Самоорганизация в резонансных системах с параметрическим возбуждением Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 4 (1), с. 177-182

УДК 534.1

САМООРГАНИЗАЦИЯ В РЕЗОНАНСНЫХ СИСТЕМАХ С ПАРАМЕТРИЧЕСКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ

© 2012 г. В.И. Антипов

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Antipov-15@yandex.ru

Поттупола в рвдакцою 02.03.2012

Развивается синергетический подход к решению задач динамики машин вибрационного принципа действия. Машина представляется совокупностью нелинейных взаимодействующих осцилляторов. Показывается возможность самоорганизации резонансных колебаний машины при многократном комбинационном параметрическом резонансе.

Ключввик тлова: вибрационная машина, нелинейность, бифуркация, параметрический резонанс, самоорганизация, структура, синергетический эффект.

В сложных открытых системах при определенных условиях могут происходить процессы самоорганизации, в результате которых система приобретает некоторую пространственную, временную или функциональную структуру [1,2]. В вибротехнике сложными системами могут быть вибрационные машины с несколькими вибровозбудителями или машины резонансного типа, в которых реализуются сложные резонансы. Здесь следует заметить, что резонансные режимы работы вибрационных машин, являющиеся энергетически наиболее эффективными, практически нереализуемы из-за их низкой стабильности при обычном резонансе вынужденных колебаний. Поэтому поиск альтернативных способов возбуждения и стабилизации режимов работы резонансных машин является весьма актуальным.

Существенное улучшение динамических характеристик резонансных машин может быть достигнуто на основе использования колебательных систем со многими степенями свободы. Разумное усложнение моделей за счет увеличения числа степеней свободы, учета нелинейности позволяет выявить новые синергетические эффекты (взаимное усиление колебаний, образование упорядоченных структур), раскрыть дополнительные возможности в разработке новых технологий. Вовлечение частей системы в коллективное взаимодействие может быть достигнуто на основе использования сложных резонансов, которые реализуются только в связанных системах. Таким резонансом является комбинационный параметрический резонанс, обусловленный парным взаимодействием собственных форм колебаний [3-8]. Параметрические резонансы возникают вблизи частот

® ^ j )р (г, ] = 1,2,..., 5 р = 1,2,...),

где ю - частота параметрического возбуждения, Хг - парциальные частоты собственных колебаний, 5 - число степеней свободы. Частоты с г = = j, т.е. ю = 2Хр~', называются частотами простого резонанса, а с г ф j - частотами комбинационного резонанса. В зависимости от значения целых чисел р различают главные резонансы при р = 1 и побочные резонансы при р > 2. В системах, достаточно близких к каноническим, возможны только комбинационные резонансы суммарного типа.

Большие затраты энергии в нелинейных системах не гарантируют реализации пропорционального им результата. Задача состоит в том, чтобы малым резонансным воздействием на колебательную систему машины вывести ее на самоуправляемое и самоподдерживаемое собственное движение.

При синергетическом подходе структурная схема вибромашины представляется системой равноправных нелинейных взаимосвязанных осцилляторов (маятников), при резонансном возбуждении которых реализуется синергетический эффект, т.е. взаимное стимулирование колебаний осцилляторов. Один или несколько осцилляторов выполняют функции рабочего органа машины. Другие осцилляторы этой системы играют роль инерционного элемента (ИЭ) вибровозбудителя.

ИЭ машины можно построить из набора идентичных осцилляторов с одинаковыми собственными частотами X]. В этом случае собственные формы этих осцилляторов составляют с собственной формой рабочего органа попарные комбинации с частотами X] и Х2. При настройке ю = X] + Х2 и подходящем параметрическом воз-

Рис. 1. Динамическая модель вибрационного устройства

буждении может быть реализован многократный комбинационный резонанс с возникновением коллективного взаимодействия осцилляторов и проявлением синергетического эффекта. Этот эффект достигается самой системой без вмешательства извне за счет неустойчивости ее положения равновесия и проявляется как результат процесса ее самоорганизации. При параметрическом резонансе положение равновесия сохраняется, но оно неустойчиво. Поэтому сколь угодно малое возмущение приводит к самовозбуждению резонансных колебаний. Неустойчивость выступает в роли некоторого инновационного элемента, нужного для превращения возмущений («шума») в упорядоченный коллективный резонансный режим колебаний вдали от равновесия. В резонансном состоянии колебательная система совершает движение, близкое к собственному, при котором упругие и инерционные силы взаимно уравновешиваются, а энергия возбудителя колебаний расходуется только на преодоление диссипативных сил.

На рис. 1а,б приведена схема параметрического вибрационного устройства, полученная на основе высказанных выше соображений. Механизм ИЭ вибровозбудителя выполнен по патенту № 2410167 РФ в виде роторно-маятниковой системы [7]. Ротор 1 этой системы состоит из набора отдельных одинаковых уравновешенных дисков 2 (рис. 1б). В каждом диске образована пара незамкнутых беговых дорожек 3 кругового профиля, которые расположены симметрично относительно двух взаимно перпендикулярных его диаметров, а их центры смещены от оси вращения ротора в диаметрально противоположных направлениях на одинаковые расстояния АВ = I. На беговых дорожках размещены одинаковые уравновешенные тела качения (маятники) 4 массой т каждый с возможностью обкатки. Диски соединяются между собой в единую конструкцию так, что беговые дорожки одной пары повернуты вокруг оси ротора на

угол у0 = n/s относительно другой, где s - число дисков ^ - четное число). Ротор ИЭ содержит N= = 2s тел качения (маятников), расположенных попарно в параллельных плоскостях.

Ротор ИЭ массой т0 в собранном виде жестко закрепляется на приводном валу, который с помощью подшипников устанавливается на рабочем органе 5 массой М0. Рабочий орган связан с основанием 6 упругими элементами 7. Демпфер 8 моделирует технологическую нагрузку.

Система координат Ах'у'^ с началом в центре масс ротора ИЭ движется поступательно относительно неподвижной системы Оху2. При этом плоскость Ах'у' расположена в плоскости вращения ротора. В положении статического равновесия оси этих координатных систем совпадают. Приводной вал получает вращение от электродвигателя, вынесенного из колебательной системы машины. При этом на движение тел качения накладываются нестационарные (реономные) связи за счет равномерного вращения ротора ИЭ с угловой скоростью ю, что предполагает наличие идеального источника энергии. Это предположение на самом деле не столь существенно, поскольку ротор ИЭ выполняет роль маховика и аккумулятора кинетической энергии. При равномерном вращении ротора ИЭ тела качения образуют в поле центробежных сил инерции подсистему N осцилляторов качения (маятников) с осями обкатки в центрах кривизны беговых дорожек.

Положение беговых дорожек определяется углами ук = ю ^+ 2пк /N, а положение маятников - углами фк, к = 1,2,...,N. Предполагается, что выполнены условия качения бегунков без скольжения и отрыва, полученные в работе [9].

Примем параметры х, фк, где х - перемещение рабочего органа, за обобщенные координаты системы.

Характеристики восстанавливающихся сил и сил сопротивления задаются в виде

а

F = cxx + c^, Rx = (bx + \ + ,

k = 1,2,...N,

где cx - суммарная жесткость упругих элементов, c1x - коэффициент нелинейности упругой восстанавливающей силы, bx, а - коэффициенты линейного демпфирования, b1x, а1 - коэффициенты нелинейного демпфирования.

Будем исходить из дифференциальных уравнений движения, полученных в работах [4-6]. Если ввести безразмерную координату ~ = x //

и безразмерное время т = l2t, где Х2 = ^cx /M

- собственная частота рабочего органа линейной части системы, то математическая модель вибромашины описывается следующими дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами:

фk + 2(~0 + ~0 Ф2)фk +v2®2 sinфk =

= v2 5: sin(V k +Pk)

(k = 1, 2,..., N ),

~ + 2(~ + h~ 2)x + (l + P2 ~2) ~ =

N

= 2S(nv 2 )-1 ^[ф sin({~k +Pk )+ (1)

k=1

+ + Pk)2cos( Ф k +Pk )]>

где ~0 = n0/X2,~ = n/Х2- безразмерные коэффициенты линейного демпфирования, h0 = h0/X2, h = h / X 2 - безразмерные коэффициенты нелинейного демпфирования, р2 = у/2 - коэффициент нелинейности упругих восстанавливающих сил, е = v2Nmpc /(2M/) - коэффициент, пропорциональный отношению общей массы осцилляторов качения к массе всей системы, 5 = ю/Х2 -безразмерная частота параметрического возбуждения, v2 = mpc//JB, pc = BCk, = 5т + 2nk/N,

Y = c1x/cx. Здесь M = M0 + m0 + Nm - общая масса системы, JB - момент инерции тела качения относительно оси обкатки, n0 = a/2JB, n = bx/2M, h0 = = a1/(2JB), h = b1x/(2M). Точка обозначает дифференцирование по т.

Уравнения (1) допускают тривиальное решение ф£ = 0, k = 1,2,...,N, x = 0, так как

N N

^ cosyk = ^ sin~k = 0 . Эти уравнения описы-

k=1 k=1

вают поведение N + 1 равноправных нелинейных осцилляторов и системы связи между ними. Тем самым мы определяем параметрически возбуждаемую систему, инертные свойства которой периодически изменяются во времени с периодом 2п/5.

В аналитической механике инертные свойства системы находят выражение в понятии кинетической энергии. Наличие реономных связей

приводит к периодическому изменению коэффициентов в выражении кинетической энергии, которое кроме чисто квадратичной формы обобщенных скоростей дополнительно содержит члены, линейные относительно скоростей, а также члены, зависящие только от обобщенных координат [4]. Кроме того, при вертикальном расположении плоскости вращения ротора ИЭ силы тяжести маятников порождают нестационарное силовое поле. В [10] показано, что при настройке V = 1/4 влиянием сил тяжести маятников можно пренебречь.

Удерживая в уравнениях (1) величины до третьего порядка относительно координат и их производных, получим

2~2

ф к + у ю Ф к =

= V2к + фкс°э~/к -2ф2эт^к) +

+ РУ®2ф3 - 2(~ + ^ф2)фк,

N

3х + ~ = 2s(Nv2)-1 ^[(срк -(2фк)sinфк +

к=1

+ 2<В ф к соэ ф к - 1 (В2 Ф2 соэ ф к +ф кф к соэ ф к -

- 2Ш Ф к ср к ^ фк + ф 2 соэ ф к - 2 ф2 ср к !5т ф к +

1 ~2 3 • ~ ~ ~ • 2 • ~ -I

+ -<В фк !51П фк -Шфк соэ Фк -фкфФк] -6

-2(~ + ~~2)~-Р2~3, к =1, 2,., N (2) где Р1 = 1/6, V - безразмерный параметр, определяющий собственную частоту осцилляторов качения во вращающейся системе координат.

Исследуем комбинационный параметрический резонанс, когда колебания в системе (2) возбуждаются на частотах Ю1 и ю2, связанных с частотой параметрического возбуждения 5 соотношением

5 = ю1 + ю2, (3)

причем частоты генерации близки к собственным частотам, т.е. ю1 « vю, ю2 «1, и не кратны друг другу. Для отыскания решения системы (2) воспользуемся методом усреднения [11]. Для этого сделаем предположение о малости сил трения и нелинейных сил. Тогда согласно [9] вблизи стационарного режима работы машины можно считать, что правые части уравнений (2) имеют порядок малого параметра. Решение уравнений будем искать в виде

фк = Ак с°5(ш1Т + 0к^ к=1,2,...,N,

~ = А соб(ю2т + 0). (4)

Считая амплитуды Ак, А и фазы 0к, 0 медленно меняющимися величинами и применяя метод усреднения, получим следующую систему уравнений первого приближения:

1 У2ю2 л/л 1 л2л ,2пк

Ак — Т 2 А(1 - Т7 Ак )С08(^Т~ - 0к - 0) - П0и0 Ак ,

4 ю1 8 N

д .ґк) 1 V ю9 А . 3 .2\ • Дпк „

0к —-Д% + ----------2—(1 --Ак)8ш( —— -0к -0),

4 ю1 Ак 8 N

А — 4М-0Ю2(1 - ^ Ак)С0?,(Г^' - 0к - 0) - П иА 5

0 =-Д2р + ТМ-0Ю2 (1 - ^ Ак2)81п(_^“ - 0к - 0) 5

к = 1,2,..., N

где

Д% — - УЮ + А"2 , Д 2р — ®2 - 1 ^2®2 А ,

4 ю1 А0 8

1 у2ю2 А „ 3

(1 — А0 ^іп0 — -Дл

4 ю1 А0 8

1 А 1

— ц0 Мю2 —-(1 — А02)СО8 0 — пи

4

8

1

1

—ц0 Nю2 —(1 — А0 ^іп0 — -Д2в.

4

8

-Д

1в

где

3 2 1 2

щ = (1 - - А2)/(1 - - а2). (8)

8 8

Исключив из уравнений (6) фазовый угол 0 и приняв в качестве расстройки величину Д = 5 - (1 + v—), т.е. расстройку частоты параметрического возбуждения относительно суммы собственных частот, и используя соотношение (7), а также равенство (3), которое теперь принимает вид ю = (1 + Д)/(1 - V), после некоторых преобразований получим уравнение

Д—

3(^0Р2п0и0 - у2Р1пи)ю1 А02

8у пи

М0 = трс /(М1), и0 = 1 + — к0А02, и = 1 + — к*А2,

к* = —0/—0, к* = —/—.

~ 3 2 3 2

Величины vю — Р1ю1 Ак, 1 + — Р2ю2А можно 88

рассматривать как парциальные частоты, смещенные за счет нелинейности системы.

Стационарный режим работы вибромашины находим из условия Ак = А = 0к = 0 = 0. Это приводит к системе алгебраических нелинейных уравнений относительно амплитуд Ак, А и фаз 0к, 0. Поскольку осцилляторы качения идентичны, то Ак = А0, к = 1,2,...,Ж Исходя из симметрии роторно-маятниковой системы, указанные уравнения разрешимы при выполнении условий

0к = 2%т, к = 1,2,...Д (5) В результате приходим к следующим уравнениям:

1 "V Шт А 1 Л 2 \ О —

(1 — А0 )соэ0 = п0и0,

+ (п0и0и1 + пи)

1 + Д

є| ---------------ю1

1 - V

8п0и0 пию1

-1. (9)

Воспользовавшись соотношениями (8), (3) и (7), приходим к уравнению

ю, —

У(1 + Д) , п0и0и1 д

— 2р ,,,1 + 3рД2 I. (10)

1 - V пи \ 8 )

Уравнения (9) и (10) позволяют численными методами определить зависимости А0(Д) и Ш1(Д) или А0(ш) и ш1(ш). Так как величины и0, и содержат А02, А2, то соотношение (7) приводит к биквадратному уравнению относительно А. Это уравнение имеет решение

А2 — Л к

(

1 + NЦ0к*(1 -У>1п0и0А02 -1 V 2[1 + Д - (1 - у)ю1 ]

Л

(6)

Для определения пяти неизвестных величин: двух амплитуд А0, А, двух частот 51 и ю2, фазы 0 следует к четырем уравнениям (6) добавить равенство (3). Из первого и третьего уравнений (6) найдем отношение амплитуд

А2 _ Nм0 п0и0 ю1 А02 V2 — и ю2

Из уравнений (6) можно также определить tg0 и соотношение между расстройками

(7)

Из (9) следует условие существования стационарных колебаний, которое с учетом соотношения Д — га - (1 + уга) принимает вид

ею 2^1 -“А02^ - 8°°0°и0ию1 > 0. (11)

Неравенство (11) удовлетворяется тогда, когда при линейном демпфировании выполняется пороговое условие е>8и0иу/(1 -у) [5] и когда амплитуды А0, А не превышают своих максимальных значений.

Результаты численного моделирования уравнений (9) и (10) методом итераций представлены на рис. 2а-в в виде зависимостей амплитуд А0, А и частот генерации юі, ю2 от частоты параметрического возбуждения га . На рис. 2а кривая 1 соответствует комбинационному резонансу, когда є = 0.02, у= 0.25, °0 — и — 0.02,

0 — 0.05, 0 — 0.032, р1 = 1/6, р2 = 0.15. Резонансная кривая 2 соответствует случаю, когда Р2 = 0, к0 — к — 0.02 при неизменных значениях остальных параметров. Резонансная кривая 3

3

2

пи п0и0и1

Рис. 2. Резонансные кривые и частоты генерации

построена для величин —0 = 0.02, — = 0.12,

к0 = 0.02, к = 0.04, Р2 = 0 и одинаковых значений других параметров. Отметим свойства параметрических колебаний на примере амплитудной кривой 1. Внутри интервала ш(1) <ш <ш(2), где ш(1), ш(2) - граничные точки области неустойчивости системы (1), состояние равновесия неустойчиво [4]. Граничные точки ш(1), ш(2) определяются из уравнений (9) и (10) при А0 = А = 0. Можно показать, что верхняя ветвь резонансной кривой 1 (с большими значениями амплитуды), изображенная сплошной линией, является асимптотически устойчивой, а нижняя (штриховая) - неустойчивой. На рис. 2б показаны амплитудные кривые А0, а на рис. 2в приведены зависимости юь ю2 от ш в полосе параметрической генерации, соответствующие амплитудным кривым 2 и 3.

Точка Ш = ш(1) является точкой бифуркации, при переходе которой положение равновесия теряет устойчивость и возникает неравновесное состояние - периодические колебания. Этот вид потери устойчивости называется мягкой потерей устойчивости, т.к. устанавливающийся колебательный режим при малой закритичности

ц = Ш -ш(1) (отличие управляющего параметра ш от критического значения) мало отличается от состояния равновесия.

Движение фазовых точек системы (2) происходит на множестве размерности 2^+1). Проекции этого движения на фазовую плоскость (х, X) согласно (4) представляют собой эллипсы, близкие к окружностям (ю2 - 1). Для значений м < 0 неподвижная точка на плоскости (х, X) - устойчивый притягивающий фокус, при М > 0 - неустойчивый (отталкивающий) фокус. При этом все локальные движения системы стремятся к асимптотически устойчивому предельному циклу. Таким образом, при переходе М через нуль устойчивый фокус становится не-

устойчивым и рождается устойчивый предельный цикл малой амплитуды, что соответствует динамической бифуркации Андронова-Хопфа. Амплитуда предельного цикла пропорциональна д/ц . Действительно, аппроксимируя резонансную кривую в окрестности точки бифуркации параболой м = ЬА1, получим А = , где

d = л1ь >0.

Из рис. 2 следует, что резонансные кривые не имеют характерного максимума, присущего колебательным системам при резонансе вынужденных колебаний. Обнаруживается эффект расширения резонансной зоны при шестикратном увеличении линейного демпфирования рабочего органа относительно уровня демпфирования осцилляторов качения. Этот эффект может быть реализован на практике, так как ИЭ не подвержен действию технологической нагрузки. Многократный комбинационный резонанс самовозбуждается в области неустойчивости положения равновесия системы при любых начальных условиях кроме нулевых, что обеспечивает практически абсолютную устойчивость резонансного режима колебаний.

Резонансным кривым 1, 2, 3 соответствуют два периодических решения, сдвинутые друг относительно друга по фазе на п, так как уравнение (8) удовлетворяется не только при 0, но и при 0 + п. Отсюда следует, что резонансные колебания возбуждаются либо в одной, либо в другой (противоположной) фазе, причем нельзя предсказать, какую именно фазу изберет система.

Вследствие колебаний осцилляторов качения и установления между ними фазировки (5) центр масс системы тел качения ИЭ в первом приближении описывает окружность в системе координат Ах'у'^ согласно закону:

2

хс — — рсА0| 1 -1 ц2 соб(га2і + л/2),

8

1

2

1

8

уС — —рсА011 — а0 біп(га2і + л/2), 2С — 0.

Угловая скорость его вращения по этой окружности равна частоте ю2 колебаний рабочего органа. Таким образом, автоматически образуется неуравновешенность ИЭ (невидимый дебаланс). Поскольку ю2 = Х2, то неуравновешенная центробежная сила инерции будет возбуждать резонансные колебания рабочего органа, а рабочий орган вызывает резонансные колебания осцилляторов качения. В результате реализуется синергетический эффект в масштабе всей системы.

Эволюция системы характеризуется «забыванием» начальных условий, «запоминанием» фаз (5) осцилляторов качения и формированием пространственной структуры (12). При этом возникает временная структура — гармонические колебания осцилляторов системы (машины) с некратными частотами ю^ ю2 вдали от равновесия. Указанные структуры возникают без вмешательства извне вследствие неустойчивости положения равновесия.

Предложенное вибрационное устройство [7] обладает способностью к самоорганизации, в основе которой лежат три основополагающих принципа - принцип резонанса и два принципа обратных связей: положительная обратная

связь, приводящая к росту колебаний; отрицательная обратная связь, ограничивающая рост. Источником энергии, затрачиваемой на колебания, являются приводной двигатель и ротор ИЭ. Анализ показывает, что с помощью легких маятников (е << 1) удается раскачать массивный рабочий орган машины, многократно снизить энергопотребление и существенно повысить стабильность резонансного режима колебаний при высокой добротности системы. Рабочий орган своими малыми «затравочными» колебаниями синхронизирует и когерентно раскачивает маятники ИЭ, которые в последующем движении своим коллективным резонансным воздействием на рабочий орган увеличивают размах его колебаний (рабочий орган раскачивает

сам себя). При этом обеспечивается самоуправляемое и самоподдерживаемое собственное движение машины за счет слабых, но «умных» резонансных воздействий. Таким образом, в процессе самоорганизации машина приобретает элементы технического интеллекта.

Список литературы

1. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. М.: КомКнига, 2005. 248 с.

2. Пригожин И., Николис Г. Познание сложного. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 352 с.

3. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир,1978. 336 с.

4. Антипов В.И. Использование комбинационного параметрического резонанса для усовершенствования вибрационных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. № 4. С. 16-21.

5. Antipov V.I. Dynamic of vibration machines with combinational parametric excitation // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2001. № 2. Р. 13-17.

6. Антипов В.И., Асташев В.К. О принципах создания энергосберегающих вибрационных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. № 4. С. 3-8.

7. Пат. 2410167 РФ МКИ В 06 В 1/16. Способ возбуждения резонансных механических колебаний и устройство для его осуществления (варианты) / Антипов В.И., Антипова Р.И., Наумов В.И., Палашо-ва И.В.(РФ) опубл. 27.01.2011, бюл. № 3.

8. Антипов В.И., Палашова И.В. Динамика резонансной транспортно-технологической машины // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. Вып. 3(1). С. 141-147.

9. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.

10. Антипов В.И., Руин А.А. Динамика резонансной низкочастотной параметрически возбуждаемой вибрационной машины // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2007. № 5. С. 7-13.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

SELF-ORGANIZATION IN RESONANCE SYSTEMS WITH PARAMETRIC EXCITATION

V.I. Antipov

A synergetic approach is developed to solving dynamics problems of vibration machines. A machine is represented as an ensemble of nonlinear interacting oscillators. We show the possibility of self-organization of machine resonant oscillations at multiple combinational parametric resonance.

Keywords: vibration machine, nonlinearity, bifurcation, parametric resonance, self-organization, structure, synergistic effect.