Устойчивость симметричной гиперболоидальной прецессии неуравновешенного ротора Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1:531.36 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 4

И. А. Пасынкова

УСТОЙЧИВОСТЬ СИММЕТРИЧНОЙ ГИПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ ПРЕЦЕССИИ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА

Введение. В работах [1, 2] было установлено, что динамически и статически неуравновешенный жесткий ротор, укрепленный вертикально в упругих нелинейных опорах, может иметь при определенных условиях стационарный режим вращения, который представляет прямую синхронную прецессию гиперболоидального типа. Эти условия состоят в том, что центр масс должен находиться на равном расстоянии от опор и фазовый сдвиг динамического дисбаланса по отношению к статическому должен быть равен £ = п/2. При этом опоры предполагались центрально-симметричными. Рассматривались существенно нелинейная характеристика опор типа Герца [1] и нелинейная характеристика типа Дуффинга [2]. Силы сопротивления не учитывались. Были получены условия неустойчивости симметричных гиперболоидальных прецессий. Однако, эти условия охватывали не весь диапазон угловых скоростей и не позволяли точно установить границы потери устойчивости. В данной работе предлагается уточнение и расширение полученных ранее результатов.

1°. Уравнения движения ротора. Рассматривается динамически симметричный жесткий ротор, имеющий массу М, длину Ьг, моменты инерции ,1р (осевой) и Ъ (экваториальный). Ротор статически и динамически неуравновешен. Статический эксцентриситет равен е. Динамический эксцентриситет характеризуется величиной 6 и фазовым сдвигом £. Ротор приводится во вращение двигателем, способным поддерживать постоянную угловую скорость вращения П. В пренебрежении перемещением ротора вдоль оси вращения его можно рассматривать как механическую систему с четырьмя степенями свободы. В качестве обобщенных координат выбираются декартовы координаты х^(у = 1, 2) у-го конца оси ротора (шипа) в плоскости, перпендикулярной оси подшипников. Упругие опоры предполагаются обладающими центральной симметрией. В этом случае реакция опоры имеет только радиальную составляющую, равную ^ = (Б|) п. Здесь Б^ = х^ + гу^ —смещение у-го шипа от равновесного положения (в комплексной форме), п —орт направления Б^, а функции Е^(Б|) непрерывно-дифференцируемые и Е^ (0) = 0. Силы сопротивления не учитываются.

Пусть Ь — расстояние между опорами, и ротор укреплен таким образом, что расстояние его центра масс от у-ой опоры равно е^ Ь, так что всегда справедливо е\ + е2 = 1. Введем в рассмотрение характерный линейный размер Н, например, эксцентриситет е или величину Ь6, и характерную угловую скорость и>о, выбор которой зависит от вида функций Е^. В комплексной форме, после перехода к безразмерным переменным 8з = ^¿/^ т = сии безразмерной угловой скорости О, = уравнения движения [3]

примут вид

X) *3+Ы\*з\) щ) = ехр(Шт),

¿=1,2

I,

-inX¿j + klejfj(^sj\)т1-\] ехр(г(Пт-£)).

;=1 2 V !/

¿=1 ,2

© И. А. Пасынкова, 2006

Здесь дифференцирование ведется по безразмерному времени т и все обозначения имеют тот же смысл, что ив [3].

Уравнения движения жесткого ротора с четырьмя степенями свободы в линейных упругих опорах и без учета сил сопротивления приводятся в [4, 5].

Решение, которое определяет прямую синхронную прецессию, имеет вид

в- = К, ехр(г—-) ехр(г И т), ] = 1, 2, (2)

где К-, ф- —вещественные постоянные и К- > 0. Величина К- —это радиус круговой орбиты ]-го шипа, а ф- —угол сдвига фазы относительно возмущающей силы.

Подставив решение (2) в систему (1), получим линейную неоднородную систему алгебраических уравнений относительно величин ехр (г-—-),] = 1, 2, разрешив которую, получим

П2

ехр(г^) = д-д + (-1)3(12Аз-2 ехр (-{е)) , (3)

Д = AiB2 + A2 Bi,

А _ fj(Rj) „ (-)2 д _i /з(дз) а'А

Aj - —--ез-jil , tíj - к ej —--il .

Rj Rj

Отсюда следует, что

tajU- (~iy+1d2 Asesine

di Вз-j + (■-1У d2 Аз-j cos е K '

2°. Устойчивость прямой синхронной прецессии. К исследованию устойчивости прямой синхронной прецессии применим стандартный линейный анализ. Составим систему линейного приближения в окрестности конкретного режима прецессии, параметризуемого решением (2) системы (1). Введем малые возмущения rj, aj, j = 1, 2 по формулам

Sj = (Rj + rj) exp(«(^j + aj)) exp(i Qт). (5)

Уравнения линейного приближения в комплексной форме будут

(Lij + i L2j)exp(iфj) = 0,

j=1,2

(-1)j (Lj + i Lj)exp(iфj) = 0,

j=1,2

где введены следующие обозначения:

Lij = e3-j (rj - q2 rj — 2Q Rj aj) + í'j (Rj) rj, L2j = e3-j (2 Q rj + Rj áj - q2 Rj aj ) + fj (Rj) aj,

Lj = rj — l Q2 rj — (1 + l)Q Rj áj + klej fj (Rj) rj, Lj = (1 + l)Q rj + Rj áj — l Q2 Rj aj + kl ej fj (Rj) aj.

Выделим в каждом уравнении системы (6) вещественную и мнимую части, тем самым получим окончательные уравнения линейного приближения:

Lii cos Ф1 — L21 sin Ф1 + L12 cos Ф2 — L22 sin Ф2 = 0, L11 sin Ф1 + L21 cos Ф1 + L12 sin Ф2 + L22 cos Ф2 = 0, —L31 cos Ф1 + L41 sin Ф1 + L32 cos Ф2 — L42 sin Ф2 = 0, —L31 sin Ф1 — L41 cos Ф1 + L32 sin Ф2 + L42 cos Ф2 = 0.

(6)

(7)

Характеристическое уравнение этой системы имеет восьмой порядок относительно характеристического показателя, но содержит только его четные степени, так как силы сопротивления не учитываются:

P (p) = ao p8 + a.2 p6 + ... + a8

0.

(9)

Легко выписать старший член характеристического полинома (9):

ao =

e2 cos, —e2 Ri sinei cosф2, —ei R2 sinф2

e2 sinф1, e2 R1 cosф1, e1 sinф2, e1 R2 cosф2

— cosф1, R1 sinф1, cosф2, —R2 sinф2

— sinф1, —R1 cosф1, sinф2, R2 cosф2

= Ri R2 (ei + e2)2 = Ri R2.

(10)

Свободный член характеристического полинома Р(р) также можно подсчитать в виде определителя

a8

Cii cos ф1, Cii sin ф1, -L31 cos ф1, -L31 sin ф1,

-L21 sin ф1, L12 cos ф2,

L21 cos ф1, L12 sin ф2,

Сц sin ф1, С32 cos ф2,

-C41 cos ф1, C32 sin ф2,

— С22 sin ф2 L22 cos ф2

— L42 sin ф2 С42 cos ф2

(11)

1, ckj = 1 (m = 1,4, j = 1,2), а значения фj

где Ст2 вычислены для значений гj задаются формулой (4).

Для общего случая сделать какие-либо выводы о знаке свободного члена невозможно. Однако для симметричных гиперболоидальных прецессий (СГП) определитель в (11) можно раскрыть, используя свойство симметрии.

В случае СГП выполняются следующие равенства [1, 2]:

ei = e2 = 1/2, Ri = R2 = R, ф1 = ф, ф2 = —ф fi(Ri) = f2(R2) = f (R), fi (Ri) = f2 (R2) = f' (R).

Введем обозначения:

C :

Q2

D

| f'(R) - ü2.

Тогда на основании (7) справедливы равенства

Си (1,1) = Li2 (1,1) = C, L2i(1,1) = L22 (1,1) = RA, £si(1,1) = С32 (1,1) = ID, CAi (1,1) = С42 (1,1) = lRB.

(12)

(13)

(14)

Подставим (12) и (14) в формулу (11) для свободного члена. Определитель в (11) приводится к блочно-треугольной форме

a8 =

Cii cos ф, -Сз1 sin ф, Cii sin ф, -Сз1 cos ф,

-C2i sin ф, -Сц cos ф, C2i cos ф,

C4i sin ф,

0, 0

0, 0

—2 Cii sin ф, 2 C2i cos ф 2 С31 cos ф, 2 C4i sin ф

(15)

a8 = l2R2(BCcos2 ф + AD sin2 ф)(БС sin2 ф + AD cos2 ф). Формула (4) в симметричном случае, когда е = п/2, примет вид

d2 A

tan ф

Следовательно,

cos2 ф =

Окончательно получаем

d2 Б2

d2 Б2 + d2 A2:

d2 B

sin2 ф =

d2 A2

d2 Б2 + d2 A2'

l2 R2

ag

(d2 B2 + d2 A2)2

AB K2 K2,

(17)

(18)

(19)

K2

d22 AC + d2 BD, K2 = d2 A3 D + d2 B3 C.

Можно сделать вывод, что свободный член характеристического полинома обращается в ноль в точках, где К\ = 0 (кривая 2-го порядка) и = 0 (кривая 4-го порядка), а знак свободного члена определяется знаком произведения (А В К\ К2).

3°. Нелинейная характеристика опор типа Герца. Пусть полностью неуравновешенный ротор установлен в одинаковых опорах посередине между ними, т.е. в! = в2 = 1/2. Пусть £ = п/2, и нелинейные характеристики опор заданы формулой Герца ]|) = | 3/2. Примем ¿1 = 1 (это означает, что в качестве характерного размера выбран статический эксцентриситет Н = в) и обозначим с = ¿2 = (Ь6)/в.

Тогда для симметричной гиперболоидальной прецессии, когда К\ Ф,Ф2 = —ф, выражения (3), (4) примут вид

R2

R, ф2

ехр(г-0) = тт-т- (В + i dA), tan ф = —— R Д B

1 k

Д = 2AB, А = л/Щ--Ü2, В = - л/Щ-П2.

(20)

Удобно перейти к новым координатам У = у/В., X = П2. Используя свойство | ехр(г ф)| = 1, получим выражение для амплитудно-частотной характеристики СГП:

Y2-

X

j_ 1Л1'2 =

А2 + В2)

0.

(21)

и

2

На рис. 1 амплитудно-частотные характеристики показаны жирной линией. Из рис. 1 видно, что одному и тому же значению частоты П (или, что то же, X) для динамически вытянутого ротора могут соответствовать от одного до пяти различных режимов гиперболоидальной прецессии, а для динамически сжатого — от одного до трех.

Множество нелинейных резонансов Д = 0 [1] вырождается в пару прямых Д = АВ = 0 на плоскости (X, У). На рис. 1 показано тонкими линиями резонансное множество, т. е. прямые А = У — Х/2 = 0, В = кУ/2 — X = 0.

Покажем, что вблизи нелинейного резонанса A = 0 «резонирует» цилиндрическая прецессия, т. е. гиперболоид, зачерчиваемый осью вращения, по форме близок к цилиндру. Вблизи B = 0 «резонирует» коническая прецессия. Гиперболоид, зачерчиваемый

Рис. 1. Устойчивые и неустойчивые режимы СГП.

а — динамически вытянутого ротора, к = 1.8, а = 5.5; Ь — динамически сжатого ротора, к = -1.8, а = 5.5

осью вращения, по форме близок к конусу. На основании формул (20) определим функции сов(ф1 — ф2) = сов(2ф) и вт(ф1 — ф2) = 8т(2ф):

/о B2 - d2 A2 /ч 2dAB

COS(2 VO = рО , Л9 > 8Ш(2 ф) =

(22)

B2 + d2 a2' в2 + d2 A2'

и вычислим пределы этих функций при A — 0 и B — 0. Получим, что при A — 0

lim cos(2 ф) = 1, lim sin(2 ф) = 0.

Это означает, что при приближении решения к резонансу A = 0 разность фаз (2 ф) — 0, что соответствует стремлению к цилиндрической прецессии. При B - 0

lim cos(2 ф) = —1, lim sin(2 ф) = 0.

в -^0 в -^0

Значит, при приближении решения к резонансу B = 0 разность фаз (2 ф) — п, что соответствует стремлению к конической прецессии.

Рассмотрим характеристический полином в этом случае. По формуле (10) старший член характеристического полинома a0 = Y4.

Выпишем величины C и D по формулам (13), перейдя к переменным X, Y:

D= i(3fcF-4X).

(23)

Подставим значения А, В, С и Б в выражения для К1, К2 (19) и выясним, какой вид имеют кривые К1 =0 и К2 = 0. Рассмотрим сначала К1 = 0:

Ki = (3 k2 + 12 d2) Y2 - 10 (к + d2) XY + 2 (4 + d2) X2 = 0.

(24)

Эта кривая второго порядка представляет либо пару пересекающихся в начале координат прямых, если собственные числа матрицы квадратичной формы разных знаков, либо вырождается в начало координат, если собственные числа одного знака.

Собственные числа матрицы квадратичной формы (24) равны

АХ,2 = ^ (П1 ± л/й'2),

щ = 8 + 14 в2 + 3к2, П2 = 64 - 160 в2 + 52 &2 + 200 в4 + 60 к2 в2 + 9 к4 + 200 к в2.

Рис. 2. Область параметров: К > 0 при х > 0, у > 0.

На плоскости {в, к} можно выделить области, соответствующие собственным числам одного и разных знаков. На рис. 2 заштрихована область параметров в, к, при которых кривая К\ = 0 вырождается в точку. Для амплитудно-частотной характеристики на рис. 1 с параметрами в = 5.5, к = 1.8 точка (в, к) попадает в заштрихованную область.

Рассмотрим кривую К2 = 0, которая после подстановки значений А, В, С и Б принимает вид однородной формы 4-го порядка относительно X, У:

К2 = 6к(4в2 + к2)У4 - 2(к3 + 16в2 + 18кв2 + 18к2)У3 X+ +6(3кв2 + 2к2 + 8в2 + 12к )У2 X2 -—3(8в2 + кв2 + 8к + 16) УХ3 + 4(в2 + 4) X4 = 0. (26)

В зависимости от коэффициентов уравнения (26) кривая К2 = 0 представляет собой пучок прямых У = а X, где а — вещественные корни уравнения

6к (4в2 + к2 )а4 — 2(к3 + 16в2 + 18кв2 + 18к2 )а3+ +6(3кв2 + 2к2 + 8в2 + 12к )а2 — —3(8в2 + кв2 + 8к + 16)а + 4(в2 + 4) = 0,

(27)

которое получаем в результате подстановки У = а X в уравнение (26). Если уравнение (27) не имеет вещественных корней, то кривая К2 = 0 вырождается в точку (0, 0).

Для выбранных параметров уравнение (27) имеет два положительных корня а = 0.385, а = 0.766, и К2 = 0 принимает вид

К2 = (У — 0.385 X )(У — 0.766 X) = 0.

Рассмотрим теперь динамически сжатый ротор, когда к < 0. Резонансное множество в этом случае представляет собой одну прямую А = 0, а граница устойчивости имеет вид К2 = У - 0.365 X = 0.

На рис. 1 неустойчивые режимы показаны жирной штриховой линией. Остальные режимы будут устойчивыми, но не асимптотически. Границы потери устойчивости К = 0, К2 = 0, как и нелинейные резонансы А = 0, В = 0, показаны тонкой сплошной линией, а предельное значение У = Уж —штрихпунктирной. Для выбранных параметров Уж = 1.711.

Если рассматривать гиперболоидальную прецессию как сложение двух движений — цилиндрической прецессии вместе с центром масс и конического вращения вокруг центра масс, — то можно сказать, что в случае динамически сжатого ротора резонирует только цилиндрическая прецессия, а конической раскачки не происходит. Иными словами, динамически сжатый полностью неуравновешенный ротор не имеет тенденции к конической раскачке.

4°. Нелинейная характеристика опор типа Дуффинга. Пусть опоры одинаковые и изотропные. Пусть нелинейные характеристики опор, записанные в безразмерном виде, будут

/ = \вл \ (1 + сВ |2). (28)

При исследовании стационарных движений ротора, соответствующих СГП, удобно сделать замену

X = П2, У = К2. (29)

Тогда величины А и В в соответствии с формулами (3) будут

X к

А=(1 + с¥)-~, В = — (1 + сУ) — X. (30)

Амплитудно- и фазово-частотная характеристики запишутся в виде

1 И2 \ 1/2

(2(1 + сУ) - X)2 (к(1+ сУ) - 2Х)2У (31)

(к(1 + с¥)-2Х) ■

На рис. 3 амплитудно-частотные характеристики СГП показаны жирной линией, нелинейные резонансы А = 0, В = 0 и предельное значение У = Уж = 2.0 показаны тонкими линиями. Точки пересечения нелинейных резанансов А = 0, В = 0 с осью ОХ соответствуют значениям критических угловых скоростей вала, вращающегося в линейно-упругих опорах. Значения квадратов критических угловых скоростей равны Х1 = 0.4, Х2 = 2.0. В случае динамически сжатого ротора имеется тодько один нелинейный резонанс, соответствующий резонансу цилиндрической прецессии А = 0, и одна критическая угловая скорость Х1 = 2.0.

Для этого типа нелинейности величины С и Б будут

С= ^ (2(1 + ЗсУ)-X), В = 1 (Л(1 + ЗсУ)-2Х). (32)

Появление нулевых корней характеристического полинома возможно в точках пересечения амплитудно-частотной характеристики и кривых К1 = 0, К2 = 0.

Рис. 3. Устойчивые и неустойчивые режимы СГП

а — динамически вытянутого ротора к = 0.8,с = 0.3,й = 2.0; Ь — динамически сжатого ротора к = -0.8, с = 0.3, й = 2.0.

Рассмотрим сначала кривую К = 0, которая после подстановки значений А, В, С и Б принимает вид

3 с2 (к2 + 4 С2) У2 + (С2 + 4) X2 - 8 с (к + с12) X Г+

+ 4 с (к2 + 4 С2) У - 4 (к + С2) X + (к2 + 4 С2) = 0. (33)

Изучение кривой второго порядка (33) показало, что в зависимости от параметров к и С это может быть либо гипербола, либо эллипс, который целиком расположен не в первом квадранте. Выпишем условие, при котором (33) является эллипсом и не влияет на устойчивость:

4С4 + (32 к - 3 к2 - 48) С2 + 4к2 < 0. (34)

Рис. 4. Область параметров: К\ > 0 при х > 0, у > 0.

Кривая, ограничивающая область (34), подобно гиперболе в первом квадранте имеет две ветви. На рис. 4 показана нижняя ветвь. Условие (34) на плоскости {d, k} представляет собой заштрихованную часть. Параметры на рис. 3,a соответствуют точке в заштрихованной области.

Для кривой 4-го порядка = 0 найдем асимптоты по известному алгоритму [6]. Сделаем подстановку Y = aX + b в выражение K2 в формуле (19). Уравнения для определения a, b получим, приравняв нулю коэффициенты при X4, X3. Получающиеся выражения довольно громоздки, но решаются численно без трудностей. В результате для параметров, принятых на рис. 3,a, получили две асимптоты:

Y1 = 3.873 X - 2.819, Y2 = 0.671 X - 1.607.

Для динамически сжатого тела при выбранных параметрах имеется одна асимптота Y = 0.672 X - 1.749.

На рис. 3 неустойчивые режимы симметричной гиперболоидальной прецессии отмечены жирной пунктирной линией, а асимптоты кривой K2 = 0 показаны тонкой линией. Отмечены также критические значения параметра частоты X\, X2 для динамически вытянутого (a) ротора, и X\ —для динамически сжатого (b).

Summary

I. A. Pasynkova. Stability of symmetrical hyperboloidal precessions of an unbalanced rotor.

Stability of symmetrical hyperboloidal precessions of a rigid statically and dynamically unbalanced rotor supported in nonlinear elastic bearings is investigated. The center of mass is located symmetrically with respect to the bearings. The restoring forces are considered to be of the Duffing or Hertz nonlinearity. The resistance forces are neglected. The linear standard method of stability investigation is applied.

Литература

1. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

2. Пасынкова И. А., Лебедева И. М. Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сопротивления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 3 (№15). С. 101-106.

3. Пасынкова И. А. Прецессии неуравновешенного ротора, нецентрально укрепленного в упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2006. Вып. 1. С. 128-136.

4. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959. 440 с.

5. Кельзон А. С., Циманский Ю.П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М., 1982. 280 с.

6. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ. М.: Наука, 1986. 544 с.

Статья поступила в редакцию 6 июня 2006 г.