О динамических взаимодействиях осцилляторов параметрического резонансного привода и рабочего органа вибромашины Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 534.1 Кошелев Александр Викторович,

к. т. н., н. с.,

ПАО «Арзамасское научно-производственное предприятие «Темп-Авиа», тел. 8(83147)-7-83-69, 8-910-895-33-91, e-mail: koshelevav88@mail.ru

О ДИНАМИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСНОГО ПРИВОДА И РАБОЧЕГО ОРГАНА ВИБРОМАШИНЫ

A. V. Koshelev

ON THE DYNAMICAL INTERACTION OF PARAMETRIC RESONANT DRIVE'S OSCILLATORS AND VIBRATING MACHINE'S WORKING BODY

Аннотация. Исследуются резонансные круговые колебания вибромашины за счет параметрического возбуждения ро-торно-маятниковым приводом. Раскрывается физическая интерпретация поведения осцилляторов качения роторно-маятникового привода и рабочего органа в условиях изотропной подвески при комбинационном параметрическом резонансе.

Показано, что роторно-маятниковый привод наиболее устойчив к работе в резонансном режиме колебаний по сравнению с дебалансным вибровозбудителем. Приводятся амплитудно-частотные характеристики и зависимости частот генерации.

Использование динамических эффектов, заложенных в принцип действия резонансной машины, открывает новые возможности в вибротехнике. Приспособленность такого привода к фундаментальным явлениям самоорганизации положительно сказывается на дополнительном энергосбережении машины. Благодаря конструктивным особенностям привода, повышается эффективность и надежность вибрационных машин в целом.

Результаты работы могут быть использованы для разработки новых вибрационных механизмов, устройств и технологий.

Ключевые слова: динамика, вибрационная машина, осциллятор, параметрический резонанс, изотропная упругая система.

Abstract. The resonance circular oscillations of the vibrator due to parametric excitation of rotary pendulum drive are studied. The physical interpretation of the behavior of the rotary pendulum drive's rolling oscillators and a working body under isotropic suspension in combinational parametric resonance are revealed.

It is shown that the rotary pendulum drive is the most resistant to the fluctuations in the resonance mode compared to the unbalance exciter. Frequency responses and dependence of oscillation frequencies are given.

Using the dynamic effects, inherent in the principle of resonance machines, opens up new possibilities in vibrating technology. The adaptation of the drive to the fundamental phenomena of self-organization has a positive effect on the machines additional energy saving. The drive's design features increase efficiency and reliability of vibrating machines in general.

The results can be used to develop new vibratory mechanisms, devices and techniques.

Keywords: dynamics, vibrating machine, oscillator, parametrical resonance, isotropic elastic system.

Введение

На сегодняшний день из четырех основных способов возбуждения механических колебаний (кинематического, силового, автоколебательного, параметрического) практического применения и использования не получил параметрический. Это объясняется сложностью практической реализации такого способа и разрушающими способностями, связанными с неограниченно возрастающими во времени колебаниями.

Благодаря проведенным исследованиям, полученным изобретениям и результатам [1-3] появляется перспективная возможность использования параметрического способа возбуждения механических колебаний для решения прикладных задач механики и динамики вибрационных машин различного назначения.

Постановка задачи

Исследуется возбуждение параметрических резонансных круговых колебаний рабочего органа 2 вибрационной машины, средством для возбуждения которых является роторно-маятниковый

возбудитель 1 и изотропная упругая подвеска 3, связывающая рабочий орган с неподвижным основанием 4 (рис. 1, а).

Роторно-маятниковый возбудитель (рис. 1, б) представляет собой набор отдельных одинаковых уравновешенных дисков 6. В каждом диске образована пара незамкнутых беговых дорожек 7 кругового профиля, которые расположены симметрично относительно двух взаимно перпендикулярных его диаметров, а их центры смещены от оси вращения ротора в диаметрально противоположных направлениях на одинаковые расстояния AB = l. На беговых дорожках размещены одинаковые уравновешенные осцилляторы (тела качения, маятники) 8, массой m каждый, с возможностью обкатки. Диски соединяются между собой в единую конструкцию так, что беговые дорожки одной пары повернуты вокруг оси ротора на угол у0 =%/s относительно другой, где 5 - число дисков (^ = 2). Маятниковый возбудитель содержит N= 25 (для конкретного случая) осцилляторов, расположенных попарно в параллельных плоско-

Механика

стях. Ротор массой то в собранном виде жестко закрепляется на приводном валу, который посредством подшипников устанавливается на рабочем органе 2 массой Мо, имеющем две степени свободы: поступательное движение х, у по круговой траектории в плоскости вращения ротора в направлении координатных осей Ох, Оу.

а)

б)

Рис. 1. Динамическая модель вибромашины

Таким образом, качания маятников на углы фк (к = 1, 2, 3, 4), а также перемещения х, у рабочего органа составляют степени свободы рассматриваемой механической системы. Эти величины принимаются за обобщенные координаты системы. Положение беговых дорожек определяется углами Vк = ® I + / М, (к = 1, 2, 3, 4; N = 4 -число маятников), а положение маятников определяется углами фк=^кС08(ю^ + 9к) (0к = 2пкШ, к = 1,

2, 3, 4).

Система координат Ах'у'^ с началом в центре масс ротора движется поступательно относи-

тельно неподвижной системы Охух. При этом плоскость Ах'у' расположена в плоскости вращения ротора. В положении статического равновесия оси этих координатных систем совпадают.

Методы исследования

Движение представленной вибромашины описывается следующими дифференциальными уравнениями [3] с периодическими коэффициентами:

Фк + 2(~о + ~о Ф2)Фк 2ш^пфк =

= V2 [х БШ^к + Фк ) - у СОЗ({~к + Фк )]

~ + 2(n + h ~ 2)х + (1 + Р2 ~ 2)х =

N

= М>оЕ[Фk sin(Vk +Фk) + (ю + Фk)2COs(yк +фк)

k=1

(1)

у + 2(п + ку 2)у + (1+ Р 2.У 2)~ =

N

= ц о Е[-Ф ксо§(ф к +Ф к)+

к=1

+ (ю +Ф к ^П^ к +Ф к )], где к = 1, 2,..., N, N = 4, у = х/1, у = у/1 - безразмерные координаты, Т = Х 21 - безразмерное время, X 2 = у/е /М0 - собственная частота рабочего органа, ц0 = тр е / М1, у0 = п0 / X 2, у = п / X 2 -безразмерные коэффициенты линейного демпфирования, к = к / Х2, к = к/ Х2 - безразмерные коэффициенты нелинейного демпфирования, Р2 = у 12 - коэффициент нелинейности упругих восстанавливающих сил, со = ю / X 2 - безразмерная частота параметрического возбуждения, V2 = тр е1 / Зв - безразмерный параметр, определяющий собственную частоту качаний маятников во вращающейся системе координат, у = е1 / е. Здесь М = М0 + т + Мт - общая масса системы, п0 = а / 2,/в, п = Ь / 2М,

к0 = а1 /(2./в), к = Ь1 /(2М). Точка обозначает дифференцирование по т.

Рассмотрим комбинационный параметрический резонанс [4], когда колебания в системе (1) возбуждаются на частотах ©1 и ©2, связанных с частотой параметрического возбуждения ю суммарным соотношением

ю = ю1 + ю2.

(2)

где ю = vc°, Ю ~ = 1 - частоты генерации осцилляторов (маятников) во вращающейся системе координат и рабочего органа соответ-

ственно. При настройке V = 0,25 ©2 = 0,75©, что следует из соотношения (2). Частоты генерации близки к собственным частотам и соответственно (в размерных величинах = V©,

Координаты х , у определяются форму-

= * -1 I XCi , ус = * - X Уак .

(3)

лами

Х = х + I COS Vk + Pc cos(Vk + Фк ) ,

к 2 = у^ , где с - жесткость изотропной упругой

системы, М - масса всей системы) и, как видно из настройки, некратны между собой. Здесь учтено, что собственная частота рабочего органа ^2 = = ^2у для обеспечения поступательного движения рабочего органа по круговой траектории (рис. 2).

1 траектория движения центра масс маятников ("невидимого дебаланса") Рис. 2. Интерпретация комбинационного параметрического резонанса

Необходимо отметить, что ранее исследовались однонаправленные колебания рабочего органа (поступательное движение по оси у). В настоящей статье исследуется динамика роторно-маятниковой системы параметрического привода машины, рабочий орган которой имеет две степени свободы (движение в двух взаимно перпендикулярных направлениях по осям х, у), что составляет новизну исследования и оригинальность работы.

Главной особенностью роторно-

маятникового привода является преобразование энергии вращения в энергию колебаний за счет качаний маятников [5]. Поэтому, для исследования работы вибромашины в целом, необходимо рассмотреть поведение осцилляторов качения ро-торно-маятниковой системы. Для этого воспользуемся формулами для определения центра масс маятников по отношению к неподвижной системе координат 0ху2 (рис. 1, б). Пусть х , у - координаты центра масс к-го осциллятора качения. Тогда координаты ху , у у центра масс системы осцилляторов могут быть вычислены по формулам:

(4)

Уск = У + l Sln Vk + Pc Sln(Vk + Фк ). Если раскрыть косинус и синус суммы и заменив тригонометрические функции углов фк двумя членами разложения их в ряд

(sin фк = фк -1 /6фк, cos фк = 1 - 1/2ф2), выражения (4) примут следующий вид:

= х +l COSVк +Pc (cosVк -фк Sin Vк -

1 2 1 3 •

C0SVк +-фк SinVкX

2 6

Уск = х +1 Sin Vк +Pc(sin Vк +фк C0S Vк - (5)

1 ^ 1 3 ,

Vк "фк C0SVк)•

2 6

Подставив (5) в выражения (3), получим следующие формулы для определения координат центра масс системы осцилляторов: P с*, . 1k

= х - —X(фкSinVк +-ф2 C0SVк -

* к=1 2

-1 фк sln Vк ), 6

P * 1

Уск = У + I (фк C0S Vк - 1 Фksin Vк - (6)

* к=1 2

1 3 ,

--фк C0SVк) • 6

Считая маятники идентичными (Ак = Ао),

. 2лкч

фк = A C0s(ra/ + ). Подставив это выражение

в (6), принимая во внимание N = 4, учитывая равенство (2), после преобразований получим:

1

1

X = х — pc A0 (1 — A0)sin ш21 +

2

8

^T^P cA03 Sln(® 2 + 4®1)f, 48

Ус = У + 1 P cA0(1 - 1 A02)C0S ® 2f + 2 8

1

+ cA0 C0S(® 2 + 4®1)f-

48

(7)

к=1

к=1

Численно решая уравнения (7), при помощи программного пакета МмкСай 14, можно определить траекторию движения центра масс системы маятников в безразмерных координатах. В случае четырех осцилляторов она представляет собой замкнутую кривую, изображенную на рис. 3. Центр

х

с

Механика

масс вращается в сторону ротора возбудителя, но с частотой 0,75©, то есть на 25 % ниже частоты его вращения.

2

8

1

+--МтрсА0(ш2+ 4с) б1и(ю2 + 4с)*,

48

Ь* = -Мту +1 Мтр с А0 (1 -1А2 )с 2 со б с * +

(8)

ляторов:

(т0 + Мо)х + Ьхх + Ь\хХ2х + ехх + ех1х3 = Ь*И ,

.2,-. , „ , „ ,.3 _ 77И

у :

(т0 + М0) у + Ьуу + ЬХуу2 у + Суу + Су! у3 = F}

или в уже принятом (1 ) ранее виде:

х + 2(п + Их2) х + ю^ (1 + Р2 х2) х =

1 Мт 1 2 2 .

-—-р еА0 (1 " А0 )ю ю2 * +

2 М 8

+--МтрсА0(ш2+ 4с ) б1п(ш2 + 4с )*,

48

у + 2(п + ку2) у + с2 (1 + р 2 у2) у =

1 Мт

2 М

Р еА0 (1 А0 )с2 СО8 ®2 * +

(9)

1

Рис. 3. Траектория движения центра масс системы маятников

Вычислим силу инерции FИ, действующую на рабочий орган машины от качающихся маятников. Эта сила представляет собой главный вектор сил инерции качающихся маятников и на основании теоремы о движении центра масс механической системы определяется по формулам Ь^ = -Мтх с, Ь^1 = -Мту с. Дифференцируя дважды выражения (7), получим:

ЬхИ = -Мтх -1 Мтрс А0 (1 -1 А2)©2 б1п с * +

+--МтрсА0 (с + 4с ) соб(с + 4с )*.

48

Система уравнений (9) - это обычные уравнения вынужденных колебаний с двумя степенями свободы. Правые части этих уравнений представляют собой суммы гармонических вынуждающих сил с частотами ©2 и (©2 + 4©1). Учитывая, что рабочий орган настроен на частоту собственных колебаний Х2 ~ ©2, первая составляющая вынуждающей силы ©2 = 0,75© будет возбуждать наиболее интенсивные, эффективные резонансные колебания. Влиянием второй составляющей с комбинационной частотой (©2 + 4©1) можно пренебречь ввиду того, что она имеет далеко зарезонансную настройку (©2 + 4©1 = 2,333 > 2©2 при оптимальном параметре V = 0,25). Пренебрегая колебаниями рабочего органа со слагаемыми комбинационных частот (©2 + 4©1), из (7) получим закон движения центра масс системы осцилляторов в первом приближении:

1

1

= х -ТР еА0 (1 -- Л^Ш с 2 * ,

2

8

1 - ~ 1 (2.

(10)

ус = у + "РеА0(1 " А0 ) СОБс 2* . 2 8

+ — МтрсАд (с + 4с )2 соб(с + 4с )*. 48

С учетом (8), а также принимая во внимание силы упругости и силы сопротивления, составим уравнения колебаний рабочего органа, возбужда-

ГИ т^И

ющихся от действия сил инерции Ьх , Ь осцил-

Координаты центра масс маятников по отношению к системе координат Лх'у^' с началом в центре ротора выражаются формулами х'с = хе - х , ус = ус - у . В этой системе координат центр масс системы осцилляторов роторно-маятникового возбудителя движется согласно закону

1 1 2

хс =--Р сА0 (1 ~ А0)Б1П с2 * , 2 8

1

1

(11)

ус =ТР сА0 (1 А0)сОБ с2* .

2

8

Из (11) видно, что центр масс системы осцилляторов описывает окружность с радиусом 1 1 2

— рсА0 (1--А0 ) в плоскости и направлении

2 8

вращения ротора. Следует акцентировать внимание на то, что радиус этой окружности зависит от амплитуды качаний маятников нелинейно. Угловая скорость вращения центра масс системы маятников равна частоте колебаний рабочего органа ©2 ~ Х2 и меньше угловой скорости вращения ротора ©2 = 0,75©, как видно из приближенного равенства ©2 = (1 - V) © при V = 0,25. Вследствие та-

х

с

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

кого кругового движения центра масс маятников возникает неуравновешенная центробежная сила инерции, вращающаяся с частотой ©2 в плоскости ротора.

Пусть рабочий орган совершает круговые гармонические колебания согласно первым двум формулам выражения

~ = Ах С08(®21 + ех ), ~ = Ау + 0у ).

При таком движении дифференциальное уравнение движения к-го маятника примет вид:

Фк + 2(~0 + ~0Ф2)(Рк 2ШФк 2ШФкк = = V2[-А®2 соз(ш2т + 0)бШ-

2 2жк ~

- Аш2 со8(ю2т + 0)Ак сов(ю1т + )сов~к +

1 2 2 2 2ток ~

+ —Аю2со8(ю2х + 0)А^ со8 (ш^ + ^-^т^ +

(12)

+ Аю2 sin^2i + 0)cosy<: -

- Аю 2 sin(ra2i + 0)Ак cos(©jT + )sin -

-1 Аю2 sin^2i + 0)Al cos2^i + 2^k)cosyj •

Принимая во внимание соотношения ю = ©i + ©2 и ^ = Юi + 2лк / Ж, правую часть

уравнения (12), после ряда преобразований и, отбрасывая слагаемые с нерезонансными частотами, можно представить в виде:

Фк + 2(П0 + ф2)Фк +v 2®2sin фк =

2тск

= v2[-Аю2 sin(^i^^--0) + (13)

1

2лк

+ ^ АА2к ш28т(ш1т + ^ + 0)].

Нетрудно заметить, что уравнение (13) представляет собой уравнение вынужденных колебаний с резонансной частотой ©1 ~ V© качания маятников. Таким образом, колебания рабочего органа возбуждают резонансные колебания маятников.

Анализ результатов

Из (9) и (13) видно, что в данной механической системе существенна взаимосвязь колебаний. Возникающая вследствие качаний маятников неуравновешенная центробежная сила инерции ро-торно-маятникового возбудителя вызывает резонансные колебания рабочего органа, а колебания рабочего органа вызывают резонансные колебания маятников. Результат такого двухстороннего взаимодействия приводит к самовозбуждающимся

колебаниям, которые называются комбинационным параметрическим резонансом [4].

в)

Рис. 4. Резонансные кривые и частоты генерации

Резонансные кривые представлены на рис. 4 в виде зависимостей амплитуды колебаний рабочего органа, маятников и частот генерации ШШ, й2от частоты параметрического возбуждения Ш .

Резонансная кривая 1 соответствует комбинационному резонансу, при настройке е = 0,01,

V = 0,25, ~ = ~ = 0,02, ~ = к = 0,04 , 02 = 0. Резонансная кривая 2 построена для величин е = 0,01,

V = 0,25, ~0 = 0,02, ~ = 0,12 , ~ = 0,03, ~ = 0,06, Р2 = 0. Здесь е - параметр, пропорциональный отношению массы маятников к массе колеблющейся части системы.

Из рис. 4, а, б видно, что увеличение коэффициента ~ линейного демпфирования рабочего

органа в шесть раз и увеличение коэффициента к нелинейного демпфирования рабочего органа при одинаково малых значениях коэффициента ~0 линейного демпфирования маятников приводит к сдвигу и расширению резонансной зоны. Причем амплитуда колебаний рабочего органа снижается

Механика

всего лишь в 2, 3 раза, тогда как при обычном резонансе вынужденных колебаний линейной системы амплитуда колебаний уменьшается тоже в шесть раз, а наличие демпфирования всегда уменьшает резонансную область [6]. Эффект расширения резонансной области вследствие шестикратного увеличения линейного демпфирования связан с увеличением амплитуды Л0 колебаний маятников (рис. 4, б).

На рис. 4, в приведены зависимости генерируемых частот , га2 от частоты параметрического возбуждения со. Как видно, частота га 2 с

которой колеблется рабочий орган, остается практически постоянной и приблизительно равна единице (в относительных единицах) на всем диапазоне изменения частоты возбуждения. Это достигается особенностями и настройкой комбинационного резонанса Е^ « vЮ , га2 «1. Однако, как показывает график, имеется расхождение величины частоты га2. Это происходит из-за нелинейности системы. При увеличении коэффициента демпфирования пу величина частоты колебаний рабочего органа может быть еще больше.

Как показывают резонансные кривые, параметрические колебания не имеют критического максимума и представляют собой плавные кривые. Это достигается наличием обратной связи (беговая дорожка замкнута), которая не позволяет машине идти в «разнос».

Заключение

Таким образом, исследования параметрических колебаний вибромашины с применением ро-торно-маятникового привода показывают возможность радикального снижения энергозатрат, повышения надежности, ресурса машин, а также эф-

фективности работы за счет использования наиболее интенсивных резонансных режимов работы. Это дает новый импульс созданию помольных машин для производства тонкодисперсных материалов и нанопорошков, используемых практически во всех отраслях промышленности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вибровозбудитель : пат. № 2072660 Рос. Федерация : МКИ В 06 В 1/16 / В.И. Антипов. № 94008295/28 ; заявл. 05.03.1994 ; опубл. 27.01.1997, Бюл. № 3.

2. Способ возбуждения резонансных механических колебаний и устройство для его осуществления (варианты) : пат. № 2410167 Рос. Федерация : МКИ В 06 В 1/16 / В.И. Антипов и др. заявл. 07.12.2009 ; опубл. 27.01.2011, Бюл. №3.

3. Антипов В.И., Денцов Н.Н., Кошелев А.В. Динамика параметрически возбуждаемой вибрационной машины с изотропной упругой системой // Фундаментальные исслед. 2014. № 8. Ч. 5. С.1037-1042.

4. Шмидт Г. Параметрические колебания. М. : Мир, 1978. 336 с.

5. Антипов В.И., Денцов Н.Н., Кошелев А.В. Энергетические соотношения в вибрационной машине на многократном комбинационном параметрическом резонансе // Вестник Нижего-род. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 5. С. 188-194.

6. Кошелев А.В. Экспериментальное исследование эффективности работы параметрического резонансного привода // Фундаментальные исследования. 2014. № 11. Ч. 5. С. 996-999.

УДК 531.36

Чайкин Сергей Васильевич,

к. ф.-м. н., н. с., Российское государственное бюджетное научное учреждение «Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН»,

тел. 8(3952)45-30-32, e-mail: schaik@yandex.ru

ОДНООСНЫЕ РАВНОВЕСНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ НА ПРИТЯГИВАЮЩИИ ЦЕНТР СИММЕТРИЧНОГО СПЛЮСНУТОГО ОРБИТАЛЬНОГО ГИРОСТАТА

С УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ

S. V. Chaikin

ONE AXIS STABLE ORIENTATIONS TO ATTRACTING CENTER FOR SYMMETRICAL OBLATE ORBITAL GYROSTAT WITH AN ELASTIC BEAM

Аннотация. Изучается в ограниченной постановке движение по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил симметричного сплюснутого стационарного гиростата. В корпусе гиростата по оси его симметрии жестко защемлен одним концом однородный прямолинейный в недеформированном состоянии упругий стержень, на свободном конце которого находится точечная масса. Упругий нерастяжимый стержень для простоты постоянного кругового сечения и единичной длины в процессе движения системы совершает малые пространственные колебания. При этом пренебрегаем нелинейными относительно перемещений точек стержня членами в тензоре инерции системы. Рассматривается так называемая полуобратная задача: при каком кинетическом моменте маховика среди относительных равновесий системы - состояний покоя относительно орбитальной системы координат - имеется такое, при котором произвольно заданная в связанной с корпусом гиростата системе координат ось была бы коллинеарна местной вертикали. В