CC BY
14УДК 621.752, 621.082
ВОЗМОЖНОСТИ ОБОБЩЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В НЕУРАВНОВЕШЕННЫХ ВРАЩЕНИЯХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
А. И. Артюнин, С. В. Елисеев
Иркутский государственный университет путей сообщения Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15 E-mail: eliseeev_s@inbox.ru
Получены дифференциальные уравнения движения механической системы и сформулирована обобщенная задача вибрационной нелинейной механики в решении неуравновешенных твердых тел. Частными случаями являются: эффект Зоммерфельда, явления устойчивости верхнего положения маятника на вибрирующем основании, эффект «застревания» маятников на резонансных частотах, явления автоматической балансировки роторов и другие.
Ключевые слова: нелинейная механика, динамическая модель, дифференциальные уравнения, механическая система, резонансные частоты, маятник.
POSSIBILITIES OF GENERALIZING THE PROBLEMS OF DYNAMIC INTERACTIONS
OF UNBALANCED SOLID ROTATIONS
A. I. Artyunin, S. V. Eliseev
Irkutsk State University of Railway Engineering 15, Chernyshevskogo str., Irkutsk, 664074, Russian Federation E-mail: eliseeev_s@inbox.ru
Differential equations of a mechanical system motion is obtained and the generalized problem of the vibration of nonlinear mechanics in solving unbalanced solids is posed. Particular cases are: the effect of Sommerfeld conditions, stability of the upper position of the pendulum on a vibrating base, the effect of "getting stuck" pendulums at the resonant frequencies, the phenomenon of automatic rotor balancing and others.
Keywords: non-linear mechanics, dynamic model, differential equations, a mechanical system, the resonant frequency, the pendulum.
Введение. В нелинейной теории колебаний известны достаточно многочисленные ситуации, в которых внутренние и внешние вибрации изменяют характер движения системы и инициируют появление новых зон устойчивости, перераспределения энергии. К числу такого рода явлений относится эффект Зоммерфельда [1], устойчивость верхнего положения маятника на вибрирующем основании [2; 3], синхронизация и «захватывание» вращения неуравновешенных роторов [4], «застревание» маятников на критических скоростях вращающегося ротора [5]. Несмотря на физическое различие наблюдаемых процессов, можно отметить присущую им общность.
В предлагаемой работе представлены результаты исследований о возможностях построения обобщенной динамической модели, позволяющей рассматривать локальные формы динамических особенностей - движение как частные формы обобщенных представлений.
I. Общие положения. В качестве обобщенной динамической модели может служить механическая система, приведенная ниже (см. рисунок). Обобщенными координатами выбраны: х, у - координаты центра масс корпуса и статора электродвигателя, отсчитываемых относительно некоторого неподвижного базиса хОу; ф - угол поворота ротора электродвигате-
ля, отсчитываемый от горизонтали; ф1, ф2 - углы поворота маятников, отсчитываемые от их нижнего положения.
Для вывода дифференциальных уравнений, описывающих движение выбранной обобщенной вибрационной модели, используем уравнение Лагранжа второго рода [5].
Ex. 2 -м- y 1 I / ¡ i i V Sx. 2
гг !\Х it "x "П
Ц_ bx 2 ¡ и к 2
Принципиальная обобщенная модель вибрационной нелинейной механики
Решетневскуе чтения. 2014
II. Построение математической модели. Кинетическая энергия системы имеет вид
T = Tk + Tp + Tm + T2M , (1)
где Tk - кинетическая энергия корпуса со статором; Tp - кинетическая энергия ротора; T1M> T2M - кинетическая энергия маятников. В свою очередь,
Tk = 2 M (х2 + у2 ),
Tp = 1Jф2 + 2 Ml [ X 2 + .Ус2 ].
Принимая во внимание, что координаты центра
масс неуравновешенного ротора хс = x + e cos ф ,
ус = y + e sin ф, найдем выражения для кинетической
энергии ротора:
1 2 1 Г 2 2 "1
Tp = 2 Jp + 2M1 [(X - ecp sin ф) + (y + ecp cos ф) ] ,
Tm = 2m [(Х + % cos ф1)2 + (.y + /ф sinф1)2 ] ,
T2M = "2m[(Х + /ф2 cosф2)2 + (у + /ф2 sinф2)2 J .
Потенциальная энергия системы определяется с учетом условия статического равновесия: 1 2 1 2 n=2 cxx + 2 суУ + M1ge sin ф+ (2) +mg/(1 - cos ф1) + mg/(1 - cos ф2). За обобщенную силу Q примем характеристику электродвигателя, т. е. Q,^ = M(ф). Диссипативную
функцию Ф, полагая, что сопротивление носит характер «вязкого» трения, представим в виде
ф = 2bxX2 + 2ЬуУ2 + 2k(ф-ф1)2 + 2к(ф — ф2)2.
Таким образом, система дифференциальных уравнений для обобщенной нелинейной вибрационной модели запишется:
M * X + bXX + сХх = М^(ф sin ф + ф2 cos ф) -
-т/(ф cos ф1 ф^ sinф1) - (3)
-т/(ф2 cos ф2 -ф22 sin ф2), М *у + bxy + сху = -М^(ф cos ф-ф2 sin ф) -
-т/(ф 1 sin ф1 + cp12 cos ф1) - (4)
-т/(ф2 sin ф2 + ф22 cos ф2), J ф + k (ф -pp 1) + к (ф -pp 2) = = M1e(X sin ф- у cos ф) + М(ф) - M1 ge cos ф,
т/2ф1 + к(ф -ф) = (6)
= -m/(Xcos ф1 + у sin ф1) - mg/ sin ф1,
т/2ф2 + к(ф2 -ф) = (7) = -т/(X cos ф2 + у sin ф2) - mg/ sin ф2,
где М = М1 + М2. При выводе уравнений (3)-(7) было учтено, что e2 величина второго порядка малости.
III. Оценки возможностей математической модели. В полученной системе пяти нелинейных дифференциальных уравнений (3) и (4) главным образом описывают движение корпуса с электродвигателем с
учетом влияния неуравновешенности ротора и вращения маятников; уравнение (5), включающее в себя характеристику электродвигателя, описывает вращение его ротора, а уравнения (6), (7) описывают движение маятников с учетом колебательного движения корпуса.
В доказательство того, что предложенная модель является обобщенной для целого класса задач вибрационной нелинейной механики, рассмотрим далее следующие случаи.
I. Исключим из математической модели маятники. Система уравнений описывает движение динамической модели для изучения эффекта Зоммерфельда.
II. Исключается один маятник и не рассматривается уравнение вращения ротора в предположении, что вращение является равномерным с угловой скоростью œ. Система уравнений описывает движение маятника на вибрирующем основании, которое исследовали П. Л. Капица и В. М. Челомей [2; 3].
III. Исключим один маятник и неуравновешенность ротора, считая вращение ротора равномерным и задавая значения угловой скорости œ. Система уравнений может использоваться при изучении эффекта «застревания» маятников на резонансных частотах корпуса.
IV. Исключим уравнение движения ротора, заранее задавая угловую скорость вращения и считая движение ротора равномерным. Система уравнений может служить основой для исследования эффекта автоматической балансировки, то есть эффекта компенсации неуравновешенности ротора массой Mj и эксцентриситетом е с помощью двух маятников массой m и длиной l каждый.
V. Исключим вращение ротора. Полученная система уравнений позволит изучать явления самосинхронизации маятников (задача Х. Гюйгенса).
VI. Если на упругоопертом корпусе установить два двигателя без маятников с массами Mi и M2 и эксцентриситетами ej и e2, то система уравнений, будут описывать явление синхронизации или «захватывания» неуравновешенных роторов, установленных на упругом основании, что нашло отражение в работах И. И. Блехмана [4].
Заключение. Рассмотренные случаи дают основание считать, что предложенная динамическая модель действительно может служить обобщенной, а дифференциальные уравнения её движения являются основой для изучения особого класса задач теории нелинейных колебаний, а так же оценки общих закономерностей движения нелинейных механических систем вибрационного типа и выявления механизмов влияния вибрационных процессов на устойчивость движения и перераспределения энергии в механических системах.
Библиографические ссылки
1. Sommerfeld A. Beitrage zum dinamischen Ausbay der Festigkeislehre // Zeitschriff des Vereins Deutsher Jngeniere. 1904. Bd. 48(18). P. 631-636.
2. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21, вып. 5. С. 588-597.
3. Челомей В. Н. Парадоксы в механике, вызванные вибрациями // ДАН СССР. Механика. 1983. Т. 270,№ 1. С. 62-67.
4. Блехман И. И. Вибрационная механика. М. : Физматлит, 1994. 400 с.
5. Артюнин А. И. Исследование движения ротора с автобалансиром // Известия вузов. Машиностроение. 1993. № 1. С. 15-19.
References
1. Sommerfeld A. Beitrage zum dinamischen Ausbay der Festigkeislehre // Zeitschriff des Vereins Deutsher Jngeniere, 1904. Bd. 48(18). P. 631-636.
2. Kapitza P. L. Dynamic stability of a pendulum with oscillating point of suspension // JETP. 1951. Vol. 21. № 5. P. 588-597.
3. Chelomei V. N. Paradoxes in mechanics caused by vibrations // DAN SSSR, Mechanics. 1983. Vol. 270. № 1. P. 62-67.
4. Blekhman I. I. Vibrational mechanics. M. : Fizmatlit. 1994. 400 p.
5. Artyunin A. I. Study of the motion of the rotor with autobalancer // Proceedings of the universities. Mechanical Engineering. 1993. № 1. P. 15-19.
© Артюнин А. И., Елисеев С. В., 2014
УДК 621.865.8
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДУЛЯ «ЛОКТЕВОГО» УЗЛА АНТРОПОМОРФНОГО МАНИПУЛЯТОРА
А. А. Богданов1,2, М. Р. Иксанов1,2, О. Р. Панфилова2, И. А. Файзулин2
1ОАО «НПО Андроидная техника» Российская Федерация, 455000, г. Магнитогорск, ул. Герцена, 6. E-mail: info@rusandroid.com Магнитогорский государственный технический университет имени Г. И. Носова Российская Федерация, 455000, Челябинская обл., г. Магнитогорск, просп. Ленина, 38
E-mail: ptmr74@mail.ru
Представлены результаты разработки и исследования конструкции «локтевого» узла антропоморфного робота с малыми массогабаритными характеристиками. Модуль построен с учетом требований, предъявляемых к роботам, предназначенным для применения на космических станциях. Обеспечена компактность конструкции модуля с двумя степенями свободы - поворот звена и его ротацию. Выполненные исследования определили рациональный диапазон кинематических характеристик модуля.
Ключевые слова: антропоморфный робот, привод, кинематическая схема, волновой редуктор.
DEVELOPMENT AND RESEARCH OF ANTHROPOMORPHIC MANIPULATOR «ELBOW» JOINT MODULE
A. A. Bogdanov1,2, M. R. Iksanov1,2, O. R. Panfilova2, I. A. Fajzulin2
1OJSC "Scientific Production Association "Android Technics" 6, Herzen str., Magnitogorsk, Chelyabinsk Region, 455000, Russian Federation E-mail:info@rusandroid.com
2Magnitogorsk State Technical University named after G. I. Nosov 38, Lenin Av., Magnitogorsk, Chelyabinsk Region, 455000, Russian Federation.
E-mail:ptmr74@mail.ru
Here the results of development and research of anthropomorphic robot «elbow» joint construction are represented. The module is constructed according to requirements applicable to space robots. Here is a realization of module construction compactness that allows the joint turn and rotation.
Keywords: anthropomorphic robot, actuator, kinematic scheme, harmonic drive.
Создание антропоморфного робота, способного выполнять полетные задания, сопряжено с необходимостью решения ряда задач, обусловленных спецификой его использования [1]. В первую очередь это снижение массы и габаритов. Общая структурная схема антропоморфного робота и основные параметры его звеньев были определены и апробированы при имитации выполнения ряда полетных заданий [2].
При этом было установлено, что конструкция модуля «локтевого» узла, обеспечивающего поворот и ротацию, должна быть существенно уменьшена в поперечных размерах. Для выполнения данного требования была разработана новая компоновочная схема приводов, в основе которой принято соосное расположение оси двигателя и выходного звена по каждой степени свободы (см. рисунок).
