Математические модели в задаче оптимального проектирования железобетонной балки прямоугольного сечения Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

4. Гозбенко В.Е. Управление динамическими свойствами механических колебательных систем. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2000. 412 с.

5. Насников Д.Н., Димов А.В. Мехатроника виброзащитных систем. Особенности структурных преобразований // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 4. С. 75.

УДК 519.6 Дмитриева Татьяна Львовна,

д. т. н., профессор кафедры «Сопротивление материалов и строительная механика», НИ ИрГТУ,

тел. 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

Нгуен Ван Ты,

аспирант кафедры «Сопротивление материалов и строительная механика», НИ ИрГТУ,

тел. 89246020079, e-mail: nguyentuad@gmail.com

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

T. L. Dmitrieva, Nguyen Van Tu

MATHEMATICAL MODELS IN THE OPTIMAL DESIGN OF REINFORCED

CONCRETE RECTANGULAR BEAM

Аннотация. Рассмотрена задача оптимального проектирования однопролетной статически определимой железобетонной балки прямоугольного сечения, формализованная в виде задачи нелинейного математического программирования. В качестве минимизируемой (целевой) функции используется вес конструкций. Варьируются геометрические параметры поперечного сечения. Ограничения, используемые в задаче, представляют собой проверки по прочности и задаются в соответствии с нормативными документами. Расчётные усилия не меняются в процессе варьирования размерами поперечного сечения и площадью арматуры (или количеством арматуры). Численный алгоритм решения задачи состоит из двух основных блоков: блока конструктивного расчета и блока решения условно-экстремальной задачи оптимизации. Использован прием, приводящий исходную постановку к задаче на безусловный экстремум при помощи функции Лагранжа, а также двух её модификаций. Алгоритмы условной и безусловной минимизации, заложенные в блок оптимизации, связаны системой уровней, на каждом из которых решается автономная задача. Рассмотрен пример подбора оптимальных параметров сечения железобетонной балки, который продемонстрировал робастность алгоритма оптимизации. Решение этой задачи с разных начальных проектов подтвердило единственность полученных результатов при достаточно высокой скорости сходимости. Устойчивую работу алгоритма удалось получить, применяя в качестве метода безусловной минимизации метод деформируемого многогранника. Полученные результаты дают основание продолжить работу в направлении оптимизации конструкций более сложного вида: ферм, рам, комбинированных систем, при этом варьировать не только параметрами сечений, но и координатами узлов расчетной схемы конструкции, а также задавать более сложные условия работы конструкции.

Ключевые слова: оптимальное проектирование, железобетонные конструкции, нелинейное математическое программирование, методы модифицированных функций Лагранжа.

Abstract. We consider the optimal design of a single-span statically determinate reinforced concrete rectangular beam, formalized in the form of non-linear mathematical programming. As minimized (target) function the weight of structures is used. The cross-sectional geometric parameters vary. Constraints used in the problem represent strength checks and are set in accordance with the regulations. Calculated effort do not change during varying cross-sectional dimensions and reinforcement area (or the number of fittings). Numerical algorithm for solving the problem consists of two main blocks: the constructive calculation and solution conditionally extreme optimization problem. Technique leading the formulation of the original problem to an unconditional extreme using the Lagrangian and 2 of its modifications is used. Conditional and unconditional minimization algorithms input in optimization block are connected with the system of levels, each of which solves autonomous task. An example of the section of reinforced concrete beams optimal parameters selection, which demonstrated the robustness of the optimization algorithm, is considered. The solution to this problem with different initial projects confirmed the uniqueness of the results obtained at a sufficiently high rate of convergence. Stable operation of the algorithm could be obtained using as a method of unconstrained minimization method of flexible polyhedron. The results obtained provide a basis to continue to work towards the optimization of designs of more complicated form: farms, frames, combined systems and in this case not only to vary the parameters of the cross sections, but also coordinates of the construction design scheme sites, as well as specify more complex conditions of the structure.

Keywords: optimal design, reinforced concrete structures, nonlinear mathematical programming, Lagrange modifiedfunctions methods.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

б)

q = 1,5 кН/см

4 ШШ

q = 450кН М = 67500 кН см

Q и--------_ Q 5 кН

Рис. 1. а) сечение железобетонной балки, б) эпюры усилий

ния.

Параметр Обозначение Описание

xi B Ширина балки

H Высота балки

x3 As Суммарная площадь арматуры

ш

Постановка задачи

Представим задачу оптимального проектирования железобетонной балки прямоугольного сечения в форме задачи нелинейного математического программирования (НМР):

найти min f (x), xeEm (1)

при ограничениях g.(x) < 0, j = 1, 2,..., m; (2)

xf < x < xU, i = 1,2,..., nx. (3)

Здесь {X} - вектор варьируемых параметров на интервале {XL}-{XU}. В качестве минимизируемой (целевой) функции f(x) используется объем либо вес конструкций.

Рассмотрим случай оптимизации железобетонной однопролетной статически определимой балки, когда расчётные усилия не меняются в процессе варьирования размерами поперечного сечения и площадью арматуры.

а)

Будем варьировать тремя параметрами сечеТ а б л и ц а 1

Характеристики конструкции: бетон класса В25 (плотность в 2350 кг/м3 или 0,0235 10-3

кН/см3, Eb = 2700 кН/см2), арматура класса А400 (плотность в 7850 кг/м3 или 0,0785 10-3 кН/см3, Es = 20000 кН/см2). Защитный слой арматуры а = 10 см.

Целевая функция ) представляет собой вес железобетонной балки длиной 600 см.

/ (*) = 0,0141 ^ + 0,0471 (4)

Ограничения, используемые в задаче, представляют собой проверки по прочности и задаются в соответствии с разделами «СП 63.13330.2012 «Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения» (актуализированная редакция СНиП 52.01.2003)».

1. Обеспечение прочности балки прямоугольных сечений с одиночной арматурой по п. 8.1.9 ф. (8.4):

а) Условие для балки использует одиночную арматуру (растянутая):

яА

g1 =-'—I--1 =

RbB^R (H -10)

RA

0,533RB(H -10)

--1 < 0,

(5)

или g =

Rs X3

-1 < 0.

0,533Rx(x2 -10)

б) Обеспечение прочности:

g2 =■

M • RbB

или

g 2 =■

RA ((H - 10)RbB - 0,5RsAs) M • Rbx2

--1 < 0,

(6)

-1 < 0.

Rsx3((x2 - 10)Rbx1 - 0,5Rsx3) 2. Обеспечение прогибов железобетонных изгибаемых элементов по п. 8.2.21 ф. (8.139):

g3 =—---1 =----1 < 0,

53 h^ 200(H-10) (7)

или

g3 =-

l

-1 < 0.

200(х2 -10) 3. Обеспечение прочности по расчёту изгибаемых железобетонных элементов по бетонной полосе между наклонными сечениями по п. 8.1.32 ф. (8.55):

Q

g 4 =

4>b1RbB( H-10)

--1 =

Q

или

g 4 =■

0,5RB(H -10)

Q

--1 < 0,

(8)

-1 < 0.

0,5Дьх1 (х2 -10) На рис. 2 показана взаимосвязь основных блоков, реализующих численный алгоритм задачи оптимального проектирования ж/б балки. В блоке

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ЫМРаек были реализованы алгоритмы оптимизации, которые подробно рассмотрены в статье [1]. Для поиска решений задачи на условный экстремум (1-3) был использован прием, приводящий её к задаче на безусловный экстремум с использованием функции Лагранжа а также двух её модификаций: ¥Р и ¥М [3-5]. Каждая из этих функций соединяла в себе функцию цели Д(х) и функции ограничений (х), которые были связаны

с двойственными переменными { У}.

Итерационный алгоритм решения задачи (13), оперирующий с функциями ¥Р и ¥М, включал в себя попеременно две основных процедуры: определение вектора прямых переменных {^+1} и определение вектора двойственных переменных (или множителей Лагранжа) {У+1}.

Для решения задачи оптимизации ж/б балки была использована модифицированная функция Лагранжа ¥р. Основное преимущество этой функции по сравнению со стандартной функций Ла-гранжа ¥ь состояло в том, что она (при определенном подборе штрафных коэффициентов) оставалась выпуклой, даже если функции ограничений были существенно не выпуклы. Оптимальный проект соответствовал условиям стационарности

этой функции по прямым переменным X и двойственным переменным Y:

max 7 min х ¥р (X, Y). (9)

Критерием окончания итерационного процесса являлись проверки

X'+1 - X'

<е.

X'

g

g;

(10)

где g - множество потенциально активных ограничений; sx, sg - заданная точность вычислений; t - номер итерации [2]. Кроме того, было установлено предельное число итераций решения задачи (9) и максимальное число обращений к целевой функции и функциям ограничений. Алгоритмы условной и безусловной минимизации, заложенные в блок NMPack, были связаны системой уровней (рис. 3).

Уровень С (Control) - контроль исходных данных. Уровень R (Restrict) - преобразование условно-экстремальной задачи (1-3) к задаче на безусловный экстремум. Здесь производится пересчет двойственных переменных, проверка сходимости алгоритма, а также настройка на методы безусловной минимизации.

Алгоритм решения задачи оптимизации балки

Рис. 2. Блок-схема алгоритма оптимального проектирования балки

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ш

—> Уровень С

1

—> Уровень R

V

В —> Уровень M

о и \

И о о —> Уровень L

\

—* Уровень D

1

—> Уровень F

Rb (кН/см2) 1,45

D Rb,ser (кН/см2) 1,85

R. (кН/см2) 35,50

D Rs,ser (кН/см2) 40,0

Рис. 3. Взаимосвязь уровней в блоке NMPack

На уровне М (Minimum) реализованы методы безусловной минимизации на области изменения варьируемых параметров.

Уровень L (Line) решает задачи одномерного поиска.

Уровень D (Derive) - уровень вычисления производных.

Уровень F (Fun) - вычисление значений целевой и ограничительных функций.

Обмен данными между уровнями выполняется при помощи модуля Global Control.

Исходные данные задачи оптимизации балки

Приведем исходные данные задачи (табл. 2, 3). Устойчивую работу алгоритма удалось получить, используя в качестве метода безусловной минимизации метод деформируемого многогранника. Так как метод не даёт высокой степени точности, то для обеспечения сходимости максимально допустимая невязка ограничений была принята eg = 10-2.

Т а б л и ц а 2 Характеристики материала конструкции

Yb 0,90

W 0,74

Ü * 0,50

а * 0,40

L(см) 600

Т а б л и ц а 3 Начальные значения и пределы изменения параметров

B0 = 30 см H0 = 60 см As0 = 50 см2

B [30-80] см H [40-120] см As [20-80] см2

Результаты решения задачи оптимизации

Значение целевой функции fx 31,156328 кН

Число обращений к целевой функции (Nfunfx) 628

Число итераций уровня R (Niter) 4

Число итераций уровня M 79

Значения оптимальных параметров

B (см) H (см) As (см2)

30,0001 69,0100 41,7204

Максимальное значение невязки ограничений: g1 = 0,2275 10-5.

Рис. 4. График изменения целевой функции на интеграциях

Точность полученных результатов можно оценить по невязке ограничения g1, которая превышает допустимое значение на 0,00023 %.

Исследование оптимального решения на единственность

В качестве начального проекта использовались различные величины: ширина балки (В0), высота балки (Н0) и площадь арматуры (Дж0). Результаты 6 решений приведены в табл. 4, 5.

№ решения Начальные значения (см) Оптимальные значения (см) Значение целевой функции Дхопт (кН)

Во Н0 Л Вопт Нопт А? опт

1 30 60 50 30,0001 69,0100 41,7204 31,1563

2 30 70 50 30,0002 69,1733 41,4905 31,2147

3 30 80 40 30,0000 69,1762 41,4867 31,2155

4 40 70 40 30,1402 68,8538 41,8320 31,2315

5 40 80 40 30,2592 68,7310 41,9124 31,2984

6 50 80 40 30,4766 68,5063 42,0657 31,4198

Т а б л и ц а 5

№ решения ЫПег Ы/ип¥х Значения активных ограничений

1 4 628 Я! = -4,83763 10-4 я2 = 0,2275-10-5

2 3 502 Я! = -8,5662-10-3 Я2 = 0,7466 10 -5

3 3 368 Я! = -8,6957-3 Я2 = 0,8621 10 -5

4 3 436 Я! = 0,7302-10-5 Я2 = -0,8300-10 -5

5 3 452 Я! = -5,5332-10-5 Я2 = 0,4895 10-5

6 3 508 Я! = 2,5928-10-5 я2 = -2,9562-10-5

Т а б л и ц а 6

Рекомендуемые размеры прямоугольных поперечных сечений балок

Ширина сечения Высота сечения, см

см 30 40 50 60 70 80 100 120 Далее кратно 30

15 + +

20 + + +

30 + + +

40 + + +

50 + +

Далее кратно 10 + +

В табл. 4 приведены оптимальные значения, которые меняются непрерывно. Однако высоту сечения монолитных балок прямоугольной формы обычно назначают в долях пролета, а размеры поперечных сечений рекомендуется назначать согласно табл. 6 [6]. Ширину поперечного сечения балок обычно принимают равной 1/3-1/2 высоты сечения.

Округлим полученные значения с учетом рекомендаций из табл. 6. Полученные при этом результаты приведены на рис. 5.

Скорректируем значение целевой функции и значения ограничений с учетом округления варьируемых параметров: Д(х)= 31,527912 кН, & = 3,9126 • 10-4, £2 = 1,511310-2, £3 = -0,9500 10-2, £4 = -0,6551 • 10-2. Очевидно, что максимальная невязка ограничений по прочности (^2) не выходит за пределы значений, допустимых при проектировании строительных конструкций (как правило, в пределах 3 процентов).

Рис. 5. Результаты решения задачи оптимизации для железобетонной балки

Основные выводы

1. Принятая модель вычислительного алгоритма оптимального проектирования балки обеспечивает независимую работу основных её блоков, что позволяет дополнять каждый блок (например, расширять список проверок в конструктивном расчете железобетонных конструкций).

2. Данные, передаваемые в различные блоки, помещены в специальный модуль Global Control (таким образом, данные отделены от программного кода). Такая конструкция позволяет решать рекурсивные задачи оптимизации заданной степени вложенности.

3. Рассмотренный выше пример подбора оптимальных параметров железобетонной балки продемонстрировал робастность алгоритма оптимизации, заложенного в блок NMPack. Решение задачи оптимизации при разных начальных значениях подтвердило единственность полученных результатов при достаточно высокой скорости сходимости.

4. Полученные результаты дают основание продолжить работу в направлении оптимизации конструкций более сложного вида: ферм, рам, комбинированных систем, при этом варьировать не только параметрами сечений, но и координатами узлов расчетной схемы конструкции, а также задавать более сложные условия работы конструкции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дмитриева Т.Л., Безделев В.В. Использование многометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций // Известия вузов. Сер. Строительство. 2010. № 2. С. 90-95.

2. Дмитриева Т.Л. Параметрическая оптимизация в проектировании конструкций, подверженных статическому и динамическому воздействию : монография. Иркутск : Изд-во ИрГТУ. 2010. 176 с.

3. Дмитриева Т.Л. К вопросу оптимизации одно-пролётной балки двутаврового сечения // Вестник Иркут. гос. техн. у-та. 2010. № 5 (45). С 88-94.

4. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М. : Радио и связь, 1987. 400 с.

5. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа и методы оптимизации. М. : Наука, 1989. 400 с.

6. Тихонов И.Н. Армирование элементов монолитных железобетонных зданий : пособие по проектированию. М. : 2007.