уравнение (2) естественно считать уравнением объекта для системы непрерывного приближения. Тождественное равенство f(x,a)=a-f1(x)+(1-a)-f0(x) верно не всегда. Например, оно имеет место в случае аддитивного управления, когда функция f представляется в виде суммы: f(x,a)=F(x)+a-b(x).

В предположении аддитивности управления утверждения У.1 и У.2 доказываются в работах [Гелиг 2003; Гелиг, Кабриц 2003] для достаточно широкого класса систем. При этом используется понятие эквивалентной нелинейности для определения уравнения регулятора в системе непрерывного приближения. С другой

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015. № 1 (05)

(1)

(2)

Фрумкин А. М. Простейшие теоремы непрерывного приближения для системы регулирования с бинарно управляемым объектом

стороны, интересно исследовать рассматриваемые задачи без предположения об аддитивности управления.

Если используется модель бинарно управляемого объекта регулирования, то для моделирования регулятора модно использовать понятие события в смысле [Фрумкин 2013], а для моделирования системы в целом - предложенную в той же статье модель ситуационной схемы. В случае простого закона регулирования типа ТТТИМ-Т [Гелиг 2006] регулятор можно моделировать совсем просто парой функций (т1,т0). Функция т1 ставит в соответствие состоянию системы в начале цикла регулирования длительность первого полуцикла, функция т0 ставит тому же состоянию системы в соответствие длительность второго полуцикла. Длительность T цикла регулирования фиксирована, поэтому обе функции т1 и т0 определяются с помощью одной функции ф: X^[0,1]: т1(х,Т)=ф(х)-Т, т0(х,Т)=Т-т1(х,Т)=(1-ф(х))-Т. Значения обеих функций зависят также от параметра Т, то есть фактически мы определили функции двух переменных. При описанном подходе к моделированию процесс в системе описывается с помощью эволюционной последовательности, задаваемой соотношением

Ясно,

хп+1=§й(В1(хп,Т1(хп,Т)),Т0(хп,Т)).

Г T1(x,T) г Л что lim-----------= ф(х) и

T^Q T

т o(x,T)

lim------= 1 -ф(х) . Первый предел

T^Q T

задает предельное значение коэффициента заполнения импульса, поэтому в силу результатов [Фрумкин 2009], функцию ф можно считать моделью регулятора по отклонению. Соответственно для системы непрерывного приближения можно рассмотреть уравнение

х'=ф(х)-Г1(х)+(1-ф(х))-Г0(х).

В данной статье доказываются У.1 и У.2, показывающие связь решений уравнений (3) и (4), в простейшем случае, когда функции f1, f0 являются линейными неоднородными, функция ф является константой (ф(х)=ае[0,1]) и характеристический многочлен линейной системы (4) является гурвицевым [Гелиг 2006]. Регулирование без обратной связи, при котором обе выдержки времени постоянны, будем называть программным [Куржанский 1984].

Теоремы непрерывного приближения для билинейного бинарно управляемого объекта с программным ШИМ-регулированием

Теорема 1. Пусть (f0,f1) - пара линейных векторных полей в Rn, то есть f0: xeRn ^ A0-x+b0, f1: xeRn ^ A1-x+b1, где A0, A1 - ^х^-матрицы, b0, b1 e Rn

Соответствующую пару фазовых потоков обозначим (g0,g1). Пусть oe[0,1], т1: (а,Т)е[0,1]х[0,го)^-а-Т, т0: (а,Т)е[0,1]х[0,го)^(1-а)-Т. Пусть для некоторого ae[0,1] матрица A=(1-a)-A0+ a-A1 - гурвицева.

Тогда найдется такое 5>0, что при Т<5 уравнение

x=gto(g1(x,T1(o,T)),T0(o,T))

1

имеет единственное решение. В качестве 5 можно взять 8q = minp-r, где S -

XeS \М

спектр матрицы (1-a)-A0+ a-A1. Решение х уравнения (5) является функцией Т в промежутке (0,5), и имеет место равенство

lim x(T) = -[ctAi + (1 -a)Ao]-1(abi + (1 -a)bo).

T^Q

(3)

(4)

(5)

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда найдется такое 8>0, что при Т<5 уравнение (5) имеет единственное решение и оно асимптотически устойчиво, по Ляпунову, как неподвижная точка отображения g: xeRn ^

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

- 2 • Re(X)

gi(go(x,io(a,T)),Ti(a,T)). В качестве 5 можно взять 81 = min--~—, где S - спектр

XeS 3-|X|2

матрицы (1-a)-A0+ а-Л1.

Доказательство теоремы 1

Явные выражения для эволюционных законов получаются на основе общей формулы для решения неоднородного линейного уравнения [Арнольд 1975; Шилов 1970]:

g0(x,t) = -A-1bo + etAo (х + A-1b0) , gi(x,t) = -А-1b! + etAl (х + А- 1Ь1) Поэтому уравнение (5) имеет вид

х = -A-1bo + eT°A° (-A- 1b1 + eT1A1 (x + A- 1b1) + A-1bo)

или

(E - eToAo +AA1) • x = -A-1b0 + eToAo (A-1b0 - A-1b1) + eT°A° +T1A1 A-1b1, где E - единичная матрица. Для краткости записи аргументы функций т0, т1 (то есть а и T) в правой части (6) не указаны и могут опускаться в дальнейших

х A + х A

рассуждениях. Покажем, что при достаточно малом T матрица E — e 0 0 1 1 -

невырожденная.

Воспользуемся следующими утверждениями (доказательства лемм 1, 2 и 4 просты и не приводятся).

Лемма 1. Пусть S - множество собственных значений (спектр) матрицы Л, Q -спектр матрицы E+A. Тогда отношение ф={(М,а) XeS л а=1+М} взаимно однозначно отображает S на Q.

Лемма 2. Пусть S - спектр матрицы A, а^0 - число, Q - спектр матрицы aA. Тогда отношение ф={(М,у) XeSл у=аА} взаимно однозначно отображает S на Q.

Лемма 3. Пусть S - спектр матрицы A, Q - спектр матрицы eA. Тогда отношение Ф={(М,а) XeS л a=e } взаимно однозначно отображает S на Q.

^ Пусть B - нормальная жорданова форма [Шилов 1969] матрицы A: B=P-AP-1, где P - невырожденная матрица. Спектры A и B совпадают. Так как для любого натурального n Bn=P-AnP-1, то eB= PeAP-1, то есть спектры eA и eB совпадают. В соответствии с формулой вычисления экспоненты, каждой клетке K матрицы B соответствует клетка eK матрицы eB. Если K - клетка Жордана с числами X на главной диагонали, то e - верхняя треугольная матрица с числами e на главной диагонали [Арнольд 1975; Шилов 1970]. Так как характеристический многочлен получается перемножением диагональных элементов (из которых вычтена переменная многочлена), то каждому собственному числу X матрицы B соответствует собственное eX матрицы eB той же кратности. Следовательно, описанное соответствие взаимно

однозначно.

►

Лемма 4. Для того чтобы матрица A была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы все ее собственные числа были ненулевыми.

Пусть у - собственное число матрицы E-eT°A° +X1A1 . Согласно леммам 1, 2, 3, найдется собственное число X матрицы A=(1-a)-A0+ a-A1, такое, что y=1-e условию A является гурвицевой, то есть X=a+^P, причем а<0, то есть |X|>0.

Лемма 5. Если x - комплексное число и |x|<1, то |1+x-ex|<(e-2)-|x|2.

XT

По

◄

2 3

1 + х - ex х х

= — + +...

2! 3!

< ■

х

х'

1 1

■ +---+...< х2(— + — +...) = х2 • (e-2)

2! 3! v2! 3! 2 v 2

►

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015. № 1 (05)

(6)

Фрумкин А. М. Простейшие теоремы непрерывного приближения для системы регулирования с бинарно управляемым объектом

Найдем такое Л>0, что из Т<Д следует |XT|<1. Можно выбрать А = . Оценим

XI

А.Т

|у|=| 1—e | при Т<Л, пользуясь леммой 5. Имеем:

XT

1 - e

1 + XT - eXT -XT

>

1 + XT - e

XT

-XT

Найдем такое 9>0, что из 0<t<9 следует (e-2)-t2<t. Можно выбрать 9 =------------------------> 1.

e - 2

Таким образом, если Т<Л, то |XT|<9 и поэтому Следовательно,

1+ XT - e

XT

< (e - 2) -|XT|2 <|XT .

1 - e

XT

>

1+ XT - e

XT

-XT = XT -

1+ XT - e

XT

> 0.

1

Положим 8о = minp-т, где S - спектр матрицы (1-a)-A0+ o-A1. Тогда при T<50 XeS |X|

все собственные числа матрицы E - eTоАо +T!A! отличны от нуля и уравнение (5) имеет единственное решение:

x = (E - eTоАо +t!A! )-1 • (-A-1b0 + eToAo (A-1b0 - A-1b:) + eT°A° +TiAi A-1b:). Так как т0 и т1 - функции Т, то и x - функция Т. Представим правую часть последнего равенства в виде суммы:

= ^Я —ртоАо +Т1А1) 1 • (eTоАо _

x = (E - e

E) • АоЧ

+ (E - e1

- eTоАо +Т1А1) 1 • eTоАо • (eT1A1 -

• (eX1A1 - E) • A-1b1.

Имеем:

e т оАо +Т1А1 = eT^A

E - ^о^ +Т1А1 =-Поэтому при

(T • А)2 (T • А)3

= E + T• А + v 2 ^31 +--= E + T• A(E + A(T,A)) , то есть

T • A(E + A(T,A)) , где A=(1-a)-A0+ a^A1 и A(T,A)^-0 при Т^0. достаточно малом Т матрица E+A(T,A) обратима и

(E - eT оАо +Т1А1)-1

1 • А-1(E + A(T,A))-1.

Далее, eToАo = E + (1 -а) • T • A^E + А(Г,Ао)) ,

eTоАо -E = (1 -а) • T• A^E + А(Г,Ао)).

Аналогично eT:A1 - E = aT• A^E + A(T,A^) . При T^-0 A(T,A0)^-0 и

A(T,A0^0.

Возвращаемся к формуле (7):

x(T) =-А-1(E + A(T,A))-1 • (1 -а)• Ао№ + АСГ,Ао))• А-Ч - А-1(E + A(T,A))-1 •[E+T • (1 -а) • A„(E + А(1,Ао))]•gA^E + A(T,A1)) • А-Ч. Переходя к пределу, получаем:

lim x(T) = -А-1 • (ab1 + (1 -а^о) = -[аА1 + (1 -а^о]-1^^ + (1 -а^о).

T^-о

Доказательство теоремы 2

Пусть мы выбрали согласно теореме 1 80>0 так, что при Т<80 уравнение (5) имеет единственное решение. Производная по x отображения g: xeRn ^

§с(§1(х,т1(а,Т)),т0(а,Т)) не зависит от x: VxeRn Dg(x) = eТ1А1 +т°А° . В частности,

(7)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

e 1 1 00 есть производная g в точке решения уравнения (5). Найдем 5>0 такое, что

при Т<5

>ИА1 +т 0A0

< 1.

Пусть у - собственное число матрицы eT°A° +T1A1 . Согласно леммам 2, 3,

А.Т

найдется собственное число X матрицы A=(1-o)-A0+ o-Ai, такое, что у=е . Пусть Х= -a+i-p. Так как A является гурвицевой, то а>0. Из леммы 5 следует представление

,ХТ

= 1 + ХТ + ф(ХТ), где |ф(ХТ)| < (е - 2) -|Х2T2 <|Х|2T2. Отсюда

.XT

= 1 + XT + ф(ХТ)| < |1 + XT + |ф(ХТ)| < |1 + XT + |X|2 T2.

XT

Для того чтобы выполнялось неравенство eX < 1 , достаточно выполнения

неравенства |1 + ХТ| + IX2Т2 < 1 или -J(1 -aT)2 + p2T2 + |Х2Т2 < 1 . Так как Т<50, то |Х|2Т2<1 и потому последнее неравенство эквивалентно неравенствам:

(1 -aT)2 +p2T2 <(1 -X2Т2)2 о 1 -2аТ + а2Т2 +p2T2 < 1 -2X2Т2 +|Х4Т4. Последнее неравенство в предположении Т>0 преобразуется к виду

IX4 т3 - (а2 + Р2 + 2X2 )Т + 2а > 0,

или (в силу равенства а2 +p2 =|Х2 ) к виду |Х4Т3 - 3X2Т + 2а > 0 .

Так как предполагается, что Т>0, то для выполнения последнего неравенства

|2^ __ ^ ^ 2-а 2 - Re(X)

достаточно, чтобы - 3 X 2Т + 2а > 0 или Т <

з -IX

2

3-IX

2

Если взять

- 2 - Re(X)

S = Si = min------^— , где S - спектр матрицы (1-o)-A0+ o-A1, то при T<S все

XeS 3-|Х|2

собственные числа матрицы e

Т 0A0 +T1A1

оказываются по модулю меньше 1 и, согласно

критерию линейного приближения [Бромберг 1967; Гелиг 2006], решение уравнения (5) асимптотически устойчиво.

Библиографический список

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.

240 с.

Бромберг П. В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования. М.: Наука, 1967. 324с.

Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению // ПММ. 2003. Т. 62. №8. С. 231-238.

Гелиг А.Х., Зубер И.Е., Чурилов А.Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 270 с.

Гелиг А. Х., Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. Вып. 2. 2003. С. 5-14.

Жусубалиев Ж. Т., Полищук В. Г., Титов В. С. Хаотические колебания в технических системах. Курск: Курск. гос. техн. ун-т, 2008. 200 с.

Куржанский А.Б. Оптимальное управление программное // Математическая энциклопедия. Т. 4. М.: Сов. энцикл., 1984. С. 47-51.

Фрумкин А.М. О предельных процессах в бинарно управляемом объекте // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного

университета. 2009. № 1. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/009-01.pdf (дата обращения: 17.11.2014).

Auditorium: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015. № 1 (05)

Фрумкин А. М. Простейшие теоремы непрерывного приближения для системы регулирования с бинарно управляемым объектом

Фрумкин А.М. К определению события при описании процессов в системах управления // Ученые записки: электронный научный журнал Курского

государственного университета. 2013. №1. URL:

http://www.scientific-notes.ru/pdf/029-001.pdf (дата обращения: 23.12.2014).

Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. М.: Наука, 1969. 432 с.

Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3. М.: Наука, 1970. 352 с.