Распределение нулей обобщенных полиномов Эрмита Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 57-69.

УДК 517.587, 517.923

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИНОМОВ ЭРМИТА

ПОСВЯЩАЕТСЯ 80-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ И. Ф. К РА СИ ЯКОВА - ТЕРНОВ СКОТ О

В.Ю. НОВОКШЕНОВ, А.А. ЩЕЛКОНОГОВ

Аннотация. Вычисление асимптотики ортогональных полиномов является классической задачей анализа. В статье найдено асимптотическое распределение нулей обобщенных полиномов Эрмита Hm>n(z) при т = п, п —> оо, z = 0(л/п). Эти полиномы, представляющие собой вронскианы от классических полиномов Эрмита, возникают во многих задачах математической физики и теории случайных матриц. Вычисление асимптотики основано на применении задачи Римана к уравнению Пенлеве IV, решениями которого являются функции u{z) = —2z + dz \п Hmtn+i(z)/Hm+itn(z). В указанном скейлинговом пределе эта задача Римана имеет асимптотическое решение в элементарных функциях. В результате получаются формулы типа Планшереля-Ротаха для асимптотики классических полиномов Эрмита.

Ключевые слова: Обобщенные полиномы Эрмита, распределение нулей, уравнение Пенлеве IV, мероморфные решения, задача Римана, метод Дейфта-Жу, формулы Планшереля-Ротаха.

Mathematics Subject Classification: 30D35, 30Е10, ЗЗС75, 34М35, 34М55, 34М60

0. Введение

Обобщенные полиномы Эрмита определяются соотношениями [17], [4]

Нт,п(г) = ск* (Рга_^-(»)™=1, (1)

где

Ра(г)= V 1 ; ^ 6Н\]\

или, в эквивалентной форме, как вронскианы классических полиномов Эрмита

(-^т(^)) ■ ■ ■ ? >

где Нп{г') = (—1)пег2, ст>п — нормировочные постоянные.

Подобно классическим ортогональным полиномам, они обладают многими замечательными свойствами. Например, ортогональные на вещественной оси с весом ии(х,г,т) = (х — г)техр(—х2) полиномы рп(х) удовлетворяют рекуррентному соотношению [3]

хрп(х) = Рп+\{х) + ап(г,т)рп(х) + Ьп(г,т)рп-1<»,

V.Yu. Novokshenov, A.A. Schelkonogov, Distribution of zeroes to generalized Hermite

polynomials.

© Новокшенов В.Ю., Щелконогов A.A. 2015. Работа поддержана РНФ (грант 14-11-00078). Поступила 24 августа 2015 г.

где

/ Ч 1с1 Нп-\-1т , , , ап(г,т) =--—№—-, Ьп(г,т)

пН,

п-\-1,тНп— 1)?7г

2 Я2

Другое свойство, которое будет использовано ниже, состоит в том, что логарифмические производные

_ + ^ 1п ^т'п^^^ (2)

(¿г Ят+1;Т1(г)

доставляют рациональные решения четвертого уравнения Пенлеве (Р1У)

и" = + ^и3 + Ахи2 + 2(г2 - а)и +

2и 2 ¿и

Гз)

с коэффициентами

а = п — т, ¡3 = —2 (га + п + I)2.

Отметим также найденное недавно приложение, связанное с матричными моделями в статистической физике. Функция распределения собственных значений в гауссовском унитарном ансамбле [10] при условии фиксации п собственных значений А& и га-кратного вырождения п + 1-го собственного значения Хп+\ = г имеет вид

1 РОС РОС __________п

... П Л-У'ПР.

1<г<7<га

А^) = — / ■■■ I П - ^У II - (А)

l<í<j<n

С другой стороны, статистическая сумма (4) может рассматриваться как энергия основного состояния волновой функции п + 1 кулоновской частицы с 1/г2 отталкиванием во внешнем квадратичном поле [10]. При этом оказывается [3], что

-^га(^) , С Ъ\1 СОПв!.

Таким образом, нули обобщенных полиномов Эрмита отвечают координатам кулоновских частиц в равновесном состоянии, удерживаемых внешним квадратичным полем.

Вычисление асимптотического распределения нулей ортогональных полиномов восходит к работам классиков анализа конца XIX в., таких как Дарбу, Чебышев, Стеклов и Стилтьес. В частности, для полиномов Эрмита это распределение вытекает из формул Планшереля-Ротаха [14], [16], гл. 8

2/2Яга(г)

22+4 у/п\

БШ

(7хп)1/Ау/$тлр где г = у/2 п + 1 сое (/?, £ < <~р < тг — е, п —> оо и

П 1\ . 37Г

- + -) (вт 2(р — 2</?) + —

2/2Яга(г)

2 2 4 у/п\

ехр

п

1 А , , N 37Г

- + -) (эЬ 2(р — 2</?) + —

0{п~

0(п~ )

где г = у/2 п+ 1 сЬ 1р,£<(р<ш,п—> ос, и — произвольная постоянная.

Отсюда следует, что нули Нп(г) вещественны и расположены в области с характерным масштабом 0(у/2п).

Ниже мы будем вычислять распределения нулей полиномов Нт>п(г) при

га = п, п —> оо, г = 0(у/п). (5)

Для этого, по примеру недавних работ [1], [2] и [13], мы используем рациональные решения (2) уравнения Р1У (3). Нетрудно показать, что полюсы этого решения с вычетами + 1 отвечают нулям полинома Нтп+1, а полюсы с вычетами —1 совпадают с нулями полинома Нт-ы,п- Далее, используя свойство полной интегрируемости уравнения Р1У, можно сформулировать задачу Римана, отвечающую заданным рациональным решениям.

- 3 -2 - 1

1 2 3

Рис. 1. Нули обобщенных полиномов Эрмита Hm;n(z) при m = п = 10 (слева) и при m = 15 и п = 10 (справа)

Для этого в §1 мы вычислим данные монодромии и цепочку преобразований Беклунда, приводящих к решениям (2). Оказывается, что эта матричная задача очень похожа на соответствующую задачу Римана, применяемую для семейства ортогональных полиномов с экспоненциальным весом (§2). Метод асимптотического решения подобных задач состоит в предъявлении специального параметрикса, регуляризующего степенной рост на бесконечности с заменой его на стандартную нормировку на единичную матрицу. Этот метод, восходящий к работам П. Дейфта и других [5], в данном случае похож на процедуру, обслуживающую классические полиномы Эрмита. В §3 показано, что параметрике строится в элементарных функциях, в отличие от случая полиномов Воробьева-Яблонского в уравнении PII, приводящих к параметриксу в терминах тэта функций [1], [2]. В результате в §4 мы восстанавливаем решетку нулей обобщенных полиномов Эрмита в пределе (5), разрешая систему тригонометрических уравнений.

1. Преобразования Беклунда и вычисление данных монодромии

Первыми интегралами уравнения Р1У служат данные монодромии, определяемые следующим образом [8], глава 5. Рассмотрим линейное матричное уравнение по дополнительному параметру А

Фл = А(Л,с)Ф, (6)

где Ф = Ф(А, с) является 2x2 — матричной функцией, а А (А, л) рациональна по А

1 0 \ / с у

0 -1J ^ \2{uw + во - вооУу-1 -z

1 / —uw + öo — yw/2\ + X - 2в0)у~1 uw - в0) '

Здесь u, w и у являются функциями от л, удовлетворяющими нелинейным уравнениям

±logy=-u-2z,

- = -Auw + и2 + 2 zu + 400,

Z (Т>

— = 2W2 - 2UW - 2zw + во + воо. dz

Уравнения (7) эквивалентны уравнению PIV (3) на функцию и = u(z) с коэффициентами

а = 20^-1, ß = -8e2.

Данные монодромнн определяются матрицами Стокса для решений Ф уравнения (6)

4>3+l(\,z) = 4>3(\,z)S3, J = 1,2,3,4. (8)

Здесь четыре фундаментальных решения Ф.,- уравнения (6) выбираются из условий аналитичности по Л в секторе fl,-,

= {А I - тг/4 + ttj/2 < arg Л < тг/4 + ttj/2, j = 1,2,3,4},

и нормировки на бесконечности

Ф,(Л, z)=(l + 0(Л-1)) ехр { (у + ^ ^| Л"

Л —> оо, А Е Qj, es =

1 0 0 -1

Основным свойством матриц Стокса Sj (8) выступает их независимость от z тогда и только тогда, когда u,w и у удовлетворяют системе (7) или, что эквивалентно, и = u(z) является решением уравнения PIV (3) ([8], [11])- Таким образом, скалярные элементы этих матриц Si, s2, S3 and S4

S2k = (J , S2fc_! = ^ , k = 1,2,

становятся интегралами движения (первыми интегралами) уравнения PIV (3). Очевидно, что они не независимы, поскольку уравнение второго порядка имеет только два независимых первых интеграла. В самом деле, для данных монодромии справедливо соотношение [8], глава 5

(1 + s2s3)e2me~ + (sis4 + (1 + s3s4)(l + sis2)) e27rie°° = 2cos(2tt0o), (Ю)

которое вытекает из условия цикличности при итерации уравнений монодромии (8)

S^SsSi е2твсоаз = Te2me°a3T~\ det Т = 1.

Обратная задача теории монодромии для уравнения PIV состоит в нахождении Ф.,-, удовлетворяющих условиям (8) и (9) с заданными данными монодромии si, S2, s3, S4 при условии (10). Если такие функции существуют, то решение уравнения PIV (3) вычисляется по формуле ([8], глава 5)

u{z) = -2z- Ит ^A№(A,z)exp (у + J А"6^ , (11)

где нижний индекс 12 обозначает элемент (1,2) матрицы Ф1.

Приступая к решению этой задачи при z —00, сначала вычислим величины Sj для рациональных решений (2). Для этого воспользуемся рекуррентными соотношениями для обобщенных полиномов Эрмита. Все Нтп связаны равенствами [4]

2тЯт+1)ПЯт_1>п — Нт>пН^п — + 2тН1

2nHmn+iHmn_i = —Нт>пН'^п + (Н'т>п) + 2пН1

с "начальными условиями"

Но,о — Hqi — Н10 — 1, Я1;1 — 2z. (13)

Соответствующие рациональные решения PIV (2)

um,n(z) = -2z + j-ln^1^ (14)

dz Hm+i}n{z)

также удовлетворяют рекурренциям, называемым преобразованиями Беклунда. Это нелинейные преобразования й(г) = 71 (и'(г),и(г), г), переводящие решение и(г) в решение й(г) уравнения Р1У, возможно, с другими коэффициентами а, [3. Рассмотрим пару преобразований Беклунда [4]

('и' - v/3W + (4а - 4 - 2^Щи2 - и2(и + 2г)2

К

2 •

к*

и

и

2и(и2 + 2ги + и' - v/r2/3) ('и' - v/3W - (4а + 4 + 2^Щ)и2 - и2(и + 2г)2

:15)

2и(и2 + 2ги - и' + v/32/3)

Оказывается, что композиция преобразований 71е = переводит коэффициенты

(а, /3) в (а, — \(<А + у/—2/3)2), а параметры (во, в ж) -в (00 + 2, в ж) соответственно. Нетрудно проверить, что для рациональных решений (14) с коэффициентами а = п — т, /3 = —2(те + п + I)2 в результате получаются решения

й(г) = П6 (и'т>п(г),ит>п(г),г) = ит+1,п+1(г).

В терминах Ф-функций и "уравнения по Л" (6) преобразования Беклунда отвечают левому умножению на матрицы, рациональные по л/А ("одевание"лаксовой пары [8], гл. 6)

Ф = Кб(А)Ф.

Для преобразований (15) эти матрицы имеют вид

К2(А)

Кз(А)

1 О О О

О о О 1

Д1/2

Д1/2

I

ут-Ур-Уоо

У

А"1/2,

:1б)

Кв(А) = К2(А)Кз(А)

где постоянные по А величины у, и ж и) удовлетворяют системе (7). Прямая проверка с помощью "уравнения по А"(6) показывает эквивалентность (16) и (15).

Достаточно вычислить для случая (13). Выберем га = п = 0, тогда из уравнений (14) и (13) находим иор(г) = и(г) = — 2г. Разрешая остальные уравнения (7), имеем

у (г) = т(г) = 1, и(г) = -2г. (17)

Подставляя величины (17) вместе с г = 0 в "уравнение по А" (6), получим треугольную матрицу

' +2Х 1 О

Тем самым, уравнение (6) решается в явном виде

А

"А " & ■

Ф,(А,0)

2 -Г

л

V

о

Л-1/2

е 2

А е П

/

а интегрирование производится по лучам а^ А

I + Ъз, 3

3 >

1, 2, 3, 4.

:18)

Теорема 1. Данные монодромии для "уравнения по X" (6) с коэффициентами (17), отвечающими решению и(г) = щ,о = ~2г, имеют, вид

«1

вз = 0, 52 = 2т,

в 4

-2тгг.

:19)

Доказательство. В силу верхней треугольности матриц Ф.,- (18) уравнения скачка (8) также имеют верхнетреугольные решения. Отсюда = 5з = /, так что для нечетных ,7 = 1,3 данные монодромии равны нулю. Для вычисления ¿2 и ¿4 заметим, что

Ф3 = ф2^2 = Ф15*15*2 =

Тогда

тг/а

S 2

(ФзФГ1

е 2

12

ооебтг/4г

где контур интегрирования обходит начало координат сверху. Тем самым контур для интегральной показательной функции в этой формуле деформируется в обход начала координат в отрицательном направлении, что дает s2 = —2жг. Аналогично вычисляется S4. □

Сформулируем теперь задачу Римана, которая будет использоваться ниже для вычисления решений уравнения PIV (14). Заметим сначала, что в силу Теоремы 1 Ф! = Ф2 и Ф3 = Ф4, поскольку на лучах arg А = 37г/4 и arg А = 7тг/А скачки отсутствуют. Кроме того, условие сопряжения (8) можно перенести с лучей arg А = 7г/4 и arg А = 57г/4 на вещественную ось, что не противоречит нормировке (9).

Сделаем сначала замену переменных, учитывая большие параметры z = 0(у/п), п = m —> 00 (5)

z = ху/п, А = (£ — х)у/п, О = -(£2 — х2).

(20)

Введем новые матричные функции

А2

У+(А, z) = Ф4(А, z) ехр { - ( — + zA ) а3 \

У_(А,^ = Ф2(А,^ехр (у + ^з} Функции У+ и удовлетворяют следующим условиям

1 Матричная функция !+(£, х) аналитична по £ в верхней полуплоскости 1т £ >0, а У-(£, х) - в нижней полуплоскости 1т £ < 0

2

'1 2те~2п@(-^

(21)

0

1

ее

(22)

3

у±(е,х) = (/+ог1))

2 П Q

-2 п) , С

о Г

Y&x)

Здесь мы сдвинули контур сопряжения К ь-М. поскольку матрица сопряжения аналитична в полосе |1т£| < |ж|, х = 0(1). Отметим также, что условие нормировки 3 возникает здесь ввиду гг-кратного применения преобразований Беклунда (16) к матрицам Ф.,- (18). В самом деле, в силу конструкции матриц И2(А) и И3(А) их произведение домножает (Ф)ц на А, а (Ф)22 на А-1.

Теперь формула обращения для решения уравнения Р1У приобретает более простой вид.

Теорема 2. Пусть матрицы У± доставляют решение задачи Римана (22), тогда функция

ип,п(г) = -2ху/п- Ит (£ <9жУ+(£,ж))12 , ^ = ху/п, (23)

»оо

являет,ся решением уравнения Р1У (3), отвечающим данным монодромии (19).

Доказательство. По матрицам У± восстанавливаются матрицы Ф.,-, удовлетворяющие условиям (8) и (9) с данными монодромии (19). Тогда выполняется "уравнение по Л" (6) и справедлива формула обращения (11), которая совпадает с (23). □

2. Ортогональные полиномы с экспоненциальным весом

Прежде чем переходить к асимптотическому исследованию задачи Римана (22), укажем на ее связь с классическими ортогональными полиномами. Пусть {'Нк{0}Т= 1 ~~ множество полиномов Ик(0 = + • • •) ортогональных на вещественной оси с мерой

¡Ш)Нк{Ое-пУ®<% = 0, .]фк,

где У(£) = £+...- полином четной степени. Определим матрицы

у (*)(£)

7,-1^-1(0 — / -:-

Г24)

V*—^ 2тггЛ в-е /

где постоянные 7д_1 являются нормировочными константами в условии ортогональности

Ъ-1 = "2ш Ц П^зУ^'Ч^ .

Оказывается, что матрицы (24) доставляют решение следующей задачи Римана ([9], [5], гл. 3.2)

• аналитична при 1т £ > 0, а аналитична при 1т £ < О

.у^(е,х) = (/ + о(г1))(е0г Д),

В случае У(£)

£2 полиномы 'Нд(^) совпадают с полиномами Эрмита

Нд(£) = (—1)9е^2 -щ^е , а задача Римана может быть использована для вычисления асимптотики полиномов Эрмита при д = п, п —> оо ([5], §7.4). При этом нормировочные константы 7д имеют вид

= — г-

25

21 (д_1)! '

где У(9)(С) = (7 + ^Г1 + • • •) С{я~1)аз-

Также на этом пути воспроизводятся формулы Планшереля-Ротаха, упомянутые во введении [5], [12]. Поскольку полиномы Эрмита имеют нули только на вещественной оси, строки матрицы не обращаются в нуль в верхней (нижней) полуплоскости, то есть матрицы всюду невырождены, и задача Римана однозначно разрешима.

Ситуация становится сложнее, когда экспоненциальный вес становится зависящим от параметра. В самом деле, заменяя У(£) на в(£, х) = £2 + 2£:г, рассмотрим интегралы Коши во втором столбце матрицы

1 / / Ъп, \ с», ^ / О ' , / Ьп, \ / ^ , _ 1 Ч \

(1 + 0(п )) , п ->• оо.

_ Пп{8,х)е-п{з2+2^ _ Пп(-х,х)е~пх

2тгг « - С ^ _ хп{-х - £)

Здесь мы воспользовались методом перевала, деформировав контур интегрирования так, чтобы он проходил через точку в = —х, 1т ж ф 0, так что выполняется условие перевала

д.3(82 + 2вх) = 0. Пусть 'Нп(—х,х) = 0, тогда первая строка матрицы (24) становится нулевой при £ = —х. Таким образом, матрицы становятся вырожденными в этой

точке и не дают решения задачи Римана.

Указанная ситуация является следствием теоремы Биркгофа-Гротендика о факторизации матрицы, голоморфно зависящей от параметра [8], прил. В.

3. Асимптотическое "раздевание" задачи Римана

В этом параграфе мы вычисляем решение задачи Римана (22) при п —оо. Несмотря на то, что эта задача Римана включает только верхнетреугольные матрицы, ее решение не сводится к последовательности скалярных задач сопряжения аналитических функций. Причина состоит в условии нормировки 3. В самом деле, можно было бы избавиться от степенного роста на бесконечности, введя матрицы 1± = У± diag (г_2га, г2п). Тогда матрицы У± приобретут стандартную нормировку на единичную матрицу У± —> I при £ —оо, однако появится полюс 2/г-го порядка в нуле. Это обстоятельство препятствует применению интеграла Коши к задаче сопряжения (22).

Для регуляризации на бесконечности матриц У± применяется другой способ, изобретенный Перси Дейфтом и другими в [5], [6], [7]. Он состоит в применении специального параметрикса, называемого (/-функцией. В нашем случае это аналитическая функция, удовлетворяющая условиям

9(0

ln(f - s)p(s)ds, йбК, а = 0(1)

In - s\p(s)ds ± 7Г%Х(,<а J p(s)ds при f G (-а, а), хц<а

д±(0 =

характеристическая функция [£, a

• епа^ аналитична в С /[—а, а]

.6^(0=^(1 + 0(^-1)), £_>оо

9(0 (26)

Функция p(s) имеет смысл вероятностной меры dß = p(s)ds, минимизирующей функционал

Т = / + / In — s\~1dß($i)dß(s), х = const.

J R J R2

Теорема 3. (]15]; гл.5) При d2Q(£,x) > 0 носитель меры dß = p(s)ds сосредоточен на от,резке suppp G [—а, а]. Имеют, мест,о соот,ношения

2в(£, х) + 2 / In - s\~1p(s)ds + £ + х2 > 0, £ G R,

2в(£, х) + 2 / In - s\~ip(s)ds + tx2 = 0, £ G [—a, a]

где

e= -2 / ]n\^-s\~ip{s)ds-^, —a < £ < a.

(27)

Определим функцию

= (28) и новую кусочно-аналитическую матрицу

\У(£,х) = еп£азг(£,х)е-п9^азе-п£аз, £ Е С/Ж. (29)

Тогда для ]¥ выполняется следующая задача Римана • \¥{£,х) аналитична по ^ в С,

/рга(¥>+-¥>-) р-п(<Р++<Р-)\

• \М±(С,х) = 1 + 0(С1),при^ оо

(30)

Тем самым задача сведена к задаче Римана со стандартной единичной нормировкой на бесконечности. Здесь (р+ и <р_, как обычно, представляют собой граничные значения на вещественной оси из верхней и нижней полуплоскостей соответственно. Перечислим свойства этих граничных значений в виде теоремы П. Дейфта

Теорема 4. ([5], гл. 7.5). Для граничных значений функции (28) справедивы свойства

оо

1) = 9+(0 - 9-(0 = 2тгг I р(з)(1з при С еж

?

?

2) — -1т (р+ = 1тд+(£) = тг ^ — 7г при £ € [—а, а]

—оо

3) ^ = Ке (р = - д+ - д_ + € = 0 при £ Е [-а, а]

4) = Вер = ^ - д+ ~ д- +£ > 0 при ^ [-а, а]

Заметим, что свойство 2 означает, что 11е убывает при 1т £ —+оо в силу уравнения Коши-Римана иу = —ух, >р> = и+ги. Аналогично, 11е (/?_ убывает при 1т£ ——оо, поскольку 1т <р_ = —1т <р+.

Матрица сопряжения, фигурирующая в (30), допускает разложение на множители [5], гл. 7.6

0 е~п(<Р+-<Р-)

Г311

1 0\ / 0 / I о

¿2щ>- [ _еп(<р++<р-) д ) (е2п<р+ ^

Таким образом, задачу (30) можно переписать в виде

0 е-«(¥>++¥>-)

ф+= ф-( о Ь ^

(32)

где

Ф±(£,х) = ]У±(£,х) 1т£^0. (33)

Рис. 2. Регуляризация задачи Римана (22) по Дейфту-Жу. Матрицы скачков отвечают соответствующим линиям Стокса.

В силу теоремы 4 р+ + <р_ = 0 при £ Е [—а, а], а при £ Е К/[—а, а] величина <р+ + <р_ неотрицательна. Поэтому задача Римана для матриц Ф и ]¥ выглядит так, как изображено на рис. 2. Нетрудно проверить, что все матрицы сопряжения за пределами "линзы" 11е <р < 0, отмеченной жирными линиями, экспоненциально близки к единичным, поскольку внедиагональные экспоненты в них малы порядка Отдельного рассмотрения заслуживают окрестности граничных точек £ = а и £ = —а. Однако оказывается, что там значения Ф аналитически продолжаются в решения Ф для внутренности "линзы" [5], гл. 7.6.

Тем самым, в главном порядке по п решение задачи Римана (32) дается матрицей Ф, удовлетворяющей модельной задаче

Ф+ = Ф-(_°1 I) , ее [-а,а],

(34)

Решение задачи (34) дается явной формулой [6]

2 V "V и + я/ V

Теперь для представления главного члена асимптотики V(А, нам осталось вычислить величины <?(£), р(з) и а, фигурирующие в задачах (26), (30) и теоремах 3) и 4. Эти величины также даются явными формулами, следуя методике [5], §7.3. Опуская детали, приведем лишь ответы

= + (36)

7Г 7Г у а + £

д(0 = - 1п (е - л/ё3^) + \ (е - л/е3^)2 • (37)

а = л/2. (38)

Вычисления величин р(£), д(0 и а основаны на явном решении скалярной задачи Римана (26), а также на формуле обращения, вытекающей из (23). В самом деле, выполнение условий задачи (26) легко проверяется из явных формул (36) и (37).

Объединяя формулы полученные выше в этом параграфе, об асимптотиках решения задач Римана (30), (32) и (34), приходим к следующей теореме.

Теорема 5. (Щ) Решение задачи Римана (22) имеет, следующие асимптотики

1) Вне "линзы 'Не <р < 0:

У (Л, г) = е^зф(£)еп(2Я-*)<тз (/ + 0(п~, п ->■ оо,

2) Внутри "линзы 'Не <р > 0:

¥(\,г) = епЬ»Ф(е)(е2^ {I + О^а-1) , п^ оо,

где Ф(£) определена формулой (35), а <р и & - формулами (27) и (28).

4. Формула обращения и асимптотика нулей

Главный член асимптотики решения задачи Римана, приведенный в теореме 5, позволяет вычислить асимптотику полиномов Нп п(А) с экспоненциальным весом, отвечающих этой задаче. Начнем со случая 1), когда |£| > л/2, то есть \г\ > л/2п. Согласно явному представлению (24) для матрицы У и выражению (37) для функции д

Нп,п{г) = (¥)и(г,х) = Фи(е)е2гай(?) (/+ 0( что дает окончательно при п —> оо и |ж| > л/2

п

-1

ОС у £ п ^

Нпп {хл^/ть^

1

х —

X

X

х —

е4

(х - л/1^2)п'

(39)

В случае 2) при |£| < л/2 дополнительный матричный множитель в теореме 5 дает

#»,»(*) = {У)п{г,х) = (Ф11;+(£) + Ф12,+ (0еП1р+) е2п9+{0 {I + 0{

С = х, г = ху/п.

-1

п

_

Учитывая, что Фц,+ = Ф12,+ в силу формулы (35) и <?+(£) = ш ]' имеем

Нп,п (х л/н)

х —

( л/2

сое

X

\

7Г

П7Г / р(з)(Ь + —

(40)

х

сое

х —

( л/2

тг J р(з)с1з —

У X

/

л^

ехр ^ гг J 1п |ж — з|р(з)б?з

-у/2

Из асимптотик (39) и (40) следует, что нули полиномов сосредоточены в области

\г\ < л/2п. Их расположение определяется занулением квадратной скобки в формуле (40)

\

/ л/2

V

7Г

ПТГ / р(в)б?5 + —

Ж —

(41)

/

ж

Вычисляя интеграл в аргументе тангенса, имеем из выражения для р(£) (36)

л^

г з __ж

7Г / р(з)б?5 = -хл/2 — X2 + (жл/2 — l)Arctg ■

ж^

Приравнивая вещественные и мнимые части в (41), получим в итоге

1

Re ( \ху/2 — х2 + (ху/2 — 1) arctg —=Х ) v 2 v 2 — х2 J

Im ( -ху/2 — х2 + (ху/2 — 1) arctg —= ' )

\2 у/2 — х2 J

где j, k G Z .

Re arctg —--= + 7гj I ,

п \ х + у/2

' Im arctg ■ п \ X

ж к

Рис. 3. Численный пример вычисления нулей в первом квадранте х = л/у/п. по формулам (43) при п = 30, 21 < ], к < 30

Замечание 1. Нетрудно проверить, что формулы (39) и (40) являются обобщением асимптотик Планшереля-Ротаха [14], упомянутых во введении. В самом деле, при вещественном z и при т = 0 имеем из (12) Я(г0(-) = где — классические полиномы Эрмита. Сравнение формул Планшереля-Ротаха с (39) выполнено в монографии П. Дейфта [5]. Вычисление асимптотик нулей полиномов при произвольных т,п —> оо и т — п = 0(1) может, быть, по-видимому, выполнено методом, подобным изложенному выше.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М. Bertola, Т. Bothner Zeros of large degree Vorob'ev-Yablonski polynomials via a Hankel determinant identity j j arXiv:1401.1408vl

2. R. J. Buckingham and P. D. Miller Large-degree asymptotics of rational Painleve-II functions: noncritical behaviour // Nonlinearity 2014. V. 27. P. 2498-2578.

3. Y. Chen and M.V. Feigin Painleve IV and degenerate Gaussian unitary ensembles j j J. Phys. A: Math. Gen. 2006. V. 39 P. 12381-12393.

4. P.A. Clarkson Special Polynomials Associated with Rational Solutions of the Painleve Equations and Applications to Soliton Equations // Сотр. Methods and Function Theory 2006 V. 6 No. 2. P. 329-401.

5. P. Deift. Orthogonal polynomials and random, matrices: A Riemann-HUbert approach j j Courant. Lecture Notes: New York Univ. NY, 1999.

6. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T.-R. McLaughlin, S. Venakides, X. Zhou Uniform asymptotics for polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights and applications to universality questions in random matrix theory // Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. No. 11. P. 1335-1425

7. P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T.-R. McLaughlin, S. Venakides, X. Zhou Strong asymptotics of orthogonal polynomials with respect to exponential weights j j Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. No. 12. P. 1491-1552

8. A.S. Fokas, A.R. Its, А.А. Kapaev and V.Yu. Novokshenov Painleve Transcendents. The RiemannHilbert Approach. Amer. Math. Soc. [Math. Surveys and Monographs] V. 128 Providence, RP 2006

9. A. Fokas, A. Its and A. Kitaev Discrete Painleve equations and their appearance in quantum gravity // Comm. Math. Phys. 1991. V. 142 No. 2. P. 313-344.

10. P.J.Forrester Log-gases and random matrices. London Math. Soc. Monographs, V. 34. Princeton University Press: 2010.

11. A.A. Kapaev, E. Hubert A note on the Lax pairs for Painleve equations //J. Phys. A: Math. Gen. 1999. V. 32. No. 46. P. 8145-8156.

12. A.P. Magnus Painleve-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials //J. Comput. Appl. Math. 1995. V. 57. P. 215—237.

13. V.Yu.Novokshenov and A.A.Shchelkonogov Double Scaling Limit in the Painleve IV Equation and Asymptotics of the Okamoto Polynomials, Advances in the Mathematical Sciences, AMS Translations // 2014. V. 233. P. 199-210.

14. M. Plancherel, W. Rotach Sur les valeurs asymptotiques des polynomes d'Hermite // Commentarii Math. Helvetici 1929. V. 1 P. 227-254.

15. E.B. Sail, V. Totik Logarithmic Potentials with External Fields // "Grundlehren der mathematischen Wissenschaften V. 317. Springer: 1997.

16. Сегё Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

17. М. Noumi and Y. Yamada Symmetries in the fourth Painleve equation and Okamoto polynomials // Nagoya Math. J. 1999. V. 153. P. 53-86.

Виктор Юрьевич Новокшеиов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Алексей Александрович Щелконогов,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К.Маркса, 12, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]