CC BY
43
УДК 332.122
DOI: 10.21285/2227-2917-2016-2-136-145
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКОГО КАРКАСА © Т.Л. Дмитриева, Ле Чан Минь Дат
Даются постановка и алгоритм решения задачи оптимального проектирования металлического каркаса. Указано, что основная проблема расчета связана с тем, что итерационный алгоритм оптимизации требует многократного обращения к задаче статического анализа в форме метода конечных элементов. Для сокращения расчетов предложен алгоритм оптимизации на основе аппроксимаций параметров состояния конструкции. Приведен пример оптимального металлического каркаса с использованием программного комплекса «РОПМК» («Расчет и оптимизация пространственных металлических конструкций»), разработанного авторами.
Ключевые слова: оптимизация, аппроксимации, нелинейное программирование, комплексы программ, итерационный алгоритм, металлический каркас.
OPTIMAL DESIGN OF METAL CARCASS © T.L. Dmitrieva, Le Chan Min Dat
We give the statement and algorithm of task solution of optimal design of a metal carcass. It is stated that the main problem of calculation is connected with the fact that iterational algorithm of optimization demands multiple reference to the task of static analyses in the form of a method of final elements. In order to reduce the calculations we offered algorithm of optimization based on the approximation of parameters of the construction condition. We gave the example of optimal metal carcass with the use of program complex COSMC (calculation and optimization of space metal constructions), developed by the authors.
Keywords: optimization, approximation, non-linear programming, program complexes, metal carcass
Введение
Пространственные металлические конструкции (ПМК), к которым относятся каркасы зданий, по сравнению с плоскими обладают такими особенностями, как высокая архитектурная выразительность, надежность, малая металлоемкость и т.д., что позволяет им широко применяться в современном строительстве. Проблема поиска оптимальных решений в проектировании ПМК охватывает широкий спектр направлений, связанных с всесторонним исследованием их напряженно-деформированного состояния. В качестве критерия оптимальности используется, как правило, принцип минимума веса (объема) конструкции. Ограничения, которые накладываются на состояние конструкции, задаются в виде нормативных требований к прочности и жесткости. В данной работе рассмотрены два алгоритма решения задачи оптимизации, реализованные в программном комплексе «РОПМК».
Постановка задачи
Примем постановку задачи оптимизации в форме задачи нелинейного программирования (НЛП), где целевая функция fx) определяет объем конструкции [1]:
найти min f (x, D(x)), xgE"x (1)
при ограничениях g. (x, d(x)) < 0, j = 1,2,.., m; (2)
xL <xi <xU, i = 1,2,..., nx. (3)
Геометрические и физические параметры варьирования (вектор{Х}) меняются непрерывно либо дискретно на интервале {Хь]-{Хи}.
Функции ограничений (2) связаны с варьируемыми параметрами X неявно - через параметры состояния D(x), которые могут представлять собой перемещения узлов (5), внутренние силовые факторы (5), напряжения (о) и т.д.:
= (4)
В выражении (4) вектор внутренних усилий {5} для пространственной задачи включает 6 компонент: Му, М1 (изгибающие моменты), Мх (крутящий момент), Qy, Qz (поперечные силы), N (продольная сила), которые определяются решением задачи конечно-элементного анализа в статической постановке:
[К (х )]{<5}={Р (х )} (5)
где [К(х)] - матрица жесткости системы; {р(х)} - вектор внешней нагрузки.
I. Алгоритм оптимизации при прямом вычислении функций цели и ограничений
На рис. 1 приведена взаимосвязь основных блоков алгоритма, реализующего решения задачи (1)-(3). Здесь при каждом обращении к функциям ограничений возникает необходимость в решении задачи статического анализа, где определяются параметры состояния системы. Такой подход, с одной стороны, дает лучшую сходимость на внешних итерациях поискового процесса по сравнению с методами на основе аппроксимаций [2-5]. С другой стороны, вычислительная трудоемкость задачи возрастает за счет многократного обращения к блоку КЭ анализа.
Рис. 1. Взаимосвязь основных блоков алгоритма при прямом вычислении функций цели и ограничений
Остановимся на основных блоках алгоритма.
Блок решения задачи статического анализа реализует конечно-элементный расчет пространственных стержневых конструкций.
Конструктивный расчет включает проверки по прочности, устойчивости согласно нормам проектирования.
В библиотеке сечений вычисляются геометрические характеристики простых и сложных сечений.
В блоке оптимизации реализовано решение стандартной задачи нелинейного программирования:
найти min f (х), х g Enx (6)
при ограничениях g. (х)< 0, j = 1,2,...,m;
m;
xL < xi < xU, i = 1,2,..., nx,
(7)
(8)
которая приводится к задаче безусловной минимизации с использованием модифицированной функции Лагранжа Fp на интервале {Хь}-{Хи}.
Приведем выражение этой функции и опишем ее свойства. Функция Fp состоит из функции Лагранжа и штрафа за нарушение ограничений [1]:
FP = к^ + 0,5ЫГ [ф М (9)
где стандартная функция Лагранжа FL имеет вид
^ = f{x)+{y}т []Ы. (10)
В выражении (6) [к] - диагональная матрица штрафных коэффициентов; kf - нормирующий множитель, введенный для повышения устойчивости вычислений. Элементы матрицы [[] определяются из условия:
если +д2. > 0, то [ = 1. Иначе [ = 0. (11)
Определение вектора прямых {Х+1} и двойственных переменных (или множителей Лагранжа) {У*+1} осуществляется с использованием итерационного процесса, критерием окончания которого являются проверки
\Xt+1 -Xf\ < s\X
g < S
(12)
где я - множество потенциально активных ограничений; ех, £я - заданная точность вычислений; I - номер итерации.
Для повышения скорости сходимости в функции ограничений введен коэффициент нормировки кя. Тогда
gj (х) = kg \g * (х) - 1j< 0, j = 1,2,.., m.
(13)
II. Алгоритм оптимизации на основе аппроксимации
В этом случае для решения задачи (1)-(2) формируется приближенная задача путем построения аппроксимаций целевой и ограничительных функций, либо параметров состояния, входящих в эти функции. На рис. 2 показан укрупненный алгоритм, где дана взаимосвязь основных блоков алгоритма.
Рис. 2. Взаимосвязь основных блоков алгоритма на основе аппроксимации
Пример оптимизации пространственного металлического каркаса
Для примера рассмотрим случай варьирования параметрами сечений, а также углом наклона (а) ригели каркаса (рис. 3). Координаты остальных узлов при этом фиксированы.
Исходные данные:
- размеры каркаса: 2LxBx Н (Ь = 6 м, В = 6 м, Н = 3,6 м);
- распределенная нагрузка: q¡ = 25,8 кН/м; q2 = 7,18 кН/м;
- ветровая нагрузка Р = 10 кН;
- материал: сталь С345 (Яу = 320 МПа);
- модуль упругости Е = 21000 кН/см2;
- коэффициент условия работы у = 1;
- сечение стоек - О, сечение горизонтальных и наклонных элементов - I;
- число случаев загружения - 2 (рис. 4, 5);
- допуск на горизонтальное перемещение узлов: 4, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18, 19, [Лтах] = 1,8 см (1/400 высоты здания);
- число групп элементов - 5.
Jí
13
Рис. 3. Расчетная схема пространственного каркаса
qi=7.18 кН/м
19
14
^ у у
10 I
q,=25,S кН/м
В
> Í у у ч|г ^
12
I
18
qi=25,8 кН/м
V V V i
16
21
Щ
в
q>=7 18 кН/м
^ ^ ^ ^ ^ ^¡^ ^^
qi=25,8 кН/м
Ж /
а
б
Рис. 4. Первый случай загружения:
а - разрез А-А; б - разрез С-С (схема обозначений разрезов показана на рис. 3)
Ф=7,18 кН/м
13
П
14
ггщ.
10
Ф=25.8 кН/м
у у у V V
В
12
18
q,=25,8 кН/м
V V \f jf
6
Щ
16
21
В
19
ж
I/
q2=7,18 кН/м Í3
F=!0кН
\
.....
qi~25,S кН/м
i—t
F = 10 кН
2
Щ
а
б
Рис. 5. Второй случай загружения:
а - разрез А-А; б - разрез С-С (схема обозначений разрезов показана на рис. 3)
Перечислим элементы одного типа сечения, объединенные в группы.
Тип 1: 2, 1, 3, 4, 17, 18, 25, 24, 26, 27, 5, 6.
Тип 2: 19, 9, 8, 20, 28, 29.
Тип 3: 10, 11, 12, 21, 22, 23.
Тип 4: 14, 13, 7, 15, 16, 30, 31.
Тип 5: 33, 32, 34.
Постановка задачи оптимизации и методы решения
Целевая функция f(x) представляет собой объем каркаса:
34
f (x) = £ 4 • h,
(14)
где п - число элементов; Аг, I - площадь поперечного сечения и длина /-ого элемента. Функции ограничений представлены в следующем виде:
1. Проверка на прочность при изгибе по нормальным напряжениям /-го элемента кольцевого сечения (СП 16.13330.2011, п. 8.2, форм. 43):
M
gj =
-z. ±-
M
J Я у J Яу
yni Vit ci zni y / c
-y, - 1 < 0.
(15)
2. Проверка на прочность по касательным напряжениям /-го элемента кольцевого сечения (СП 16.13330.2011, п. 8.2, форм. 42):
g, =
Q S
SL- yi y
2• J t • Яу
yni i s i ci
-1 < 0,
Q S
2• J t • Яу
zni i s / c.
-1 < 0.
(16)
3. Проверка местной устойчивости полки двутавра в /-м элементе при изгибе (СП 16.13330.2011, п. 7.24, табл. 30):
g, =
0,5 • t
R
M- -1 < 0.
E
(17)
4. Проверка по касательным напряжениям для двутавра в /-м элементе (СП 16.13330.2011, п. 8.2, форм. 54):
i=1
^ --1 - о. (18)
t • пЯу
' ' а
5. Проверка на прочность по нормальным напряжениям для двутавра в '-м элементе (СП 16.13330.2011, п. 8.2, форм. 43):
М. . М.
g =-y—z. ±--1 < 0. (19)
Sj J Ry 1 J Ry 7i V 1
yni y' ci zni V' ci
6. Проверка на прочность по нормальным напряжениям для двутавра в '-м элементе - с учетом пластических деформаций (СП 16.13330.2011, п. 8.2.3, форм. 51):
М. М
g =-у-г. ±-*-у. -1 < 0. (20)
с .{И Я у . ' сЗЯу V 7
уг' упг у'сг г гпг у'сг
Ограничения по жесткости:
1) на перемещение узлов по направлениям х:
gjx = -1 < 0, j = 4, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18, 19. (21)
А max
2) на перемещение узлов по направлениям у:
Ау.
gy -1 < 0, j = 4, 8, 10, 12, 13, 14, 16, 18, 19. (22)
А max
Приняты следующие начальное значение и пределы изменения угла а:
а = ?Q0 а = 50 а = 450
а0 29 , amin 5 , атах 45 .
В качестве методов безусловной минимизации использован прямой метод (метод деформированного многогранника). Параметры задачи оптимизации настроены автоматически в блоке оптимизации. В качестве их начальных значений приняты следующие:
kmin = 200, AZmax = 0,2; kf= 1.
Решение поставленной задачи было произведено при помощи программного комплекса «РОПМК» [6], разработанного авторами. Выполнено 2 варианта расчета.
Вариант 1. Использование алгоритма прямого вычисления
В этом варианте использован алгоритм прямого вычисления функции цели и ограничений (рис. 1). Для каждого случая загружения варьировались 1 параметр кольцевого и 2 параметра двутаврового сечения. Тогда число варьируемых параметров - 10; а общее число ограничений - 59. Заданная точность вычислений невязок ограничений - 10-4.
Рассмотрен случай решения задачи оптимизации, когда расчет ведется по упругим деформациям.
Приведем начальные значения и пределы изменения параметров сечений:
• deo = 100 см, de [5-100] см;
• ho = 160 см, h [16-160] см;
• bo = 100 см, b [6-100] см;
• tpo = h)/40 см, tp [0,4-4] см;
• ts0 = b0/25 см, ts [0,24-4] см.
Результаты решения варианта 1:
- оптимальное значение целевой функции f(x) = 1199973,177 см3;
- число обращений к целевой функции - 200182;
- число итераций - 4;
- оптимальный угол наклона а - 27 .
Получены следующие потенциально активные ограничения по жесткости: g32 = 0,95-10-6 и g58= 0,49-10"6.
На рис. 6. показаны изменения целевой функции на итерациях. Видно, что уже первая итерация поискового процесса дает решение, близкое к оптимальному, которое на последующих итерациях меняется незначительно. Точность вычислений достаточно высока (шестой порядок в невязках активных ограничений).
Рис. 6. Изменение целевой функции на итерациях
Значения оптимальных параметров сечений приведены в табл. 1.
Значения оптимальных параметров сечений
Таблица 1
Тип Оптимальные параметры
элементов В, см H, см de, см
1 - - 28,43
2 15,01 20,94 -
3 19,01 49,78 -
4 6,00 16,00 -
5 35,51 47,83 -
Исследование оптимального решения на единственность
Для проверки оптимальных результатов на единственность задача решена при различных начальных проектах. Всего рассматривалось 4 решения задачи. В качестве начального проекта использовались различные величины диаметра ^е0) концевого и ширины полки (Ь0), высоты стенки (к0) двутаврового сечений.
На рис. 7. показана сходимость алгоритма при различных начальных спусках.
5 Ъ
1,25
1.2
1,15
1.1
Vi Решение!
/V / 15 ГгпкшиЗ П Решение 2
Г ? Решение 4 г ■ число итераций
Рис. 7. Изменение целевой функции на итерациях при различных начальных
параметрах (вариант 1)
В табл. 2 видно, что найдено практическое совпадение оптимальных значений целевой функции (разброс составил 0,000332 %). Оптимальное решение во всех случаях получено на 3-й итерации.
Таблица 2
Оптимальные решения при различных начальных проектах
Параметры Решение 1 Решение 2 Решение 3 Решение 4
1 тип элем. 2-5 типы элем. 1 тип элем. 2-5 типы элем. 1 тип элем. 2-5 типы элем. 1 тип элем. 2-5 типы элем.
Но, см - 160,000 - 110,000 - 90,000 - 50,000
В0, см - 100,000 - 50,000 - 30,000 - 10,000
de0, см 100,000 - 50,000 - 30,000 - 10,000 -
fix)опm, см 1199973,177 1199981,210 1199975,140 1199974,246
Число итераций 3 3 3 3
* (тах) 0,49-10-6 -0,32-10-6 -0,93-10-6 0,11-10-6
Вариант 2. Использование алгоритма на основе аппроксимации 1-го порядка
Для сокращения числа обращений к задаче конечно-элементного анализа выполнен еще один вариант оптимизации пространственного каркаса, где решение базировалось на аппроксимациях (рис. 2). Для формирования приближенной задачи на внешних итерациях в окрестности текущей точки {X } строились линейные аппроксимации функций ограничений (14)-(22):
^Ч 17Г х - X* Ь *(X *).
V ) х= х
Построение приближенной задачи на каждой внешней итерации требовало парг обращений к прямому вычислению функций ограничений, где парг = 2 • пх + 1. На внутренних итерациях алгоритма задача безусловной минимизации была решена методом деформируемого многогранника. Предельное число внутренних итераций было ограничено до 6-ти. Точность в невязках ограничений ослаблена до 10-1.
Результат решения варианта 2:
- оптимальное значение целевой функции_Дх) = 1343039,301 см3;
- число обращений к целевой функции - 100085;
- число прямого вычисления функции ограничений - 691;
- число внешних итераций - 5, внутренних - 3;
- оптимальный угол наклона а - 220.
Получены потенциально активные ограничения по прочности: *28 = 0Д9-10"1 - и по
1 2
жесткости: *32 = -0,29-10" , = -0,37-10" . Значения оптимальных параметров сечений приведены в табл. 3. Оптимальное решение было получено на 6-й итерации внешнего уровня аппроксимаций. Общее число прямых вычислений функции ограничений сократилось до 691 (6 итераций, на каждой их которых парг = 115, плюс 1 вычисление в полученном оптимальном решении).
Таблица3
Значения оптимальных параметров сечений
Тип элементов Оптимальные параметры
В (см) H (см) de (см)
1 - - 30,41
2 28,152 16,000 -
3 13,603 57,927 -
Тип элементов Оптимальные параметры
В (см) H (см) de (см)
4 6,136 16,000 -
5 27,767 37,990 -
В этом варианте получено существенное снижение времени расчета - в 3 раза по сравнению с вариантом 1.
Сравнение полученных результатов
Для оценки эффективности алгоритмов выполнено сравнение результатов (табл. 4).
Таблица 4
Сравнение результатов оптимизации пространственного каркаса
Показатели Вариант 1 Вариант 2
Число итераций 4 6
Число обращений к целевой функции 200182 100085
Число обращений к прямому вычислению функции ограничений 200182 691
Невязка в ограничениях gmax 0,49-10"6 -0,37-10"2
Объем конструкции, см3 1199973,177 1343039,301
Объем, % 89,81 100
Как видно из таблицы, решение задачи оптимизации с использованием алгоритма на основе аппроксимации требует существенно меньшего числа обращений к прямому вычислению функции ограничений, чем алгоритм, где функции ограничений вычисляются напрямую. Оптимальный объем конструкции в первом варианте отличается от второго на 10,19 %.
Основные выводы
Пример оптимизации пространственной металлической конструкции (каркаса здания) продемонстрировал, что использование аппроксимации функции ограничений приводит к существенному сокращению объема вычислений, так как обращение к задаче конечно-элементного анализа в этом случае на порядок меньше. С другой стороны, алгоритм прямого вычисления показал результативность с высокой точностью в невязках ограничений. При решении задачи на условный экстремум использован метод модифицированной функции Лагранжа. Отмечено, что наибольшую устойчивость при решении задач в подобной постановке имеют прямые методы безусловной минимизации нулевого порядка (в данном случае метод деформируемого многогранника).
Статья поступила 22.02.2016 г.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дмитриева Т.Л., Ле Чан Минь Дат, Нгуен Ван Ты. Реализация алгоритмов численной оптимизации в современных программных комплексах: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2015. 160 с.
2. Haslinger J, Mäkinen R. Introduction to Shape Optimization: Theory, Approximation, and Computation (Advances in Design and Control). Society for Industrial Mathematics, 2003. 273 p.
3. Kirsch U. Implementation of combined approximations in structural optimization // Computers & Structures. 2000. Vol. 78. № 1-3. P. 449-457.
4. Schmit L.A., Fleury C. Structural synthesis by combining approximation concepts and dual methods // AIAA J. 1980. Vol. 18. P. 1252-1260.
5. Schmit L.A., Chang K.J. Optimal Design Sensitivity Based от Approximation Concepts and Dual Methods // IJNME. 1984. Vol. 20. P. 39-75.
6. Свидетельство № 2015662383 от 24.11.2015 о государственной регистрации программы для ЭВМ. Расчет и оптимизация пространственных металлических конструкций / Дмитриева Т.Л., Ле Чан Минь Дат.
REFERENCES
1. Dmitrieva T.L., Le Chan Min' Dat, Nguen Van Ty. Realizatsiya algoritmov chis-lennoi optimizatsii v sovremennykh programmnykh kompleksakh [Realization of algorithms of numeral optimization in modern program complexes]. Irkutsk, Izd-vo IrGTU Publ., 2015. 160 p.
2. Haslinger J, Makinen R. Introduction to Shape Optimization: Theory, Approxima-tion, and Computation (Advances in Design and Control). Society for Industrial Mathematics, 2003. 273 p.
3. Kirsch U. Implementation of combined approximations in structural optimization. Computers & Structures, 2000, vol. 78, no. 1-3, pp. 449-457.
4. Schmit L.A., Fleury C. Structural synthesis by combining approximation concepts and dual methods. AIAA J., 1980, vol. 18, pp. 1252-1260.
5. Schmit L.A., Chang K.J. Optimal Design Sensitivity Based ot Approximation Concepts and Dual Methods. IJNME, 1984, vol. 20, pp. 39-75.
6. Dmitrieva T.L., Le Chan Min' Dat. Svidetel'stvo no. 2015662383 ot 24.11.2015 o go-sudarstvennoi registratsii programmy dlya EVM. Raschet i optimizatsiya prostranstvennykh metallicheskikh konstruktsii [Certificate № 2015662383 from 24.11.2015 about state registration of the program for ECM. Calculation and optimization of space metal constructions].
Информация об авторах
Дмитриева Татьяна Львовна, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, e-mail: [email protected], Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Ле Чан Минь Дат, аспирант кафедры сопротивления материалов и строительной механики, e-mail: [email protected], Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Information about the authors
Dmitriyeva T.L., Doctor of Technical Sciences, professor, Material Resistence and Building Machinery Department, e-mail: [email protected], Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
Le Chan Min Dat, Post-graduate, Material Resistence and Building Machinery Department, e-mail: [email protected], Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
