CC BY
23
Таблица 1
Алгоритм скорости сходимости
Метод S
Простая итерация 1/k
Экстраполяция на />-шагов 1/рк
Последовательные приближения экстраполирующей матрицы 1/2k, j - число приближений
Ускорение по Ньютону 1/rk, r=2n, n=2j j - число приближений
предлагаемый алгоритм определения переменных обмена является универсальным.
Наличие системы обмена, библиотек объектов позволяет создавать значительные по размерам физические системы, которые исследуются на основе компьютерного моделирования без значительных затрат ручного труда. А это в свою очередь существенно уменьшает число ошибок и время подготовки системы к исследованиям.
Как следует из таблицы, наибольшей скоростью сходимости обладают последние два алгоритма, но они оказываются и наиболее сложными. Однако следует отметить, что все обменные операции между связанными объектами можно вынести в отдельный блок, что позволит формировать экстраполирующую матрицу одновременно с определением фазовых состояний объектов. Таким образом, шаг моделирования включает цикл интегрирования и цикл определения значений переменных обмена. При этом даже при небольшом числе приближений ( = 3-7) определение переменных обмена не превышает одного такта. Если число переменных (У) или количество объектов, подключенных к ведущему при ненаправленном обмене, больше двух, то это приводит лишь к увеличению размерности матрицы обмена, сохраняя все остальные параметры алгоритма без изменения. Таким образом,
Таганрогский радиотехнический университет
Литература
1. Гузик В.Ф., Золотовский В.Е., Третьяков В.С. Система моделирования объектов промышленной энергетики // Наука - производству 1999. № 1.
2. Гузик В.Ф., Золотовский В.Е., Ляпунцова Е.В. Исследование электрических сетей на структурных моделях // Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности. Сб. науч. тр. Таганрог, 1999.
3. Guzik V.Ph., Zolotovsky V.E., Chernukhin Y.V., Tretyakov S.V., Dougal R.A. Structural Modeling for Simulation of Power Electronic Systems // The 7th workshop on computers in power electronics. IEEE, Blacksburg, Virginia, 2000.
4. Гузик В.Ф., Золотовский В.Е., Чернухин Ю.В. Структурное моделирование силовых систем // Изв. ТРТУ. 2001. № 1.
5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. Ново-
сибирск, 1973.
29 октября 2004 г.
УДК 621.865.8:001.891.573
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА НА БАЗЕ ПАНТОГРАФНОГО МЕХАНИЗМА
ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
© 2005 г. Д.Е. Притыкин, А.Н. Кабельков
Рассматривается задача исследования устойчивости возмущенного движения робота на основе панто-графного механизма [1]. Ранее для этого робота была разработана математическая модель и решена первая задача динамики по определению сил, необходимых для обеспечения его движения по заданной траектории (синтез программного движения) [2].
В процессе предварительного анализа устойчивости возникла необходимость уточнения математической модели манипулятора. В первую очередь были учтены веса всех звеньев механизма. Кроме того, теперь в модели предусматривается возможность наложения на ползуны приводов упругих связей и
учтено действие на ползуны сил вязкого трения. В результате расчетная схема манипулятора выглядит, как показано на рис. 1.
Полученная для этой схемы математическая модель в виде уравнений Лагранжа 2-го рода структурно не отличается от полученной ранее в [2]. В век-торно-матричной форме ее можно записать в виде уравнения
Дф 1, ф 2)ф + В (ф 1, ф 2, ф1, ф 2) = С (Ф1, Ф 2) + Я(ф 1, ф 2)6. Однако, естественно, изменился вид векторов
В (ф 1,ф 2,ф 1, ф 2 ) и С(ф 1, ф 2)
B=
Рис. 1. Расчетная схема манипулятора
К15ф^sin^j +((6COSф1 cosф2 + K17 sinф1 sinф2)ф2
+(at (( -L3 )2sin2 ф1 +a2 (( -L3 )2cos2 ф1)ф1 + +(a1L2 (( - L3) sin ф1 cos ф2 -a 2L2 (( -L3) sin ф2 cos ф1) ф 2;
(( cos ф1 cos ф2 + K26 sir^ sin ф2 )ф2 + К27ф2 sin2ф2 +
C=
+(a1L2 (( -L3 )sinф1 cos ф2 -a2L2 (K1 -L3 )sinф2uJз ф1 ) -+(a1L2sin2 ф2 +a2L|cos2 ф2 )ф 2;
-c2L2 (( -L3 )cos ^cos ф2 -c1L2 (( -L3 )sin ф1 sin ф2 +
(-2 mg -m2g(( -L3 )-mg -mg -
-mn2g(Li -L3)-mg|A j+c1(L -L3)2^ф1 + +C2 (L0 -(L -L3)sin-L3)
cos ф1;
c1L2(( -L3)cosф1 cosф2 -c2L2(( -L3)sinф1 sinф2-
sin ф2.
(1 1 ^
- m2gL2 + 2 m4gL4 + m0&4 + mn2§L2 +
+m3gL2 -c1L^ cos ф2 -c2L2 (( -L2 cos ф2
В приведенных выражениях: ть ..., т4 - массы звеньев манипулятора; Ь\, ..., - длины звеньев; с\, с2 -жесткости пружин соответственно горизонтального и вертикального ползунов; Ь0 - длина вертикальной пружины в ненапряженном состоянии; аь а2 - коэффициенты вязкого сопротивления демпферов. Матри-
цы А(фь ф2) ^ матрица инерции, приведенная к осям ползунов, и M ^(ф1, ф2) - передаточная матрица
механизма - не изменились, и их вид приведен в [2].
Для уточненной модели также был выполнен синтез программного движения путем решения первой задачи динамики.
Далее необходимо выполнить линеаризацию полученной модели относительно малых отклонений Дф1 и Дф2 от программного движения, выражаемого функциями времени фД/) и ф2°(/), под действием сил Q1°(t) и Q2°(t). Получаем систему уравнений в векторно-матричной форме следующего вида:
A (t)Аф + B (/)Аф + C (/) Дф =
= D (t)AQ + O 3. (1)
Здесь A (t), B (t), C (t), D (t) - матрицы, коэффициенты которых являются нелинейными, непериодическими функциями времени; Аф, Дф, Дф - вектор малых отклонений и его первая и вторая производные по времени; AQ - вектор малых компенсирующих управляющих воздействий; O 3 - вектор не выше 3-го порядка малости относительно отклонений и их производных. Коэффициенты матриц в системе (1) имеют вид
а„ (/) = Kп + K12 cos2 Ф° (/);
а 12 (/) = K13 cos ф° (/)sin ф 2 (/)+ K14 cos ф 2 (/)sin ф° (/); а 21 (t) = K 21 cos ф° (t)sin ф 2 (/) + K 22 cos ф 2 (t)sin ф° (t); а22 (/) = K23 + K24 cos2 ф2 (/); Ьп (/) = 2K15ф° (/)(t) + ах (L1 -L3)2 sin2 ф° (t) +
+a2(Li -L3)2cos2ф°(t); b12 (t) = 2 ((16 cos ф° (t)cos ф2 (t) + K17 sin ф° (t) sin ф2 (t))x Хф2 (t)+aL2 ( -L3 )sinф° (t)cosф2 (í)--a2L2 (L1 - L3 )sinф2 (t)cosф° (/); ¿21 (t) = 2 ((25 cos ф° (t )cos ф2 (t) + K26 sin ф° (t) sin ф° (t ))x хф° (t) + a1L2 (Lj -L3 )sinф°° (t)cosф22 (t)--a2L2 (L1 - L3 )sinф2 (t)cosф° (/); ¿22 (t) = 2K27ф° (t)sin2ф° (t) + ax (Lx -L3)2 cos2 ф2 (t) +
+a 2 (L1 - L3)2 sin 2 ф ° (t); cu (t) = -K12фф ° (t)sin2ф° (t) +
+(14 cos ф0 (t )cos ф 2 (t) - K13 sin Ф01 (t )sin ф 2 (t ))ф 2 (t) + +2K15 (ф 0 )2cos2pj0 (t) +
+ (17 cos ф0 (t )sin ф 2 (t)-K16 sin p0 (t )cos ф 0 (t ))(ф 2 )2 +
+L2 (L1 - L3 )(a 1 cos ф00 (t) cos ф 2 (t) + a 2 sin ф00 (t )sin ф 0 (t ))x хф2 (t)-(a2 -a1 )( -L3 )2 ф0 (t)sin2ф00 (t)--c2L2 ( - L3 )sinф00 (t)cosф2 (t) + + (1 -c2)( -L3 )2cos2 ф0 (t) + + ^1 m1 gL1 + m 2 g (L1 - L 3) + m 4gL1 + m 0gL1 +
+m„2g (L1 - L3 ) + m3g^L1 - "23j- c1 (L1 - L3 )2sinф? (t)-
-c2 (l0 -(L1 - L3)sinф0 (t))( - L3))sinф0 (t)-
-c1 L2 (L1 - L3 )cosф00 (t)sinф2 (t) + +61° (t)(L1 -L3 )cosф0 (t)-Q20 (t)(L1 -L3 )sinф0 (t)); ^12 (t) = (( cos ф!0 (t )cos ф 2 (t) - K14 sin ф001 (t )sin ф 2 (t))ф 2 (t) +
+(k17 sinф0 (t)cosф0 (t)-K16 sinф0 (t)cosф0 (t))(ф2)2 -
-L2 (Lj -L3 )(a2 cosф0 (t)cosф2 (г) + aj sinф0 (t)sinф2 (t))cp2 --L2 ( -L3 )(c2 cosф001 (t) sinф0 (t) - c1 cosф2 (t)sinф2 (t)); С12 (t) = (k22 cosф^ (t)cosф0 (t) -K21 sinф001 (t)sinф2 (t))фj0 (t) +
+(26sin ф 2 (t )cos ф00 (t)- K 25 sinф0 (t)cosф2 (tЖ*?0 ) +
+L2 (L -L3)( cosф001 (t)cosф00 (t)+a2sinф2 (t)sinф00 (t))ф2 + +L2 (L1 - L3 )( cos ф2 (t )sin ф01 (t) - c 2 cos ф2 (t)sin ф00 (t)); c 22 (t) = (K 22 cos ф01 (t )cos ф2 (t) - K 21 sin ф01 (t )sin ф 0 (t))x
хф 0 (t) - K 24ф 2 (t )sin2ф 2 (t)+ + ((26 cos ф 0 (t )sin ф0 (t)-K 25 sin ф 0 (t )cos ф0 (t ))(ф 0 ) +
+2K27 (ф0 )2 cos2ф0 (t) + (a2 -a 1 )"2ф0 (t)sin2ф0 (t)-
-L (L1 - L3 )( cos ф00 (t)cos ф0 () +a1 sinф0l (K)sin ф2 (t))tp0 (t )--(c2("1 - L3 )cosф2 (t)sinф0 (K) + (c1 - c2 sin2 ф2 (() +
"2^g^ + 1m4g"4 + m0g"4 + тп2ё"2 + m3gL2 -cosф2 K) -
-c 2L 2 (L 0 - L 2 cos ф 0 (t))) cos ф 2 (t )--c1L 2 (L1 - L 3 )cos ф 0 (t )sin ф 0 (t )--Q10 (t)L2 sinф2 (t)- Q20 (t)L2 cosф2 (t)).
На начальном этапе исследования ставится задача анализа устойчивости программного движения манипулятора по первому приближению, т. е. ограничиться изучением поведения системы вида
A (t) Дф + B (t )Дф + C (t )Дф = 0,
(2)
пренебрегая влиянием нелинейной части 03 ввиду
более низкого порядка малости и положив AQ = 0, так как рассматривается устойчивость программного движения без компенсации.
Систему уравнений 2-го порядка (2) приводим к нормальной форме Коши. Получаем систему уравнений 1-го порядка
^ = L (t) У , dt w
(3)
где y =
^Дф1 А Дф 2
Дю1 Дю 2
- вектор фазовых координат системы,
причем Дю1 =Дф 1, а Дю 2 = Дф 2
dy dt
^Дф 1 А Дф 2 Дю 1 Дю 2
вектор производных от фазовых координат по време-
( O E Л
ни; L (t )= _ , _ , _ - блочная
W I-A(t)с(t) -A-1 (t)В(t)J
матрица, в которой O - нулевая матрица 2-го порядка, а E - единичная матрица 2-го порядка.
Аналитическое представление матрицы L(t) чрезвычайно громоздко и полностью не приводится. Все аналитические и численные расчеты, результаты которых изложены ниже, выполнены на ЭВМ средствами пакета Maple 9.
Получаем далее характеристическое уравнение системы (3) в виде
det (L (t )-XE ) = 0.
Корни этого уравнения X,(t) являются собственными значениями матрицы L(t). При постоянных коэффициентах матрицы L(t) условие
Re[ г (t)]< 0
(4)
означает асимптотическую устойчивость решения системы (3) (при достаточно малых начальных отклонениях, так как рассматривается нелинейная система в первом приближении). Однако коэффициенты матрицы Щ) - функции времени, и, согласно данным работы [3], выполнения условия (4) в общем случае недостаточно для устойчивости. Однако необходимо рассмотреть принципиальную возможность выполнения условия (4) для любого момента времени t в рассматриваемом диапазоне его изменении при движении по заданной программе, поскольку без выполнения условия (4) устойчивость в принципе невозможна.
При отсутствии на ползунах упругих связей и демпферов условие (4) не выполняется для любого момента времени. Варьирование параметров механизма (масс звеньев и инструмента, длин звеньев) к существенным изменениям ситуации в лучшую сторону не приводит. Поэтому в систему были введены упругие связи и демпфирование, при определенных значениях жесткостей и коэффициентов вязкого трения, позволяющие выполнить условие (4) для любого момента времени при движении по заданной траектории. Параметры траектории аналогичны заданным в
[2]. Ввиду громоздкости получаемых аналитических выражений характеристическое уравнение системы
(3) было исследовано численно для различных моментов времени и конкретных значений параметров траектории инструмента (в частности, контурной скорости V).
Целью исследования было построение границ устойчивости системы в плоскостях исследуемых параметров. В качестве варьируемых параметров были выбраны: контурная скорость V и коэффициенты вязкого сопротивления аь а2 для фиксированных моментов времени. Жесткости пружин при этом с = с2 = = 4700 Н/м.
При значениях параметров обеспечивающих устойчивость на всем интервале движения системы характеристическое уравнение системы имеет две пары комплексно-сопряженных корней: Х2 и Х3, Х4. При изменении значений указанных выше параметров наблюдается движение пары корней ^4, из левой полуплоскости в правую с переходом действительной части через ноль. В связи с этим в качестве границы устойчивости принято множество точек в пространстве параметров (V, аь а2, /) для которых выполняется условие
Яе [А 3 (/)] = Яе [А 4 (/)] = 0.
Для наглядности результаты расчета границ устойчивости представлены в виде семейств кривых
а
>(а 1)
. Получено несколько семейств кривых
t=const V =const
для различных значений контурной скорости и моментов времени.
При расчете использовались следующие численные значения параметров:
1. Длины звеньев манипулятора:
Ь\ = 2 м, Ь2 = 0, 5 м, Ь3 = 1, 5 м, Ь4 = 2 м;
2. Массы звеньев:
т1 = 12 кг, т2 = 3 кг, т3 = 9 кг, т4 = 12 кг;
3. Массы ползунов и инструмента:
тп1 = тп2 = 10 кг, т0 = 15 кг;
4. Параметры траектории инструмента: Ь = 3 м -ширина туннеля; Н = 1, 5 м - высота вертикального участка стены туннеля; Я = 1, 5 м - радиус свода туннеля; _у0 = 0, 5 м - начальная высота инструмента над полом туннеля.
Рассчитаны семейства границ устойчивости для трех значений контурной скорости: V = 0, 01 м/с, V = 0, 02 м/с, V = 0, 03 м/с.
Приводим полученные результаты (рис. 2, 3).
Рис. 2. Участок вертикального подъема инструмента
V = 0,01 м/с
t = 233 с
а2 V = 0,02 м/с \ t = 116,5 с
8 \ t = 104,8 с \Д t = 93,1 с
6 \Х\ t = 81,4 с
4 \ХЛ\ t = 69,7 с \\Vft t = 58,0 с t = 46,3 с
2 0 t = 34,6 с
1 2 3 4 5 а1
а2 \\ V = 0,03 м/с \ \\ t = 77,7 с
8 \ V']/ t = 69,9 с V \\\ t = 62,1 с
6 \ Vft t = 54,3 с \ \)а t = 46,5 с
4 t = 38,7 с \\ t = 30,9 с
2 t = 23,1 с
0
2 4 6 8 а1
движения - под ней. На кривой в указанный момент времени после начала движения по рассматриваемому участку траектории при указанной скорости инструмента действительная часть одной пары комплексно-сопряженных корней обращается в ноль.
Рис. 3. Участок движения по дуге окружности (по контуру свода)
Полученные границы устойчивости построены по точкам и аппроксимированы кубическим сплайном. Коэффициенты вязкого сопротивления а1, а2 при этом изменялись в диапазоне от 0 до 10 Н-с/м. Если рассмотреть отдельно взятую кривую, то область устойчивости находится над нею, а область неустойчивого
3000 3500 4000 4500 С1
Рис. 4. Участок вертикального подъема инструмента
4
3
2
1
0
Рис. 5. Участок движения по дуге окружности
На первом участке движения границы устойчивости представляют собой отрезки прямых. С течением времени зона неустойчивого движения уменьшается, и, начиная с определенного момента времени, движение становится устойчивым при любом возможном значении коэффициентов вязкого сопротивления аь а2.
На рис. 1 представлены два соударяемых тела. Точки Б и Б , принадлежащие первому и второму телам, в момент начала удара занимают положение точки Б. Точка Б принята за начало координат. Ось х
На втором участке наблюдается обратная картина. В начальные моменты времени возможно устойчивое движение при любых допустимых а!, а2, а затем появляется зона неустойчивого движения, которая расширяется с течением времени.
Кроме того, построение границ устойчивости проводилось в пространстве параметров (V, сь с2, 1). Были построены аналогичные семейства кривых в плоскости (с0, с2). При этом значения коэффициентов вязкого сопротивления а! = а2 = 1 Н-с/м (рис. 4, 5).
Кривые строились в диапазоне изменения жестко-стей от 0 до 5000 Н/м. Однако на полученных графиках жесткость пружины горизонтального привода ограничена слева значениями не более 2000 Н/м. Это связано с тем, что при меньших значениях с1 устойчивость возможна лишь при очень больших значениях жесткости с2, намного больше 5000 Н/м.
На первом участке граница устойчивости с течением времени смещается вниз. Кроме того, видно, что жесткость сь в рассматриваем диапазоне, слабо влияет на устойчивость системы.
На втором участке граница также смещается вниз с течением времени и, начиная с некоторого момента, движение становится устойчивым при любом значении жесткостей в рассматриваемом диапазоне их изменения.
Полученный результат дает качественную картину поведения рассматриваемой системы и является отправной точкой для дальнейшей, более точной оценки устойчивости ее возмущенного движения и методов ее повышения.
Литература
1. Пат. РФ №2101434 С1 от 10.01.1998 / М.Д. Бондаренко, В.Т. Загороднюк, Д.М. Крапивин; Новочеркасский государственный технический университет.
2. Притыкин Д.Е., Кабельков А.Н. Решение первой задачи динамики робота-манипулятора на базе пантографного механизма // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 2.
3. Огурцов А.И. Основы аналитической механики. М., 2000.
17 ноября 2004 г.
направлена по общей нормали к телам в точке Б. Оси у 2 лежат в касательной плоскости, проходящей через точку Б. Центры инерции соударяемых тел лежат на оси х, их координаты С1(-х1,0,0), С2(х2,0,0).
Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)
УДК 624.042.8
ДИНАМИКА КОСОГО УДАРА ДВУХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ДВИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
© 2005 г. Е. У. Жариков
