О краевых задачах для четырехмерных аналогов системы Коши-Римана с комплексными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. Т. Усс

О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ АНАЛОГОВ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА С КОМПЛЕКСНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Проведена гомотопическая классификация эллиптических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с комплексными коэффициентами, являющихся обобщением на четырехмерный случай известной системы Коши-Римана. Доказывается, что системы указанного типа не имеют ни одной регуляризуемой краевой задачи ни в какой ограниченной области в Я 4.

Одним из способов построения аналога голоморфных функций комплексной переменной в многомерном случае является обобщение условий Коши-Римана. На сегодняшний день известно много таких обобщений ( см. [1-4] и имеющиеся там ссылки ), и они эффективно используются в теории краевых задач для систем дифференциальных уравнений, например, [5 - 7]. В настоящей работе вводится класс систем дифференциальных уравнений, содержащий не изучавшиеся ранее аналоги систем Коши-Римана в четырехмерном пространстве, исследуется топологическое строение этого класса и возможность постановки нетеровых краевых задач для его представителей.

В Я4 рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений вида

где А у (у = 1, 2, 3 , 4 ) - постоянные комплексные матрицы размера 2x2, и = (и, V) - искомый вектор-столбец из комплекснозначных функций и = и(х) и V = v(x); х = ( х1, х2, х 3, х4 ) е V4. Следуя [8] (с. 258), назовем систему (1) четырехмерным аналогом системы Коши-Римана ( сокращенно, ЧКР-системой ), если компоненты и и V каждого ее решения и являются ( комплексными ) гармоническими функциями.

Анализ рассуждений, проведенных в [3] для систем дифференциальных уравнений первого порядка в Vn с действительными коэффициентами, показывает их применимость и в случае комплексных коэффициентов. Поэтому заключаем, что каждая ЧКР-система эллиптична, и произвольная система вида (1) является ЧКР в том и только в том случае, когда матрицы А у (у = 1, 2, 3 , 4 ) обратимы и удовлетворяют равенствам

А ■у1 Ак + А -1 Ау = 25]к Е (у, к = 1, 2, 3 , 4), (2)

где 5к - символ Кронекера, а Е - единичная матрица второго порядка.

Умножением, в случае необходимости, эллиптической системы (1) на матрицу А 1 и переобозначением матричных коэффициентов в получающейся при этом системе можно добиться того, что матрица А1 в системе (1) будет единичной. Поэтому впредь будем предполагать,

если не оговорено противное, что в ЧКР-системе (1) А1 = Е.

Пусть система (1) является ЧКР. Тогда из равенств (2) и равенства А1 = Е следует, что матрицы А2 , А3 и А4 обладают свойством:

Ау + А у = 0 (у = 2, 3 , 4).

Из этих равенств заключаем, что det Ау = ±1 (у = 2, 3 , 4).

Покажем, что ни одно из равенств det Ау = -1 (у = 2, 3 , 4) не может иметь места. Убедимся в этом на примере матрицы А2 , для остальных матриц рассуждения проводятся аналогично.

Предположим, что det А2 = -1. Тогда из равенства А2 + А 2' = 0 следует, что матрица А2 необходимо должна совпадать с одной из матриц

(3)

Далее, определитель матрицы А3 равен либо 1, либо -1. Но -1 он равняться не может, так как в противном случае матрица А3 также должна находиться среди матриц (3), а для матриц этого

вида равенство А 2 А3 + А 3 А2 = 0 не выполняется. Значит, det А3 = -1. Отсюда, а также из равенства А3 + А 31 = 0 следует, что

Аз —

Vе - а /

где комплексные числа а, Ь и с - таковы, что а + Ьс = -1. Это, вместе с соотношением А 2а3 + А 3 А2 = 0, приводит нас к равенству

IЬ ^

¡а

га і с

— 0 ,

/

т. е. А3 = 0, что противоречит обратимости матрицы А3.

Итак, равенство det Ау = -1 не может иметь места, и, следовательно, det Ау = 1 при у = 2,

3, 4.

Л е м м а. Пусть в ЧКР-системе (1) матрица А1 - единичная. Тогда матрица А2 подобна матрице

В2 —

г 0

V 0 - г /

т. е. существует такая невырожденная матрица Т второго порядка, что В2 — Т А2 Т 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Жорданова нормальная форма над полем С произвольной квадратной матрицы второго порядка есть одна из матриц

Ґ 1 1 ^ ( 10 ^ 1 0Л

где 1, Я\ , 12 - некоторые комплексные числа. С другой стороны, каждая матрица В, подобная матрице А2 , должна удовлетворять равенству В + В - 1 = 0. Поскольку последнему равенству из трех выписанных матриц может удовлетворять лишь диагональная матрица и лишь в случае, когда

112 = 12 = ^

а матрицы В2 и - В2 - подобны, то заключаем, что матрица А2 подобна матрице В2. Лемма доказана.

Пусть теперь Т - матрица, указанная в лемме. Тогда, умножая ЧКР-систему (1) на матрицу Т и меняя в системе искомую функцию и на V = Ти, мы приходим к ЧКР-системе

(4)

в которой матрица В1 - единичная, а В2 - матрица, указанная в лемме. Поскольку система (4) имеет тип ЧКР, матрицы В3 и В4 не могут быть произвольными. Как показывает простой анализ соотношений (2), они необходимо должны иметь вид:

Вз —

где Ь и с - ненулевые комплексные числа, связанные равенством Ь + с — 0. Таким образом, мы приходим к следующему заключению.

Т е о р е м а 1. Если (1) является ЧКР-системой, то существует число Ь є ^ \ {0} и ^ -линейное невырожденное преобразование Т : ^2 ® ^2 такие, что система (1) равносильна системе (4), в которой У — Ти, матрица В1 - единичная,

' 0 Ь ' ' 0 с '

— 4 В

V - Ь 0 0 V - с 0 0

В2 —

а матрица В4 - одна из следующих двух:

' і 0 " ' 0 Ь '

, Вз —

0 - V - Ь 0 0

(5)

Ь

а

' 0 i b ' ' 0 - i b '

v i b Л 0 0 ’ v - i b Л 0 0

При каждом Ь е ^ \ {0} и матрицах (5), (6) система (4) является ЧКР-системой.

Проведем гомотопическую классификацию ЧКР-систем.

Назовем две ЧКР-системы вида (1) гомотопными, если они гомотопны в классе эллиптических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными комплексными коэффициентами, причем гомотопирующее семейство, связывающее эти системы, можно выбрать таким образом, что каждый его элемент является ЧКР-системой.

Т е о р е м а 2. Множество ЧКР-систем имеет две компоненты гомотопической связности, и каждая ЧКР-система (1) гомотопна системе, характеристическая матрица которой есть одна из двух следующих:

X1 + iX 2 X 3 ± i'X 4

(7)

X 3 ± iX 4 X1 + iX 2 J

Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что характеристическая матрица произвольной ЧКР-системы (1) в классе характеристических матриц ЧКР-систем может быть сгомотопирова-на к одной из матриц (7).

Пусть (1) - произвольная система типа ЧКР ( равенство A1 = E не предполагается ). Тогда характеристическую матрицу этой системы, обозначим ее A(X ), можно представить в виде:

A(X ) = Al ( EX 1 + A A2X 2 + A A3X 3 + A 1A4X 4 ) .

Согласно доказанной выше лемме существует такая невырожденная матрица второго порядка T, что TA 1A2 T 1 = B2 , где B2 - первая из матриц (5). Следовательно,

A(X ) = Ai T -1 ( EX 1 + B2X 2 + B3X 3 + B4X 4 ) T,

где при некотором b е ^ \ {0} матрицы B2 и B3 задаются равенствами (5), а B4 - одна из матриц (6). Матрицы A1 и T - невырожденные и , в силу связности группы комплексных невырожденных матриц ( см., например, [9], с.28 и 56 ), гомотопны единичной матрице E. Обозначим через A1( t ) и T( t ) , 0 < t < 1, пути в группе указанных матриц с началами, соответственно, в A1 и в T и с концами в E, и положим:

b( t ) = ( t + (1 - t )| b | ) exp{ i(1 - t) arg b},

^ 0 b(t) ^

B4( t ) =

B4( t ) =

B3( t ) = i b(t) ^

- b ■1(t) 0

i b ■1(t)

i b ■1(t)

0

- i b(t) ö 0

, если B4 - первая из матриц (6), и если B4 - вторая из матриц (6).

Тогда гомотопия

а( х, х ) = ¿1(0 ( т ) -1 ( ех 1+в2х2+£з(ох з+адх4 ) т

0 < X < 1, связывает матрицу А(Х ) с одной из матриц (7). При этом, очевидно, при каждом X е [0; 1] матрица А( X, Х ) является характеристической матрицей некоторой ЧКР-системы. Докажем теперь негомотопность матриц

( Х 1 + ¡Х2 Хз + Х ^ ( Х 1 + 1Х2 Хз - ^Х4 Л

1 2 3 4

X 3 + iX 4 X 1 + iX 2

1 2 3 4

X 3 - iX 4 X 1 + iX 2

на множестве полиномиальных матриц, невырожденных при (Х 1 , Х2 , Х3 , Х4) е У4\{0}.

Предположим противное, т.е. предположим, что выписанные матрицы гомотопны на указанном множестве. Тогда гомотопными будут и векторные поля /1 , 12 : £3 ® £ 3, определяемые

0

0

на единичной сфере £ 3 : = { X = (X 1 , X2, Xз, X4) е Я4 | X 2 + X 2 + X 2 + X 4 = 1 } первыми строками этих матриц:

1^ ) = X , ^ ) = (X 1 , XI , Xз , - X4).

Следовательно, должны совпадать ( см. [10], с. 429 ) степени отображений /1 и /2. Но для первого отображения степень равна единице, а для второго - минус единице. Противоречие.

Таким образом, каждая ЧКР-система (1) может быть сгомотопирована в классе ЧКР-систем к одной из двух негомотопных между собой систем, описываемых характеристическими матрицами (7). Теорема доказана.

З а м е ч а н и е 1. Гомотопическая классификация общих эллиптических систем двух дифференциальных уравнений вида (1) ранее проведена В.И. Шевченко [11] ( см. также [12] ),

и, как показывает сравнение результатов [11] с утверждением теоремы 2, рассмотренное здесь сужение класса систем дифференциальных уравнений, а также сужение класса допустимых го-мотопий не изменяет число компонент гомотопической связности.

З а м е ч а н и е 2. Рассуждения, проведенные в доказательстве теоремы 2, показывают, что степень отображения р : £3 ® У4\{0}, задаваемого первой строкой характеристической матрицы

( а^ ) а^ ) Л

Л(с ) =

V аз^ ) а4^ ) ^

системы (1) равенством

р (X ) = ( Яе а^ ), 1т а^ ), Яе а2^ ), 1т а2^ ) ) , X е £ 3,

является инвариантом, различающим компоненты связности множества всех ЧКР-систем и, более того, множества всех эллиптических систем двух дифференциальных уравнений первого порядка с комплексными коэффициентами в Я4. Поскольку же а1(^ ) и а2(^ ) - линейные формы относительно переменных X 1 , ■■■ , X4 , то отображение р есть сужение на £ 3 линейного невырожденного ( в силу эллиптичности системы (1) ) отображения из Я4 в Я4, а потому его степень равна знаку определителя последнего отображения ( см., например, теорему 6.1 в [13], с. 24 ). Таким образом, мы получаем простой алгебраический признак различия компонент гомотопической связности указанных выше множеств систем дифференциальных уравнений ( ср. с [12] ): две системы вида (1) гомотопны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые знаки определители линейных отображений, построенных описанным способом по характеристическим матрицам этих систем.

Перейдем к рассмотрению краевых задач для ЧКР-систем. Без ограничения общности будем предполагать, что ЧКР-система (1) имеет канонический вид (4), а именно, Л1 = В1 = Е, матрицы Л2 = В2 и Л3 = В3 определяются равенствами (5), а Л4 = В4 - первая из матриц (6) (случай второй матрицы из (6) сводится к рассматриваемому простой заменой переменных в V4 ). Пусть, далее, О - ограниченная область в Я4, границей которой является бесконечно гладкое трехмерное многообразие ЭО.

Комплексное граничное условие на ЭО для решения и = (и, у)т системы (1), рассматриваемой в области О, не приводит к краевой задаче самого общего вида, поскольку порядки действительной или мнимой частей комплексного оператора в общем случае не обязаны совпадать с порядком самого оператора. Постановка же действительных граничных условий для решений системы (1) делает целесообразной замену системы (1) на эквивалентную ей систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка с действительными коэффициентами. Условимся в дальнейшем обозначать через и вектор-столбец (и1 , и2 , и3 , и4)т, составленный из действительных и мнимых частей компонент решения и исходной системы (1): и1 = Яе и, и2 = 1т и, и3 = Яе V, и4 = 1т V. Тогда овеществленный вариант ЧКР-системы (1) канонического вида можно записать в том же виде (1), только теперь уже матрица Л1 будет единичной матрицей четвертого порядка, и

( 0 1 0 0 Л ( 0 0 Ь - Ь2 Л ( 0 0 - Ь2 - Ь Л

-1 0 0 0 0 0 Ь2 Ь1 0 0 Ь1 - Ь2

Л2 = 0 0 0 -1 > Л3 = кЬ1 2 - 0 0 , Л4 = кЬ2 - кЬ1 0 0

1 0 0 1 0 0 V 2 Ь к - кЬ1 0 0 V кЬ1 2 Ь к 0 0 0

Здесь Ь1 = Яе Ь, Ь2 = 1т Ь и к = ( Ь 1 + Ь ) , где Ь - число, входящее в матрицы (5), (6).

Итак, рассмотрим краевую задачу отыскания решения и = (и1 , и2 , и3 , и4)т эллиптической системы четырех дифференциальных уравнений

а | Эх 0и :=л 1 ЭХ=^ (х) , х = ( х , х2 , х3 , х4) е ° (9)

удовлетворяющего граничным условиям

Э

В I* Эх

и = g( у ) , * е ЭО. (10)

О э х ® у

Здесь Л1 = Е4 - единичная матрица четвертого порядка, а матрицы Л2 , Л3 и Л4 задаются равенствами (8), в которых Ь1 и Ь2 - произвольные действительные числа, удовлетворяющие

условию Ь 1 + Ь 2 > 0, и к = ( Ь 2 + Ь 2 ) ; / и g - заданные соответственно четырех- и двух-

компонентный вектор-столбцы, состоящие из действительных функций; В | - матричный, размера 2x4, граничный оператор, состоящий из скалярных линейных операторов, «полиномиальных относительно нормали» к ЭО [14].

Краевая задача называется регуляризуемой, если для нее выполнено условие Я.Б. Лопатин-ского [15]. Известно [14, 16], что регуляризуемость краевой задачи есть необходимое и достаточное условие нетеровости оператора, отвечающего этой задаче и действующего в определенных банаховых пространствах.

Т е о р е м а 3. Краевая задача (9), (10) не является регуляризуемой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно установить невыполненность условия Лопатинского для краевой задачи в полупространстве Я+ : = { х = ( х1 , х2 , х3 , х4) еV4 | х1 > 0 } , получаемой из задачи (9), (10) «замораживанием коэффициентов» в той точке многообразия ЭО, в которой нормаль к ЭО параллельна вектору (1, 0, 0, 0). Поэтому при доказательстве теоремы можно считать, что О = Я+ и символ главной части граничного оператора В |х1= 0 не зависит от точки

у е ЭО. Далее, поскольку система (9) позволяет выразить через частные производные от и

по другим переменным, без ограничения общности можно предполагать, что граничные условия (10) не содержат дифференцирования по х1. Пусть

Л(А, т) = Лг Х + Л2Т1 + Л3Т2 + Л4Т3

есть характеристическая матрица системы (9), а В(т) - символ главной части оператора

. Тогда для доказательства теоремы нам остается доказать, что существует не-

в I - г

Эх

0

3

нулевой набор т = (т , т2 , т3 ) е V \{0}, при котором ранг матрицы

( 2р 1 ) - 1 В(т) • / Л- \Х, т) аХ (11)

у

строго меньше двух ( здесь у - простой гладкий замкнутый контур, лежащий в верхней Х -полуплоскости и охватывающий все находящиеся в ней Х -корни уравнения det Л(Х, т) = 0 ).

Матрица В(т) представляет собой 2х4-матрицу, элементами которой являются действительнозначные непрерывные однородные функции переменных т1 , т 2 , т 3. Будем предполагать, что ее ранг равен двум при каждом т е Я3\{0}, поскольку в противном случае ранг матрицы (11) заведомо меньше двух хотя бы при одном т Ф 0. Обозначим через Л1к и Н)к (], к = 1, 2, 3, 4) миноры второго порядка, составленные из 1-ых и к-ых столбцов соответственно матрицы В(т) и матрицы (11), и положим:

Ьг : = - Л12 + кЛ34 , Ьг : = Л13 + Л24 , ¿3 : = Л14 - Л23 , Ь : = - Ь т2 + Ь2 т3 , ^2 : = Ь2 т2 + Ьг т3 . Тогда непосредственным вычислением миноров Нк ( 1 < 1 < к < 4 ) матрицы (11) получим, что в каждой точке т =(тг , т2 , т3 ) единичной сферы £ 2 = {X = (X Г , X2 , X3) е Я3 | X2 + X2 + X3 = 1 }

Н12 = ( 1 - т ] ) Ь1 - к т1 р1 Ь2 - к т1 р2 Ь3 + 1к (р2 Ь2 - р1 Ь3),

Н13 = т1(р1 Ь1 - т2 Ь2) - кр2 (р2 Ь2 - А Ь3) + 1(р2 Ь1 - т1 Ь3^

Н14 = т1(р2 Ь1 - т2 Ь3) + к^1 (р2 Ь2 - А Ь3) - 1(А Ь1 - т1 Ь2Х

Я23 = - Н14 , Я24 = Н13 , Н34 = - к - Н12.

Зададим непрерывное отображение р : £ 2 ® £ 2 равенством

р (т ) = ( т , - Ьг т2 + Ь2 т3 , Ь2 т2 + Ьг т3 ) / /(тО, т = (т , т2 , т3 ) е £ 2 ,

2 2 2 2 1/2 где /(тГ) = (т г + ( Ь г + Ь )(1 - т )) . Поскольку, как нетрудно убедиться, система уравнений

относительно т1 , т 2 , т 3

X 1 = т / /(тО, X 2 = (- Ьг т2 + Ь2 т3) / /(тг), X 3 = ( Ь2 т2 + Ь т3 ) / /(тг)

однозначно разрешима при каждом X, = (X Г , X2 , X 3)е £ 2 и решение ее

т = X 1 «(X 1), т2 = (- Ьг X2 + Ь2 X 3) к «(X 1), т3 = ( Ь2 X 2 + Ьг X 3 ) к «(X 1),

где «(X 1) = ( ( ь 2 + ь 2 ) / (1 - « 2 + ( ь ; + ь 2 ^ 2 ) ) , образует точку т = (тг , т2 , т3 ), принадле-

жащую сфере £ 2, то заключаем, что отображение р является гомеоморфизмом сферы £ 2 на себя.

Так как ранг матрицы В(т) при каждом т е Я3\{0} равен двум, то в каждой точке т е £ 2 определен ненулевой вектор Ь(т) = (ЬГ , Ь2 , Ь3). Значит, на двумерной сфере £ 2 определено непрерывное невырождающееся векторное поле Ьёр "'. Согласно теореме «о еже» ( см., например, [10], с. 584 ) на сфере £ 2 найдется точка д е £ 2 такая, что

( Ьёр -1 )( д ) = а д,

где а - некоторое действительное число. Последнее равенство показывает, что в точке т = р _1( д ) е £ 2 имеют место равенства:

ЬГ = а тг / /(тГ), Ь2 = а (- Ьг т2 + Ь2 т3) / /(тг), Ь3 = а ( Ь2 т2 + Ьг т3 ) / /(тг) .

Подставляя найденные выражения для ЬГ , Ь2 и Ь3 в указанные выше миноры матрицы (11), получим, что в точке т = р -1( д ) е £ 2

Н12 = Н12 = Н14 = Н23 = Н24 = Н34 = 0.

Таким образом, в точке т = р _1( д ) е £ 2 ранг матрицы (11) строго меньше двух. Теорема дока-

зана.

Из теоремы 3 непосредственно выводим

С л е д с т в и е. Для ЧКР-системы (1), рассматриваемой в ограниченной области О с V4, нет псевдодифференциальных граничных условий, «полиномиальных относительно нормали», образующих с этой системой регуляризуемую краевую задачу.

З а м е ч а н и е 3. Для частного случая ЧКР-системы (1), а именно, в случае, когда характеристическая матрица системы (1) имеет вид

( X 1 + IX2 - X3 - X Л

V X 3 - X 1 - ІX 2 ,

отсутствие регуляризуемых краевых задач с граничными условиями «полиномиального типа относительно нормали» ранее установлено М.З. Соломяком [17]. Известен также результат

В.С. Виноградова [18], что любая краевая задача типа задачи Римана-Гильберта не может быть нетеровской, если она ставится для эллиптической системы четырех дифференциальных уравнений первого порядка с действительными коэффициентами в Я4, имеющей псевдосимметри-ческий тип. Последний тип имеют, например, системы (9), если числа Ь1 и Ь2 таковы, что Ь 2 + Ь 2 = 1 . Таким образом, теорема 3 обощает результат В.С. Виноградова.

З а м е ч а н и е 4. Можно показать, хотя мы и не будем здесь останавливаться на этом, что добавление по методу Вишика-Эскина-Диканского ( см., например, [19] ) в граничные условия как для ЧКР-системы (1), так и для системы (9) любого конечного числа потенциалов с неизвестными плотностями по-прежнему не дает регуляризуемую краевую задачу.

1. Саак Э.М. К теории многомерных эллиптических систем первого порядка // Доклады АН СССР, 1975. Т. 222, № 1. С. 43-46.

2. Шевченко В.И. О задаче Гильберта для голоморфного вектора в многомерном пространстве // Дифференциальные и интегральные уравнения. Краевые задачи. Тбилиси, 1979. С.279-291.

3. ЖаданМ.И., Усс А.Т., Ющенко Д.П. Регуляризуемость краевых задач для одного класса многомерных аналогов системы Коши-Римана / Гомельск. гос. ун-т. Гомель, 1987. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 01.04.87. № 2366-В87.

4. Балабаев В.Е. Нормальные эллиптические системы первого порядка // Дифференциальные уравнения, 1995. Т. 31, № 1. С. 48-51.

5. Виноградов В. С. Об аналоге интеграла типа Коши для аналитических функций многих комплексных переменных // Доклады АН СССР, 1968. Т. 178, № 2. С. 282-285.

6. Виноградов В.С. О задаче Дирихле для многомерных эллиптических систем второго порядка // Доклады АН СССР, 1968. Т. 179, № 4. С. 766-767.

7. Янушаускас А.И. О некоторых системах с частными производными, связанных с многомерными аналогами системы Коши-Римана // Дифференциальные уравнения и их применения. Вильнюс, 1980. Вып. 27. С. 115-139.

8. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 336 с.

9. Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 1. М.: ГИИТЛ, 1948. 316 с.

10. Александров П.С. Комбинаторная топология. М.-Л.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1947. 660 с.

11. Шевченко В.И. О гомотопической классификации многомерных эллиптических систем с комплексными коэффициентами // Доклады АН БССР, 1978. Т. 22, № 8. С. 681-683.

12. Самойленко И.С. Гомотопическая классификация систем двух псевдодифференциальных уравнений первого порядка и краевые задачи // Краевые задачи для уравнений в частных производных: Сборн. научн. трудов. Киев, 1978. С. 96-107.

13. Красносельский М. А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

14. Агранович М.С. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы // Успехи математических наук, 1965. Т. 20, вып. 5. С. 3-120.

15. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Украинский математический журнал, 1953. Т. 5, № 2. С. 123-151.

16. Волевич Л.Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Математический сборник, 1965. Т. 68, № 3. С. 373-416.

17. Соломяк М.З. О линейных эллиптических системах первого порядка // Доклады АН СССР, 1963. Т. 150, № 1. С. 48-51.

18. Виноградов В.С. Граничная задача для псевдосимметрических систем // Дифференциальные уравнения, 1985. Т. 21, № 1. С. 161-163.

19. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.