Энергетические соотношения в вибрационной машине на многократном комбинационном параметрическом резонансе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского уни верситета им. Н.И. Лобачевс кого, 201 3, № 5 (1), с. 188-194

УДК 534.1

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ВИБРАЦИОННОЙ МАШИНЕ НА МНОГОКРАТНОМ КОМБИНАЦИОННОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ

© 2013 г. В.И. Антипов, Н.Н. Денцов, А.В. Кошелев

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

[email protected]

Поступила в редакцию 21.05.2013

Исследуется энергетическая эффективность резонансной вибрационной машины с параметрическим возбуждением общего вида. Доказывается применимость энергетических соотношений Мэнли-Роу для расчета мощностей, рассеиваемых в колебательной системе машины, в условиях многократного комбинационного резонанса. Определяется КПД вибрационной машины.

Ключевые слова: вибрационная машина, осциллятор, параметрический резонанс, синергетический эффект.

В настоящее время большинство вибрационных машин и устройств работают в режиме вынужденных колебаний с зарезонансной настройкой. Для того чтобы избежать чрезмерной раскачки машины при её переходе через резонансную область, нужно иметь двигатель, мощность которого в 5-6 раз превышает мощность, необходимую для поддержания установившегося зарезонансного режима колебаний [1]. Повышение установочной мощности приводит к повышению как полной мощности, потребляемой из сети, так и энергоемкости машины в целом.

Резонансные режимы работы вибрационных машин, являющиеся энергетически наиболее эффективными, практически нереализуемы из-за их низкой стабильности при обычном резонансе вынужденных колебаний [2]. Поэтому поиск альтернативных способов возбуждения и стабилизации режимов работы резонансных вибрационных машин является весьма актуальным.

Основным препятствием на пути широкого использования принципа резонанса в вибрационных машинах является отсутствие компактных, простых и надежных вибровозбудителей. Эту задачу могут решить новые типы вибровозбудителей параметрических колебаний, в которых реализуются многократные комбинационные резонансы [3-8].

В отличие от инерционного (дебалансного) вибровозбудителя с вращательным движением инерционного элемента (ИЭ), параметрический вибровозбудитель - это резонансный инерционный вибровозбудитель с колебательным движением ИЭ.

Полное использование динамических свойств резонансных систем с применением параметрических вибровозбудителей требует

нового подхода к конструированию вибрационных машин на основе синергетических принципов процессов самосинхронизации и самоорганизации, происходящих в неравновесных условиях [9]. При синергетическом подходе структурная схема машины представляется системой равноправных взаимодействующих нелинейных осцилляторов (маятников). Одна часть осцилляторов выполняет функции ИЭ вибровозбудителя, а другая - рабочего органа. Первую подсистему, состоящую из N идентичных осцилляторов с парциальными собственными частотами X , будем называть управляющей подсистемой. Вторая подсистема - это осциллятор с парциальной собственной частотой Х2 , образованный рабочим органом.

Собственные формы осцилляторов ИЭ составляют с собственной формой рабочего органа попарные комбинации с частотами X и Х2. Поскольку осцилляторы управляющей подсистемы имеют одинаковые собственные частоты, то при настройке ю=^1+Х2 и подходящем параметрическом возбуждении на частоте ю в рассматриваемой системе может быть реализован многократный комбинационный резонанс с возникновением коллективного резонансного взаимодействия осцилляторов и проявлением синергетического эффекта. Этот эффект (взаимное стимулирование колебаний осцилляторов) достигается самой системой без вмешательства извне за счет неустойчивости положения равновесия. При указанной настройке положение равновесия сохраняется, но оно неустойчиво. Здесь неустойчивость выступает в роли некоторого нового элемента, нужного для превращения возмущений «шума» в упорядоченный коллективный резонансный режим колебаний вдали от равновесия.

Рис. 1. Динамическая модель вибрационного устройства

Рассмотрим энергетическую эффективность вибрационной машины в условиях многократного комбинационного параметрического резонанса на примере механической и математической моделей, заимствованных из статьи [9]. Здесь мы кратко изложим основные положения этой работы. Механическая модель вибрационного устройства показана на рис. 1.

Механизм ИЭ вибровозбудителя выполнен по патенту № 2410167 РФ в виде роторномаятниковой системы [7]. Ротор 1 этой системы состоит из набора отдельных одинаковых уравновешенных дисков 2 (рис. 1б). В каждом диске имеется пара незамкнутых беговых дорожек 3 кругового профиля, которые расположены симметрично относительно двух взаимно-перпендикулярных его диаметров, а их центры смещены от оси вращения ротора в диаметрально противоположных направлениях на одинаковые расстояния AB = I. На беговых дорожках размещены одинаковые уравновешенные тела качения (маятники) 4 массой т каждый с возможностью обкатки. Диски соединяются между собой в единую конструкцию так, что беговые дорожки одной пары повернуты вокруг оси ротора на угол у0 =п/s относительно другой, где s - число дисков ^ - четное число). Ротор ИЭ содержит N=2s тел качения (маятников), расположенных попарно в параллельных плоскостях (рис. 1в).

Ротор ИЭ массой т0 в собранном виде жестко закрепляется на приводном валу, который посредством подшипников устанавливается на рабочем органе 5 массой М0. Рабочий орган связан с основанием 6 упругими элементами 7. Демпфер 8 моделирует технологическую нагрузку.

Система координат Ах'у 'г' с началом в центре масс ротора ИЭ движется поступательно относительно неподвижной системы Охуг . При этом плоскость Ах 'у' расположена в плоскости вращения ротора. В положении статического равновесия оси этих координатных систем совпадают. Приводной вал получает вращение от электродвигателя, вынесенного из колебательной системы машины. При этом на движение тел качения накладываются нестационарные (реономные) связи за счет равномерного вращения ротора ИЭ с угловой скоростью ю , что предполагает наличие идеального источника энергии. Это предположение на самом деле не столь существенно, поскольку ротор ИЭ с развитым моментом инерции выполняет роль маховика и аккумулятора кинетической энергии. При равномерном вращении ротора ИЭ тела качения образуют в поле центробежных сил инерции подсистему N осцилляторов качения (маятников) с осями обкатки в центрах кривизны беговых дорожек.

Положение беговых дорожек определяется углами ук = ю t + 2%к / N, а положение маятников

- углами фк, к = 1,2,...,N. Предполагается, что выполнены условия качения бегунков без скольжения и отрыва, полученные в работе [10].

Примем параметры х, фк, где х - перемещение рабочего органа, за обобщенные координаты системы.

Характеристики восстанавливающих сил и сил сопротивления задаются в виде

Р'х = Схх + V3 , К = К (^ Х) = (Ъх + Ь1хХ2)х,

Яфк = (а + а1ф2) фк, к = 1,2,..., N, где сх - суммарная жесткость упругих элементов, с?1х - коэффициент нелинейности упругой восстанавливающей силы, Ъх, а - коэффициенты линейного демпфирования, Ъ1х, а1 - коэффициенты нелинейного демпфирования.

Если ввести безразмерную координату ~ = х / і и безразмерное время т = X2ґ, где

X2 =уІсх /М - собственная частота рабочего

органа линейной части системы, то математическая модель вибромашины описывается следующими дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами:

фк + 2(~0 + К Ф2)фк +У2<в2ипфк =

= у 2 ~ ип(\~ к +фк)

(к = 1, 2,..., ЛО,

~ + 2(~ + к~2)х + (1+ Р2 ~2)х =

N

= 2є(М2)-1 ^[срк 8Ш(ук +фк) + (1)

к = 1

+(ю + ф к )2с°8( V к +фк)], где ~0 = п0/ X2, ~ = и / X2 - безразмерные коэффициенты линейного демпфирования,

к0 = к0 / X2, к = к / X2 - безразмерные коэффициент^! нелинейного демпфирования, Р2 = у 12 - коэффициент нелинейности упругих восстанавливающих сил, е = у2№трс /(2М) - коэффициент, пропорциональный отношению общей массы т осцилляторов качения к массе всей системы, ю = ю / X 2 - безразмерная частота параметрического возбуждения, V2 = трс1 / JB, рс = ВСк (см. рис. 1б), ~к = ю т + 2л к / N, у = с1 х / сх . Здесь

М = = М0 + т0 + Nm - общая масса системы,

JB - момент инерции тела качения относительно оси обкатки, и0 = а / 23В, и = Ъх / 2М, к0 =

= а1 /(2JB), А = Z>1x /(2M). Точка обозначает дифференцирование по т.

Уравнения (1) допускают тривиальное решение фк = 0 (к = 1,2,...,N), x = 0, так как

N N

^ cos yk = ^ sin ук = 0. Эти уравнения опи-

к=1 к=1

сывают поведение N+1 равноправного нелинейного осциллятора и системы связи между ними. Тем самым мы определяем параметрически возбуждаемую систему, инертные свойства которой периодически изменяются во времени с периодом 2 л / ю .

Для решения полученной системы используется метод усреднения [11]. При этом принимается допущение о малости диссипативных и нелинейных сил, что позволяет ввести малый параметр ц<<1 [10].

Исследуется комбинационный параметрический резонанс, когда колебания возбуждаются на частотах и ю2, связанных с частотой параметрического возбуждения соотношением

СО = Qj + ю2, (2)

где « X1 = vra , га2 « X2 = 1 — некратные часто-

ты генерации.

В данном случае имеет место многократный резонанс, когда резонансному соотношению удовлетворяют несколько парциальных собственных частот.

Решение отыскивается в форме

фк = Ak ^(ю1т + 0к), x = Acos(ra2T + 0),

0k = 2лк/N, Ак=А0, к = 1,2,...Д (3)

Амплитуды A0, A и фазы 0, 0к считаются медленно меняющимися функциями.

Выполняя процедуру метода усреднения, приходим к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных стационарных амплитуд A0, A, фазы 0 и частот генерации ю1, ю2:

1 v2ra2A(1 -1 A02)cos 0 = 2~0и0ю1 A0,

2

8

где

1 З ~

- v 2ra 2 A(1 — Ao2)sin 0 = -2 A1pra 1

2 8

1цNra 2Ao(1 -1 Ao2) sin 0 = -2A2pAc2, (4)

28

~ ~ З

A1r = ®1 - vS + — P1Q1A02 , P1 = 1/6

8

A2p — ®2 — 1—P2®2 A 8

в

Рис. 2. Резонансные кривые и частоты генерации

ц0 = трс /(М1) = 2е/(^2), и0 =1 + -4Н*АI,

и = 1 +1 h*А2, к* = к0 /п0, к* = /г/и.

Для определения пяти неизвестных величин: двух амплитуд А0, А, двух частот га15 га2 и фазы 0 - следует к четырём уравнениям (4) добавить равенство (2). Анализ этих уравнений приводит к соотношению

А2/А02 = N^.0r^0u0(c1/V 2пи ю2. (5)

Исключив из уравнений (4) фазовый угол 0 и приняв в качестве расстройки величину Д = со - (1 + vco), т.е. расстройку частоты параметрического возбуждения относительно суммы собственных частот, а также учитывая соотношение (5) и равенство (2), которое теперь принимает вид га= (1 + Д)/(1 — V), можно численными методами определить зависимости

А0(Д), А(Д) и га1 (д).

Стационарные колебания существуют при выполнении порогового условия [5]

е> 8и0 и V /(1 — V). (6)

Результаты численного моделирования уравнений методом итераций типа Зейделя представлены на рис. 2 в виде зависимостей амплитуд А0, А и частот генерации с1, ю2 от расстройки Д. На рис. 2а кривая 1 соответствует комбинационному резонансу, когда е = 0.02,

v=0.25, и0 = и = 0.02, к0 = 0.05, к = 0.06, Р1 = 1/6, Р2 = 0.17. Резонансная кривая 2 соответствует

случаю, когда Р2 = 0, к0 = к = 0.03 при неизменных значениях остальных параметров. Резонансная кривая 3 построена для величин

~0 = 0.02, ~ = 0.14, к0 = 0.02, к = 0.04, Р2 = 0 и тех же значений других параметров, что и кривая 1. Отметим свойства параметрических колебаний на примере амплитудной кривой 1. Внутри интервала Д1 < Д < Д2, где Д1, Д2 - граничные

точки области неустойчивости системы (1), состояние равновесия неустойчиво [4]. Г раничные точки Д1 =-0.181, Д2 = 0.177 определяются из уравнений (4) и (5) при А0 = А = 0 . Можно показать, что верхняя ветвь резонансной кривой 1 (с большими значениями амплитуды), изображенная сплошной линией, является асимптотически устойчивой, а нижняя (штриховая) - неустойчивой. В точках резонансной кривой, отмеченных тонкой линией, процесс итераций расходится. На рис. 2б показаны амплитудные кривые А0, а на рис. 2в приведены зависимости ю1, ю2от Д в полосе параметрической генерации, соответствующие амплитудным кривым 1 и 3.

Из рис. 2 следует, что резонансные кривые не имеют характерного максимума, присущего колебательным системам при резонансе вынужденных колебаний. Обнаруживается эффект

расширения резонансной зоны при семикратном увеличении линейного демпфирования рабочего органа относительно уровня демпфирования осцилляторов ИЭ. Многократный комбинационный резонанс самовозбуждается в области неустойчивости положения равновесия системы при любых начальных условиях, кроме нулевых, что обеспечивает практически абсолютную устойчивость резонансного режима колебаний.

Первые N уравнений системы (1) описывают колебания тел качения ИЭ как физических маятников с осями подвеса в центрах кривизны беговых дорожек в равномерно вращающейся системе координат А^пС Правые части этих уравнений представляют собой так называемые вибрационные моменты МВ) = V2х sin(ук +фк), к=1,2..., N, в безразмерном виде. В размерных величинах вибрационные моменты выражаются формулой

МВк) = тхрс 8т(ук +Фк), к=1,2...Д которые суть моменты переносных сил инерции

— т х относительно осей подвеса маятников ИЭ (точка В). Эти моменты возникают из-за колебаний оси вращения ротора ИЭ.

Возникает вопрос о том, откуда берется энергия для возбуждения и поддержания колебаний. Для того чтобы объяснить механизм преобразования энергии вращения ИЭ в энергию колебаний, найдем мгновенную безразмерную мощность к-го вибрационного момента

Р(к)(т) = М(вк) (ю + ф к), к=1,2...Д

Заметим, что в штриховой системе координат Ах'у'г' маятники ИЭ совершают плоское движение с угловой скоростью юа = ю + ф к.

Суммарная мгновенная мощность, развиваемая вибрационными моментами,

N N

Р(т) = ^МВк) ю + £мВк)Фк. (7)

к=1 к=1

В выражение (7) входят две мощности:

N

Рн(т) = ^ МВк} ю — мощность, поступающая в

к=1

систему от источника накачки на частоте ю;

N

Р1(т) = ^ М В) ф к — мощность, потребляемая

к=1

маятниками ИЭ (управляющей подсистемой) на частоте ю1. Таким образом, мгновенная мощность Р (т) равна алгебраической сумме мощности накачки Рн (т) и мощности Р1 (т), рассеиваемой маятниками ИЭ.

Найдем мощность P^, поступающую в систему от источника накачки. Источником энергии, затрачиваемой на колебания системы, являются приводной двигатель и ротор ИЭ.

Мгновенную безразмерную мощность на-

качки запишем в виде

N

^°н(х) = v2ОSX sin(yk +Фk). (8)

k=1

Раскрывая синус суммы, заменяя тригонометрические суммы углов Фk двумя членами их разложения в ряд, после некоторых преобразований получим

1 NAoS v 2 s2 ^ - 8 Ao2 ^x

2 10 Г 1 2 ^

х cos0cos ю2х+—fflfflj Nц0 ю2 A011 — A0 їх

2 V 8 ) (9)

х sin 0 sin ю2 х cos ю2 х.

При получении выражения (9) учтены соотношения (2), (З), (б) и свойства сумм вида

NN

X cos r (ю*х + 2rck / N), X sin r (ю*х + 2nk / N), k=1 k=1

где r - целые числа (г=1,2,З...), ю =const, N=8,

у0 = л /4. Эти суммы для всякого т равны нулю при любом r, не кратном числу маятников N. При r, кратном N, то есть r = sN (я=1,2,З...),

N

X cos sN(ю *х + 2лk / N) = N cos (sNra *х),

k=1

N

X sin sN (ю*х + 2лk / N) = N sin(sNra*х).

k=1

Используя первое и четвертое уравнения системы (4), выражение (9) можно преобразовать к виду

P^) = -№0 u0 ю1ю A02 -- Nn, u0ra 1S A02 cos 2ю 2х -- Mra2S A2 A2p sin2ra2 х.

Средняя мощность накачки в безразмерном виде

^ =< -°н (х) >= -A02 ,

где знак < > означает усреднение за период

х* = 2л/ю2. В размерных величинах средняя мощность накачки

PII = - NJ^u^^A^. (10)

Теперь найдем мгновенную безразмерную мощность P1 (х):

N

і°(х) = v 2 xX<P ksin(y k +Фk). (11)

k=1

Преобразуя выражение (11) так же, как в предыдущем случае, и ограничиваясь величинами четвертого порядка относительно обобщенных координат и их производных, получим

~0и0 А0

Р(т) = N raj2 n0u0 A02 +

- - ю Ф*cos У к + Ф к Ф к cos У к -

- 2ю Фкфк sin ук + ф2к cos ук -

1 2 •• 1 ~2 3 ~

-^ФксРкsinУк + ^ю ФкsinУк-

-юсрк cos ук -ФкФ2к sin ук ], здесь ц0 = mpc /(Ml), s = v2N|a0 /2. Подставив Фк = A0 cos (ю1т + 2лк / N),

Ф к =- A0юJsin(юJт + 2лк / N),

Ф к = - A0 ra12cos(ra1T + 2лк / N)

в правую часть уравнения (14) и выполнив те же преобразования, что и выше, получим

5° + 2(и0 + h~2)х + (1 + Р2х2) ~ =

1

2

1

= —Ц0Мв2 A011 — A0 I sin ю2т.

8

(15)

+ N n0u0 A02 cos ю2 т +

+ (Ml2 / JB) ю1ю2Д2p sin2ra2т, откуда находим среднюю безразмерную мощность на частоте ю1

Р1 =< Р1 (т) >= Nn0u0a 2 A02.

В размерных величинах средняя мощность, поглощаемая маятниками управляющей подсистемы на частоте ю1, принимает вид

P = NJBn0u0®2 A02. (12)

Сопоставляя выражения (10) и (12), приходим к следующему соотношению между мощностями P и Рн:

р/ ^ + Рн/ ю = 0. (13)

При этом мощность P1, рассеиваемая управляющей подсистемой, считается положительной, мощность Рн, поступающая от источника накачки

- отрицательной. Из равенства (13) следует, что P = (-Рню1)/га. Поскольку ю1 «vra, то при настройке v=0.25 получим Р1 « -0.25Рн . Это приближенное равенство означает, что только часть мощности накачки поступает в управляющую подсистему.

Для определения безразмерной мгновенной мощности Р2(т), рассеиваемой рабочим органом на частоте ю2 , рассмотрим последнее уравнение системы (1), в котором удержим величины до третьего порядка относительно координат и их производных:

х + 2 (~0 + hх2)х + (1 + Р2х2) х =

N

= Ц ^[ (р к -ю2 Фк )sin ук + 2ю Фк cos ук -

к=1

Уравнение (15) представляет собой обычное уравнение вынужденных колебаний. Правая часть этого уравнения играет роль вынуждающей силы с резонансной настройкой (ю1 «1), причем резонансная настройка удовлетворяется автоматически в силу устройства самой системы.

В стационарном состоянии мгновенная мощность, передаваемая рабочему органу, равна произведению мгновенной вынуждающей силы на мгновенную скорость рабочего органа:

1

1

Р,(т) = Ara,— ц0Nra, A011 — A0 i~

2W 2 2^° 2 0 ^ 8 0 J (16)

x sin ю2 т sin(ra2 т + 0).

Преобразуя выражение (16) с учетом равенств (4), получаем

Р2(т) = nuю2A2 - nuю2A2 cos2ю2т--ю2 A2 Д 2р sin2 ю2 т.

(17)

После усреднения по периоду т* = 2л / ю2 выражение (17) принимает вид

Р2 =< Р2(т) >= иию2 А2.

В размерных величинах средняя мощность, потребляемая рабочим органом на частоте ю2, принимает вид

Р2 = Мпи ю2 А2. (18)

Используя соотношение (5), равенство (18) можно представить в следующем виде:

Р2 = А02. (19)

Сопоставляя равенства (10) и (19), получаем

Р2 /ю2 = -Рн /ю .

(14)

(20)

Сравнение р авенств (10) и (20) приводит к соотношениям

Р/ю1 + Рн/ю = 0, Р2/ ю2 + Рн/ю = 0, (21)

причем ю = ю1 +ю2. Как уже отмечалось выше, мощности, потребляемые маятниками ИЭ и рабочим органом, считаются положительными, а мощность, поступающая от источника накачки -отрицательной.

Соотношения (21) показывают, что мощность от источника накачки распределяется между колебаниями подсистем с частотами ю1 и ю2 поровну. Нельзя запасти мощность в одной

подсистеме.

Отметим, что равенства (21) выражают содержание теоремы Мэнли-Роу [12] (закон сохранения энергии для колебательных систем

вместе с источником накачки). Рассмотрение этой теоремы проведено для модели с нелинейной емкостью. В подобных параметрических системах изменение нелинейного параметра происходит в результате воздействия колебаний накачки (вынуждающей периодической силы).

В нашем случае имеет место принудительное параметрическое возбуждение общего вида. В дифференциальных уравнениях движения имеются как линейные, так и нелинейные выражения с периодическими коэффициентами.

Таким образом, мы доказали справедливость энергетических соотношений Мэнли-Роу в параметрически возбуждаемой вибрационной машине на многократном комбинационном параметрическом резонансе.

Используя соотношения Мэнли-Роу, найдем КПД рассматриваемой вибрационной машины. Мощность, рассеиваемая в колебательной системе машины: Р\2= Р\+ Р2, причем Р2 - мощность, расходуемая на выполнение рабочего процесса (полезная мощность). Отсюда КПД машины

^ = Р2 /(Р + Р2) = ю2 /(ю1 +ю2) = ю2 /ю.

При настройке v=0.25, которую согласно (6) можно считать оптимальной, ю2 =ю(1 — V). После подстановки ю2 в выражение для п получаем п=0 75. Для сравнения отметим, что максимальная эффективность резонансной машины в режиме вынужденных колебаний достигается при п=0.5 [13].

Анализ показывает, что с помощью легких маятников (е<<1) удается раскачать массивный рабочий орган машины, существенно снизить энергопотребление, повысить стабильность резонансного режима колебаний при высокой добротности колебательной системы. При этом реализуется самоуправляемое и самоподдержи-ваемое собственное движение машины за счет слабых, но «умных» воздействий.

Таким образом, применение резонансных параметрических вибровозбудителей обеспечивает высокие количественные и качественные

показатели, которыми не обладают машины, построенные на иных принципах.

Список литературы

1. Гончаревич И.Ф. Вибрация - нестандартный путь. Вибрация в природе и технике. М.: Наука, 1986. 290 с.

2. Вибрация в технике. Справочник в 6 тт. Т. 4. Вибрационные процессы и машины / Под ред. Э.Э. Лавендела. М., 1981. 509 с.

3. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978. 336 с.

4. Антипов В.И. Использование комбинационного параметрического резонанса для усовершенствования вибрационных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. № 4. С. 16-21.

5. Antipov V.I. Dynamic of vibration machines with

combinational parametric excitation // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2001. № 2. Р.

13-17.

6. Антипов В.И., Асташев В.К. О принципах создания энергосберегающих вибрационных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. № 4. С. 3-8.

7. Пат. 2410167 РФ МКИ В 06 В 1/16. Способ возбуждения резонансных механических колебаний и устройство для его осуществления (варианты) / Антипов В.И., Антипова Р.И., Наумов В.И., Палашо-ва И.В. (РФ) опубл. 27.01.2011, Бюл. № 3.

8. Антипов В.И., Палашова И.В. Динамика резонансной транспортно-технологической машины // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 3(1). С. 141-147.

9. Антипов В.И. Самоорганизация в резонансных системах с параметрическим возбуждением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 4(1). С. 177-182.

10. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

12. Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. М.: ИЛ. 1963. Гл. 4-9.

13. Асташев В.К., Бабицкий В.И. и др. Динамика машин и управление машинами: Справочник / Под ред. Г.В. Крейнина. М.: Машиностроение, 1988. 239 с.

ENERGY RELATIONS IN A VIBRATION MACHINE AT A MULTIPLE COMBINATION PARAMETRIC RESONANCE

V.I. Antipov, N.N. Dentsov, A. V. Koshelev

Power efficiency of a resonant vibration machine with parametrical excitation of a general form is investigated. The applicability of the Manley-Rowe energy relations is proved in calculating the power dissipated in the machine vibration system under conditions of a multiple combination resonance. The efficiency of the vibration machine is determined.

Keywords: vibration machine, oscillator, parametric resonance, synergic effect.