Решение первой задачи динамики робота-манипулятора Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.865.8

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА

© 2004 г. Д.Е. Притыкин, А.Н. Кабельков

Манипулятор, разработанный на кафедре автоматизации производства робототехники и мехатрони-ки ЮРГТУ (НПИ) [1], предназначен для управления движением сопла установки торкретирования поверхностей (в частности подземных выработок, туннелей и т.д.).

Схема манипулятора представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема манипулятора на основе пантографа

В качестве управляемых координат выступают поступательные перемещения q1 и q2 ползунов O1 и O2. Геометрические параметры звеньев подобраны таким образом, что ДO1BM подобен ДO1AO2. Рабочий орган (сопло) располагается в точке М . Манипулятор приводится в движение приводами, развивающими усилия Q1 и Q2.

Благодаря подбору геометрических параметров механизма, как описано выше, перемещения рабочего органа вдоль осей базовой системы координат пропорциональны перемещениям ползунов приводов, т. е. координаты точки М равны:

Xm = (1 - K) q ; YM = Kq2,

где K = ■

Li

In

L1 L3

- коэффициент подобия панто-

графа; Ц, Ь2, Ь3, Ь4 - длины соответственно звеньев ОхВ, 02А, 02С, ВМ .

Ставим задачу исследования устойчивости манипулятора, реализующего движение сопла по заданной программе движения.

На первом этапе требовалось:

1. Получить математическую модель данной механической системы (уравнения движения).

2. Решить 1-ю задачу динамики, т. е. найти законы изменения во времени усилий приводов, необходимых

для осуществления движения рабочего органа робота по заданной траектории и с заданной скоростью (синтез программного управления).

При разработке модели используем следующие допущения:

1. Диссипативные силы не учитываем.

2. Учитываем силы тяжести ползунов и рабочего органа, а силы тяжести звеньев пантографа не учитываем в силу их малости.

Уравнения движения составляем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. На этапе предварительных исследований кинематики механизма было выяснено, что управляемые координаты q1 и q2 не удобны для выбора их в качестве обобщенных координат ввиду громоздкости получаемых при этом выражений для скоростей центров масс и угловых скоростей звеньев, что делает затруднительным получение выражения для кинетической энергии. Поэтому в качестве обобщенных координат были выбраны углы ф1 и ф2 (рис. 1). Управляемые координаты легко могут быть выражены через эти углы:

ql = L2 sinф2 - (L - L3) cosф] ; q2 = (L1 - L3) sinф1 + L2 cosф2.

Таким образом, система уравнений движения в форме уравнений Лагранжа [2] для данной системы имеет вид:

d_

dt

dt

(ЪТ ^

Эф i

дТ Эф 2

дТ ЭП

+ —= 0ф1;

Эф1 Эф1

ЭТ ЭП =

Эф 2 + Эф2 = Уф2;

где T, П - кинетическая и потенциальная энергии системы; Qф¡, Qф2 - обобщенные силы, связанные с

усилиями приводов.

Все дальнейшие вычисления выполняем на ЭВМ в символической форме с использованием пакета Maple 8 и, ввиду их громоздкости, полностью не приводим. Выражение для кинетической энергии:

T =1 ф2 cos ф2 - 2L2Lзф 1Ф2 sinФ1 cos ф2 +

+ LjL2(^^2 sinф1 cos ф2 + L3(^j2 - L3ф2 cos2 ф1 -

• 2 '2 2 1 2 * 2 1 1 2 * 2

- L^2 + L1Lзф2 cos2 ф| + 4L2фj2) + -^2(4L3фf +

d

L

4

+ 4L3<|)j cos ф1 + L1 фj cos ф1 - 2L1Lзф1 cos ф1 -

- L1L2ф 1(ф2 cosф1 sinф2 + L2¿3ф 1(ф2 cosф1 sinф2 +

12*2 12*2 2 1 2*2 + 4L2ф2 - 4L2ф2 cos2 ф2) + 2m3 С^^ззф 1 -

3 2*2 2 2*2 2 • 2 2

- 4 L^ 1 cos ф1 + L1 ф 1 cos ф1 - L1L3^ 1 cos ф1 -

• • 12*212*2 2 - L1L2 фф 1ф 2 cos Фlsin ф 2 + 4 L2 фф 2 - 4 L2ф 2 cos ф 2) +

+ -jm4(L3L4ф 1фф2 cosф2 sinф1 - L2L4ф2 cos2 ф2 +

где

K11 + K^cos ф1 Klзc0sфlsinф2 + K14 COsф2 sinфl

K21 C0sфl sinф2 + K22 C0sф2 sinфl K23 + K24 cos2 ф2

Дф1,ф2)=

- матрица инерции, приведенная к осям ползунов;

/ • 2 • 2 Л

К15ф sin2ф1 + (K16 cosф1 cosф2 + K17 8тф1 8тф2)ф2

5(ф1, ф2, <^1,ф 2) = - вектор-момент центробежных сил инерции;

К27ф2 sin2ф2 + (K25 cosф1 cosф2 + K26 sinф1 sinф2)ф2

(-

C^ ф2) =

mn2g(L1 -А^ф -mQgA C0sф1

Л

- вектор-момент

(mn2L2 + m0L4)g • sln4>2

сил тяжести, приведенный к осям ползунов;

2 2 2 2 2 + L ф 2 cos ф2 - 2L2L3)) 1))2 cosф2 slnф1 + L3)) 1 -

- L3()12 cos2 ф1 + L2фф2 cos2 ф1 + — L4ф2 -

£>№1, ф2>:

(L1 - L3) sin ф1 (L1 - L3) cos ф1 L2 cos ф2 - L2 sin ф2

передаточная

матрица пантографа;

- L1 ¿4Ф1Ф 2 C0s ф1 sin ф2 ) - ~mn1 (L2ф2 C0S ф2 +

& 2 1 &

+ (Li -¿з)фiSinф1) + 2m„2((Li -¿з)фicosф1 -

& 2 1 & &

- ¿2ф 2 sin ф 2) + — m0(2L3 L4 ф 1<ф 2 coS ф 2 sin ф1 +

+ L22ф2 cos2 ф2 - 2L2L4ф2 cos2 ф2 -+ L;3c>f - L3Ф12 cos2 ф1 + L2«ф-р cos2 ф1 -

- 2L2L4ф 1ф 2 cos ф1 sin ф 2 + L4ф2)+

1 & 2 1 & 2

+ 24 (m1 + тз )ф 1 + 24 (m2 + т4)ф2- (1)

Потенциальная энергия:

п = тП2 g ((L1 - L3)sin ф1 + L2 cos ф2) +

+ т0g(L1 sinф1 + L4cosф2). (2)

Непотенциальные обобщенные силы:

Q _ 618^1 + Q2Sg2 . Q _ 6tSg1 + QSg2 (3) ^ф1 _ 8ф ; 6ф2 _ ~ . (3)

8ф1

8ф2

В выражениях (1) - (3): т1, ш2, т3, ш4 - массы звеньев пантографа, тп1, шп2 - массы ползунов, ш0 -масса рабочего органа, g - ускорение свободного падения, 8д1, 8д2, 8ф1, 8ф2 - возможные перемещения.

После преобразований получаем следующие уравнения движения, представленные в векторно-матричной форме:

С 2ф

ДФ1, Ф2) "Г + ВФ1, Ф2, Ф1, Ф 2) =

сИ2

= C(фь ф2) + £(фь ф2) Q

С4)

d 2ф (фф ^

dt2

Q =

ф&1

|ф| 2

- вектор обобщенного ускорения;

(Q1 ^ Q2

- вектор управляющего воздействия.

Здесь К11,..., К27 - коэффициенты, имеющие размерность моментов инерции и представляющие собой алгебраическую сумму произведений масс звеньев на квадраты их длин.

В технологическом процессе, для которого разрабатывался данный робот, рабочий орган должен совершать движение по траектории, заданной уравнениями:

x(t) = ^

2 0<t<т;

y(t) = vt;

x(t) = R cos

y(t) = H + R si/R ^

t >т:

где t =

=v

H

представляющими собой уравнения кон-

тура сечения подземной выработки или туннеля (рис. 2). В случае идеально гладкой поверхности скорость V является постоянной величиной.

Требуемые для отработки такой траектории усилия приводов легко определяются из векторного уравнения (4):

d 2 ф

Q = d ч(ф1, ф 2)(Ф 2) —ф +

dt2

(5)

+ В(ф1, ф 2, ф 1, ф 2) - С (Ф1, ф 2)).

Для нахождения этого вектора необходимо найти законы изменения обобщенных координат, скоростей и ускорений при отработке заданной программы. В курсе механики роботов эта задача называется обрат-

ной задачей кинематики (ОЗК). Связь координат рабочего органа с обобщенными координатами (решение прямой задачи кинематики) имеет вид: xM = (L4 - L2)sin ф2 - L3 cos ф1 ;

yM = Li sin Ф1 + L4 cos ф 2 .

Разрешая эту систему относительно обобщенных координат, получим решение ОЗК. Подставляя его в (5), получим законы изменения усилий приводов, т.е. решим первую задачу динамики. Ввиду чрезвычайной сложности полученные выражения были исследованы численно. Результат этого исследования представлен в виде графиков изменения Q1 (t) и Q2 (t), построенных для нескольких значений контурной скорости V .

Рис. 2. Траектория движения и ее параметры

Расчет произведен для следующих параметров механизма: L1 = 1 м, L2 = 0,9 м, L3 = 0,6 м, L4 = 2,25 м,

m1 = 5,6 кг, m2 = 5,0 кг, m3 = 3,33 кг, m4 = 12,5 кг,

mп1 = mn2 = 10 кг, m0 = 15 кг; и траектории: Ь = 3 м,

H = 1,5 м, R = 1,5 м.

Полученные семейства кривых представлены на рис. 3 и 4.

На приведенных графиках видно, что на первом участке сила Q1 имеет незначительную величину. Она убывает с течением времени, и диапазон ее изменения расширяется с увеличением контурной скорости. Сила Q2 уменьшается с течением времени, и диапазон ее изменения также увеличивается с повышением контурной скорости.

На втором участке сила Q1 возрастает, а сила Q2 убывает с течением времени. Диапазоны их изменения с увеличением контурной скорости остаются постоянными, а интенсивность изменения растет. Кроме того, минимумы Q1 и максимумы Q2 лежат на одном уровне для всех значений контурной скорости.

Рис. 3. Семейства кривых для участка 1-2

Рис. 4. Семейства кривых для участка 2-3

t

t

t

t

Оперируя терминами теории управления в робо-тотехнических системах, мы осуществили синтез программного управления для данного манипулятора. Приложение управляющих воздействий, изменяющихся по полученным законам, к манипулятору обеспечит движение по определенной выше траектории с заданной скоростью.

Построение модели данной механической системы и решение для нее первой задачи динамики открывает возможность для исследования ее устойчивости, что имеет огромное значение для создания реальных

Анализ опыта использования различных типов организационно-технологических моделей производственных процессов показал, что для обеспечения полезности моделирования необходимо выполнение определенных требований. Используемая модель должна быть адекватной моделируемым производственным процессам. Причем адекватность понимается не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными. Должен быть предусмотрен способ (алгоритм) настройки модели на изменяющиеся условия и параметры производства, на соответствующие задачи управления производством, которые потребуют укрупнения или разукрупнения ее, учета модельных и внемодельных ограничений и т.д.

Важное требование при моделировании - учет многовариантности производства. Вариантность влияет на топологию модели, на структуру и интенсивность видов работ. Учитывая, что каждая разновидность вариантности имеет множество организационно-технологических решений, можно представить, насколько велико число их сочетаний.

Необходимы эффективные способы подготовки исходной информации для моделирования, значительно сокращающие ручные операции и исключающие недостоверную информацию. Важной в связи с этим является информационная и программная совместимость организационно-технологического моделирования с другими задачами управления производством, с одной стороны, и с другой - с проектно-конструкторскими работами. Должно быть предусмотрено создание специальных языков описания модели и методов кодирования работ, ориентированных на машинную обработку информации.

систем такого типа. Результаты исследования предполагается использовать при курсовом и дипломном проектировании.

Литература

1. Патент РФ №2101434 С1 от 10.01.1998 / М.Д. Бондаренко, В.Т. Загороднюк, Д.М. Крапивин. Новочеркасский государственный технический университет.

2. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики. М., 1970.

ноября 2003 г.

Моделирование с учетом вышеперечисленных требований связано с таким объемом математических и логических действий, подготовительных и графических работ, выполнение которых вручную в приемлемое время и с необходимым качеством нереально. Должны автоматизироваться и рассматриваются как единый процесс все этапы моделирования: подготовка информации, формирование, расчет, оптимизация, отображение, изменение и корректировка модели.

Обязательным в этом процессе является участие человека, который в диалоговом режиме с использованием интерактивной техники вырабатывает организационно-технологические решения.

Предлагается система моделирования производственных процессов с использованием современных информационных технологий, которая разрабатывается с учетом вышеуказанных требований.

В системе применены методы поискового конструирования организационно-технологических моделей, основанных на принципах искусственного интеллекта и экспертных систем.

Ядром системы является база знаний, представляющая совокупность микрофрагментов и их агрегатов, созданная на основе знания экспертов-профессионалов. Микрофрагменты - это информационные элементы, описывающие работы (производственные процессы), с указанием взаимосвязей их с соседними работами. При этом в микрофрагменте содержится информация об описываемой в нем работе, о связях этой работы с возможными предшествующими (а в некоторых реализациях и с последующими), о типе связей, об интенсивности, сменности, вариантах смещений данной работы по отношению к

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ) 28

УДК 69.003.658.012.011.56

ПОИСКОВОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

© 2004 г. Б.Н. Небритов, Е.В. Губеев