О корректности краевых задач для метааналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О КОРРЕКТНОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ*)

Б, Б, Ошоров

Рассмотрим уравнение

дп-хи дг"-1

Н-----Н ап-1(г)— + ап(г)и

дг

/(*), (1)

где ] = 1, гц /(г) — комплексные функции, заданные в некоторой

области Б на комплексной плоскости, а и(г) = щ(х,у) + Ш2(х, у) — искомая функция.

При п = 1 решения уравнения (1) называются обобщенными аналитическими функциям,и [1]. Поэтому в общем случае решения уравнения (1) можно называть обобщенными полианалитическими функциями. Кроме того, их называют метааналитическими функциям,и [2].

Исследованию свойств обобщенных полианалитических функций, которые во многом являются аналогами свойств обобщенных аналитических функций, посвящен целый ряд работ, например, [2-5]. Гораздо реже встречаются работы, где исследуются краевые задачи для мета-аналитических функций. Из последних работ можно отметить статью [6], в которой получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости краевой задачи для уравнения

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» Министерства образования и науки РФ и Федерального агентства по образованию (регистрационный номер 2.1.1/1533).

© 2010 Ошоров В. В.

Краевые условия в этой задаче являются комбинацией условий Шварца, Дирихле и Неймана.

В данной статье для некоторых значений порядка уравнения (1) рассматриваются корректные и некорректные краевые задачи.

Относительно действительных функций и±(х,у) и щ(х,у) уравнение (1) запишется как эллиптическая система уравнений п-го порядка с характеристическим детерминантом ^(А1,А2) = (А| + А|)Операторы

д _1/ д . д\ д _1 / д .д дг 2\дх ду у дг 2\дх ду обладают рядом свойств, многие из которых присущи обычным производным. Например, если и(г) — аналитическая функция переменной ,г,то|§=0,|^ = ^. Аналогично если — аналитическая функция переменной г, то ^ = 0, = Кроме того, имеют место обычные правила дифференцирования суммы, произведения и частного функций. Наконец, справедлива формула

дт„к(г)г

= то = 1,2,..., (2)

где к(г) — произвольная аналитическая функция.

Сначала рассмотрим однородное уравнение

дпи дп—и ди = о^ + Н-----Ь ап-1(г)+ а„(г)и = 0 (3)

при условии, что все коэффициенты этого уравнения являются аналитическими в области Б функциями. Решение этого уравнения ищем в виде и(х) = , где к(х) — неизвестная аналитическая функция.

Подставив эту функцию в уравнение, согласно формуле (2) для определения функции к(г) получаем алгебраическое уравнение

кп + а1(г)кп_1 +----Ь аг— {г)к + а^г) = 0, (4)

которое будем называть характеристическим уравнением для уравнения (3) с аналитическими коэффициентами.

п

корней, каждый из которых является аналитической функцией. Рассмотрим некоторые свойства решений уравнения (3).

Лемма 1. Если и(х) — решение однородного уравнения (3), то ^(х)и(х), где <р(г) — произвольная аналитическая функция, также решение этого уравнения.

Доказательство. Поскольку

&»Щи{г)] = ^^ ш = 1,2,...,

дхт У ' дхт

то после подстановки в уравнение (3) получаем

дпи дп-1и ди

Ь(^) = ¿^Г + ^(^арГТ + ' ' ' + Оп-1

+ ап( х)<^(х)и = р(г)Ьи = 0.

Лемма 2. Если и3(г), в = 1,то, — решения однородного уравне-

ния (3), то м(х) = ^ (р8(г)и8(г), где в = 1, то, — произвольные

8 = 1

аналитические функции, также решение этого уравнения.

Справедливость этого утверждения следует из леммы 1 и линейности уравнения (3).

Лемма 3. Если &о(х) — корень кратности т характеристического уравнения (4), то решениями однородного уравнения (3) будут функции и8(г) = в = 0, т — 1.

Доказательство. Справедливость этой леммы доказывается непосредственной подстановкой в уравнение. Чтобы не загромождать текст техническими выкладками, ограничимся случаем двукратного корня характеристического уравнения для уравнения второго порядка

д и ди

Ьи = —— + сых) — + а2(х)г( = и, дгг дх

к2 + а\{г)к + 02(2) = 0, ко = —то = 2, щ(г) = е^Ю*, и1(г) = ге*°(г)2,

= еко(*)-г + гкоМе^М*, ^ = 2ко(г)ек°М* + дх дх1

Ьи = 2к0(г)ек°(г)2 + +

+ гка{г)еМ^) + а2{г)геМ^ = геМг)2{ к2 + ^(^к

+ а2(г)) + (2к0(г) + а^еМ^ = 0. п

мых решений и8(г), в = 1,п, вида и8(г) = где к(,г) — со-

ответствующий корень характеристического уравнения, а показатель степени т = 0,1,2 ... зависит от кратности этого корня.

Из доказанных лемм 1-3 следует справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Любое решение уравнения (3) имеет вид

п

и(г) = г)иа{ г),

8 = 1

где в = 1,п, — произвольные аналитические функции.

Подобное представление имеется в работе [2], но в отличие от нее в нашем случае рассматривается уравнение с переменными коэффициентами.

я2

Пусть теперь п = 2. Уравнение = 0, которое эквивалентно системе уравнений второго порядка

и1 хх 2и2 ху и1 уу — 0, и2 хх — 2и1 ху — и2 уу = 0

приведено в работе [7] в качестве примера эллиптической системы уравнений, для которой задача Дирихле некорректна.

Исследования ряда авторов, например [8], показали, что на корректность задачи Дирихле для этой системы уравнений влияют добавленные младшие члены. Используя полученные выше результаты, мы можем указать некоторые достаточные условия на младшие члены, при которых задача Дирихле по-прежнему остается некорректной. В круге Б = {г : |г| < е} Уе > 0 рассмотрим уравнение д и ди

т-^- + а-1(г)— + а2(г)и = 0, (5)

дг дг

а г а г

Задача Дирихле. В круге Б найти решение уравнения (5), для которого выполнено условие и||2|= е = Н(г).

Теорема 2. Если коэффициенты уравнения (5) удовлетворяют условию

аЦг) — 4 а2(г) = 0 У г € Б,

то однородная задача Дирихле {Н(г) = 0) для этого уравнения имеет несчетное множество решений.

Доказательство. По условию теоремы характеристическое уравнение к2 + ах (г)к + 02(2) = 0 имеет двукратный корень к = — , Из теоремы 1 следует, что любая функция

и(г) = (р(г)е ^г + 'ф(г)ге

где ф{г) — произвольные аналитические функции, является ре-

шением уравнения (5). Если положим ф(г) = —е-г<р(г), то функции

и(г) = ф)е-^*£-2(е2 - \г\2)

будут нетривиальными решениями однородной задачи Дирихле. Следовательно, задача Дирихле не будет ни фредгольмовой, ни нётеровой. Вернемся к неоднородному уравнению (1).

Теорема 3. Если коэффициенты уравнения (1) являются аналитическими функциями, то его решение сводится к решению п неоднородных уравнений Коши — Римана. Если же дополнительно является аналитической функцией правая часть уравнения и ап( г) ф 0, то решение имеет вид

и(г) = и(г) + Щ ап г

где и (г) есть решение однородного уравнения.

иг

и г и г и г и г

однородного уравнения, также является решением неоднородного уравнения.

иг

и{х) = х)ие( г)

8 = 1

где ие(г), в = 1, п, — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Для определения неизвестных функций в = 1,п, получили

п — 1 степеней свободы. Первым шагом требуем выполнения условия

у^ д<Рз(г) ,

8=1

дг

Тогда получаем

ди г п ди8 г

=

дг 8 дг 8

Затем при выполнении равенства

д(р8( г) дщ( г

имеем

Е-

ди г

дг дг

= о

= Е^ х

ди8 г

и т. д. Если

Е

дг 8 дг 8

г) диП-(г)

дг

дг

= 0,

то

дйп~1(г

дг"-1

= Е^ х

8

Наконец,

дгг'

= Е

дг дгп— 88

дип-Чг)

дг"-1 '

Е^ х

ди^(г) дгп

После подстановки производных в уравнение (1) относительно пеиз-

дг '

вестных в = 1,п, получаем алгебраическую систему линейных

уравнении

= о, 2 =

, (6)

^ д<р„(х) ди™ (г) _ ч

дг ' Э2"-1 —¿К^)'

8=1

определитель которой в силу линейной независимости решений и8(г), в = 1 ,п, отличен от нуля. Таким образом, решение неоднородного

п

Римана

дЕ = 98(2), в = 1,п,

где в = 1,п, — решения системы уравнений (6).

Если в этом уравнении кроме коэффициентов является аналитической и функция /(г), то его решением будет функция и(г) = и [г) + -^щ, в чем легко можно убедиться непосредственной подстановкой. Теорема доказана.

По поводу краевых задач для уравнения (1) можно сказать следующее. Если решается задача

^и = /(г), г € Б, и(г) € Сг(и),

где Ст{и) — класс функций, удовлетворяющих определенным условиям на границе Г, то она может быть сведена к краевой задаче

Ц = ОД, г е д Ф(г) е Сг(Ф), (7)

где Ф(г) = (<рг,... ,фп), <3{г) = (дг,...,дп), а СГ(Ф) — класс вектор-функций, удовлетворяющих на Г условиям, порожденным условиями

Сг(и).

Например, в полосе Б = {(х,у) € Я | —те < х < + <х>, 0 < у < Н} рассмотрим задачу д2и

■тр^- = 0, щ(х, 0) = и\у(х, 0) = «2(ж, К) = П2У(х, К) = 0. (8)

Полагаем Ф(г) = | | = ( ^ ^12 |, Тогда задача (8) сводится

\ <р21 + 1<Р22 )

к задаче

д

3? = °' <*>

(92

(<т + )|у=0 = (<^11 у + 1у + У22)|у=0 = 0,

(^12 + Х<^22 — )|у=0 = (<^1 2у + Хф22у — <^21 — <^21 у) |у=Л. = 0.

Теорема 4. Задача (8) имеет единственное тривиальное решение.

Доказательство. Пусть и(г) е — любое классическое

решение задачи (8). Методом интегрирования по частям нетрудно показать, что для любой функции, удовлетворяющей краевым условиям (8), имеет место тождество

+то

и

Т1е8 J -^^UydD = — J [и1х(х, К) + и\у(х, К) + и\у(х, 0) + и\у(х, 0)] ¿х.

Б -то

Отсюда следует, что для решения задачи выполнены условия

и|у=о = иу |у=0 = и|у=ь = иу 1у=ь = 0,

т. е. па верхнем и нижнем основаниях полосы Б имеют место однородные условия задачи Коши. Поэтому существует полоса Б С Б достаточно малой ширины, прилегающая к верхнему или нижнему основанию полосы Б, где и(г) = 0.

иг

ственного нуля в полосе Б, но и(г) = 0, г е Б\.

С другой стороны, любое классическое решение системы уравнений Бицадзе, в том числе и данное решение, имеет вид

и(г) = ¥(г) + ХФ(х),

где <р(г), ф{г) — аналитические в области Б функции. Поскольку и(г) — не тождественный нуль, то и ф{г) не будет тождественным нулем, так как в противном случае и(г) = ^{х) — аналитическая функция и условия (8) выполняются только для = 0. Следовательно,

найдется область Б С Б1, где ф(г) ф 0, а и(г) = 0. Тогда в этой области £>2 функция г = — аналитическая, что невозможно. Значит, задача (8) имеет только тривиальное решение.

Из доказанной теоремы 4 следует, что задача (9) также имеет только тривиальное решение. Поэтому приведенный пример указывает на то, что в принципе задачи типа (7), где система распадается на неоднородные системы уравнений Коши — Римана, а функции связаны друг с другом в краевых условиях, разрешимы.

Для неоднородного уравнения (5)

-2 аЛг)— +а^)и = ¡{г)

ди

дг2 дг

и некоторых его обобщений корректные постановки краевых задач для прямоугольника и произвольной ограниченной области рассмотрены в работах автора [9,10].

Теперь обратимся к обобщенным полианалитическим функциям

Б

уравнение

д и

Ьи= — +Ти = /(г), (10)

где Т — дифференциальный оператор не более чем второго порядка. Пусть

Ти = + а2(г)— + а3(г)и.

"и ди

В круге Б = {г : |г| < е} Уе > 0 для уравнения (10) с заданным Т

Задача 1. Найти решение уравнения (10), если выполнены краевые условия

ди

= ^(г

Т

Б

к3 + а\(г)к2 + а2(г)к + аз (г) = 0

2

имеет трехкратный корень к(х), то однородная задача 1 имеет несчетное множество решений.

Доказательство. Согласно теореме 1 однородное уравнение (10) имеет решение

и{х) = щ{х)ек^ + <р2{х)Еек&* + ^{х)х2ек^7-,

где ср^(х), ] = 1,3, — произвольные аналитические функции.

Пусть ^(х) также произвольная аналитическая функция. Полагаем

<^1(х) = е4^(х), = -2е2х<^{х), <р3(х) = х2<р(х).

Тогда функция

и(х) = ф)ек{х)*{е4 - 2е2хх + х2х2) = ф)ек{х)*{е2 - |х|2)2

является решением уравнения (10), для которого выполнено первое из однородных краевых условий задачи 1 и||2|= £ = 0. Далее,

= Ф) {к(х)ек^(е2 - |х|2)2 + 2ек^(е2 - \х\2)^-_(е2 - |х|2)) = ф)(е2 - |хИк(х)(е2 - |х|2) - 2х). их

из однородных условий задачи 1

ди дх

.

Теорема доказана.

Теорема 5 позволяет утверждать, что задача 1 некорректна. Рассмотрим другие краевые задачи для уравнения (10) с произвольным оператором Т. Поскольку

93и 1

^ — д 3^2жж у ОИ\Хуу + 112 ууу)

^[(и2ххх хху 3^2хуу ""Ь и1 уу^)]?

уравнение (10) в матричной форме имеет вид

LU = EUXXX + 3IUXXy - 3EUXyy - IUyyy+ TU = F(x, y), (11)

где E = f^j, I = (J — UT = (ubu2), FT = ff). В дальнейшем при изучении системы уравнений (11) будем полагать

F T= (/if.

Характеристическим детерминантом этой системы уравнений является форма

Q(X) = det(EA3 + 3IA2A2 - 3EA^j - IA\) = (A2 + A2 f > 0,

а = (аьа2) g R,

поэтому мы имеем дело с эллиптической системой уравнений третьего порядка.

Сначала данную систему уравнений будем рассматривать в канонической области, в качестве которой возьмем полосу D = {(x,y) G R | —те < x < + те, 0 < y < h}, границей которой служат прямые y = Q,y=h.

D

удовлетворяющее условиям

U |г = 0, u y |y=o = u2 y ly=h = 0. (12)

Класс вектор-функций U(x, y) G C(D) n W2(D), для которых выполнены условия (12), обозначаем через C£, а его замыкание в норме пространства W2(D) — через S^• Главную часть оператора L обозначаем через K3, т. е.

-'з тт —

3IUXXy 3EUXyy IUyyy :

где является третьей степенью оператора Коши — Римана

дх ду

Лемма 4. Для произвольной вектор-функции U(x, y) G С^ имеет место тождество

(k3u,u) о = о,

_т

где U = (u, — M2)-

Доказательство. Для вектор-функции U(x, y) G С^ рассмотрим выражение

(K3U,U)o = (EUxxx,U)0 + 3(IUxxy,U)0-3(EUxyy,U)0 - (IUyyy,U)0. Интегрируя по частям, получаем (K3U, £/)0 = 0.

Лемма 5. Если для оператора T, входящего в систему уравнений (11), выполнено неравенство

\(TU,U)o\ >S\\U\\l S = const > 0 \/U(x,y)eCt,

то имеют место оценки

\(LU,U)o\ >S\\U\\l \\LU\\0 >S\\U\\0. (13)

Доказательство. Справедливость первого из неравенств (13) сразу следует из леммы 4, а второе получается из первого при помощи неравенства Гёльдера, так как ||[/0|| =

Условия леммы 5 выполнены, если положить TU = a{x,y)U, где a(x, y) — зпакоопределенная в области D матрица второго порядка.

Если TU = ±Д£/, то кроме неравенств (13) выполняются неравенства

\(LU,U)0\>S\\U\\l \\LU\\0 ZSWUWl (14)

Замыканием по норме доказывается справедливость полученных оценок в классе

Нетрудно показать, что оценки (13) останутся справедливыми, если в операторе L вместо К3 взять оператор заданный выражением

Kfg U = EUXXX + [hlUxxy + faEUXyy + frlUyyy,

где Д, Д, вз — некоторые константы.

Отметим, что в этом случае Кр является только обозначением оператора, а не третьей степенью некоторого оператора Кр.

Очевидно, что при различных значениях констант в, в, вз системы уравнений (10) будут как эллиптическими, так и неэллиптическими.

Наряду с оператором рассматриваем оператор который задается формулой Э3У 1

д — ^ [(^1жжж 2хху 3^1 Хуу ^2ууу ) ""Ь^ {^2ххх 3^1 Хху ^^2хуу~^~^1ууу )] •

Этому оператору соответствует матричный дифференциальный оператор

К'3V = ЕУХХХ — МУХХу — ЗЕУХуу+ 1Уууу, Vт =

с тем же характеристическим детерминантом, что и у оператора К3, а сам оператор К'3 есть третья степень оператора К' = Е— 1-щ-Для системы уравнений

ЕУ = —К * У + Т •У = 0{х,у) (11*)

предлагается следующая

Задача 2*. В поло се В найти решение системы уравнений (11*) при условиях

у |г = 0, щ у |у=о = щ у |у=ь = о. (12*)

*

тор К'3 есть оператор К| при в = —3, Д = —3, вз = 1- Поэтому для УУ(х, у) £ С^Б^) имеет место тождество (К'3У, V)о = 0. Следовательно, если оператор Твходящий в систему уравпений (11*), обладает

Т

совпадает с ним, то имеют место оценки

\(ЕУ,У)о\ >6\\У\\%, 0У\\о>д\\У\\о УУеСг (13*)

или

\(Ш,и)0\^5\\и\\1 \\LU\lo > 5\\и\\!.

*

Далее, для произвольных и(х, у), У(х, у) € С£ рассмотрим выражение

(Ки, У)„ = (Еиххх, У)0 + 3(/ижЖу, У)0 - 3(Еихуу, У)„ - (Шууу, У)„.

Интегрируя по частям, получаем

(К3 и, У)о = - (и, ЕУххх - 3/Ухху - 3 ЕУхуу+ /Уууу)0 = (и, -К * У) 0.

Таким образом, оператор {-К'3) является сопряженным для оператора КС3, т. е. (КС3)* = -КСПоэтому если Т' есть оператор, сопряженный оператору Т, то для произвольных вектор-функций и(х, у), У(х, у) € С £ (Я^) имеет место тождество

(Ьи,^0 = (и,иГ)0. (15)

Оценки (13) и (13*) обеспечивают единственность классических решений поставленных задач, а также единственность решений в классе Я ¿,.

Тождество (15) дает возможность определить слабое решение задачи 2 (2*) как вектор-функцию и(х, у) € Ъ2(В) (У(х, у) € Ъ2(В)), для которой выполнено равенство

(и, £-У)о = (Б, У)0 ((£и, у)0 = (и, С)0)

при любой вектор-функции У(х,у) € Я£ (и(х, у) € Я£).

*

для любой вектор-функции Б(х, у) € Ъ2(В) (С(х,у) € Ъ2(В)).

Затем, как это сделано в работе [9], доказывается существование

сильных решений данных задач и их совпадение со слабыми решения*

Далее рассмотрим следующую задачу.

В

удовлетворяющее условиям

|у=0 = у ]у=Н = уу]у=0 = 0, Щ ]у=Н = Щу |у=о = Щ2уу ]у=н = 0.

(16)

Класс вектор-функций и(х,у) € СБ) П для которых

выполнены условия (16), обозначаем через а его замыкание в норме пространства Ш^Б) — через Для удобства полагаем

- ( КтП\ - (К*тТТ

кти = | К и ) к*ти = ' К-

. кти г \ к*ти

т. е., например,

к и \ _ / и х — и

К и= . к гг ,- У

\к2 и ) у + Щ х

К"2 и — ( и ] _ [ и хх — 2иху — иуу А и/ \и2хх — 2щху — и2уу )

К*и = I - (иг х + и у

Щи ) \и\у — их

2гг _ А К12 и\ _ ( и хх + 2и2 ху — и уу

ки

и хх — и ху — и уу

Лемма 6. Для любой вектор-функции и € С<к имеет место тождество

(К3и,й) 0 = 0. Доказательство. Пусть и € Ск, тогда

(Ки,й)0 = ~(й, Ки)0- J(и,1й)п2(1Г= - !и1и2п2 Л1 = 0.

г г

Для вектора и € Сь выполнены условия

ки|у=0 = ки|у=л = о, к2и|у=0 = к2и|у=л = о,

к*и|у=о = К*и 1у=к = О, К*и|у=о = К*2и 1у=к = 0. Поэтому (К3и,й)0 = 0.

(17)

Лемма 7. Если Т11 = Ь(х, у)11, где Ъ(х, у) € С (В) — зиакоопреде-В

\фи,й)0\ > з\\и\\1 \\ьи\\0 >з\\и\\0 Ш(х,у)еСг.

Лемма 8. Если Т11 = а(х,у)К2и, где а(х,у) € С(В) — знакоВ

|(LU,KU)01 > 5\\K2U\\2, \\LU\\0 > S\\K2U\\0 4U(x,y) G Ct.

Доказательство. Из условий (17) следует, что (KU, K2U)0 = О, поэтому справедливость леммы 8 становится очевидной.

Введем новые функциональные пространства. Вычисляя непосредственно, получаем

\\K U\\l = \\Ux\\l + \\Uy\\l.

В силу простейшей теоремы вложения выполнено неравенство \\U\\о ^ c\\Uy\\о, где c = const > 0 зависит от ширины полосы h. Поэтому в классе Ск норм a \\K U \\о эквивалентна норме \\U \\i, т. е. существуют константы c\,c2 >0 такие, что имеет место неравенство

d\\u< \\KU\\0 < с\\U\u.

Аналогично

\\K и \\2 = \\ (K U) x\\2 + \\ (K U) y \\2.

Кроме того, выполнено неравенство \\KU\\о ^ c\\(KU)y\\о, поэтому-справедлива оценка

d\\KU^ < \\Kи\\0 < c2\\KU.

Из последних неравенств следует, что если введем пространство Wf (B) с нормой

\\u\\2 = \\ (K и) x\\0 + \\ (K и) y \\0 + \\u\u,

\ KK U \ неравенство

d\\U\\2- < \\K2U\\0 < c2\\U\2. (18)

Наконец,

IIК и ||2 = ||(К и) х||2 + ||(к и) у ||2.

Поэтому норма ||Кги||о эквивалентна норме

||и||з = ||(ки)х||0+||(ки)у||0+||и||2-, (19)

т. е. справедливо неравенство

С1 ||и|з < ||ки||0 < с2||и|з. (20)

Если замыкание гладких вектор-функций по норме (19) обозначить через Ш^Б), то замыканием множества С— будет множество Б— С Ш^Б). Теперь рассмотрим систему уравнений (11) в виде

LU = K?'U + aK2U+ bU = F(x,y), (21)

где для простоты полагаем a, b = топst G R.

Теорема 6. Для любой вектор-функции F(x,y) G L2(D) существует единственное решение задачи (21), (16) из пространства Sj.

Доказательство. Для любой вектор-функции U(x,y) G Cj справедливы оценки

(LU, к3 U)0 = у К3 U ||2, Cl ||U Уз < II LU ||0 < с2 ||U Уз. (22)

Теперь рассмотрим вспомогательную задачу

К3U = К[К(КU)] = V, U G Сг VV G Сг.

Так как для вектор-функций КU, К2 U выполнены условия (17), эта задача разрешима [9].

Введем негативное пространство [11] S— (D) с нормой

Тогда, очевидно, имеет место аналог неравенства Гёльдера

К G, U)o | < усу, уи Уз.

Далее, для и, У € учитывая неравенства (13), получаем

(Ь*У, и)0 = фи, У)0 = (Ъи,К3и)0 = \\Ки\\2 > с(\\и\\3)2,

\\Ъ*У> с\\и\\д > е'\\У\\0.

Поэтому

кЕУ)01 < \\Я\\о\\У\\о < с"\\Г\\0\\Ь*У\\^8, т. е. (Я, У)о является ограниченньш функционалом от Ь*У. Тогда на

и€

для которой имеет место тождество

(и,Ь*У)0 = (Г,У)0.

Таким образом, доказано существование обобщенного решения задачи (21), (16) из пространства Я-£.

Если в качестве области, где рассматривается система уравнений (11), взять прямоугольник

В = {(х, у) € М2 | 0 <х <к, 0 <у <1},

то по предложенной выше схеме можно исследовать разрешимость следующей задачи.

В

ний (11), удовлетворяющее условиям

и1 !у=0 = и1у = и1уу!у=0 = 0, Щ = и2у ^=0 = и2уу = 0,

и1 ^х^ = и1 х^О = и1 0, ич ^=0 = ичх^Ы = и2 хх^О = 0.

Основные априорные оценки и выводы, касающиеся разрешимости задачи, остаются прежними.

В случае произвольной области постановку задачи для системы (11) можно осуществить продолжением задач, предложенных автором в работах [9,10].

Замечание. Можно не ограничиваться модельными системами уравнений третьего порядка и по такой же схеме исследовать системы уравнений более высоких порядков, в частности, системы, где главной частью служит четвертая степень оператора Коши — Римана

+41^-6-^-41™-+™.

dx4 dXdy dx2dy2 dxdyz dyA

Можно исследовать краевые задачи, дополняя краевые условия (12) или (16). Например, для полосы B = {{x,y) G R | —те < x < + го, 0 < y < h} можно искать решения системы уравнений

LU = K4 U + TU = F(x,y),

для которых выполнены условия

ul !y=0 = uly\y=h = ulyy \y=0 = ulyyyly=h = О, u2\y=h = u2y !y=0 = u1 yy\y=h = u2yyy\y=0 = 0.

Аналогичную постановку краевой задачи можно дать в случае прямоугольника и произвольной области.

ЛИТЕРАТУРА

1. Веку а И. Н. Обобщенные аналитические функции / под ред. О. А. Олейник, Б. В. Шабата. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1988.

2. Вадк М. В., Зуев М. Ф. О полианалитических функциях // Успехи мат. наук. 1970. Т. 25, вып. 5. С. 203-226.

3. Вадк М. В., Зуев М. Ф. О метааналитических функциях // Уч. зап. ^ГПИ. 1970. Вып. 25.

4. Вадк М. В., Годьдберг А. А. О функциях, полианалитических в круге // Изв. вузов. Математика. 1977. № 5. С. 3-14.

5. Вадк М. В., Васиденков В. П. О граничных свойствах полианалитических функций в жордановых областях // Изв. вузов. Математика. 1992. № 8. С. 3-12.

6. Begehr Н., Kumar A. Boundary value problems for the inhomogeneons polyanalytic equation // Analysis. 2007. V. 27, N 4. P. 353-373.

7. Вицадзе А. В. Об единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. 1948. Т. 2, вып. 6. С. 211-212.

8. Товмасян Н. Е. Задача Дирихле для эллиптической системы двух дифференциальных уравнений второго порядка // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 53-56.

9. Ошоров В. В. Краевые задачи для некоторых модельных систем уравнений в частных производных. Новосибирск, 2002. 17 с. (Препринт / Новосибирск, гос. ун-т).

10. Ошоров В. В. О некоторых краевых задачах для систем уравнений Коши — Римана и Бицадзе // Докл. РАН. 2006. Т. 407, № 4. С. 446-449.

11. Березанский Ю. В. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

г. Улан-Удэ

1 апреля 2010 г.