К вопросу оптимизации однопролётной балки двутаврового сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Планировочная структура центра. Номера обозначают планировочные районы -объекты оценки жизнепригодности

пространства территории памятника; К тро - радиус территории рядового объекта; 1проз - длина дуги прозоров вокруг памятников, град.; 360 - длина кругового прозора вокруг памятника, град.; Бпроз - площадь прозоров, или бассейнов видимости в пределах красных линий квартала; Б кв. - площадь квартала; N сл. - количество слоев (разновозрастной застройки в квартале).

На рисунке приводится планировочная основа -карта центра города Иркутска с разбивкой территории на оценочные участки, геометрия которых послужила материалом для выработки метода. Доминирование мотиваций коммерческих выявлено в геометрии планировочных районов 6,8,14,15,16. Доминирование

мотиваций здоровье и память выявлено в планировке районов 1, 21, 27. Сочетание коммерческих мотиваций с условиями обеспечения здоровья и отдыха населения отмечается в районе 5. Наиболее гармоничными районами по балансу компонентов городского ландшафта и геометрии планировки оказались районы 1 и 12. Последующая детализация работы выявит точные характеристики жизнепригодности кварталов и позволит сформулировать регламенты - формализованные правила регулирования градостроительной деятельности на территории исторического центра города Иркутска.

УДК 519.6

К ВОПРОСУ ОПТИМИЗАЦИИ ОДНОПРОЛЁТНОЙ БАЛКИ ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ Т.Л.Дмитриева1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлен численный алгоритм решения задачи оптимального проектирования стальных конструкций, на основе которого разработано специализированное программное обеспечение. Решены числовые примеры оптимизации двутавровой балки составного сечения. Даётся исследование сходимости алгоритма и проверка полученного решения на единственность. Ил. 6. Табл. 6. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: металлические конструкции; оптимальное проектирование; нелинейное математическое программирование; методы модифицированных функций Лагранжа.

1Дмитриева Татьяна Львовна, доцент кафедры сопротивления материалов, тел.: 89149136725, (3952) 405144, e-mail: dmital@istu.edu

Dmitrieva Tatiana Lvovna, associate professor of the chair of Strength of Materials, tel.: 89149136725, (3952) 405144, e-mail: dmit-al@istu.edu

ON THE OPTIMIZATION PROBLEM OF A SINGLE SPAN BEAM OF DOUBLE-T SECTION T.L. Dmitrieva

National Research Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The author presents a numerical algorithm to solve the task of the optimal design of steel structures. It forms the basis for the development of some special-purpose software. Numerical examples of the optimization of a double-T beam of composite section are solved. The study of the algorithm convergence and the check of the obtained solution for the uniqueness are given. 6 figures. 6 tables. 7 sources.

Key words: metal constructions; optimal design; nonlinear mathematical programming; methods of the modified Lagrange functions.

Постановка задачи

Описание алгоритма оптимального проектирования стальных конструкций приведено в [1-3]. В общем случае постановка задачи оптимизации принята в форме задачи нелинейного математического программирования:

найти min f(x), xeE". (1)

Целевая функция f(x) может представлять собой вес или при постоянстве материала объём конструкции, xi (i=1,2...n) - варьируемые параметры (параметры сечений, координаты узлов и др.).

Алгоритм предполагает наличие ограничительных функций:

g(*), < 0,

xL < x. < xU,

j = 1,2...m; i = 1,2...w.

(2) (3)

и

где Xi , Xi - интервал изменения i-го варьируемого

параметра.

tp

f

i У

V//////1

tp

ts

B

H

Рис.1. Сечение составной двутавровой балки

Проиллюстрируем работу алгоритма на примере задачи оптимального проектирования стальной балки двутаврового сечения, работающей на изгиб в плоскости стенки. Рассмотрим случай оптимизации однопро-летной статически определимой балки, постоянного сечения, когда расчётные усилия не меняются в процессе варьирования размерами поперечного сечения. Всего варьируется 4 параметра составного сечения двутавра, перечисленные в табл. 1.

Варьируемые параметры

Таблица 1

xi H Высота стенки

x2 B Ширина полки

xs ts Толщина стенки

x4 tp Толщина полки

Так как длина пролёта балки постоянна, за функцию цели f(x) можно принять площадь поперечного сечения, которая в оптимальном проекте должна достигнуть минимального значения:

f(x)=x1-x3+2-X2-x4. (4)

Функции ограничений g(x), используемые в задаче, представляют собой проверки по прочности и устойчивости и задаются в соответствии с разделами СНиП II-23-81* «Стальные конструкции». В табл. 2 даётся перечень этих проверок, приведенных к безразмерной форме. Указана ссылка на соответствующий раздел и формулу СНиП. Все обозначения в формулах совпадают с обозначениями СНиП.

Алгоритм задачи оптимизации балки

Подход к решению условно-экстремальной задачи (1-3) основан на сведении её к задаче на безусловный экстремум при помощи функции Лагранжа FL, а также двух ее модификаций (функции Fp и функция Fm). Подробное исследование функций приводится в монографиях [4-7]. Каждая из этих функций включает в себя функцию цели f(x) и функции ограничений g(x), которые связаны с двойственными переменными {Y}.

Таким образом, итерационный алгоритм решения задачи оптимизации на каждой итерации t при определённых векторах {Xt}, {Yt} включает попеременно две основные процедуры:

1. Определение вектора прямых переменных (или варьируемых параметров) {Xt+1} из условия минимума функции Fp. На этом шаге используется широкий набор методов безусловной минимизации, дающих разную степень точности [1].

2. Определение вектора двойственных переменных (или множителей Лагранжа) {Yt+1}. В алгоритм заложено несколько способов пересчёта двойственных переменных, которые дают линейную либо квадратичную скорость сходимости по двойственным переменным.

Критерием окончания итерационного процесса является проверка

x+1 _ X

<sx

x'

<s„

(5)

где

ний;

g

множество потенциально активных ограниче-

£х, £д - заданная точность вычислений.

На рис. 2 показана укрупнённая блок-схема алгоритма оптимального проектирования балки, на основе которого было разработано специализированное программное обеспечение. Решение задачи нелинейного математического программирования осуществляет

x

с

та -Q о

CD

да

Конец

Рис. 2. Блок-схема алгоритма оптимального проектирования балки

Таблица 2

_Перечень проверок_

h R g = cm Л y 1 < 0 1 3,5 • t v E ' cm 1 Условие, обеспечивающее местную устойчивость стенки. Раздел 7.3.

= Ъсвеса Ry 1 < 0 0,5• tj E Условие местной устойчивости полки. Раздел 7.24, табл.30

g3 = M -1 < 0 W . • Ry n,min yi c Проверка на прочность по нормальным напряжениям. Раздел 5.12 , ф.(28)

g • = , ? I' 1 < 0 Проверка на прочность по касательным напряжениям. Раздел 5.12, ф.(29)

F g5= 1<0 if Ry f y'c Проверка прочности стенки балки в местах приложения нагрузки. Раздел 5.13, ф.(31)

J а? + 3т2 g6 = V loc 1 < 0 1,15 RyYc Проверка прочности стенки балки в опорных сечениях. Раздел 5.14, ф.(33)

J а2? -а ха y +аy2 + 3т2 g7 = ^ y y 1 < 0 1,15 ry Проверка прочности стенки балки. Раздел 5.14, ф.(33)

m л n g8 =--1 < 0 ф • RyYc Проверка устойчивости двутавра. Раздел 5.15, ф.(34)

блок программ Nmpack. Передача данных между отдельными модулями осуществляется при помощи процедуры Global Control, которая содержит также адреса всех основных массивов. Проверки по прочности и устойчивости балки выполняются в блоке Metal.

Пример оптимизации балки Рассмотрим числовой пример решения задачи. Исходные данные задачи оптимизации балки приве-

дены в табл. 3, 4. Принят 1 случай загружения. Расчётные усилия: изгибающий момент 180000 кН см; поперечная сила 600 кН.

Устойчивую работу алгоритма удалось получить, используя в качестве метода безусловной минимизации метод деформированного многогранника. Так как метод не даёт высокой степени точности, то для обеспечения сходимости максимально допустимая

Таблица 3

Характеристики материала конструкции_

E Ry Rs От Yc Yu Vx Vy L

(кН/см2) (кН/см2) (кН/см2) (кН/см2) (см)

20600 23 13,5 24 1 1 1 1 1200

Таблица 4

Начальные значения и пределы изменения параметров_

H0 = 80 см B0 = 30 см ts0 = 1 см tb0 = 1 см

H [40 - 140] см B [10 - 100] см ts [0,5 - 3] см tb [0,5 - 3] см

невязка ограничений была принята eg=10-4. Двойственные переменные пересчитывались по выражениям, дающим линейной скоростью сходимости. Приведём общий список параметров.

Иcxoдныe daHHbie 3ada4u оптимизации:

Общее число переменных проекта.........................4

Число варьируемых параметров ..........................4

Заданная точность вычислений X........................10-4

Заданная точность вычислений g ........................10-4

Начальное значение функции цели ....................120

Число ограничений..............................................8

Минимальное значение коэфф. штрафа kmin.....150

Последовательность методов безусловной минимизации:

- на 1-й итерации используется метод деформированного многогранника;

- до стабилизации числа активных ограничений -

метод деформ. многогранника;

- после стабилизации числа активных граничений - метод деформированного многогранника.

Получены следующие результаты решения задачи оптимизации:

Значение целевой функции...............220,00388

Число вычислений п1ип1Х.........................1356

Число вычислений пРипд.........................1373

Число итераций.......................................... 10

Вектор оптимальных параметров (см)

Н В ts tp

107,099 41,1876 1,0224 1,34147

3-

2 ■ Ч . ч §8

1 8 -- 83

§5 .......

2" 1 §1 /§8 83 i- §2

• "Ч 8« 1 л. te • 1 ----------

Значения невязок активных ограничений: g1 =0,40290 10-4;

Рис. 3. Графики зависимости функций ограничений от переменных x -x

3

g2 =0,45672-10"4; дз =0,863304-10-4.

Активными были получены ограничения по местной устойчивости (gi, g2) и ограничение по нормальным напряжениям (g3). Все варьируемые параметры находятся в области допустимых значений без выхода на границу. Точность полученных результатов можно оценить по невязке ограничения g3, которая превышает допустимое значение на 0,0086%.

Исследование сходимости алгоритма

Программный модуль Metal может работать в режиме тестирования функций ограничений. Эта процедура выполняется путём построения графиков всех проверок по прочности и устойчивости на широком диапазоне изменения варьируемых параметров. Результаты тестирования позволяют, во-первых, выявить ошибки в формировании функций ограничений, а также отследить случаи, когда эти функции имеют скачки и изломы, и, тем самым, обеспечить надёжную работу программного комплекса оптимизации. Кроме того, характер ограничительных функций во многом определяет выбор метода оптимизации. И наконец, графики функций ограничений могут быть полезны проектировщику, так как дают возможность оценить чувствительность этих функций к изменению того или иного параметра. На рис. 3 построены графики ограничений g1 -g8 на диапазоне изменения каждого варьируемого параметра (другие 3 параметра при этом принимали оптимальные значения). Из графиков видно, что все ограничения представляют собой гладкие выпуклые, либо линейные функции без разрывов, скачков и изломов, что обеспечивает хорошую сходимость алгоритма. Просматривается точка, в которой параметр принимает оптимальное значение (функции потенциально активных ограничений сходятся в области нуля).

Решение определённого набора задач оптимизации балки при различных параметрах, входящих в функции Fp и Fm, выявило, что на сходимость алгоритма будут влиять:

- способ пересчёта вектора двойственных переменных {Y};

- начальное значение варьируемых параметров;

- значения штрафных коэффициентов.

Для исследования сходимости алгоритма были построены графики зависимости модифицированной функции Fp (x,y*) от каждого варьируемого параметра, где двойственные переменные y* соответствовали оптимальному решению. На рис. 4 приведён один из этих графиков, отслеживающий зависимость функций Fp, Fl, f от изменения высоты стенки балки H (параметр xi).

Из графика видно, что целевая функция f линейна, функции Лагранжа FL и модифицированная функция Лагранжа Fp выпуклы за пределами допустимой области («ниже» точки оптимума). Крутизна функции Fp регулируется штрафным коэффициентом k. На графиках отражено влияние параметра kmin , входящего в выражение коэффициента штрафа, на характер функций Fp. Были приняты 3 значения kmin:

80,150,800. Очевидно, что с ростом этого параметра увеличивается крутизна функции Рр, что отражается на сходимости задачи. Таким образом, характер функции Рр таков, что существенные различия в сходимости алгоритма можно получить также при начальных значениях, взятых «ниже» и «выше» оптимального решения. Левее точки оптимума эта функция выпукла, правее - линейна.

Fp (k„ Fp (k„ \Fp ,n=800, m=150, oi ¿ Трпусп ЩИя обласп гъ

f Fl ---- i i i i ¡Ж у Точ Fp = со omt F=f имума

Я>0 Е=0 я<0

Рис. 4. Зависимость функций от высоты стенки при различных значениях параметра ^п

Было отслежено также влияние способа пересчёта вектора двойственных переменных {У} на сходимость алгоритма. Рассматривалось два варианта пересчёта {У}. В каждом варианте были исследованы два случая задания начальных данных. В 1-м варианте эти переменные определялись по выражению, дающему линейную скорость сходимости по {У} (получено из сравнения условий стационарности функции Лагранжа Р1 и функции Рр). Изменение целевой функции на итерациях для этого варианта показано на рис. 5.

Анализ варианта 1 показывает, что лучшая сходимость алгоритма имеет места с начальных значений, взятых «ниже оптимума». Самый лучший результат получен при значении штрафного коэффициента ктпп=800 (9 итераций). При ктп=60 и кт,п=150 решение, близкое к оптимуму, получено также за 9 итераций, на остальных итерациях оно лишь корректируется до требуемой точности. Этот вариант демонстрирует высокую устойчивость на большом диапазоне значений штрафных коэффициентов. При начальных значениях, взятых «выше оптимума» хорошая сходимость получена при ктпп=90 и кт,п=150 . В первом случае число итераций - 13, во втором - 20 (максимально возможное). При ктПп=300 получена быстрая сходимость к решению близкому к оптимуму (3-4 итерации), но вблизи оптимума большие значения штрафного коэффициента ведут к тому, что алгоритм расходится.

В варианте 2 в качестве метода пересчёта двойственных переменных использовался метод, дающий квадратичную скорость сходимости по этим переменным из условия минимума функции Fm. Изменение целевой функции на итерациях в этом варианте показано на рис. 6. Лучшая сходимость имела место также с начальных значений, взятых «ниже оптимума». Однако при низких значениях ктПп (ктПп <90) сходимости к оптимуму нет. Наилучший результат в этом случае

240 220 200 180 160 140 120

240 220 200

=90)

И

тера

ции

/х

/х(к

=3

=1501

00)

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

8 9 10 11 12 13 14 15 Рис. 5. Изменения целевой функции на итерациях (вариант 1)

/х(кт1п=90) Гх(ктЫ=800)

Итерации

400

200

8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Рис. 6. Изменение целевой функции на итерациях (вариант 2)

получен при значении штрафного коэффициента ктПп =800 (9 итераций). При ктп =150 сходимость чуть ниже. При начальных точках «выше» оптимума хорошая сходимость получена при ктп =90 и ктп =150. При этом в первом случае число итераций 10, во втором 11. При ктп >300 получена быстрая сходимость к решению, близкому к оптимальному (3 итерации), далее

алгоритм расходится.

Таким образом, алгоритм оптимизации даёт лучшую сходимость, если в качестве начальных приняты варьируемые параметры, лежащие «ниже» точки оптимума, при которых функции ограничений имеют существенные невязки. В этом случае значения штрафных коэффициентов рекомендуется брать дос-

Таблица 5

Номер решения Начальные значения (см) Оптимальные значения (см) Значение целевой функции ГХопт (СМ2)

Но Во 1во Фо Нопт Вопт ^опт 1Ропт

1 70 20 1 107,0835 41,1853 1,02235 1,34198 220,017

2 80 30 1 107,1087 41,1764 1,0225 1,3417 220,0135

3 90 30 1 107,0772 41,190 1,02216 1,3422 220,0203

4 100 30 1 107,0948 41,1822 1,02237 1,34187 220,0091

5 110 40 1 107,0923 41,1840 1,02231 1,34189 220,0103

к

т1,

300

180

160

140

100

1

23

4

5

6

7

Таблица 6

Номер решения Жег ШипРх Значения активных ограничений

1 7 1318 д1=-3,7636-10-5 д2=2,10609-10-5 д3=3,72819 10 -5

2 8 1813 д1=-2,308-10 -5 д2=1,791-10 -5 д3=3,064 10 -5

3 8 2102 д1=9,48-10 -5 д2=-1,8510 -5 дэ=-5,141-10 -5

4 7 1859 д1=4,9110 -5 д2=6,39-10 -5 д3=4,7110 -5

5 7 2064 д1=8,92-10 -5 д2=5,838 10 -5 д3=1,897 10 -5

таточно высокими (ктпп от 150 до 800). Если же в качестве начальных приняты параметры «выше» точки оптимума, диапазон штрафных коэффициентов существенно снижается (ктпп от 90 до 150). В этом случае имеет место быстрая сходимость к решениям, близким к оптимуму, что связано с линейным характером целевой функции. Далее при высоких значениях ктпп процесс расходится. Пересчёт двойственных переменных как по варианту 1, так и по варианту 2 даёт устойчивую сходимость алгоритма оптимизации, хотя точность вычисления ограничительных функций по варианту 2 более высока. В целом рекомендации по назначению штрафных коэффициентов можно дать только после исследования модифицированной функции Лагранжа Fp для типа поставленной задачи. Более устойчивая сходимость может иметь место, если эти коэффициенты назначать соответственно каждому ограничению. Существенное влияние на выбор значений коэффициентов имеют величины градиентов целевой и ограничительных функций, а также характер этих функций.

Исследование оптимального решения на единственность Одним из основных вопросов при решении задачи оптимального проектирования является вопрос о единственности полученного результата. Для того

чтобы исследовать эту проблему, были выполнены решения задачи оптимизации составной двутавровой балки с нескольких стартовых точек, имеющих определённый шаг. В качестве начального проекта использовалось 5 величин высоты стенки (H0) и ширины полки (В0). Результаты 5-ти решений приведены в табл. 5, 6. Здесь Niter - число итераций, а NfunFx - число обращений к целевой функции. Параметр kmn во всех решениях принимался равным 800. Пересчёт двойственных переменных производился по варианту 2.

Из приведённых результатов видно, что сходимость во всех случаях примерно одинаковая (хотя решение 1 даёт меньшее число обращений к целевой функции). Номера потенциально активных ограничений для всех решений одни и те же, а значения невязок активных ограничений одного порядка.

Основные выводы

Все оптимальные решения, полученные с разных начальных точек, практически совпадают, что подтверждает устойчивость алгоритма. Невязки ограничений получены с достаточной степенью точности.

Таким образом, рассмотренные примеры оптимизации двутавровой балки продемонстрировали эффективность алгоритма оптимизации, которая заключается в его надёжности и широкой области сходимости.

Библиографический список

1. Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Рекурсивный многоме-тодный алгоритм решения задач оптимизации строительных конструкций // Проблемы оптимального проектирования сооружений: доклады 1 Всероссийской конференции. Новосибирск, 2000. С. 55-62.

2. Дмитриева Т.Л. Оптимальное проектирование элементов стальных конструкций при ограничениях по прочности и устойчивости. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. Vol.4, Issue 3, 57, 2008.

3. Дмитриева Т.Л. Алгоритм автоматизированного проектирования стальных конструкций // Информационные и математические технологии в науке и управлении: труды XIV Байкальской Всероссийской конференции. Иркутск: Изд-во

ИСЭМ СО РАН, 2009. С. 170-177.

4. Антипин А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа. Препринт ВНИИСИ. М., 1979. 73 с.

5. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

6.Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

7. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа и методы оптимизации. М.: Наука, 1989. 400 с.

УДК 691.26:620.18

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ ЗОЛОШЛАКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ, ПОПУТНО ПОЛУЧАЕМЫХ В КОТЛАХ ИСТОЧНИКОВ СИСТЕМЫ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ

Т.В.Коваль1, И.И.Айзенберг2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены основные проблемы, связанные с использованием золошлаковых отходов источников тепла систем теплоснабжения в строительной индустрии. Обоснована необходимость комплексного подхода для получения экономического и экологического эффектов как в строительной индустрии, так и в энергетической промышленности. Предложено котельный агрегат использовать в качестве котельной энерготехнологической установки

1 Коваль Татьяна Валерьевна, аспирант, старший преподаватель кафедры теплоэнергетики, тел.: (3952) 405414, e-mail: kovaltv@istu.edu

Koval Tatiana Valerievna, postgraduate student, senior lecturer of the chair of Heat Power Engineering, tel.: (3952) 405414, e-mail: kovaltv@istu.edu

2Айзенберг Илья Иделевич, кандидат технических наук, доцент кафедры теплогазоснабжения, вентиляции и охраны воздушного бассейна, тел.: (3952) 405143.

Aizenberg Ilya Idelevich Ilya, Candidate of technical sciences, associate professor of the chair of Heat and Gas Supply, Ventilation and Air Protection, tel.: (3952) 405143.