Алгоритмы решения задачи оптимизации пространственной металлической конструкции и их программная реализация Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

DOI: 10.21285/1814-3520-2016-4-75-82

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ КОНСТРУКЦИИ И ИХ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

© Т.Л. Дмитриева1, Ле Чан Минь Дат2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены два итерационных алгоритма оптимизации пространственной металлической конструкции (ПМК) в форме задачи нелинейного программирования. В первом из них каждое вычисление функций цели и ограничений требует решения задачи конечно-элементного анализа. Второй алгоритм базируется на построении аппроксимаций для целевой и ограничительных функций, а поиск оптимальных решений осуществляется для приближенной задачи. Алгоритмы реализованы в программном комплексе (ПК) РОПМК (Расчет и оптимизация пространственных металлических конструкций). Выполнена автоматическая настройка параметров, влияющих на сходимость. Приведен пример оптимизации пространственной конструкции с использованием этого ПК. Ключевые слова: оптимизация; аппроксимации; нелинейное программирование; комплексы программ; пространственные металлические конструкции.

ALGORITHMS FOR SOLVING OPTIMIZATION PROBLEMS OF A SPACE METAL STRUCTURE AND THEIR SOFTWARE IMPLEMENTATION T.L. Dmitrieva, Le Tran Minh Dat

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

Two iterative optimization algorithms of a space metal structure (SMS) are considered in the form of non-linear programming problem. In the first algorithm each calculation of objective and restrictive functions requires to solve a finite-element analysis problem. The second algorithm is based on building of approximations for the objective and restrictive functions, whereas optimal solutions are searched for the approximate problem. The algorithms are implemented in the software package (PC) COSMS (Calculation and optimization of space metal structures). An automatic setting of parameters affecting convergence is performed. An example of space metal structure optimization with the use of this PC is provided.

Keywords: optimization; approximation; nonlinear programming; software packages; space metal structures Введение

Проблема оптимизации конструкций может быть представлена в форме условно -экстремальной задачи, трудоемкость которой во многом определяется числом переменных проекта, входящих в расчетную модель. При этом оптимизация пространственных систем усложняется многократным обращением к задаче конечно-элементного (КЭ) анализа значительной размерности, что требует больших вычислительных ресурсов. Таким образом, существенную роль в разработке алгоритмов оптимизации играет выбор поискового метода, позволяющего, с одной стороны, давать устойчивую сходимость при заданной точности вычислений, а с другой, - минимальное число обращений к решению задачи КЭ анализа. В данной работе рассмотрены два алгоритма, предназначенных для комплексного решения задач оптимизации пространственных металлических конструкций, которые реализованы в программном комплексе РОПМК [3].

Постановка задачи

Примем постановку задачи оптимизации в форме задачи нелинейного программирования (НЛП), где целевая функция f(x) определяет критерий оптимальности (объем, вес и др.) [1]:

1

Дмитриева Татьяна Львовна, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, e-mail: dmitrievat@list.ru

Dmitrieva Tatiana, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Metals and Structural Mechanics, e-mail: dmitrievat@list.ru

2Ле Чан Минь Дат, аспирант, e-mail: letranminhdat@gmail.com Le Tran Minh Dat, Postgraduate, e-mail: letranminhdat@gmail.com

наити

при ограничениях

min f (x, D(x)), xsE"

gj(x,D(x))üO, у =1.2,,

Ж

xi < X < x,

i = 1,2,..., nx.

(1)

(2) (3)

Геометрические параметры варьирования (вектор{Х}) меняются непрерывно либо дискретно на интервале {XL}-{XU}.

Функции ограничений (2) связаны с варьируемыми параметрами X неявно - через параметры состояния D(x), которые могут представлять собой перемещения узлов (S), внутренние силовые факторы (s), напряжения (о), деформация (е) и т.д.:

{б (х)} = ф(8, s,a). (4)

В выражении (4) вектор внутренних усилий {5} для пространственной задачи включает 6 компонент: Му, Мг (изгибающие моменты), Мх (крутящий момент), Оу, Ог (поперечные силы), N (продольная сила), которые определяются решением задачи конечно-элементного анализа в статической постановке:

№)]{*} = { F(x)], (5)

где [к(x)] - матрица жесткости системы, {f(x)} - вектор внешней нагрузки.

Алгоритм оптимизации при прямом обращении к функциям ограничений

На рис. 1 приведена взаимосвязь основных блоков алгоритма, реализующего решения задачи (1-3).

При каждом обращении к функциям ограничений возникает необходимость в решении задачи статического анализа, где определяются параметры состояния системы. Такой подход, с одной стороны, дает лучшую сходимость на внешних итерациях поискового процесса по сравнению с методами на основе аппроксимаций [2]. С другой стороны, вычислительная трудоемкость задачи возрастает за счет многократного обращения к блоку КЭ анализа. Остановимся на основных блоках алгоритма.

Блок решения задачи статического анализа реализует конечно-элементный расчет пространственных стержневых конструкций.

Конструктивный расчет включает проверки по прочности, устойчивости, согласно нормам проектирования.

В библиотеке сечений вычисляются геометрические характеристики простых и сложных сечений.

В блоке оптимизации реализовано решение стандартной задачи нелинейного программирования: найти

min f (x), xg Enx (6)

при ограничениях

gj(x)<0, y = l,2,...ж (7)

xi ^ xY ,

i = 1,2,..., nx,

(8)

которая приводится к задаче безусловной минимизации с использованием модифицированной функции Лагранжа Fp на интервале

Приведем выражение этой функции и опишем ее свойства. Функция Fp состоит из функции Лагранжа и штрафа за нарушение ограничений [1]:

Fp = kfFL + 0,5{g}T [S][k ]{g},

(9)

где стандартная функция Лагранжа FL имеет вид

Fl = f (x) + {y} [r]{g}

(10)

Рис. 1. Взаимосвязь основных блоков алгоритма при прямом вычислении функции цели и ограничений

В выражении (6) [К] - диагональная матрица штрафных коэффициентов; ^ - нормирующий множитель, введенный для повышения устойчивости вычислений. Элементы матрицы определяются из следующего условия:

если

gj + A Zj> 0, то ¥jj = 1. Иначе ¥ii = о.

'jj

(11)

Определение вектора прямых {Х+1} и двойственных переменных (или множителей Ла-гранжа) {г1} осуществляются с использованием итерационного процесса, критерием окончания которого являются проверки:

х,+1 _ х,

X

g <sg

(12)

где Щ - множество потенциально активных ограничений; ех, ед - заданная точность вычислений; ^ - номер итерации.

Для повышения скорости сходимости в функции ограничений введен коэффициент нормировки кд. Тогда

gi (x) = к

(x) _1

< 0, j = 1,2,..,m.

(13)

Алгоритм оптимизации на основе аппроксимации

В этом случае для решения задачи (1-2) формируется приближенная задача путем построения аппроксимаций целевой и ограничительных функций либо параметров состояния, входящих в эти функции. На рис. 2 показан укрупненный алгоритм, где дана взаимосвязь основных блоков алгоритма.

Рис. 2. Взаимосвязь основных блоков алгоритма на основе аппроксимации

Пример оптимизации четырехстержневой пространственной металлической системы

Рассмотрим пространственную конструкцию, содержащую 4 элемента (рис. 3, а; 3, б).

Исходные данные:

- I случай загружения: F1 = 6 кН, F2 = -8 кН;

- II случай загружения: F1 = -8 кН, F2 = -6 кН;

- предельное значение напряжений: [а]^ = 240 МПа;

с

- модуль упругости: Е = 2,1105 МПа;

- материал: сталь С255;

- расчетная температура: -35°С;

- допуск на перемещение узла: 5 [Д]^ = 0,005 м.

Рис. 3. Пространственная конструкция: а - первый случай загружения; б - второй случай загружения

Приняты 4 типа кольцевых сечений. Приведем математическую постановку задачи.

/(х) =Е Л ■ Ь ■

I=1

Здесь А/, и - площадь и длина /-го элемента каркаса. Ограничения представлены в следующем виде: а) ограничение на прочность /-го элемента:

gj =

N

<Pi • Ai ■ Ry Yi

■-1 < 0,

j = i = 1,2,...4 j = i + 4 = 5,6,...,8

для 1-го загружения; для 2-го загружения;

где N - значение продольной силы /-го элемента. щ - коэффициент устойчивости при центральном сжатии, Ry - расчетное сопротивление.

б) ограничение на перемещения узла 5 по направлению x и у:

,9Д1 -1S 0; g 1012 = ^ -1 S 0; L J max L J max

Варьировался 1 параметр сечения - внешний диаметр (бе). Значение толщины ([) было принято в частях от бе, ^ = бе/24 (рис. 4). Начальные значения и пределы изменения параметров концевого сечения: бв0 = 2 см, бе,™ = 0,1 см, бетах = 100 см.

Рис. 4. Сечение элемента

Поставленная задача решена с помощью программного комплекса РОПМК. В качестве методов решения задачи на безусловный экстремум использован метод деформируемого многогранника.

Параметры задачи оптимизации настроены автоматически в блоке оптимизации. В качестве их начальных значений приняты следующие: ктПп = 200; Л1тах = 0,2; к = 1.

Число варьируемых параметров - 4. Общее число ограничений - 12.

Задача решена в двух вариантах: а) при прямом вычислении функций ограничений на каждой итерации; б) на основе аппроксимаций функции ограничений.

Использование алгоритма прямого вычисления функции ограничений. Решение задачи производилось по схеме, показанной на рис. 1. Минимизация функции Fp выполнялась методом деформируемого многогранника.

В этом варианте получены следующие результаты:

Оптимальное значение целевой функции /(х) = 1287,659 см3.

Число обращений к функции ограничений - 3194.

Число итераций - 4.

Выявлены следующие потенциально активные ограничения по жесткости:

д9 = 0,6510-6, дю = -0, 2110-6.

На рис. 5. показаны изменения целевой функции на итерациях. Видно, что уже первая итерация поискового процесса дает решение, близкое к оптимальному, которое на последующих итерациях меняется незначительно. Точность вычислений достаточно высока (шестой порядок в невязках активных ограничений).

Использование алгоритма на основе аппроксимации 2-го порядка. Приближенная задача формировалась путем построения аппроксимаций ограничительных функций. На

внешних итерациях в окрестности текущей точки {X*} строились квадратичные аппроксимации функции ограничений:

j (^ ) = 1 {* - X *}

Т | д2 gj (x) dx2

{x - x* | -

' x=x*

(x)

д x

{ x - X *| + gj ( X *).

t - номер итерации

Рис. 5. Изменение целевой функции на итерациях при прямом вычислении (вариант 1)

Построение приближенной задачи на каждой итерации требовало napr обращений к прямому вычислению ограничений, где napr = 4 nx + 1 (nx - число варьируемых параметров). Таким образом, общее число решений задачи анализа было сокращено.

На внутренних итерациях алгоритма задача безусловной минимизации была решена также методом деформируемого многогранника. Предельное число внутренних итераций было ограничено до 5-ти. Точность в невязках ограничений ослаблена до 10-2.

Получены следующие результаты решения:

Оптимальное значение целевой функции f(x) = 1292,99 см3.

Число обращений к целевой функции - 2885.

Число прямых вычислений функции ограничений - 124.

Число итераций - 3.

Выявлены следующие потенциально активные ограничения: по жесткости:

gg = 0,1610-1, gio = -0,6710-2.

Общее число прямых вычислений функции ограничений сократилось до 124 (3 внешних итерации, на которой napr = 41, плюс 1 вычисление в полученном оптимальном решении).

Оптимальные значения варьируемых параметров в двух вариантах приведены в табл. 1.

Сравнение полученных результатов

Для оценки эффективности алгоритмов выполнено сравнение полученных результатов (табл. 2).

Как видно из табл. 2, решение задачи оптимизации с использованием алгоритма на основе аппроксимации требует существенно меньшего числа обращений к вычислению функций ограничений (124), чем алгоритма прямого вычисления (3194). Оптимальный объем конструкции во втором варианте не имеет большого отличия по сравнению с первым (разброс -0,41%).

Т

Т

Таблица 1

Оптимальные значения варьируемых параметров_

Номер Вариант 1 Вариант 2

элемента de (см) de (см)

1 2,131 1,976

2 2,831 2,955

3 0,100 0,100

4 1,186 1,172

Таблица 2

Сравнение полученных результатов оптимизации ПМК_

Показатели Вариант 1 Вариант 2

Число итераций 4 2

Число обращения к целевой функции 3194 2885

Число обращения к прямому вычислению функции ограничений 3194 124

Невязка в ограничениях gmax —0,5810-6 —0,6710-2

Оъем конструкции (см3) 1287,659 1292,99

Оъем % 99,59% 100%

Заключение

Пример оптимизации пространственной металлической конструкции, содержащей 4 элемента, продемонстрировал, что использование аппроксимации функции ограничений приводит к существенному сокращению объема вычислений, так как обращение к задаче конечно-элементного анализа в этом случае на порядок меньше при одинаковой точности в невязках ограничений. При решении задачи на условный экстремум использован метод модифицированной функции Лагранжа. Отмечено, что наибольшую устойчивость при решении задач в подобной постановке имеют прямые методы безусловной минимизации (в данном случае метод деформируемого многогранника).

Статья поступила 28.03.2016 г.

Библиографический список

1. Дмитриева Т.Л., Ле Чан Минь Дат, Нгуен Ван Ты. Реализация алгоритмов численной оптимизации в современных программных: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2015. 160 с.

2. Kirsch U. Implementation of combined approximations in structural optimization // Computers & Structures, 2000, vol. 78, no. 1-3, pp. 449-457.

3. Schmit L.A., Fleury C. Structural synthesis by combining approximation concepts and dual methods // AIAA J., 1980, vol. 18, pp. 1252-1260.

References

1. Dmitrieva T.L., Le Chan Min' Dat, Nguen an Ty. Realizatsiia algoritmov chislennoi optimizatsii v sovremennykh pro-grammnykh [Implementation of numerical optimization algorithms in modern software]. Irkutsk, IrGTU Publ., 2015, 160 p.

2. Kirsch U. Implementation of combined approximations in structural optimization // Computers & Structures, 2000, vol. 78, no. 1-3, pp. 449-457.

3. Schmit L.A., Fleury C. Structural synthesis by combining approximation concepts and dual methods. AIAA J., 1980, vol. 18, pp. 1252-1260.