CC BY
28
УДК 519.6 Дмитриева Татьяна Львовна,
д. т. н., профессор, кафедра сопротивления материалов и строительной механики, Иркутский национальный исследовательский государственный технический университет,
тел. 89149136725, e-mail: [email protected].
Ле Чан Минь Дат,
аспирант кафедры сопротивления материалов и строительной механики, Иркутский национальный исследовательский государственный технический университет,
тел. 89246281608, e-mail: [email protected].
РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
T.L. Dmitrieva, Le Tran Minh Dat
SOLUTION OF METAL SPACE STRUCTURES OPTIMIZATION TESTING PROBLEMS
Аннотация. Рассмотрена постановка задачи оптимизации пространственных металлических конструкций в форме задачи нелинейного математического программирования. Алгоритм решения предполагает сведение условно-экстремальной задачи к задаче на безусловный экстремум с помощью модифицированной функции Лагранжа. Задача безусловной минимизации решалась методом деформируемого многогранника. Разработан программный комплекс расчета и оптимизации пространственных металлических конструкций (РОПМК), на основе которого выполнен автоматизированный расчет пространственных металлических конструкций (ПМК) с оптимальными параметрами. Рассмотрено два примера оптимизации ПМК, где целевая функция представляет собой вес конструкций, а ограничения формализованы в виде требований по прочности и жесткости. Выполнено сравнение оптимальных результатов с решениями, полученными другими авторами. Исследовано влияние некоторых параметров алгоритма на его сходимость, на основании чего даны рекомендации по назначению этих параметров.
Ключевые слова: металлические пространственные конструкции, оптимальное проектирование конструкций, метод конечных элементов, метод оптимизации, нелинейное математическое программирование.
Abstract. The statement of optimization problem of the metal space structure is considered in the form of non-linear mathematical programming. The solving algorithm presupposes the reduction of conditional extreme problem to an unconditional extremum using a modified Lagrange function. Unconstrained minimization problem is solved by the simplex method. Based on the developed for metal space structure program complex calculation and optimization an automated calculation of the metal space structures with optimal parameters is carried out. Two examples of optimization of metal space structures are considered, where the objective function is the weight of structures and constraints are formalized in the form of requirements for strength and stiffness. The comparison of the best results with the solutions obtained by other authors is performed. Based on the investigation of the influence of some parameters on the convergence of the algorithm recommendations for the appointment of these parameters are given.
Keywords: metal space structures, optimal structures design, finite element method, optimization method, nonlinear mathematical programming.
Введение
Пространственные металлические конструкции (ПМК) получили массовое применение в мировой строительной практике (и в частности в России) начиная с 60-х годов XX в., когда были найдены рациональные решения их конструктивных схем и узловых соединений, появились методы расчета на ЭВМ сложных статически неопределимых систем. Этому процессу способствовало также развитие и совершенствование поточных производств, позволяющих изготовлять крупные серии стандартных конструктивных элементов при сравнительно небольших затратах. В большинстве случаев ПМК представляют собой каркасы зданий и инженерных сооружений (фабрик, цехов, чаш радиотелескопов, раскрывающихся антенн космического летательного аппарата, опор линий электропередачи и т. д.). В настоящее время строительство ПМК ведется с учетом быстроменяющихся технологий. В связи с этим изменяются как габариты промышленных зданий, так и конструктивные решения их элементов под действием статических и динамических нагрузок. Современ-
ные подходы к проектированию ПМК выдвигают требования снижения материальных и трудовых ресурсов, что связано с всесторонним исследованием напряженно-деформированного состояния конструкций, стремлением к оптимальному использованию их несущей способности. Эта проблема может быть решена на основе методов оптимизации конструкций.
1. Постановка задачи
Среди множества подходов к решению задачи оптимального проектирования конструкций можно отметить постановку в форме задачи нелинейного математического программирования (НМП), где целевая функция fx) определяет критерий оптимальности (объем, вес и др.) [1]: найти min fx, D(x)), xeEm, (1)
при ограничениях
gj (x, D(x))< 0, j = 1,2,..., m, (2)
xf < x < xU, i = 1,2,...,nx. (3)
Для получения оптимального проекта варьируются геометрические и физические параметры конструкций (вектор {X}) на интервале {XL}-{XU}.
Механика
Функции ограничений gj(x) представляют собой требования по прочности и местной устойчивости, а также конструктивные ограничения в соответствии с нормами СП 16.13330.201 «Стальные конструкции». Кроме того, эти функции могут содержать ограничения по жесткости в виде допусков на перемещения узлов.
Функции ограничений связаны с варьируемыми параметрами X неявно - через параметры состояния Дх), которые могут представлять собой перемещения узлов (5), внутренние силовые факторы (5), напряжения (о), деформации (е) и т. д.:
{в(х)} = ф(д, з,а,е). (4)
В выражении (4) вектор {5} для пространственной задачи включает 6 компонентов: Му, Mz (изгибающие моменты), Мх (крутящий момент), Qy, Qz (поперечные силы), N (продольная сила), которые определяются решением задачи конечно-элементного анализа в линейной постановке:
(5)
K (»{F (4
где \К (х)] - матрица жесткости системы; {Г(х)} -вектор внешней нагрузки.
На рис. 1 показан общий алгоритм решения задачи оптимизации.
Особенностью алгоритма является тот факт, что нахождение усилий и перемещений производится прямым конечно-элементным расчётом при каждом обращении к функциям ограничений. При этом решение задачи статического анализа реализовано для пространственных стержневых конструкций.
Конструктивный расчет включает проверки по прочности, устойчивости, согласно нормативному документу СП 16.13330.2011 «Стальные
конструкции».
В библиотеке сечений вычисляются геометрические характеристики простых и сложных сечений.
Блок оптимизации разработан на основе многометодных алгоритмов условной и безусловной минимизации, где использованы эвристические процедуры переключения поисковых методов различных классов.
Приведем стандартную постановку задачи
НМП:
найти min f (х), x eEvc, (6)
при ограничениях g (x)<0, j = 1,2,...,m; (7)
xL < xi < xU, i = 1,2,...,nx . (8)
Для её решения будем использовать один из наиболее известных подходов к исследованию минимаксных задач, а именно сведение условно-экстремальной задачи (6-8) к задаче на безусловный экстремум с помощью стандартной функции Лагранжа:
Fl = f(x Hg*}, (9)
где {7} - вектор множителей Лагранжа (двойственные переменные); [5] - диагональная матрица, элементы которой 8^=1, если соответствующее ограничение является потенциально активным, иначе 8&=0.
В [6] показано, что область применения функции Лагранжа ограничивается задачами выпуклого программирования. Для построения алгоритмов, обладающих более широкой областью сходимости, наиболее эффективно использовать модифицированные функции Лагранжа (МФЛ). Из
Рис. 1. Алгоритм оптимизации при прямом вычислении функции цели и ограничений
возможных модификаций функции (9) была выбрана функция Fp(x):
Fp = kfFL + 0,5 {g '}T [5][k]{g *}. (10)
Здесь kf - коэффициент нормировки функции Лагранжа; [k ] - диагональная матрица штрафных коэффициентов.
Использование МФЛ (10) позволяет расширить область решения условно-экстремальных задач для случаев, когда функции цели и ограничений не выпуклы, что имеет место в задачах оптимизации ПМК.
Итерационный алгоритм решения минимаксной задачи (6-8) с помощью функции (10) включает в себя:
А) Процедуру определения вектора прямых переменных {Xt+1}, когда при определённых {X} {7t} на заданном интервале решается безусловно экстремальная задача:
{x'+1} е Arg min Fp(X').
Б) Процедуру определения вектора двойственных переменны^^1}. При этом используется сравнение условий стационарности стандартной и модифицированной функции Лагранжа:
( к' л
Y';1 = max 0, Y' + jg * (x'+1) .
v kf j
Для повышения скорости сходимости в функции ограничений добавляется коэффициент нормировки kg, который изначально задается в безразмерной форме:
gj(x) = kg[gj(x) -1]< 0, j = 1,2,..,m. (11)
Критерием сходимости алгоритма являются проверки:
X'+1 - X' <sl X'
g
<s,
(12)
где - множество потенциально активных ограничений; Sx, Sg - заданная точность вычислений; t -номер итерации [1].
Алгоритм оптимального проектирования ПМК был автоматизирован. На его основе разработан программный комплекс расчета и оптимизации ПМК РОМПК
2. Тестовые задачи оптимизации пространственных металлических конструкций В качестве примеров рассмотрим задачи оптимизации 25-стержневой и 72-стержневой пространственных конструкций (рис. 2, рис. 3), приведенные в работах зарубежных авторов [3, 4, 5]. Были прияты следующие характеристики: ^ Модуль упругости E = 69850 МПа. ^ Плотность материала р = 2,714 кН/м3.
S Вид деформируемого состояния: сжатие -растяжение.
S Число загружений: 2.
Рис. 2. Пространственная 25-стержневая конструкция
Рис. 3. Пространственная 72-стержневая конструкция
В ниже приведённых примерах варьировались параметры поперечных сечений (табл. 1).
Т а б л и ц а 1
Тип сечения
Вариант 1
Варьируется de
(t=de/24)
Вариант 2
Варьируется H
(ts= H/24)
di
de
H
-7t,{-ts
"H
Выполнено сравнение 2 вариантов решения каждой задачи:
- вариант 1: кольцевое сечение, где варьиро-
V
Механика
вался только внешний диаметр (йе), а значение толщины (0 принято в частях от йе;
- вариант 2: коробчатое сечение, где варьировалась ширина (И), толщина (ts) принята в частях от И.
Пример 2.1. Оптимизация пространственной конструкции, содержащей 25 стержней (рис. 2).
Рассмотрим 25-стержневую ПМК при двух случаях загружений силовой статической нагрузкой (табл. 2).
Т а б л и ц а 2
Случаи заг ружения (пример 1)
Загру-жение Загруженный узел Сила (кН)
X Y Z
1 1 22,24 22,24 -22,24
2 1 0 0 -22,24
2 0 0 -22,24
3 0 0 -22,24
4 0 0 -22,24
Sjx
Axj
-1 < 0,
S jy
Ль.
Л„„
-1 < 0, j = 1,2,
Приведем математическую постановку задачи, где целевая функция Дх) представляет собой вес конструкции [1]:
25
/ (х) = х 4 • I, р,
1=1
где Л,, и - площадь поперечного сечения и длина 7-го элемента; р - плотность материала.
Функции ограничений представлены в следующем виде:
1. Проверка на прочность в 7-м элементе конструкции:
--1" 0' 3 = 1, 2,...,25.
3 Ы 4
Здесь N7 - значение продольной силы 7-го элемента; [а] - предельные напряжения в сжатых элементах, которые приняты с учетом коэффициента продольного изгиба (табл. 3).
2. Ограничение на перемещение верхних узлов 1 и 2 по направлениям х и у:
где максимальное значение перемещения
Атак = 0,889 см (±0,35 ш).
Элементы 25-стержневой конструкции были сгруппированы по типу сечений. Назначено 8 групп, приведенных в табл. 2. Общее число ограничений для каждого случая загружения - 29.
Отметим, что ограничения по напряжениям проверялись для наиболее нагруженного элемента в каждой группе.
Поставленная задача была решена на основе алгоритма, приведенного на рис. 1 , с использованием модифицированной функции Лагранжа (10). Задача на безусловный экстремум решалась методом деформируемого многогранника.
Приняты следующие начальные значения и диапазоны варьируемых параметров:
В варианте 1 йво = 5 см, на диапазоне йет7п=0,111 см; ёв„ах=100 см, А„7п= 0,0645 см2;
В варианте 2 Ит7п= 0,635 см; Итах = 100 см; Ио = 10 см, Ат7п= 0,0645 см2.
Входные параметры задачи оптимизации:
кт7п 200; А^тах 0,2
Результаты решения
В варианте 1 оптимальное значение целевой функции (вес конструкции) было получено на 3-й итерации /ора= 2,364 кН. Выявлены активные ограничения на напряжение ^2 = 0,63 • 10-5, gl6 = 0,66 • 10-5, gl9 = -0,81 • 10-5) и на перемещение узлов 1 и 2 по оси у ^27 = 0,11 • 10-3, g29 = -0,17 • 10-3) при заданной точности в невязках ограничений до 10-4.
В варианте 2 минимальный вес был получен на 4-й итерации _/0р2= 2,342 кН с активными ограничениями на напряжение в элементах 2, 16, 19: g2 = -0,47 • 10-5, ^6 = 0,72 • 10-5, ^9 = -0,42 • 10-5 и на перемещение узлов 1 и 2 по оси у: g27 = = 0,9• 10-4, g29 = -0,11 • 10-3.
Т а б л и ц а 3
Группа элементов Элементы Напряжение при сжатии МПа (ksi) Напряжение при растяжении МПа (ksi)
1 1 241,95 (35,092) 241,32 (35,0)
2 2, 3, 4 ,5 79,91 (11,590) 241,32 (35,0)
3 6, 7, 8, 9 119,31 (17,305) 241,32 (35,0)
4 10, 11 241,95 (35,092) 241,32 (35,0)
5 12,13 241,95 (35,092) 241,32 (35,0)
6 14, 15, 16, 17 46,60 (6,759) 241,32 (35,0)
7 18, 19, 20, 21 47,98 (6,959) 241,32 (35,0)
8 22, 23, 24, 25 76,41 (11,082) 241,32 (35,0)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
На рис. 4 показано функции на итерациях.
s 7000
£ 6000
:= _ S. — 5000 4000
П И äjfc s 300^ : : : ■
g 1000
S 0
Вариант 2
"01234 Номер итерации с
Рис. 4. Изменение целевой функции на итерациях
Из рис. 4 видно, что глобальный оптимум был получен за малое число итераций, с достаточно высокой точностью вычислений (пятый порядок в невязках активных ограничений). Оптимальный вес конструкции во втором варианте был получен на 22 Н меньше, чем первый. Таким образом, применение разных типов поперечного сечения элементов может приводить к более экономичным решениям.
Сравнение результатов
Выполнено сравнение результатов полученных оптимальных решений с результатами, опубликованными другими авторами, наиболее известные среди которых: Адели, Х. Парк [4], Адели, Камаль [3]. Данные сведены в табл. 4.
Пример 2.2. Оптимизация пространственной конструкции, содержащей 72 стержней (рис. 3).
изменение целевой
Максимальные напряжения в сжатых и растянутых элементах в этом примере были приняты одинаковыми и составляли ±172,5 МПа (±25 ksi).
Ограничение по перемещениям Amax =±0,635 см (±0,25 in) накладывалось на узлы 1, 2, 3, 4 в направлениях х и у.
Элементы данной конструкции были сгруппированы по типу сечений (16 групп). Общее число ограничений в задаче оптимизации для каждого случая загружения - 80. Минимальная площадь поперечного сечения - 0,645 см2 (0,1 in2).
Результат решения
Оптимальный вес конструкции был получен на 3-й итерации fopt= 1,640 кН (368,84 lb). Выявлено активное ограничение на перемещение узла 1 по x и у: g73 = -0,38 • 10-4, g74 = 0,38 • 10-4 при заданной точности в невязках ограничений до 10-4.
Рис. 5 показывает изменение значения целевой функции на итерации с начальной площадью поперечного сечения 35,94 см2 (5,57 in2).
0 12 3
Рис. 5. Изменение целевой функции на итерациях
Т а б л и ц а 4
Группа элементов Элементы Оптимальные площади, см2 (in2)
Адели и Камаль [3] Адели, Х. Парк [4] Наша работа
Вариант 1 Вариант 2
1 1 0,0645 (0,0100) 3,0723 (0,4762) 0,0645 (0,01) 0,0645 (0,01)
2 2, 3,4 ,5 12,0897 (1,9855) 15,2096 (2,3575) 6,5409 (1,014) 6,3142 (0,9789)
3 6, 7, 8, 9 19,1006 (2,9606) 16,6406 (2,5793) 16,7082 (2,590) 16,8575 (2,6135)
4 10, 11 0,0645 (0,0100) 0,0645 (0,0100) 0,0645 (0,01) 0,0645 (0,01)
5 12,13 0,0645 (0,0100) 0,0645 (0,1000) 3,3404 (0,5179) 3,6572 (0,5670)
6 14, 15, 16, 17 5,2013 (0,8062) 4,4090 (0,6834) 8,1688 (1,2664) 7,9727 (1,2360)
7 18, 19, 20, 21 10,8355 (1,6795) 10,3529 (1,6047) 10,3247 (1,6000) 9,9292 (1,5394)
8 22, 23, 24, 25 16,3213 (2,5298) 17,9593 (2,7837) 18,4028 (2,8531) 18,6094 (2,8851)
Число итераций 1 - 77 3 4
Число обращений к целевой функции - - 12719 10937
Оптимальный вес, кН 2,427 2,453 2,364 2,342
Группа элементов Элементы Оптимальное решение, см2 (ш2)
Работа [4] Работа [6] Наша работа
1 1, 2, 3, 4 1,0187 (0,1579) 1,0127 (0,157) 0,645 (0,100)
2 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 3,5490 (0,5501) 2,9412 (0,546) 3,3532 (0,5198)
3 13, 14, 15, 16 2,2252 (0,3449) 2,6595 (0,411) 2,5580 (0,3966)
4 17, 18 3,2155 (0,4984) 3,6765 (0,570) 3,4414 (0,5335)
5 19, 20, 21, 22 3,3142 (0,5137) 3,3734 (0,523) 3,1969 (0,4956)
6 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 3,0910 (0,4971) 3,3346 (0,517) 3,2712 (0,5071)
7 31, 32, 33, 34 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,6450 (0,100)
8 35, 36 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,6450 (0,100)
9 37, 38, 39, 40 7,4626 (1,1567) 8,1721 (1,267) 8,0597 (1,2495)
10 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 3,6703 (0,5689) 3,3024 (0,512) 3,2436 (0,5029)
11 49, 50, 51, 52 0,645 (0,100) 0,0645 (0,100) 0,645 (0,100)
12 53, 54 0,645 (0,100) 0,0645 (0,100) 0,645 (0,100)
13 55, 56, 57, 58 13,070 (2,0259) 12,15825 (1,885) 12,2188 (1,8944)
14 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66 3,4400 (0,5332) 3,3089 (0,513) 3,1765 (0,4924)
15 67, 68, 69, 70 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,645 (0,100)
16 71, 72 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,645 (0,100)
Оптимальный вес, кН (1Ь.) 1,687 (379,31) 1,688 (379,64) 1,640 (368,84)
Сравнение результатов
По аналогии с предыдущим примером сделаем сравнение полученных оптимальных решений с аналогичными результатами других авторов: Вэнкая, Хот, Реди [5], Адели и Камаль [3]. Данные показаны в табл. 5.
Оптимальные результаты в рассмотренных примерах были проверены на единственность путем выполнения расчётов с разных начальных проектов. Все решения практически совпали (разница в объёме до 0,001 %).
Исследование влияния коэффициента нормировки функции ограничений на сходимость алгоритма
На сходимость алгоритма существенное влияние оказывает коэффициент нормировки функции ограничений kg, т. к. он регулирует крутизну функции ^Р(х). Диапазон его задания достаточно широк: он может влиять на число итераций, но обеспечивать процесс сходимости в целом.
В варианте 2 примера 2.1 рассмотрено не-
сколько решений с разными значениями коэффициента kg (начальное значение И0 = 13 см). Результаты приведены в табл. 6.
Наиболее быстрая сходимость получена при коэффициенте kg, равном 200. Число обращений к целевой функции для такого расчета равно 11905 (рис. 6), время счета - 60 сек., т. е. на одно обращение к вычислению функции цели и ограничений тратится в среднем 0,05 сек.
Решение тестовых задач показало, что наилучшая сходимость имеет место в том случае, если целевая функция и штрафная добавка, входящие в функцию ^р(х), имеют один и тот же порядок. На основании этого можно дать следующие рекомендации по назначению коэффициента kg при решении практических задач оптимизации: в случае если размерность исходных данных (координаты, варьируемые параметры и др.) задается в сантиметрах, kg принимается в диапазоне 100-500. Если размерность исходных данных задается в метрах, kg принимается в пределах от 1 до 10.
Т а б л и ц а 6
Изменения целевой функции на итерациях при различных значениях kg
г /х) ^ = 20) /х) ^ = 50) /х) ^ = 100) /х) ^ = 200) /х) ^ = 300)
0 615,3993 615,3993 615,3993 615,3993 615,3993
1 203,6065 226,5852 232,0419 233,6029 233,9027
2 233,4051 234,0747 234,1383 234,1462 234,1459
3 234,1282 291,2581 234,1496 234,150 234,1495
4 234,144
сти алгоритма. Доказано, что существуют несколько допустимых областей kg, которые дают наилучшую сходимость, но оптимальный диапазон этого коэффициента рекомендуется брать в зависимости от единиц измерения варьируемых параметров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дмитриева Т.Л., Ле Чан Минь Дат, Нгуен Ван Ты. Построение математических моделей для проблемы оптимального проектирования стальных конструкций с учетом нормативных ограничений по прочности и устойчивости // Труды XVIII Байкал. Всерос. конф., 2013, Т. 1, с. 167-173.
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М., 1975.
3. Adeli H., Kamal O. Efficient Optimization of Space Trusses. Computers and Structures. 1986. 24(3). РР. 501-511.
4. Hojjat Adeli, HyoSeon Park. Optimization of Space Structures by Neural Dynamics // Neural Networks. 1995. Vol. 8, No. 5. РР. 769-781,
5. Venkayya V.B., Khot N.S., & Reddy, V.S. Energy Distribution in an Optimal Structural Design // AFFDLTR-68-156, Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson AAFB, Ohio.
6. Гольштейн Е.Г. О сходимости градиентного метода отыскания седловых точек модифицированных функций Лагранжа // Экономика и математические методы. 1977. Т. 13. № 2. С. 3.
УДК 531.3:681.5.01:658.5 Железняк Василий Никитович,
к. т. н., доцент, заведующий кафедрой «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. +7 (9148) 969-792, e-mail: [email protected]
Ермоленко Игорь Юрьевич,
аспирант, кафедра «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. +7 (9642) 218-082, e-mail: [email protected] Ковенькин Дмитрий Александрович,
к. т. н., доцент кафедры «Путь и путевое хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. +7 (9021) 711-078, e-mail: [email protected]
АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ БОКОВЫХ РАМ ТЕЛЕЖЕК МОДЕЛЬНОГО РЯДА 18-100 ПРИ СИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ РЕЛЬЕФОМ ГОРНОГО ПУТИ И ДЕФЕКТАМИ НА ПОВЕРХНОСТИ КАТАНИЯ КОЛЕСО - РЕЛЬС
V. N. Zheleznyak, I. Yu. Ermolenko, D. A Kovenkin
ANALYSIS OF MODEL SERIES 18-100 TRUCKS SOLEBAR FREE VIBRATIONS AT FORCE ACTIONS, CAUSED BY THE TERRAIN OF THE MOUNTAIN PATH AND DEFECTS
ON WHEEL-RAIL TREAD AREA
Аннотация. На Восточно-Сибирской железной дороге существуют проблемные вопросы по пропуску грузовых поездов. В течение длительного времени наблюдается повышенный уровень и интенсивность отказов в работе буксовых узлов, что приводит не только к срыву графика движения грузовых и пассажирских поездов, но и к увеличению времени и затрат на техническое обслуживание грузовых вагонов. В данной статье рассматривается постановка задачи оценки колебаний механической системы, состоящей из кузова вагона и тележек, которые взаимодействуют с рельефом горного пути и дефектов на поверхности катания колесо - рельс. Проведена оценка работоспособности буксовых узлов, анализ статического и динамического состояния боковой рамы тележек грузовых вагонов при наличии дефекта на поверхности катания колесо - рельс.
Ключевые слова: собственные колебания, вагон, модельный ряд тележек, колесная пара, рельефный горный путь, неровность, возмущения, динамическая модель, дефекты на поверхности катания колеса и рельса.
Рис. 6. Влияние коэффициента kg на число обращений к целевой функции
Заключение
Решены тестовые задачи оптимального проектирования пространственных конструкций с использованием программного комплекса РОПМК. В рассмотренных примерах элементы конструкций были сгруппированы по типу сечений (8 - в примере 1; 16 - в примере 2). Это позволило сократить число варьируемых параметров, что в конечном итоге повысило сходимость алгоритма и сократило время вычислений.
Выполнено сравнение полученных решений с решениями других авторов [3-5]. Результаты показали, что использование алгоритма НМП на основе модифицированной функции Лагранжа даёт хорошую сходимость за малое число итераций.
Исследовано влияние коэффициента нормировки функции ограничений на скорость сходимо-
