CC BY
11
УДК: 517.925; 531.36 Иртегов Валентин Дмитриевич,
д. ф.-м. н., с. н. с., Учреждение Российской академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-92, е-mail:irteg@icc.ru
Титоренко Татьяна Николаевна, к. т. н., с. н. с., Учреждение Российской академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-12, е-mail:titor@icc.ru
ОБ ОСОБЫХ РЕШЕНИЯХ В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В НЕОДНОРОДНОМ СИЛОВОМ ПОЛЕ
V. D. Irtegov, T. N. Titorenko
ON SPECIAL SOLUTIONS IN THE PROBLEM ON MOTION OF A RIGID BODY IN NON-UNIFORM FORCE FIELD
Аннотация. Рассматривается задача нахождения и анализа особых инвариантных многообразий дифференциальных уравнений, описывающих вращение твердого тела в гравитационном и магнитном полях. Под особыми понимаются инвариантные многообразия и семейства инвариантных многообразий, обладающие одним из следующих свойств: (1) на этих инвариантных многообразиях выполняются некоторые полиномиальные соотношения между первыми интегралами задачи, (2) несколько элементов алгебры первых интегралов задачи принимают стационарное значение. Уравнения движения тела исследуются как в исходном фазовом пространстве, так и на одном из своих инвариантных многообразий. Получены инвариантные многообразия и семейства инвариантных многообразий с указанными свойствами, дана механическая интерпретация ряда найденных решений и доказана их устойчивость по Ляпунову.
Ключевые слова: инвариантные многообразия, устойчивость, компьютерная алгебра.
Abstract. The paper deals with the problem of finding and analysing the special invariant manifolds (IMs) of differential equations describing the rotation of a rigid body in gravitational and magnetic fields. The IMs and the families of IMs are considered as special ones when they have one of the following properties. On these IMs: (1) some polynomial relations between the first integrals of the problem are satisfied, (2) several elements of algebra of the first integrals of the problem take a stationary value. The equations of motion of the body are investigated both in the original phase space and on one of their IMs. The IMs and the families of IMs which possess the above properties have been obtained, a series of the solutions found has been interpreted with mechanical viewpoint, and their stability in the sense of Lyapunov has been proved.
Keywords: invariant manifolds, stability, computer algebra.
Введение
Рассматривается вращательное движение вокруг неподвижной точки твердого тела в гравитационном и магнитном полях [1]. Геометрия масс тела соответствует интегрируемому случаю Ковалевской [2]. Подобные задачи возникают во многих приложениях, например космодинамике [3].
Для уравнений движения тела, в общем случае неинтегрируемых, О.И. Богоявленским на одном из ИМ этих уравнений найден дополнительный первый интеграл. Таким образом, рассматриваемая система уравнений становится вполне интегрируемой на указанном многообразии. Топологический анализ ее фазового пространства проведен в [4]. В настоящей работе аналитически исследуются особые ИМ как исходных дифференциальных уравнений, так и системы, соответствующей найденному интегрируемому случаю. В качестве особых рассматриваются ИМ и семейства ИМ, обладающие одним из следующих свойств:
(1) на этих ИМ первые интегралы задачи связаны некоторыми полиномиальными соотношениями,
(2) несколько элементов алгебры первых интегралов задачи принимают стационарное значение. Нахождению ИМ указанного вида и исследованию их качественных свойств, в частности устойчивости, и посвящена предлагаемая статья. Для полу-
чения и анализа искомых решений используется модифицированная процедура Рауса - Ляпунова [5] и огибающая семейства первых интегралов задачи. Вычисления выполняются при помощи системы компьютерной алгебры «Mathematica». Постановка задачи
Уравнения движения тела в системе отсчета xyz, жестко связанной с телом и центром в неподвижной точке O, имеют вид:
2p = Ьд3+ qr, yj = y2r - Y3q, <ô = ô2r - ô3q,
2q = xoYз - Pr, y2= YзP -Yr ô2= S3p -ô/, (1)
r = -bôi - xoy2, y3 = Yiq - Y2P, ô3 = ôiq - ô2P-
Здесь p, q, r — проекции вектора угловой
скорости на оси, связанные с телом, Yi, Y 2, Y 3 — направляющие косинусы вертикали, ô, ô2, ô — направляющие косинусы вектора постоянного магнитного момента, параметры x , Ь пропорциональны соответственно координате центра масс тела и вектора постоянного магнитного момента.
Уравнения (1) допускают следующие первые интегралы:
Механика
2Н = 2(р2 + q2) + г2 + 2(х0у - ЬА ) = 2Н, У=(р2-q2-Хо у-ЬА2)2 +
+ (2р q -х(> у2 + ЬА)2 = с1? (2)
V = у2 + у2+Уз2 = 1, У = а2 + ¿2 + а2 = 1,
у4 = У А + У 2^2 +У3 83 = С2'
Для системы (1), в общем случае неинтегри-руемой, в [1] указано несколько частных случаев ее интегрируемости. При Ь = 0 система соответствует интегрируемому случаю Ковалевской.
На ИМ коразмерности 2 р2 - q2 - х0 у - Ь52 = 0, 2pq - Х0 у2 + ЬА = 0 (3) рассматриваемая система имеет дополнительный кубический интеграл и является вполне интегрируемой по Лиувиллю.
На ИМ (3) уравнения (1) записываются так:
2 р = qг + ЬА, А = г А - q А, 2q = х0 у - р г, А2 = А р - А г, г = -2(р q + ьа ), А3 = Аq - Ар, хо у>з = -[(р2 + q2) q+Ь (р А + qA)].
Они получены из исходных после исключения переменных у, у2 с помощью соотношений (3).
Система (4) имеет первые интегралы: 2Н~ = 4р2 + г2 - 4Ь 52 = 2~,
(4)
у2 = у 2 +
(2pq + Ь51)2 , (q2 -р2 + Ь52)2 _
- +
= 1,
Хг,
У = 5 2 +5 2 +52 = 1,
~ 2pq52 + (р2 -q2)51 ~
У4 = 11 21-+ у 3 53 = с2,
(5)
2У5 = (р2 + q2) г - 2х0р у3 + 2ЬqА = т. Здесь первые четыре интеграла получены из исходных после исключения переменных у1, у2 с помощью соотношений (3), У — дополнительный первый интеграл, найденный О.И. Богоявленским.
Для уравнений (1), (4) поставим задачу выделения ИМ и семейств ИМ с указанными выше свойствами и исследования их устойчивости.
Выделение и анализ «резонансных» инвариантных многообразий
ИМ, на которых первые интегралы задачи связаны некоторыми полиномиальными соотношениями, будем называть «резонансными».
Для исходных дифференциальных уравнений найдем ИМ, на которых интегралы
Н, У1, У2,У3 (2) связаны, например, соотношением вида:
2Н2= Л У + Л2 У + Л3 У3, (6)
где Л — некоторые величины, одновременно не
равные нулю.
Для этого запишем необходимые условия экстремума семейства интегралов
2К = 2Н2 -Х1У -Л2У -Л3У (7)
по фазовым переменным р, q, г, у, у2, у3, А,
52,53:
дК/др = 2[(аЬА - ар2) р + Ля А + р (г2-ОД2 + + а2х0 у )] = 0, дK/дq = -2[а2 (ЬА + ар2) q -
-^рр! + q (а1р2 - г2)] = 0,
дК/дг = г [2(р2 + q2 + ху - ЬА) + г2] = 0, дК/ду = х (а2р2-ОД2+ г2- афА ) -- у (аХ + Л) = 0, дК/ду = -Лу + + Л Х0 (2pq - А ) = 0, дК/ду3 = -Л у3 = 0, дК/дА = -ЛА -ЬЛ(2pq-а) = 0, дК/дА = -аЬ2 а -ЛА + ь [ар2-а А-г2] = 0,
дК/дА = -ЛА = 0.
Здесь р1 = х0 у2 - Ь51, р2 = q2 + х0 у1, а = Л - 2,
а = Л + 2 •
Решения уравнений (8), в случае когда они зависимы, позволяют определить ИМ дифференциальных уравнений (1). Чтобы найденные ИМ обладали «резонансным» свойством, нужно добавить к уравнениям (8) условие К = 0.
Как было показано в [6], условия зависимости уравнений стационарности К и искомые решения можно получить, разрешая указанные уравнения относительно части фазовых переменных и части параметров, входящих в семейство первых интегралов К. Воспользуемся данным способом в рассматриваемой задаче.
Построим для полиномов системы уравнений (8), дополненной равенством К = 0, лексикографический базис Гребнера [7], считая неизвестными р, г, у2, А, А, Л, ^, Л •
В результате получим систему, эквивалентную исходной, но более удобную для нахождения решений и анализа. Последняя разделяется на две подсистемы.
Подсистема 1:
2
Х
0
Х
0
X, = 0, (2 8Ь% =0,
- 2)(х0У! + q2) + Ь+ 2) 52 =0,
р = 0, г = 0, у2 =0, 5 =0, 5 =0. Подсистема 2:
^ =0, ^ = 0,
(9)
(10)
-4х^ у-4q + а = 0,
х0у-2pq-Ь5 =0, qг + а = 0, где а = Ь25:2 + х° у2 - 2Ь (252q2 + х0 ).
(12)
=0, ^ —
_ 2(Ь + (q2 + х0 У1))
Ь ± (q2 + х0 У1)
(13)
устойчивость, используя в качестве функции Ляпунова интеграл К . Запишем выражение этого интеграла для уравнений возмущенного движения в окрестности ИМ (12):
2ДК = х02 £2 - Ь2 £2 - 6Ьх0 + Ь2 £2. (15)
(11) Здесь
4q2 + г 2 1
= Ух +—-—, = 51 +т (2pq - х0 у 2Х 4х„ Ь
Ь 2 Г -
12 24 1
Из анализа 1-й подсистемы следует, что уравнения (10) с учетом условия V = 1 определяют
два ИМ коразмерности 6 дифференциальных уравнений (1), что нетрудно проверить прямым вычислением по определению ИМ. При значениях ^,Х2,:
£з = 52 -Т (Р ^ +—)
Ь
4
Xз =4Ь(Ь + (q2 + х0 У1)), найденных из уравнений (9) (при 52 = ±1), на данных ИМ между первыми интегралами задачи выполняется полиномиальное соотношение
Н2 |0 = X V |0 V 1о или в явном виде:
(Ь + (q2 + х0 У1))2 =(Ь + (q2 + х0 У1))2.
Таким образом, найденные ИМ обладают «резонансным» свойством.
Уравнения векторного поля на этих ИМ
= х0 Уз, у 1= -Ч Уз, уз= ЗУ > (14) полученные из исходных после исключения переменных р, г, У2, 5, 5, 5 с помощью соотношений (10), V =1, описывают маятникоподобные
колебания тела относительно неподвижной главной оси инерции тела Оу, расположенной в горизонтальной плоскости. Последние два выражения
(13) являются первыми интегралами уравнений
(14).
Уравнения (12) определяют ИМ коразмерности 3 дифференциальных уравнений (1). При X2 =0, =0 (11) данное ИМ обладает «резонансным» свойством: на этом ИМ выполняется соотношение Н2 |0= V 1о между первыми интегралами задачи.
Так как ИМ (12) стационарное (интеграл
К = Н2 - V принимает стационарное значение на этом ИМ), его можно исследовать на
отклонения от ИМ в возмущенном движении.
На линейном многообразии
5Н = х0 £1 - Ь £з =0 квадратичная форма (15)
знакоопределена: 2ДК1 = -4x0 £2 - Ь2 £2, откуда
следует устойчивость ИМ (12).
Выбирая неизвестными в уравнениях (8),
К = 0, различные комбинации параметров X ^ и
фазовых переменных, можно получить другие «резонансные» ИМ дифференциальных уравнений (1), соответствующие семейству интегралов K. Ниже приведены уравнения двух ИМ коразмерности 6, найденные описанным выше способом. В качестве неизвестных использовались
q, г,У2,Уз, 5l,^ Хз,Хз.
Уравнения этих ИМ имеют вид: д = 0, г = 0, У1= ±1, У 2 = 0, У з = 0,51=0. (16)
При
X = -
2(Х0 ± (р2 - Ь52)) х0 + (р2 - Ь52) '
(17)
х2 = 4х0(х0 ± (р2 - ь53)), хз =0 на данных ИМ выполняется полиномиальное
соотношение Н2 |0 = X V 1о +Х2 V 1о между первыми интегралами задачи или в явном виде: (х0 ±(р2 -Ь52))2=(х0 ±(р2 -Ь52))2.
Уравнения векторного поля на ИМ (16) записываются как
2р = Ь53, (52 = р53, 53 = -р52
и определяют маятниковые колебания тела относительно вертикальной оси Ox. Вектор постоянного магнитного момента расположен в горизонтальной плоскости.
Выражения для X, X (17) являются первыми интегралами уравнений векторного поля на найденных ИМ.
Механика
О выделении и анализе инвариантных многообразий, доставляющих стационарное значение нескольким первым интегралам
Для дифференциальных уравнений (4) рассмотрим задачу выделения ИМ, на которых несколько элементов алгебры первых интегралов задачи принимают стационарное значение. Для нахождения таких ИМ воспользуемся стандартной процедурой построения огибающей семейства кривых, поверхностей и т. п.
Вначале найдем семейство ИМ, элементы которого доставляют стационарное значение некоторой линейной комбинации первых интегралов задачи, например,
Л л
К = л0 Н —1у —^у -л,~ - л4У,
0 2 2 2 3 3 4 4 5
(18)
где Л — параметры семейства интегралов К .
Применим использованную выше технику. Запишем необходимые условия экстремума
семейства интегралов К~ по фазовым переменным
А q, г, уз, 5l, А2,53:
дК/др = 4Л0 р -
2М(р2 + q2) р + Ь р5 2)]
2Л 3( р51 + q5 2)
+ л4(Х0у3 - рг) = 0,
дK/дq = -
_ 2М(р2 + q2)q + Ь (р51 + q52)]
+
+
2Л з(q5l- р5 2)
-Л 4^г + Ь53) = 0,
дК/дг = 2Л0 г-Л, (р2 + q2) = 0, дК/ду3 = -Лу3 -Л353 +Л4 хр = 0,
дК/д53= -^р^-л2а-
л 3( р2 - q2)
ХЛ
= 0, дК/д52 = -2ЬЛ0-Л252 -
-р + Ь52) 2Л3pq _
= 0,
ХЛ
ХЛ
(19)
00 дК/д53 = -Л253 -Л3у3 - VЬ q = 0
и построим для полиномов системы (19) лексикографический базис Гребнера, считая неизвестными г, у3, А, 52, А, Л0. В результате уравнений, эквивалентную
получим систему исходной:
- 4Л0а2 + Л4 а = 0,
(20)
Лаг - 2а(р2 + q2) = 0,
-а2у3- Л (Л Ьq + Л х0р) = 0, а2А3- Л (Л Ьq + Лх0 р) = 0,
0 2 (21)
2ааА-2ЛаЬ(р -q )+
+ 4Л а Хopq+Л аьх1 = 0, -аА -2ЛЬpq-Л3х0(р2 -q2) = 0, где а = Л Ь2 + Л2хI, а2 = Л3 - Л^2 •
Уравнения (21) определяют семейство ИМ коразмерности 5 дифференциальных уравнений
(4), параметризованное Л, Л, Л, Л . При
значении Л0 = ЛА а/(4а), которое находится из
уравнения (20), интеграл К принимает стационарное значение на элементах данного семейства.
Построим огибающую семейства интегралов
К = ^Ну у -Л ~ -Л У
4а,,
2
2
М г 5
(22)
по параметру Л. Для этого вычислим производную К по Ли приравняем ее к нулю:
4
дК = Л4( Х2Л2 + Ь2 Л2) дЛ (Л2 - Л]Л2)2
Откуда найдем
1 Л 2 Л 2 Л = ^ + ^
( Х2Л2 + Ь 2Л2) Н
2У
Л
Л 2 К
( х02 +ь 2л2) Н
2У
Первый корень позволяет получить искомый огибающий интеграл и уравнения семейства ИМ, элементы которого доставляют стационарное значение данному интегралу.
Подставив Л в (22), получим огибающий
интеграл:
ь л
К = --
4Л
'4 Н -Л у - Л у - Л ~ - Л4 у +
2Л
2
+
Л х02л2 + ьЛ
лЛ 2
(23)
НУ'
Чтобы получить уравнения семейства ИМ, доставляющего стационарное значение интегралу
К, достаточно подставить Л^ в уравнения (21).
2
Х
0
Х
0
2
Х
0
Х
0
2
Х
0
После элементарных преобразований указанные уравнения принимают вид
4X2 (р2 + q2) + Ь\А г = 0,
-2аУ3 -Ь(bX3q + х0X2р) = 0,
^к2q + ^[2а53 + bX4х0(2^x0q-Ьк3р)] = 0, (24)
4Ь[а52 + Ь!2^2 -р2)]-8Ьх0X2X3pq +
+х^2^2 - р2)+Ь Х] = 0,
- Ь(ад1 + 2bX2pq) + ЬхаXX (р2 - q2) -
- 4x3X2pq = 0, где а = Ь^ + x(2X3 и определяют семейство стационарных ИМ коразмерности 5 дифференциальных уравнений
(4), параметризованное X2, X,X, что можно проверить прямым вычислением по определению ИМ и подстановкой выражений (24) (которые разрешены относительно фазовых переменных) в уравнения стационарности интеграла К. Последние обратятся в тождество.
Прямым вычислением также проверяется, что уравнения стационарности интеграла К (22) обращаются в тождество на элементах семейства ИМ (24) при X = -(Ь2X2 + 2х2 X32)/(Ь2X-,) .
Таким образом, два семейства интегралов К (23) и
К = ^ Н + Ь 2x2з +,2 ^ ~V-X ~-X V
4ос2 2Ь2х 2 з з 4 45
2
принимают стационарное значение на элементах семейства ИМ (24). Здесь
а 1 = -(Ь 2 ^^2 - 3,
а2 = 2(x3 + (x2x22)/ь2).
ИМ, обладающие искомым свойством, можно также получить, решая совместно уравнения стационарности нескольких семейств базовых интегралов. Найдем, например, ИМ, на которых следующие семейства интегралов
К = X 0 Н-А^ V2-X 4
(25)
К2= Ц Н -Ц ~ ^ Уз ^ V? (26)
принимают стационарное значение при некоторых значениях X, ^, X^, Ц .
Запишем необходимые условия экстремума семейств интегралов К , К по фазовым
переменным р, q, г, У3, 5, 52, 5:
дК1/др = 4X0р + X4(х0Уз - р г) = 0, дK1/дq = -X 4(Ь5з + qг) = 0,
X
дК1/дг = X0 г(р2 + q2) = 0, дКх /д"У3 = X х0р = 0,
дК1/д51 = -X 251(52 +5 2 + 52) = 0, (27)
дК1/д5 2 = -X 25 2(52 +5 2 + 52) - 2bX 0 = 0, дК /д5 = (52 +52 + 52) - ЬX4 q = 0, дК2/др = -2ц [р (р2 + q2) + Ьр3 ] -
-Цзр1р 4 + 4Ц 0 = 0,
дК 2/дq = (р2 + q2) + Ьр4] +
+ ^р^з = 0, дК2/дг = ц0 гр2 = 0, дК2 /д^3 = -^353р1 - 2ц х0 у = 0, дК2Щ = -2Ьц (Ь5 + 2р4) - ц (р2 -
- g 2)р - 2Ц х051 =0,
дkз/д5з = -Ьм (ь52- р2 + g2) - ^р gPl-
- ^ЦЛ - 2Ь ЦР г) = 0, дК2/д53 = -РьУъР\ - 2ц2Х5 = 0, где р1 = 252р q + 51(р2 - q2) + х05зУз,
р2 = 4р2 + г2 - 4Ь5, р = 5q-52р,
р4 = + 5зg,
и построим для полиномов системы (27) лексикографический базис Гребнера относительно переменных р, г, У3, 5, 5, X2, Ц, Ц2, ^ . В результате получим следующую систему уравнений, эквивалентную исходной: X4 = 0, ц2 - 8Ь2Ц0 =0, Ц = 0,3ЬX0 + = 0, (28)
5 =0,5 =0, г = 0, р = 0. (29)
Уравнения (29) с учетом условия V =1 определяют два ИМ коразмерности 5 дифференциальных уравнений (4). При ограничениях на Ц, Ц2, X4, задаваемых соотношениями (28) (где 52 = ±1), семейства интегралов К , К принимают стационарное значение на этих ИМ. В частности, семейства интегралов 2КХ = X,, (2Н + ЬУ3 ), К2 = Цо Н2-
- 4Ь2Ц0 V - Ц ^42/4 принимают стационарное значение на ИМ
р = 0, г = 0, 51 = 0,52=1,5з=0, (30)
Механика
а семейства интегралов 2!С1 = 2Л0 Н - ЬЛ0 У2, К2 = ц0 Н2 - 4Ь2ц0 У - Ц3 У~2/4 на ИМ
р = 0, г = 0, А = 0, А = -1, А =0. (31)
Уравнения векторного поля на этих ИМ записываются так:
^ = Х0 уз, Х0 у3 = ±q (Я2 + Ь).
В исходном фазовом пространстве ИМ (30), (31) соответствуют ИМ (10), уравнения векторного поля на которых описывают маятникоподобные колебания тела относительно неподвижной главной оси инерции тела Оу, расположенной в горизонтальной плоскости.
Для ИМ (30) можно получить достаточные условия устойчивости.
Вторая вариация интеграла К = 2Н + ЬУ2 для уравнений возмущенного движения в окрестности ИМ (30) имеет вид:
52К = 2Ь^2 + 6Ь ^2 + 2Ь + 4 ^ + , (32)
где £ = А ^ = 52 -1, ^3 = А ^ = р, ^5 = г — отклонения от ИМ в возмущенном движении.
Квадратичная форма (32) знакоопределена при Ь > 0 , что является достаточным условием для устойчивости ИМ (30).
Заключение
Для уравнений движения твердого тела в гравитационном и магнитном полях рассматривалась задача нахождения ИМ и семейств ИМ, доставляющих стационарное значение нелинейным комбинациям базовых первых интегралов. Уравнения исследовались как в исходном фазовом пространстве задачи, так и на ИМ этих уравнений.
Для уравнений движения в исходном фазовом пространстве найдены «резонансные»
ИМ коразмерности 3 и 6, на которых выполняются некоторые полиномиальные соотношения между первыми интегралами задачи. Дана механическая интерпретация ряда ИМ. Для ИМ коразмерности 3 получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову.
Для уравнений движения на многообразии найдены ИМ и семейство ИМ коразмерности 5, доставляющие стационарное значение нескольким элементам алгебры первых интегралов задачи. Дана механическая интерпретация найденных ИМ, и для одного из ИМ получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Богоявленский О.И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле // ДАН СССР. 1984. Т. 275, № 6. С. 1359-1363.
2. Ковалевская С.В. Научные труды. М.: АН СССР, 1948.
3. Сарычев В.А., Гутник С.А. Динамика осесиммет-ричного спутника под действием гравитационного и аэродинамического моментов // Космические исследования. 2012. Т. 50, № 5. С. 394-402.
4. Рябов П.Е. Фазовая топология одной неприводимой интегрируемой задачи динамики твердого тела // Теоретическая и математическая физика. 2013. Т.176, № 2. С. 205-221.
5. Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Об инвариантных многообразиях систем с первыми интегралами // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 4. С. 531-537.
6. Иртегов В.Д., Титоренко Т. Н. О некоторых классах решений уравнений движения гиростата // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2014. Т. 43, № 3. С. 19-25.
7. Прасолов В.В. Многочлены. М. : МЦНМО, 2000. 336 С.
УДК 519.6 Дмитриева Татьяна Львовна,
д. т. н., профессор, кафедра сопротивления материалов и строительной механики, Иркутский национальный исследовательский государственный технический университет,
тел. 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu.
Ле Чан Минь Дат,
аспирант кафедры сопротивления материалов и строительной механики, Иркутский национальный исследовательский государственный технический университет,
тел. 89246281608, e-mail: letranminhdat@gmail.com.
РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ
T.L. Dmitrieva, Le Tran Minh Dat
SOLUTION OF METAL SPACE STRUCTURES OPTIMIZATION TESTING PROBLEMS
Аннотация. Рассмотрена постановка задачи оптимизации пространственных металлических конструкций в форме задачи нелинейного математического программирования. Алгоритм решения предполагает сведение условно-экстремальной задачи к задаче на безусловный экстремум с помощью модифицированной функции Лагранжа. Задача безусловной минимизации решалась методом деформируемого многогранника. Разработан программный комплекс расчета и оптимизации пространственных металлических конструкций (РОПМК), на основе которого выполнен автоматизированный расчет пространственных металлических конструкций (ПМК) с оптимальными параметрами. Рассмотрено два примера оптимизации ПМК, где целевая функция представляет собой вес конструкций, а ограничения формализованы в виде требований по прочности и жесткости. Выполнено сравнение оптимальных результатов с решениями, полученными другими авторами. Исследовано влияние некоторых параметров алгоритма на его сходимость, на основании чего даны рекомендации по назначению этих параметров.
Ключевые слова: металлические пространственные конструкции, оптимальное проектирование конструкций, метод конечных элементов, метод оптимизации, нелинейное математическое программирование.
Abstract. The statement of optimization problem of the metal space structure is considered in the form of non-linear mathematical programming. The solving algorithm presupposes the reduction of conditional extreme problem to an unconditional extremum using a modified Lagrange function. Unconstrained minimization problem is solved by the simplex method. Based on the developed for metal space structure program complex calculation and optimization an automated calculation of the metal space structures with optimal parameters is carried out. Two examples of optimization of metal space structures are considered, where the objective function is the weight of structures and constraints are formalized in the form of requirements for strength and stiffness. The comparison of the best results with the solutions obtained by other authors is performed. Based on the investigation of the influence of some parameters on the convergence of the algorithm recommendations for the appointment of these parameters are given.
Keywords: metal space structures, optimal structures design, finite element method, optimization method, nonlinear mathematical programming.
Введение
Пространственные металлические конструкции (ПМК) получили массовое применение в мировой строительной практике (и в частности в России) начиная с 60-х годов XX в., когда были найдены рациональные решения их конструктивных схем и узловых соединений, появились методы расчета на ЭВМ сложных статически неопределимых систем. Этому процессу способствовало также развитие и совершенствование поточных производств, позволяющих изготовлять крупные серии стандартных конструктивных элементов при сравнительно небольших затратах. В большинстве случаев ПМК представляют собой каркасы зданий и инженерных сооружений (фабрик, цехов, чаш радиотелескопов, раскрывающихся антенн космического летательного аппарата, опор линий электропередачи и т. д.). В настоящее время строительство ПМК ведется с учетом быстроменяющихся технологий. В связи с этим изменяются как габариты промышленных зданий, так и конструктивные решения их элементов под действием статических и динамических нагрузок. Современ-
ные подходы к проектированию ПМК выдвигают требования снижения материальных и трудовых ресурсов, что связано с всесторонним исследованием напряженно-деформированного состояния конструкций, стремлением к оптимальному использованию их несущей способности. Эта проблема может быть решена на основе методов оптимизации конструкций.
1. Постановка задачи
Среди множества подходов к решению задачи оптимального проектирования конструкций можно отметить постановку в форме задачи нелинейного математического программирования (НМП), где целевая функция fx) определяет критерий оптимальности (объем, вес и др.) [1]: найти min fx, D(x)), xeEm, (1)
при ограничениях
gj (x, D(x))< 0, j = 1,2,..., m, (2)
xf < x < xU, i = 1,2,...,nx. (3)
Для получения оптимального проекта варьируются геометрические и физические параметры конструкций (вектор {X}) на интервале {XL}-{XU}.
Механика
Функции ограничений gj(x) представляют собой требования по прочности и местной устойчивости, а также конструктивные ограничения в соответствии с нормами СП 16.13330.201 «Стальные конструкции». Кроме того, эти функции могут содержать ограничения по жесткости в виде допусков на перемещения узлов.
Функции ограничений связаны с варьируемыми параметрами X неявно - через параметры состояния ОД, которые могут представлять собой перемещения узлов (5), внутренние силовые факторы (5), напряжения (о), деформации (е) и т. д.:
= (4)
В выражении (4) вектор {5} для пространственной задачи включает 6 компонентов: Му, Mz (изгибающие моменты), Мх (крутящий момент), Qy, Qz (поперечные силы), N (продольная сила), которые определяются решением задачи конечно-элементного анализа в линейной постановке:
(5)
K (»{ f (4
где [к (х)] - матрица жесткости системы; {Г(х)} -вектор внешней нагрузки.
На рис. 1 показан общий алгоритм решения задачи оптимизации.
Особенностью алгоритма является тот факт, что нахождение усилий и перемещений производится прямым конечно-элементным расчётом при каждом обращении к функциям ограничений. При этом решение задачи статического анализа реализовано для пространственных стержневых конструкций.
Конструктивный расчет включает проверки по прочности, устойчивости, согласно нормативному документу СП 16.13330.2011 «Стальные
конструкции».
В библиотеке сечений вычисляются геометрические характеристики простых и сложных сечений.
Блок оптимизации разработан на основе многометодных алгоритмов условной и безусловной минимизации, где использованы эвристические процедуры переключения поисковых методов различных классов.
Приведем стандартную постановку задачи
НМП:
найти min f (х), x eEvc, (6)
при ограничениях g (x)<0, j = 1,2,...,m; (7)
xL < xi <xU, i = 1,2,...,nx . (8)
Для её решения будем использовать один из наиболее известных подходов к исследованию минимаксных задач, а именно сведение условно-экстремальной задачи (6-8) к задаче на безусловный экстремум с помощью стандартной функции Лагранжа:
Fl = f(x)+ЫГ [5]{g'}, (9)
где {7} - вектор множителей Лагранжа (двойственные переменные); [5] - диагональная матрица, элементы которой 8у=1, если соответствующее ограничение является потенциально активным, иначе 8&=0.
В [6] показано, что область применения функции Лагранжа ограничивается задачами выпуклого программирования. Для построения алгоритмов, обладающих более широкой областью сходимости, наиболее эффективно использовать модифицированные функции Лагранжа (МФЛ). Из
Рис. 1. Алгоритм оптимизации при прямом вычислении функции цели и ограничений
возможных модификаций функции (9) была выбрана функция Fp(x):
Fp = kfFL + 0,5{g [ö][k]{g *}. (10)
Здесь kf - коэффициент нормировки функции Лагранжа; [k ] - диагональная матрица штрафных коэффициентов.
Использование МФЛ (10) позволяет расширить область решения условно-экстремальных задач для случаев, когда функции цели и ограничений не выпуклы, что имеет место в задачах оптимизации ПМК.
Итерационный алгоритм решения минимаксной задачи (6-8) с помощью функции (10) включает в себя:
А) Процедуру определения вектора прямых переменных [Xt+1}, когда при определённых {Xt}, {Tt} на заданном интервале решается безусловно экстремальная задача:
{Xм } е Arg min Fp(X').
Б) Процедуру определения вектора двойственных переменны^^1}. При этом используется сравнение условий стационарности стандартной и модифицированной функции Лагранжа:
( к' л
Y';1 = max 0, Y' + j g * (x'+1) .
v kf j
Для повышения скорости сходимости в функции ограничений добавляется коэффициент нормировки kg, который изначально задается в безразмерной форме:
g'j(x) = kg[gj(x) -1]< 0, j = 1,2,..,m. (П)
Критерием сходимости алгоритма являются проверки:
X'+1 -X' <s,l X'
g
<s,
(12)
где - множество потенциально активных ограничений; вх, - заданная точность вычислений; t -номер итерации [1].
Алгоритм оптимального проектирования ПМК был автоматизирован. На его основе разработан программный комплекс расчета и оптимизации ПМК РОМПК
2. Тестовые задачи оптимизации пространственных металлических конструкций В качестве примеров рассмотрим задачи оптимизации 25-стержневой и 72-стержневой пространственных конструкций (рис. 2, рис. 3), приведенные в работах зарубежных авторов [3, 4, 5]. Были прияты следующие характеристики: ^ Модуль упругости E = 69850 МПа. ^ Плотность материала р = 2,714 кН/м3.
S Вид деформируемого состояния: сжатие -растяжение.
S Число загружений: 2.
Рис. 2. Пространственная 25-стержневая конструкция
Рис. 3. Пространственная 72-стержневая конструкция
В ниже приведённых примерах варьировались параметры поперечных сечений (табл. 1).
Т а б л и ц а 1
Тип сечения
Вариант 1
Варьируется de
(t=de/24)
Вариант 2
Варьируется H
(ts= H/24)
di
de
H
-7t,{-ts
"H
Выполнено сравнение 2 вариантов решения каждой задачи:
- вариант 1: кольцевое сечение, где варьиро-
V
Механика
вался только внешний диаметр (йв), а значение толщины (0 принято в частях от йв;
- вариант 2: коробчатое сечение, где варьировалась ширина (И), толщина (¿5) принята в частях от И.
Пример 2.1. Оптимизация пространственной конструкции, содержащей 25 стержней (рис. 2).
Рассмотрим 25-стержневую ПМК при двух случаях загружений силовой статической нагрузкой (табл. 2).
Т а б л и ц а 2
Случаи заг ружения (пример 1)
Загру-жение Загруженный узел Сила (кН)
X Y Z
1 1 22,24 22,24 -22,24
2 1 0 0 -22,24
2 0 0 -22,24
3 0 0 -22,24
4 0 0 -22,24
Sjx
Axj
-i < o,
S jy
Л„„
-i < o, j = i, 2,
Приведем математическую постановку задачи, где целевая функция Дх) представляет собой вес конструкции [1]:
25
/ (х) = х 4 • I р,
1=1
где Л/, и - площадь поперечного сечения и длина /-го элемента; р - плотность материала.
Функции ограничений представлены в следующем виде:
1. Проверка на прочность в /-м элементе конструкции:
--1" 0, 3 = 1, 2,...,25.
Здесь N - значение продольной силы /-го элемента; [а] - предельные напряжения в сжатых элементах, которые приняты с учетом коэффициента продольного изгиба (табл. 3).
2. Ограничение на перемещение верхних узлов 1 и 2 по направлениям х и у:
где максимальное значение перемещения
Дтах = 0,889 см (±0,35 ш).
Элементы 25-стержневой конструкции были сгруппированы по типу сечений. Назначено 8 групп, приведенных в табл. 2. Общее число ограничений для каждого случая загружения - 29.
Отметим, что ограничения по напряжениям проверялись для наиболее нагруженного элемента в каждой группе.
Поставленная задача была решена на основе алгоритма, приведенного на рис. 1 , с использованием модифицированной функции Лагранжа (10). Задача на безусловный экстремум решалась методом деформируемого многогранника.
Приняты следующие начальные значения и диапазоны варьируемых параметров:
В варианте 1 йво = 5 см, на диапазоне ёвт/п=0,717 см; ёетса=100 см, Ат/п= 0,0645 см2;
В варианте 2 Итп= 0,635 см; Итах = 100 см; Ио = 10 см, Ат/п= 0,0645 см2.
Входные параметры задачи оптимизации:
кт/п 200; Д^тах 0,2
Результаты решения
В варианте 1 оптимальное значение целевой функции (вес конструкции) было получено на 3-й итерации /Ора= 2,364 кН. Выявлены активные ограничения на напряжение (£2 = 0,63 • 10-5, £¡6 = 0,66 • 10-5, £19 = -0,81 • 10-5) и на перемещение узлов 1 и 2 по оси у (£27 = 0,11 • 10-3, £29 = -0,17 • 10-3) при заданной точности в невязках ограничений до 10-4.
В варианте 2 минимальный вес был получен на 4-й итерации ^0р2= 2,342 кН с активными ограничениями на напряжение в элементах 2, 16, 19: £2 = -0,47 • 10-5, £16 = 0,72 • 10-5, £19 = -0,42 • 10-5 и на перемещение узлов 1 и 2 по оси у: £27 = = 0,9• 10-4, £29 = -0,11 • 10-3.
Т а б л и ц а 3
Группа элементов Элементы Напряжение при сжатии МПа (ksi) Напряжение при растяжении МПа (ksi)
1 1 241,95 (35,092) 241,32 (35,0)
2 2, 3, 4 ,5 79,91 (11,590) 241,32 (35,0)
3 6, 7, 8, 9 119,31 (17,305) 241,32 (35,0)
4 10, 11 241,95 (35,092) 241,32 (35,0)
5 12,13 241,95 (35,092) 241,32 (35,0)
6 14, 15, 16, 17 46,60 (6,759) 241,32 (35,0)
7 18, 19, 20, 21 47,98 (6,959) 241,32 (35,0)
8 22, 23, 24, 25 76,41 (11,082) 241,32 (35,0)
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
На рис. 4 показано функции на итерациях.
s 7000
£ 6000
:= _ S. — 5000 4000
П И äjfc s 300^ : : : ■
g 1000
S 0
Вариант 2
"01234 Номер итерации с
Рис. 4. Изменение целевой функции на итерациях
Из рис. 4 видно, что глобальный оптимум был получен за малое число итераций, с достаточно высокой точностью вычислений (пятый порядок в невязках активных ограничений). Оптимальный вес конструкции во втором варианте был получен на 22 Н меньше, чем первый. Таким образом, применение разных типов поперечного сечения элементов может приводить к более экономичным решениям.
Сравнение результатов
Выполнено сравнение результатов полученных оптимальных решений с результатами, опубликованными другими авторами, наиболее известные среди которых: Адели, Х. Парк [4], Адели, Камаль [3]. Данные сведены в табл. 4.
Пример 2.2. Оптимизация пространственной конструкции, содержащей 72 стержней (рис. 3).
изменение целевой
Максимальные напряжения в сжатых и растянутых элементах в этом примере были приняты одинаковыми и составляли ±172,5 МПа (±25 ksi).
Ограничение по перемещениям Amax =±0,635 см (±0,25 in) накладывалось на узлы 1, 2, 3, 4 в направлениях х и у.
Элементы данной конструкции были сгруппированы по типу сечений (16 групп). Общее число ограничений в задаче оптимизации для каждого случая загружения - 80. Минимальная площадь поперечного сечения - 0,645 см2 (0,1 in2).
Результат решения
Оптимальный вес конструкции был получен на 3-й итерации fopt= 1,640 кН (368,84 lb). Выявлено активное ограничение на перемещение узла 1 по x и у: g73 = -0,38 • 10-4, g74 = 0,38 • 10-4 при заданной точности в невязках ограничений до 10-4.
Рис. 5 показывает изменение значения целевой функции на итерации с начальной площадью поперечного сечения 35,94 см2 (5,57 in2).
0 12 3
Рис. 5. Изменение целевой функции на итерациях
Т а б л и ц а 4
Группа элементов Элементы Оптимальные площади, см2 (in2)
Адели и Камаль [3] Адели, Х. Парк [4] Наша работа
Вариант 1 Вариант 2
1 1 0,0645 (0,0100) 3,0723 (0,4762) 0,0645 (0,01) 0,0645 (0,01)
2 2, 3,4 ,5 12,0897 (1,9855) 15,2096 (2,3575) 6,5409 (1,014) 6,3142 (0,9789)
3 6, 7, 8, 9 19,1006 (2,9606) 16,6406 (2,5793) 16,7082 (2,590) 16,8575 (2,6135)
4 10, 11 0,0645 (0,0100) 0,0645 (0,0100) 0,0645 (0,01) 0,0645 (0,01)
5 12,13 0,0645 (0,0100) 0,0645 (0,1000) 3,3404 (0,5179) 3,6572 (0,5670)
6 14, 15, 16, 17 5,2013 (0,8062) 4,4090 (0,6834) 8,1688 (1,2664) 7,9727 (1,2360)
7 18, 19, 20, 21 10,8355 (1,6795) 10,3529 (1,6047) 10,3247 (1,6000) 9,9292 (1,5394)
8 22, 23, 24, 25 16,3213 (2,5298) 17,9593 (2,7837) 18,4028 (2,8531) 18,6094 (2,8851)
Число итераций 1 - 77 3 4
Число обращений к целевой функции - - 12719 10937
Оптимальный вес, кН 2,427 2,453 2,364 2,342
Группа элементов Элементы Оптимальное решение, см2 (ш2)
Работа [4] Работа [6] Наша работа
1 1, 2, 3, 4 1,0187 (0,1579) 1,0127 (0,157) 0,645 (0,100)
2 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 3,5490 (0,5501) 2,9412 (0,546) 3,3532 (0,5198)
3 13, 14, 15, 16 2,2252 (0,3449) 2,6595 (0,411) 2,5580 (0,3966)
4 17, 18 3,2155 (0,4984) 3,6765 (0,570) 3,4414 (0,5335)
5 19, 20, 21, 22 3,3142 (0,5137) 3,3734 (0,523) 3,1969 (0,4956)
6 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 3,0910 (0,4971) 3,3346 (0,517) 3,2712 (0,5071)
7 31, 32, 33, 34 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,6450 (0,100)
8 35, 36 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,6450 (0,100)
9 37, 38, 39, 40 7,4626 (1,1567) 8,1721 (1,267) 8,0597 (1,2495)
10 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 3,6703 (0,5689) 3,3024 (0,512) 3,2436 (0,5029)
11 49, 50, 51, 52 0,645 (0,100) 0,0645 (0,100) 0,645 (0,100)
12 53, 54 0,645 (0,100) 0,0645 (0,100) 0,645 (0,100)
13 55, 56, 57, 58 13,070 (2,0259) 12,15825 (1,885) 12,2188 (1,8944)
14 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66 3,4400 (0,5332) 3,3089 (0,513) 3,1765 (0,4924)
15 67, 68, 69, 70 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,645 (0,100)
16 71, 72 0,645 (0,100) 0,645 (0,100) 0,645 (0,100)
Оптимальный вес, кН (1Ь.) 1,687 (379,31) 1,688 (379,64) 1,640 (368,84)
Сравнение результатов
По аналогии с предыдущим примером сделаем сравнение полученных оптимальных решений с аналогичными результатами других авторов: Вэнкая, Хот, Реди [5], Адели и Камаль [3]. Данные показаны в табл. 5.
Оптимальные результаты в рассмотренных примерах были проверены на единственность путем выполнения расчётов с разных начальных проектов. Все решения практически совпали (разница в объёме до 0,001 %).
Исследование влияния коэффициента нормировки функции ограничений на сходимость алгоритма
На сходимость алгоритма существенное влияние оказывает коэффициент нормировки функции ограничений к£, т. к. он регулирует крутизну функции ^Р(х). Диапазон его задания достаточно широк: он может влиять на число итераций, но обеспечивать процесс сходимости в целом.
В варианте 2 примера 2.1 рассмотрено не-
сколько решений с разными значениями коэффициента к£ (начальное значение И0 = 13 см). Результаты приведены в табл. 6.
Наиболее быстрая сходимость получена при коэффициенте к£, равном 200. Число обращений к целевой функции для такого расчета равно 11905 (рис. 6), время счета - 60 сек., т. е. на одно обращение к вычислению функции цели и ограничений тратится в среднем 0,05 сек.
Решение тестовых задач показало, что наилучшая сходимость имеет место в том случае, если целевая функция и штрафная добавка, входящие в функцию ^р(х), имеют один и тот же порядок. На основании этого можно дать следующие рекомендации по назначению коэффициента к£ при решении практических задач оптимизации: в случае если размерность исходных данных (координаты, варьируемые параметры и др.) задается в сантиметрах, к£ принимается в диапазоне 100-500. Если размерность исходных данных задается в метрах, к£ принимается в пределах от 1 до 10.
Т а б л и ц а 6
Изменения целевой функции на итерациях при различных значениях kg
г /х) ^ = 20) /х) ^ = 50) /х) ^ = 100) /х) ^ = 200) /х) ^ = 300)
0 615,3993 615,3993 615,3993 615,3993 615,3993
1 203,6065 226,5852 232,0419 233,6029 233,9027
2 233,4051 234,0747 234,1383 234,1462 234,1459
3 234,1282 291,2581 234,1496 234,150 234,1495
4 234,144
сти алгоритма. Доказано, что существуют несколько допустимых областей kg, которые дают наилучшую сходимость, но оптимальный диапазон этого коэффициента рекомендуется брать в зависимости от единиц измерения варьируемых параметров.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дмитриева Т.Л., Ле Чан Минь Дат, Нгуен Ван Ты. Построение математических моделей для проблемы оптимального проектирования стальных конструкций с учетом нормативных ограничений по прочности и устойчивости // Труды XVIII Байкал. Всерос. конф., 2013, Т. 1, с. 167-173.
2. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М., 1975.
3. Adeli H., Kamal O. Efficient Optimization of Space Trusses. Computers and Structures. 1986. 24(3). РР. 501-511.
4. Hojjat Adeli, HyoSeon Park. Optimization of Space Structures by Neural Dynamics // Neural Networks. 1995. Vol. 8, No. 5. РР. 769-781,
5. Venkayya V.B., Khot N.S., & Reddy, V.S. Energy Distribution in an Optimal Structural Design // AFFDLTR-68-156, Flight Dynamics Laboratory, Wright-Patterson AAFB, Ohio.
6. Гольштейн Е.Г. О сходимости градиентного метода отыскания седловых точек модифицированных функций Лагранжа // Экономика и математические методы. 1977. Т. 13. № 2. С. 3.
УДК 531.3:681.5.01:658.5 Железняк Василий Никитович,
к. т. н., доцент, заведующий кафедрой «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. +7 (9148) 969-792, e-mail: zheleznyak_vn@irgups.ru
Ермоленко Игорь Юрьевич,
аспирант, кафедра «Вагоны и вагонное хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. +7 (9642) 218-082, e-mail: ermolenko_iy@irgups.ru Ковенькин Дмитрий Александрович,
к. т. н., доцент кафедры «Путь и путевое хозяйство», Иркутский государственный университет путей сообщения,
тел. +7 (9021) 711-078, e-mail: kovenkin_pph@irgups.ru
АНАЛИЗ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ БОКОВЫХ РАМ ТЕЛЕЖЕК МОДЕЛЬНОГО РЯДА 18-100 ПРИ СИЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ РЕЛЬЕФОМ ГОРНОГО ПУТИ И ДЕФЕКТАМИ НА ПОВЕРХНОСТИ КАТАНИЯ КОЛЕСО - РЕЛЬС
V. N. Zheleznyak, I. Yu. Ermolenko, D. A Kovenkin
ANALYSIS OF MODEL SERIES 18-100 TRUCKS SOLEBAR FREE VIBRATIONS AT FORCE ACTIONS, CAUSED BY THE TERRAIN OF THE MOUNTAIN PATH AND DEFECTS
ON WHEEL-RAIL TREAD AREA
Аннотация. На Восточно-Сибирской железной дороге существуют проблемные вопросы по пропуску грузовых поездов. В течение длительного времени наблюдается повышенный уровень и интенсивность отказов в работе буксовых узлов, что приводит не только к срыву графика движения грузовых и пассажирских поездов, но и к увеличению времени и затрат на техническое обслуживание грузовых вагонов. В данной статье рассматривается постановка задачи оценки колебаний механической системы, состоящей из кузова вагона и тележек, которые взаимодействуют с рельефом горного пути и дефектов на поверхности катания колесо - рельс. Проведена оценка работоспособности буксовых узлов, анализ статического и динамического состояния боковой рамы тележек грузовых вагонов при наличии дефекта на поверхности катания колесо - рельс.
Ключевые слова: собственные колебания, вагон, модельный ряд тележек, колесная пара, рельефный горный путь, неровность, возмущения, динамическая модель, дефекты на поверхности катания колеса и рельса.
Рис. 6. Влияние коэффициента kg на число обращений к целевой функции
Заключение
Решены тестовые задачи оптимального проектирования пространственных конструкций с использованием программного комплекса РОПМК. В рассмотренных примерах элементы конструкций были сгруппированы по типу сечений (8 - в примере 1; 16 - в примере 2). Это позволило сократить число варьируемых параметров, что в конечном итоге повысило сходимость алгоритма и сократило время вычислений.
Выполнено сравнение полученных решений с решениями других авторов [3-5]. Результаты показали, что использование алгоритма НМП на основе модифицированной функции Лагранжа даёт хорошую сходимость за малое число итераций.
Исследовано влияние коэффициента нормировки функции ограничений на скорость сходимо-
Механика
Abstract. On the East-Siberian railway, there are problematic issues to freight trains pass. For a long time an increased level and intensity of axle-boxes failure is observed, which not only leads to schedule disruption of freight and passenger trains, but also increases the time and cost for maintenance of freight cars. This article discusses the problem of assessing the impact of fluctuations in the mechanical system consisting of car body and the bogies, which interact with the terrain of a mountain path, and defects on the wheel-rails tread surface. The performance of axle-boxes is assessed, the static and dynamic freight cars bogies solebars condition is analyzed in case of defects on the wheel-rail tread surface.
Keywords: free vibrations, car, model truck series, pair of drivers, mountain road, roughness, forcing process, dynamic model, defects on wheel-rail tread area.
Введение
Прочность, интенсивность использования и качество технического обслуживания основных технических средств локомотива, вагона, пути на всех железных дорогах мира, в том числе и России, были и есть определяющими в безопасности движения поездов [1].
Исторически так сложилось, что в России прочность железнодорожного пути после перехода на новый тип рельса Р65 многократно увеличилась и стала самой высокой в мире. Прошло уже более 25 лет, но и сегодня мы имеем большие претензии к состоянию пути, особенно в сложных горноперевальных условиях, при наличии резких переходов профиля, а также радиусов малой кривизны, т. е. <350 м. В нашей статье мы рассматриваем проблемы обслуживания и эксплуатации подвижного состава на участке Восточно-Сибирской железной дороги (ВСЖД), которая расположена в сложных геоклиматических и геологических условиях. Развернутая длина главных путей дороги 6188 км, в том числе федерального значения -3848 км. Протяженность кривых составляет 45,1 %, в том числе 25,4 % с радиусами 250-650 м. Часто приводят данные о том, что путь на этих отрезках имеет около 8000 правых-левых поворотов, протяженность бесстыкового пути составляет более 3000 км.
Рассматривая модель пути, режим ведения локомотива и состояние вагонов, всё это представляем как сложную механическую систему, которая участвует в общей динамике колебательного процесса влияет на безопасность движения. Для того чтобы раскрыть механизм и разобраться в причинах схода колес с рельсов, нами предлагается:
- провести анализ влияния силовых воздействий в кривых малого радиуса, обусловленных рельефом пути, на эксплуатационную надежность буксовых узлов тележки модели 18-100 на примере горно-перевального участка ВСЖД в районе станции Большой Луг;
- оценить влияние различных типов дефектов на поверхности катания рельса и колеса [2-3].
Общие положения. Особенности
постановки задачи
Известно, что критерием истины при определении причин и механизма схода колес с рель-
сов являются натурные эксперименты, их результаты требуют осмысления и представляют огромный интерес.
Кривые малого радиуса всегда вызывают необходимость снижения скорости движения. Кроме того, в кривых значительно возрастает нагрузка на узлы и детали подвижной единицы, в том числе и на буксу, за счет действия рамной силы.
Для обоснования взаимозависимости двух факторов: кривой пути и нагревания буксового узла - была положена гипотеза о том, что кривые малого радиуса (Я < 349 м) являются катализаторами для перехода буксового узла из скрытого аварийного состояния в очевидное аварийное состояние [4].
Для подтверждения выдвинутой гипотезы были рассмотрены случаи отцепок грузовых вагонов на участке Иркутск-Сортировочный - Слю-дянка Восточно-Сибирской железной дороги по причине грения буксового узла за 2014 г. (рис. 1).
В том же году по технической неисправности по буксовому узлу было допущено 1395 отцепок вагонов против 1173 за 2013 год, что на 222 больше чем в прошлом году, и их число продолжает расти.
Оценка работоспособности и надежности
буксовых узлов
Многие десятилетия известные ученые Ю.С. Ромен, В.С. Лысюк, М.Ф. Вериго, А.Я. Коган и др. указывали основные причины схода подвижного состава:
- раскантовка рельса;
- излом рельса;
- сдвиг рельсошпальной решетки;
- всползание колеса на рельс и др.
Проводились теоретические и экспериментальные исследования влияния характеристик пути на сходы [5].
Моделирование движения производилось для пути реального очертания с боковым износом рельсов 3 мм, коэффициент трения по ширине поверхности трения головки рельса принимался равным 0,25. Рассматривалось 72 варианта взаимодействия экипажа и пути:
1) по условию плана пути;
2) по условию подуклонки рельса;
3) по условию скорости движения экипажа.
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
Рис. 1. Анализ отцепов вагонов на перегоне Иркутск-Сортировочный - Слюдянка
По результатам моделирования были получены осциллограммы колебаний виляния экипажа в зависимости от пройденного пути, по которым визуально определены диапазоны скоростей движения экипажа, соответствующие потере устойчивости движения, которые приведены в табл. 1.
Т а б л и ц а 1 Скорости движения экипажа, соответствующие
План пути Подуклонка Скорость, км/ч
Кривая радиусом 650 м, возвышение 120 мм 1/12 60-85
1/20 75-80
1/30 65-70
1/60 65-70
Кривая радиусом 850 м, возвышение 150 мм 1/12 60-65
1/20 70-75
1/30 65-70
1/60 65-70
Прямая 1/12 55
1/20 55
1/30 55
1/60 55
Таким образом, следует отметить, что отцепы происходили из-за нагрева буксового узла (рис. 2), как правило, после прохождения кривой малого радиуса [6].
Из табл. 1 видно, что для экипажа в кривых критическая скорость максимальна при подуклон-ке 1/20, а потеря устойчивости наблюдается при 55 км/ч. Произведенный эксперимент позволил разработать методы и средства измерения боковых сил, угла набегания и износа рельсов, что является определяющим при оценке работоспособности и надежности буксовых узлов.
Рис. 2. Анализ показаний «Тревога-0» аппаратуры КТСМ
на участке Иркутск-Сорт. - Слюдянка (3127)
Анализ статического и динамического
состояния боковой рамы
В экспериментальных исследованиях взаимодействия вагона и пути определяются механические характеристики вагона и пути, значения наиболее существенных параметров механических процессов во взаимодействующих конструкциях. В основу этих исследований положены комплексные испытания с использованием динамометрического и путеиспытательного вагонов-лабораторий, с помощью которых регистрируются соответствующей электронной измерительной аппаратурой и компьютерами:
- линейные и угловые перемещения обрессоренных и необрессоренных масс вагона;
- вертикальные и горизонтальные ускорения;
- динамические силы, действующие на вагон при различной конструкции пути и различных неровностях пути;
- вертикальные и горизонтальные нагрузки на путь от вагонов;
Механика
- напряжения в элементах вагона и пути.
По результатам испытаний определяется максимально допустимая скорость движения вагонов по пути с различными типами верхнего строения и планами линии (прямые, кривые) при наличии различных отступлений от проектных норм устройства пути и ходовых частей вагона. В комплексных испытаниях изучается также влияние на динамические процессы различных вариантов конструктивных решений ходовых частей вагона.
Для оценки возможного влияния поперечных сил на зону перехода R55 было осуществлено КЭ-моделирование НДС боковины в процессе ее упругих колебаний [7, 8].
В вышеуказанных работах подробно изложены результаты частотных исследований и приведен анализ, позволяющий сделать вывод, что учет поперечного воздействия возникающего в процессе эксплуатации, является необходимым элементом расчетного обоснования работоспособности, а также разработки конструктивных рекомендаций, направленных на повышение надежности.
В
I
Рис. 3. Интенсивность внутренних напряжений в боковой раме в течение одного периода процесса собственных колебаний
Необходимо напомнить, что основные технические средства транспорта, особенно путь и вагон, весьма консервативны и обладают огромной «наследственной» памятью к перегрузкам. Их «здоровье» было подорвано в результате неразумного десятилетнего эксплуатационного эксперимента по загрузке вагонов 61т - 72т - 80т, при этом были снижены скорости движения поездов, а технические характеристики, например возвышение наружнего рельса, остались прежними, которые были предназначены для более высоких скоростей. Естественно, что эти негативные последствия указанного эксперимента сказываются на дорогах России и особенно на нашем горноперевальном участке, в том числе на интенсивности бокового износа рельсов, гребней и в целом на безопасности движения.
Заключение
Результаты статического и динамического анализа состояния боковой рамы приводят к принципиально различным выводам. При статиче-
ском нагружении очаг возможного разрушения располагается в зоне стыка вертикальной колонки рамы и опорной площадкой пружинного комплекта рессорного проёма. Этот вывод подтверждается результатами разрушения рамы статической нагрузкой. При динамическом характере колебаний рамы возможный очаг разрушения локализуется в зоне радиусной галтели R55 челюстного проёма. Экспериментальная эксплуатация боковых рам показала также, что не изменяется положение очага разрушения и исключаются литейные дефекты рамы в зоне галтели R55.
Повышение эксплуатационной надежности боковых рам требует увеличения изгибной жесткости рамы в поперечном направлении, что может быть достигнуто изменением профиля сечения средней части рамы, например её утолщением или увеличением радиусов галтельных переходов её сечения в зоне её верхнего пояса.
Повышение эксплуатационной надежности боковых рам требует исключения ситуации, когда в паре колёс, объединённых одной боковой рамой, находятся два колеса, имеющих дефекты типа «ползун».
Необходимо осуществление ходовых испытаний вагонов, направленных на исследование пространственной динамики колебаний боковой рамы в процессе движения, с выявлением как частот колебаний рамы в процессе движения, так и их амплитуд и ускорений в трех координатных плоскостях.
Необходимо осуществление расчетных исследований, направленных на выявление характера распространения волн деформаций в цельнокатаных колесах рассматриваемых тележек, вызванных ударным взаимодействием колеса и рельса при прохождении рельсового стыка или при наличии на поверхности катания колес ползунов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лысюк В.С. Причины и механизм схода колеса с рельса. Проблема износа колес и рельсов. М. : Транспорт, 1997. 188 с.
2. Ермоленко И.Ю. Железняк В.Н. Мартыненко Л.В. Влияние размеров и форм дефектов поверхности катания рельсов и колес горно-перевалочного участка ВСЖД на надежность работы грузовой тележки модели 18-100 // Транспортная инфраструктура Сибирского региона : сб. науч. тр. Иркутск, 2015.
3. Ермоленко И.Ю., Железняк В.Н., Санникова Е.Г. Влияние силовых воздействий, обусловленных рельефом пути, на эксплуатационную надежность буксовых узлов тележки модели 18-100 на примере горно-перевального участка ВСЖД // Транспортная инфраструктура Сибирского региона : сб. науч. тр. Иркутск, 2015.
4. Покацкий К.В. Методы определения боковых сил //
