О некоторых классах решений уравнений движения гиростата Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Большаков Р.С. Метод структурных преобразований и его приложения в задачах динамики виброзащитных систем. Определение реакций связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. № 1(41). 2014. с. 8-23

6. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Кашуба В.Б. Прикладные задачи структурной теории виброзащитных систем. Санкт-Петербург : Политехника, 2013. 363 с.

7. Елисеев С.В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е. Иркут. гос. ун-т путей сообщения. Ирутск, 2009. Деп. в ВИНИТИ 27.11.2009, № 737-В2009.

8. Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Сочленения звеньев в динамике механических колебательных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 156 с.

9. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно - упругие связи : монография. СПб. : Политехника, 2013. 319 с.

10. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Ме-хатронные подходы в динамике механических колебательных систем. Новосибирск : Наука, 2011. 384 с.

11. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Системный анализ и математическое моделирование в мехатронике виброзащитных систем. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2012. 288 с.

12. Елисеев С.В., Гордеева А.А., Фомина И.В. Динамические свойства колебательных систем при пре-

дельных значениях параметров // Вестник ВСГУТУ. № 4(35). 2011. с. 45-54

13. Елисеев С.В., Лонцих П.А. Оценка форм взаимодействия между парциальными системами в механических цепях. Возможные упрощения // Вестник ИрГТУ. 2012. № 6. Т. 65. С. 17-21.

14. Патент 133232 Российская Федерация, МПК F16F7/10; F16F15/04. Устройство для гашения колебаний / Елисеев С.В., Савченко А.А., Трофимов А.Н., Паршута Е.А., Артюнин А.И. опубл. 12.02.2013.

15. Елисеев, С.В., Паршута Е. А., Большаков Р. С. О возможностях мехатронных подходов к задачам виброзащиты технических объектов // Вибрация машин: измерение, снижение, защита. 2012. № 4(31). С. 46-50.

16. Трофимов А.Н. Концепция обратной связи в динамике механических колебательных систем и процессы динамического гашения колебаний : автореф. дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2012. 19 с.

17. Елисеев С.В. Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. Вып. № 4(36). С. 61-70.

18. Большаков Р.С. Компакты упругих элементов механических колебательных систем. Вопросы построения и взаимодействия с элементами систем // Молод. вестн. УГАТУ. 2013. № 1. с. 71-80.

УДК: 517.925; 531.36

Иртегов Валентин Дмитриевич,

д. ф.-м. н., с. н. с., Учреждение Российской Академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-92, е-тай: irteg@icc.ru

Титоренко Татьяна Николаевна, к. т. н., с. н. с., Учреждение Российской Академии наук, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, тел. (3952) 45-30-12, е-тай: titor@icc.ru

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА

V. D. Irtegov, T. N. Titorenko

ON SOME CLASSES OF SOLUTIONS OF THE MOTION EQUATIONS OF A GYROSTAT

Аннотация. Рассматривается задача о движении гиростата в поле постоянной силы тяжести. Геометрия масс тела и начальные условия его движения соответствуют интегрируемому случаю Сретенского (обобщение случая Горячева - Чаплыгина). Решается задача выделения инвариантных многообразий (ИМ) уравнений движения гиростата и исследования их качественных свойств. На основе модифицированной процедуры Рауса - Ляпунова и методов компьютерной алгебры получен ряд новых ИМ коразмерности 3 и семейства одномерных ИМ. Исследованы качественные свойства найденных ИМ. Например, показано, что семейства одномерных ИМ являются подмногообразиями ИМ коразмерности 3. Некоторые из ИМ коразмерности 3 имеют точки пересечения, которые соответствуют перманентным вращениям гиростата вокруг вертикали. Для указанных движений получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову. Все вычислительные задачи решались при помощи системы компьютерной алгебры «Mathematica».

Ключевые слова: гиростат Горячева - Чаплыгина, инвариантные многообразия, устойчивость, компьютерная алгебра.

Abstract. The problem of motion of a gyrostat in constant gravity field is considered. The geometry of masses of the body and the initial conditions of its motion correspond to the Sretensky integrable case (the generalization of the Goryachev - Chaplygin case). The problem of finding the invariant manifolds for the motion equations of the gyrostat is stated. On the base of the modified Routh-Lyapunov technique and computer algebra methods, the new invariant manifolds (¡Ms) of 3 codimension and the families of one-dimentional ¡Ms have been found. Quantitative properties of the ¡Ms have been investigated. For example, it was shown that the families of one-dimensional ¡Ms are submanifolds of the ¡Ms of 3 codimension. Some of the ¡Ms have intersection points, which correspond to permanent rotations of the gyrostat around a vertical. The sufficient stability conditions in the sense of Lyapunov have been obtained for

these motions. The computing problems occurring in the investigation were solved with the aid of computer algebra system «Mathematica».

Keywords: the Goryachev - Chaplygin gyrostat, invariant manifolds, stability, computer algebra.

Введение

Рассматривается задача о движении гиростата в поле постоянной силы тяжести. Геометрия масс тела и начальные условия его движения соответствуют случаю интегрируемости, найденному Сретенским [1]. Данная задача исследовалась во многих работах, из них лишь незначительная часть посвящена анализу инвариантных многообразий (ИМ) - множеств ненулевой размерности, состоящих из траекторий уравнений движения. Нахождение и исследование таких множеств является темой настоящей статьи. С использованием предложенной в [2] некоторой модификации процедуры Рауса - Ляпунова [3] и методов компьютерной алгебры (КА) получен ряд новых ИМ различной размерности в рассматриваемой задаче. Исследованы некоторые качественные свойства найденных решений. В частности, показано, что ИМ имеют точки пересечения, которые соответствуют перманентным вращениям гиростата вокруг вертикали. Доказана устойчивость по Ляпунову указанных движений. Все вычисления выполнены с помощью системы КА «МаШе-тайса».

Постановка задачи

Уравнения движения гиростата запишем

следующим образом:

Мх=Мг(ЪМъ+Х), г1=Г2(4Мз+Я)-М2Гз, М2 = -М1 (ЗМ3 + А) + /иу3, у^М^-у^Шз + Л), (1)

Мъ=-М2, Гз=М2у1-М1у2. Здесь переменные M1, M2, M3 — компоненты вектора кинетического момента, у1, у2, у3 — направляющие косинусы вертикали, X — гиростатный параметр, параметр ц пропорционален координате центра масс тела.

Уравнения допускают следующие первые интегралы:

2H = M12 + M22 + 4M32 + 2ХМ3 + 2цу 1 = 2^

MlУl + M2 у 2 + MзУ 3=0,

р2 = у? + у 2 + у 2 = 1,

при условии, что постоянная интеграла V1 равна нулю.

Интегралы У1, У2 с фиксированными постоянными (уравнения связи) можно использовать

F =

Mз + Л I (Mj2 + M22) -и Mj з = с2

(2)

(3)

(4)

(5)

для исключения части переменных из дифференциальных уравнений (1) и интегралов Н, Е и тем самым понизить размерность задачи.

Исключим из уравнений (1 ) с помощью соотношения (3) переменную у3. Уравнения примут вид:

Мх = М2 (ЗМ3 + Л),

!л{Мх у! +М2 у2)

М2 = -М1{ЪМг + Л)-1

M,

=-цу2,

7j

72

MjM2 7l + Г2 (M22 + M3 (4Mз + Л))

M3 '

_ Mj M2 72 + 7j (Mj + M3 (4M3 + Л))

M '

(6)

Первые интегралы этих уравнений запишутся так:

2Н = М2 + М22 + 4М32 + 2ХМ3 + 2цу1=2к, (7)

Г2= 7j2 +722 + (Ml71 =j,

щ

(8)

(9)

+М 2у2) = с2. Поставим задачу выделения ИМ уравнений (6) и исследования их качественных свойств.

Выделение инвариантных многообразий Для качественного анализа задачи, в частности, для выделения ИМ уравнений (6), будем использовать метод Рауса - Ляпунова и некоторые его расширения [2].

В соответствии с указанным методом образуем из первых интегралов (7)—(9) их полную линейную комбинацию

2К = 2Х0 Н-Х2 Р~2 -2Х3 Е (10)

и запишем необходимые условия экстремума семейства интегралов К по переменным М1, М2 ,

Mз, Г^ у 2 :

X у (М1 7х + М2 у2)

8K/8Mj = Л0Mj --

-Л, Mj(2M3 +Л) +

M32

U [2Mj 7j + M2 72] M,

= 0,

дК / дМ 2 = Я0 М 2 -

Я У2 ((М\ У + М 2 /2)

-Я, М2 (2М3 +1) +

М2

цМг у2

М

= 0,

з /

дК / дМ3 = Я, (4М3 + Я) -

Яг(У1 М +У2 М2)2 МI

-Яз

М2 + М22 -

^(М у + М2У2)

М2

= 0,

(11)

дК / ду = Я, / - Я2 Я/-М12 _

У1

М

-Я

= 0, дК / ду2 = -

МI (Мг Уг + М2 У2)

М32

Я, /иММ 2

М

У2

М2М у + М2 У2 М2

= 0.

Я =0, Я = 0,

М г=0, М 2=0, у2 + у2=1.

(12)

(гз)

Подсистема 2:

Я2 - Я) ЯМ,+Я) - Я2 [М3 (2М3+Я)+

+/ (у-г)] = 0, Я-Я/ = 0,

Я, / у22+ЯМ3 - я, [(2М3 + Я)М3 --/(У-г) Уг] = 0, ЯМ2 - Я0 ((2М, + Я) у + +М3)- ЯМ^М, + Я)+/ (у -г)] у = 0, (14) Я,[/ (у -г) У2 - ((3-Мз + Я) У + М3М3М --Я0 ММ3 У2 + Я,[/ (Уг - г) У -М2 ] У2М2 = 0. Подсистема 3:

-Я02 + Я}Яз(М з + Я) + Яз2[(2Мз + Я)Мз +

+/(У + г)] = 0, - (Я0 / + Яг) = 0,

,2

К уравнениям стационарности интеграла К добавим уравнение связи (8) и будем решать для интеграла К задачу на условный экстремум. Решения уравнений (8), (П), в случае когда уравнения зависимы, позволяют определить ИМ дифференциальных уравнений (6), обладающие свойством экстремальности: семейство первых интегралов К принимает на этих ИМ стационарное значение. В данной задаче условия зависимости уравнений стационарности и искомые решения получим, разрешая указанные уравнения относительно части переменных и части параметров, входящих в семейство первых интегралов К .

Уравнения (8), (П) представляют собой систему рациональных уравнений с параметрами Я, /, Я0, Я2, Я3. Для нахождения ее решений воспользуемся методами КА.

В КА существует несколько подходов к исследованию и нахождению решений систем полиномиальных уравнений. В настоящей работе использовался метод базисов Гребнера [4] как достаточно универсальный и общедоступный. Программная реализация этого метода включена в большинство общецелевых систем КА. Данный метод позволяет получить систему уравнений, эквивалентную исходной, но более удобную для анализа и решения.

Преобразуем систему (8), (гг) в полиномиальную и построим для преобразованной системы лексикографический базис Гребнера, считая неизвестными у1, у2 , М2, Я0, Я2. Построенный базис разделяется на три подсистемы. Подсистема 1:

(!6)

-Я, / у2 +Я0М3 -Я3[(2М3 + Я)М3 + +/ У + г) Уг] = 0, - ЯМ1 - Я0((2Мз + Я) у --М3) - Я, [(2М3+Я)М3 + / (у + г)] у = 0, Я/ (У + 1)у' + ((3Мз + Я) у -М3Ж3]М + +Я0ММ3 у2 +Я3[/(у1 +1) у + М32]М2у2= 0.

Анализ подсистем позволяет утверждать следующее.

Уравнения (12) определяют ИМ коразмерности 3 исследуемых дифференциальных уравнений, что можно проверить по определению ИМ: производная от выражений (г2), вычисленная в силу уравнений (6), должна равняться нулю на множестве, определяемом этими выражениями. Такая проверка необходима, так как из-за преобразования системы рациональных уравнений (8), (гг ) в систему полиномиальных уравнений могли появиться побочные решения.

Следуя определению ИМ, рассмотрим величины У! =М! , у2 =М2 , Уз= У2 + У 2 - 1.

Дифференцируя эти выражения в силу уравнений (6), получим

^ = (3Мз +Я) У2,

т

йУ2 _ , 0Л„ /(У Уг +У2 У2)

= -(3Мз +Я)Уг

М3

2 „.2^

тУз = 2[У1У2( У22 - У?) + (У2-У2) тг М М,

У1У2]. (17)

Поскольку у1 = у2 = У3 = 0 - частное решение уравнений (17), то это устанавливает требуемое свойство инвариантности решения (12). Исследуемое решение также обладает свойством

иркутским государственный университет путей сообщения

экстремальности: интеграл Е принимает стационарное значение на данном ИМ.

С механической точки зрения, ИМ (12) соответствует маятникоподобным колебаниям гиростата вокруг неподвижной оси динамической симметрии, занимающей горизонтальное положение. Действительно, уравнения векторного поля на ИМ (12) записываются так:

М з = -ц V1 -у ?, у 1 = (4М з + Х)д/1

у 2.

Они получены из уравнений (6), из которых с помощью соотношений (12) исключены М1, М2, у3 . В углах Эйлера последние уравнения примут вид: ф+цесб^ = 0, 3^+Х = 0.

Далее рассмотрим уравнения (14). При значениях Х0,Х2:

Х0= ^[Мз +Х-д/(3М з + Х)2 + 4ц(у -1)],

2 (18)

X, = цХ0;

Х0= уМз + Х + Л/(зМз + Х)2 + 4ц(у -1)], (19)

Х2 =

найденных из уравнений (1з), они определяют два ИМ коразмерности 3 дифференциальных уравнений (6). Как и выше, последнее можно проверить по определению ИМ. В данном случае это удобнее сделать с помощью карт [5] некоторого атласа на этих ИМ. Например, для проверки на инвариантность решения (14) (когда X0, X 2 имеют вид (18)) использовались следующие карты:

карта 1: М, = ^^,М2 = --*, у2 = ;

ХзУ ЦРз л/Хз уХз ц

карта2:М1 = - Р?р2_р4 ,М2= -Р=, у2 = Р

з ■\/ХГ ■\1Хзц

гапта • М - - Р1 Р2Р4 М - - Р1 -1 - Р2

карта3: М1 = 2 .—-, М 2 = —¡=, у2--Г=-

Хз\1 ЦРз -у/Хз -у/Хз ц

карта 4: М1 = Р1 Р2 Р4

М 2 = - Р1

хз2л/цр/ 2 ТХТ

у 2 =

Р2

ЦРз "V Хз •\/Хзц

Карты получены из уравнений (14) (в которые подставлены выражения (18)) разрешением их относительно переменных М1,М2, у 2 . Здесь

Р1ЧХ0Мз + (2Мз + Х)(ХзМз + Х0) у 1 - Хз ц (у1 + 1)у 1,

Р? = У Хз [(2Мз + Х)Мз - ц (у1 - 1)у1] - Х0 Мз,

Рз = ц (у -1) у? - [(зМз + Х) у + Мз ]Мз, Р4 = (ХМз + Х0 )Мз - Хц у -1) у

Уравнения векторного поля на указанном

ИМ в карте 1 записываются так: р2

Уг

А

- [Хз[Хз (4Мз + Х) + Х0]Мз? + уМз X

х [2Х0Хз (2Мз + Х) + Х?(Х2 + 2(7Мз + 4Х)Мз --ц)-Х03]-Хз ц(2ХзМз + Х0)уз + [(2Мз + Х)х х (ХзМз + Х0)(Хз (2Мз + Х) - Х0) + Х, ц (зХзМз +

(20)

+ Л)] У"], =

_ У^Рз

л/Л '

Выражения Х0,Х2 (18) являются первыми интегралами этих уравнений, что проверяется непосредственным дифференцированием данных выражений в силу уравнений (20).

Для сохранения компактности записи выражения Х0,Х2 (18) не подставлены в приведенные выше формулы.

Как и в случае подсистемы 2, уравнения (16) при значениях Х0, Х2:

Х0 = Хз(Мз +Х-д/ (зМ з + Х)3 + 4ц(у -1)),

з

Х2 = -цХ0 ;

= Хз(Мз + Х + д/ (зМз + Х)3 + 4ц(у -1)),

Л) ="З"(м з Х? = -ЦXo,

(31)

(22)

найденных из уравнений (15), определяют два ИМ коразмерности 3 дифференциальных уравнений (6). Выражения Х0,Х2 (31), (33) — первые интегралы векторных полей на этих ИМ.

Используя описанную выше методику и выбирая в качестве неизвестных в уравнениях (8), (11) различные комбинации параметров Х0,Х?,Хз и переменных М1, М 2, М з,у1,у2, можно получать другие ИМ дифференциальных уравнений (6). Например, построим лексикографический базис Гребнера для системы (8), (11), считая неизвестными М1,М2,Мз,Х2,Хз . В данном случае базис разделяется на 2 подсистемы. Подсистема 1:

Х з - Х 0 ц = 0,

Х?з цР3 +Х0ХзХР- [зу3 - (3 - зу 1 )у1 -1] Х? =0,

-ГзМх + (у - 1)М3=0,

Х[з у? - (2 -зу1) у-1]3Мз3 + ХзХцу2р2 + +Х0(ц [зу?3 -(2-зуМ -1] + Х2) ру?= 0, (зз) Х0[зу2 - (2 - зу) у - 1]Мз +Х0 Х[(у -1) у, + +у?3] + Хзц[(Г1 - 1)у +у?3] Р = 0.

Подсистема 2:

Я2 + Я0 / = 0,

Я /р2 - Я Я Я/9 + [(2 + 3у)у + 3У22 -1] Я2 = 0,

-У2Мг + (у +1) М 2=0,

Л}[3 У + (2 + 3у) У -1]2М2 - Яз Я/ у2р2 -

-Ж/ [3У22 + (2 + 3у) у -1] - Я2) р у2=0, (24)

Я0[3 у22 + (2 + 3 у)у - 1]Мз + Я0 Я [( у +1) у, +

+У22]-Яз/ [(Уг +1)У +У22] Р = 0. Анализ подсистем показал, что при значениях Я2, Я3:

Я2 = К/

Яз= --

Яр (Я + УЯ2 + 4/[3у22 - (2 - Зу )у -1]) (25)

2/р

Я2 = Я0/,

Яз= --

Я0(Я- дД2 + 4/[3у22 - (2-Зу)у -1]) (26)

2/р

Яз=-

2/Р

Я--Я0/,

¿0(1-4Я - 4/ [ЗУ22 + (2 + Зу) у -1]) (28)

Яз=-

2/р

Выражения Я3 (25)-(28) являются первыми интегралами векторных полей на этих ИМ. Здесь

Р = У12 +У22 -1.

Теперь построим лексикографический базис Гребнера для системы (8), (11), считая неизвестными М1,М2, У1, У2, Я . Полученный базис также можно разделить на 2 подсистемы. Подсистема 1:

Я2 - Я0 / = 0,

(29)

М^Я^ЯзЯц-Я^ + Я,2/2(Я2[(3МЪ + 2Я)М3 -/] + Яз /[(2М3 + Я)М3 - 2/]М3)] - Я3 /3 X х(Я /Мъ + Я)у2 М2 = 0, -Я4 /5 М22+я^, [Я2 (Я2 -Я3Я/)-Я,2/2(яъ/х х[(2М3 + Я)М3 - 2/М + Я2[(3М3 + 2Я)М3 --/])] = 0,

Я2 /у,+я2[я3 /(М3+я) - я]+я /1 [(2М3+

+Я)Мз - /] = 0, - Яз4/6У22 + [Яз /(2Мз + Я) - (30)

-¿5] [Я22(Я-¿Я/)-Я2/л2(Я/ [(2М3 + Я)X хМ3 - 2/]М3 + Яг[(3М3 + 2Я)М3 - /])] = 0.

Подсистема 2:

Я2 + Я)/ = 0,

(31)

-М [Я22(Я3Я/ + Я2 )-Я2 /2 (Я2 [(3М3 + 2Я)М3 + +/] -Яз / [(2М3 + Я)М3 + )] + Я2 // X х(Я/Мъ -Я2)у2М2 = 0, Я4/5М22 +Я2[Я22X х(ЯЯ/ + Я) + Я2 /2(Я /[(2М3 + Я)М3 + +2/М3 - ЯКМ + 2Я)М3 + /])] = 0, -Я2 /3 у, + ¿2 [Я /(М3 + Я) + Яг] - Я2 /2 [(2М3 +

(32)

уравнения (23) определяют два ИМ коразмерности 3 дифференциальных уравнений (6). Уравнения (24) также определяют два ИМ коразмерности 3

указанных уравнений при следующих значениях Я2 , Я3 :

¿2 = -Я0Ц,

¿0 (Я + -\/я2 - 4/ [3у22 + (2 + 3у, ) у, -1]) (27)

+я)М3 + /] = 0, я4 /6 у22+[Яз / (2М3+Я)+

+Я2][Я22(Я3 Я/ + Я2)+ Я32 /2(Я3 /[(2М3 + +Я)М3 + 2/М3 - Я2[(3М3+ 2Я)М3 + /])] = 0.

В данном случае, уравнения (30), (32) определяют семейства одномерных ИМ дифференциальных уравнений (6) при Я0 = Я/ и Я0 = -Я2// соответственно, что можно проверить по определению ИМ. Полученные семейства ИМ обладают свойством экстремальности, так как интеграл К принимает стационарное значение на элементах этих семейств ИМ.

Анализ решений

Исследуем связь между найденными решениями.

Уравнения (14) после постановки в них Я,Я (18) принимают вид:

+ 2[Мз+ Я-^1 (3Мз +Я)2 + 4/ (у,-1)]Мз --[(2Мз +Я)Мз-/(у, -1) у,] = 0,

М22 - 3+Я-/(3М3 + Я)2 + 4/ (у-1)]((2М3

(33)

2

+Я) У, + Мз) - [Мз(2Мз + Я) + / (у, -1)]у, = 0, [/ (у, -1)у,2 -((3Мз + Я) у, + М3М3М1 + +[/ (У, -1)У, -Мз2]у2^2 -

-^2[Мз+Я-У(3Мз +Я)2 + 4/(у,-1)]ММз У2=0.

Подставим выражения (30), разрешенные относительно М1, М2,у1,у2, в уравнения (33). Последние обратятся в тождество. Отсюда можно заключить, что элементы семейства ИМ (30) являются подмногообразиями ИМ (33).

Аналогично получаем, что элементы семейства ИМ (32) являются подмногообразиями ИМ, определяемого уравнениями (16) при Я0,Я2 (21).

иркутский государственный университет путей сообщения

Далее рассмотрим уравнения (2з) при

Х?,Хз (35):

-у?М 1 + (у, -1) М3=0, [3у3 -(2-3у)у -1]3Мз3 -Х(Х + + Л/Х2 + 4ц[3у3 - (2-3у)у -1]) у?3р/2 + + (ц [3 у1 - (2 - з у) у -1] + Х2 )р у?3 = 0, (з4) 2[зу? -(2-зу1) у -1]Мз + + (Х-УХ2 + 4ц[3у? -(2-з у) у -1])X х[(у -1)у +у?] = 0.

После подстановки выражений (з0), разрешенных относительно М1, М3, у1, у3, в уравнения (з4) последние обращаются в тождество. Таким образом, элементы семейства ИМ (з0) являются подмногообразиями ИМ (з4).

Аналогично доказывается, что элементы семейства ИМ (з2) являются подмногообразиями ИМ, определяемого уравнениями (34) при Х?,Хз (37).

Кроме свойства вхождения одного ИМ в другое, возможны случаи их пересечения. Найдем точки пересечения ИМ (зз) и ИМ (з4). Их можно получить как решения системы уравнений (зз), (з4) относительно переменных М1, М 2, Мз,у1,у2.

С помощью метода базисов Гребнера было установлено, что рассматриваемые уравнения при

условии Х = 4у]ц/з имеют следующие решения:

9 1

М = -—У2ц7з,М? = 0, у =- у? = 0,

М з= - ^Уц/з;

3 1

М1 = —У?ц/з,М? = 0, у=- у? = 0,

М з = - зУ^/3

(з6)

Эти решения являются также решениями системы (6). С механической точки зрения, они соответствуют перманентным вращениям гиростата вокруг вертикали, когда ось вращения в теле не совпадает с главными осями инерции тела.

Соотношения (з5), (з6) удовлетворяют уравнениям стационарности (11) при следующем ограничении на Хп:

Х 0 =

зХ ? 8Х ^уц/з

ц

з

т. е. найденные решения обладают свойством экстремальности: элементы семейства интегралов

К (10) принимают стационарное значение на этих решениях. Последнее позволяет использовать интеграл К для их исследования на устойчивость.

Для уравнений возмущенного движения вторая вариация интеграла К в окрестности решения (з5) записывается так:

5 К = - 9 Х? - 1х? г. + (4Х2УбТц -

- 4У2цХз) +2(Х^Уб / ц-

-Лц^) 23¿4 "УЗМ ^ +

+ (8цХз -16<МцХ1) 25 +— (2^У3Х, -

9ц

- ^Убц3/2Хз) 2з 25 Х^У^ - з0Х?

I з ц

Здесь

г1 = у 1 - 1/з, г3 = у3, гз = М1 + 2/3 У 2/3 ц,

(з7)

отклонения

г4 = М3, г5 = Мз + 1/3 Уц/з

возмущенного движения от невозмущенного. На линейном многообразии

5 Н = ц -

Г

9

г з + 2

1

9

Л

^5=0,

5Рз=6 ^ - = 0,

Уз^

_8_ 27

5 Е = -^-ц (Э-УЭц^ - 2У2 + 8г5) = 0

(з5)

квадратичная форма (з7) принимает вид

52К = | —Х? -6л/3цз/2Хз |г2 -1Х?г??

+

2

+ 1

(^УвцХ ? - 2У2цХ з) г? г4

+

Г зх,

2ц

Узцх з

и приводится к сумме квадратов

5 2 К = х з (9цг1 +цг 22 + зг 2),

когда X 3 = ц3/1X 3 /Уз .

Так как последняя квадратичная форма зна-коопределена при ц >0, то это условие является достаточным для устойчивости стационарного решения (35) по переменным г1, г3, г3, г4, г5. Аналогичный результат был получен и для решения (36).

Заключение

С использованием модифицированной процедуры Рауса - Ляпунова и методов КА получены новые ИМ коразмерности 3 и семей-

2

ства одномерных ИМ в классической задаче о движении гиростата в поле тяжести. Показано, что часть найденных ИМ обладает свойством экстремальности; семейства одномерных ИМ являются подмногообразиями ИМ коразмерности 3; некото -рые из ИМ коразмерности 3 имеют точки пересечения, которые соответствуют перманентным вращениям гиростата. Для указанных движений получены достаточные условия устойчивости по Ляпунову.

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований Президиума РАН 17.1 и частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской Феде-

рации для государственной поддержки ведущих

научных школ (грант № НШ-5007.2014.9).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата // ДАН СССР. 1963. Т.149, № 2. С. 292-294.

2. Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Об инвариантных многообразиях систем с первыми интегралами // ПММ. 2009. Т.73, вып.4. С.531-537.

3. Ляпунов А.М. О постоянных винтовых дви-жениях тела в жидкости. 1954. Т.1. С. 276-319.

4. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы многообразия и алгоритмы. М. : Мир, 2000. 687 С.

5. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М. : МИР, 1973. 188 С.

УДК 621. 833 Тупицын Алексей Альбертович,

д. х. н., профессор кафедры «Прикладная механика», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: altfr@mail.ru

Нечаев Валерий Владимирович, к. т. н., доцент кафедры «Энергообеспечение и теплотехника», Иркутская государственная сельскохозяйственная академия, e-mail: valery.nechaev@yandex.ru

Гозбенко Валерий Ерофеевич, д. т. н., профессор кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: vgozbenko@yandex.ru

ТОРЦОВАЯ ЗУБЧАТАЯ ПЕРЕДАЧА С ВНУТРЕННИМ ЦЕВОЧНЫМ ЗАЦЕПЛЕНИЕМ

A. A. Tupitsyn, V. V. Nechaev, V. E. Gozbenko

FACE GEARING WITH INTERNAL COGGING

Аннотация. Зубчатая передача с внутренним зацеплением торцовых зубьев, передача Нечаева, дает возможность значительно уменьшить габариты и металлоемкость приводов по сравнению с наиболее распространенными эвольвентными зубчатыми передачами. Однако промышленное применение этой передачи задерживается из-за возникающих технологических трудностей при производстве зубьев шестерни, рабочий профиль которых ограничен кривой «улитка Паскаля». Профиль зубьев колеса в этом случае - плоскость.

Предлагаемое техническое решение предусматривает зубья шестерни выполнять круговыми. Круговой профиль позволяет изготовить каждый зуб отдельно, без особых трудностей, затем зубья крепятся на ободе шестерни в соответствии с параметрами зацепления. По условиям зацепления торцовой передачи при заданном круговом профиле зуба шестерни профиль зуба колеса будет частью «улитки Паскаля». Нарезание зубьев колеса с таким профилем можно обеспечить методом обкатки, получившим широкое применение при производстве зубчатых колес. Детали передачи можно изготавливать на универсальном металлорежущем оборудовании с помощью унифицированной оснастки и инструмента. Такое решение дает реальную техническую возможность промышленного внедрения перспективных торцовых передач.

Ключевые слова: механическая передача, торцовая зубчатая передача, цевочное зацепление, профиль зуба.

Abstract. Gearing with internal toothing, Nechaev's gearing, gives the chance to reduce considerably overall dimensions and metal consumption of mechanical drives in comparison with the most widespread involute gearings. However industrial application of this gearing delays because of technological difficulties originating at manufacture of driving gear teeth, which worker tooth profile is restricted by a «Pascal's limacon» curve. The profile of wheel teeth in this case is plane.

The offered engineering solution provides carrying out the driving gear teeth as circular. Circular-arc form allows to make each tooth separately, without special difficulties, then teeth fasten on a driving gear rim according to toothing parameters. According to conditions of face gear toothing at the set circular driving gear tooth profile the driven wheel tooth profile will be part of «Pascal's limacon». Gear cutting of driven wheel with this profile can be provided by rolling method which has gained wide application by manufacture of gear component. Gear details can be made on the universal metal-cutting equipment by the unified equipment and the tool. Such solution gives real technical possibility of an industrial heading ofpromising face gearings.

Keywords: mechanical transmission, face gearing, cogging, tooth profile.

Введение

В настоящее время в машинах, приборах и всевозможных приводах используются механические передачи различных конструкций. Однако наибольшее распространение, до 80 %, получили эвольвентные зубчатые передачи. Несмотря на их

постоянное совершенствование - применение высокопрочных материалов и методов упрочнения, повышенные требования к чистоте поверхности, точности изготовления и сборки, эти передачи не обеспечивают необходимой надежности приводов, отвечающей современным требованиям безопас-