Динамика резонансной транспортно-технологической машины Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 20 10, 3(1), с . 141-147

УДК 534.1

ДИНАМИКА РЕЗОНАНСНОЙ ТРАНСПОРТНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ МАШИНЫ

© 2010 г. В.И. Антипов, И.В. Палашоеа

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Antipov-15@yandex.ru

Поступила в редакцию 08.02.2010

Исследуется динамика резонансной вибротранспортирующей машины с параметрическим возбуждением. Получены дифференциальные уравнения движения машины, приближенное решение которых отыскивается с помощью вариационного метода Бубнова-Г алеркина. Приводятся зависимости амплитуд и частот генерации от частоты параметрического возбуждения. Работа машины характеризуется высокой стабильностью резонансного режима колебаний, что открывает возможности создания новых энергосберегающих машин и технологий.

Ключевые слова: динамика, осциллятор, ротор, резонанс, частота, параметрическое возбуждение, энергосберегающие технологии, активная и реактивная массы.

К числу достижений вибротехники, во многом опирающихся на фундаментальные отечественные исследования в области нелинейной теории колебаний, следует отнести вибрационные транспортно-технологические машины (ВТТМ), выполняющие операции транспортирования и, если необходимо, одновременной обработки сыпучих грузов (классификация, дозирование, смешивание, сушка, уплотнение и т.д.).

Достоинствами этих машин являются простота конструкции, возможность герметичного транспортирования и обработки горячих, токсичных, взрывоопасных и радиоактивных материалов, что способствует улучшению условий труда и обеспечивает автоматизацию трудоёмких производственных процессов.

В настоящее время в подавляющем большинстве ВТТМ работают в режиме вынужденных колебаний с далеко зарезонансной настройкой. Это связано с тем, что в частотных диапазонах, далеких от резонансной зоны, режим колебаний машины слабо чувствителен к изменению технологической нагрузки и практически не зависит от нелинейности её колебательной системы. Но за это приходится платить нерациональным использованием энергии, так как в системе циркулирует большая реактивная мощность, необходимая для преодоления инерционных сил в зарезонансных и упругих сил в дорезонансных машинах.

Один из наиболее эффективных способов повышения производительности, снижения энергозатрат основан на явлении резонанса. В резонансных машинах упругие и инерционные силы взаимно уравновешиваются, а мощ-

ность привода расходуется только на преодоление диссипативных сил. Однако из-за недостатков резонансных схем современных ВТТМ -низкой стабильности, сложности настройки -они не получили широкого распространения в промышленности.

Существенное улучшение динамических характеристик резонансных машин может быть достигнуто на основе использования колебательных систем со многими степенями свободы и возбуждения сложных резонансов, которые реализуются только в связанных системах. Таким резонансом является комбинационный параметрический резонанс, обусловленный парным взаимодействием собственных форм колебаний [1].

Разумные усложнения динамической модели ВТТМ за счет увеличения числа степеней свободы, учета нелинейности позволяют раскрыть дополнительные возможности в разработке новых энергосберегающих машин и технологий.

В настоящей статье исследуется динамика двухмассной ВТТМ, принцип действия которой основан на возбуждении многократного комбинационного параметрического резонанса. Задача динамики решается в предположении, что отношение массы технологической нагрузки к массе рабочего органа менее значения 0.2-0.3. В этом случае влияние технологической нагрузки можно учесть путем введения так называемой присоединительной массы. Конструирование ВТТМ по двухмассной структурной схеме открывает большие возможности в отношении виброизоляции и динамического уравновешивания колеблющихся масс.

Колебательная система машины состоит из двух масс «1 и т2 , одна из которых активная (рабочий орган) - 1, а другая реактивная - 2. Массы соединены между собой основной упругой системой 3 жесткостью с (рис. 1а). К основанию 4 массы «1 и «2 подвешиваются с помощью вспомогательных мягких упругих связей (амортизаторов) 5 жесткостью с и С2 соответственно. На реактивной массе крепится параметрический вибровозбудитель по патенту № 2072660 [2] в виде электродвигателя 6, у которого на консольных концах вала 7 закреплены инерционные элементы (ИЭ) 8. В состав реактивной массы входит и сам вибровозбудитель.

Механизм ИЭ (рис. 1б) параметрического вибровозбудителя выполнен в виде уравновешенного ротора 9, снабженного с двух сторон парой незамкнутых беговых дорожек 10, которые расположены в параллельных плоскостях симметрично относительно двух взаимно перпендикулярных его диаметров, а их центры кривизны смещены на одинаковые расстояния (АВ = /) от оси вращения ротора в сторону беговой дорожки, при этом беговые дорожки одной пары повернуты на угол тс/ 2 относительно другой. На беговых дорожках размещены тела качения 11 массой т каждое с возможностью обкатки. Роторы двух идентичных ИЭ закрепляются на консольных концах вала электродвигателя с одинаковой ориентацией осей обкатки.

Введем подвижные координатные оси Ах'у'2 , имеющие начало в центре масс роторов ИЭ, причем ось г' является осью вращения приводного вала, и перемещающиеся поступательно относительно неподвижных осей Оху2 . В положении статического равновесия оси этих координатных систем совпадают. Выберем вер-

тикальную плоскость Оху за основную плоскость, относительно которой роторы ИЭ совершают плоское движение.

Рассмотрим однонаправленные колебания активной и реактивной масс в направлении оси Ох . Необходимая форма траектории обеспечивается направленной жесткостью основной упругой системы, например малогистерезисной плоскорессорной системы [3]. Жесткость упругих элементов в пакете плоских рессор в одном направления значительно больше, чем в других. Положения центров кривизны беговых дорожек (осей обкатки) относительно плоскости Ах'у'

определяются углами ук = at + 2'кk|N, где N = 4 - число беговых дорожек (тел качения) одного ИЭ, к = 1, 2, к, N .

В качестве обобщенных координат примем перемещения Х1, Х2 масс «1 , «2 и углы Фк , к = 1, 2,..., N, определяющие положение тел качения. При этом предполагается, что выполнены условия качения тел без скольжения и отрыва, полученные в [4].

При равномерном вращении роторов ИЭ с угловой скоростью СО тела качения образуют в поле центробежных сил инерции подсистему 2 Л' одинаковых осцилляторов качения с осями обкатки в центрах кривизны беговых дорожек. Вторую подсистему образуют упруго связанные массы ПЦ И /772 с двумя степенями свободы.

Здесь следует заметить, что для осцилляторов качения учтены степени свободы только одного ИЭ. Уменьшение числа степеней свободы достигнуто за счет взаимной самосинхронизации двух ИЭ [2, 5]. В резонансном состоянии между ними устанавливается синфазный режим, при котором возникает суммарная возмущающая сила.

¿О

>

Рис. 1. Динамическая модель двухмассной вибрационной транспортно-технологической машины

Исходя из дифференциальных уравнений движения, полученных в [5, 6], математическую модель ВТТМ можно записать в виде

IbФк + аоФк + mpel® sinфк =

= mpci&2sin(Vk +Фк), k = 1,2,..., N, m1x1 + bXi x1 + b (x1 - x2 ) +

+ Cx1 xi + c(xi -x2)= 0

N

* ..

m2 x &

2X2 + bx2 x2 — Ъ (x1 - x2 ) +

= CmPc ^[Ф/fc k=1

Xta sin(vk +Фk)

+

(2)

+ (<b + % )2cos (у +Фk )Ц

(1)

+ cx2 x2 - c (x1 - x2 ) = сFx (Фk, фk, %, x2, где IB - момент инерции тел качения относительно оси обкатки, mpc - статический момент тел качения относительно центра кривизны беговых дорожек (ре = BC), а0 - коэффициент, характеризующий условное вязкое сопротивление осцилляторов качения, ЪХl, Ъх^ - обобщенные коэффициенты условных вязких сопротивлений вспомогательных упругих элементов, включая потери между средой и массами, Ъ -коэффициент сопротивления основной упругой системы, включая диссипативную составляю*

щую технологической нагрузки, m2 - реактивная масса без учета массы тел качения, с = 2 -число ИЭ, Fx - проекция на ось х силы, действующей на массу m2 от колеблющихся тел качения, cx1, cx2 - обобщенные коэффициенты жесткости вспомогательной упругой системы в направлении координат x1 и x2.

На основании известной теоремы о движении центра масс механической системы сила Fx может быть вычислена по формуле Fx = — Nmx е *, где xc * - абсцисса центра масс системы тел качения. Координаты центра масс с учетом соотноше-N N

ний X cos уk = X sin Vk = 0, N > 3, могут

k=1 k=1

быть записаны в виде

N

xc* = x2 + (Pc/N )X C0S (Vk +Фk X

k=1

N

yc* =(PclN )X sin(V k +Фk).

k=1

В результате третье уравнение системы (1) принимает вид:

m2 x2 — Ъ (¿1 — x2 ) + bx2 x2 + + cx2 x2 — c (x1 — x2 ) =

где «2 = «2 + cNm - суммарная масса реактивной части колебательной системы машины.

При установившихся резонансных колебаниях масс «1 и «2 форма этих колебаний близка к форме свободных колебаний. Из уравнений свободных колебаний, включающих в себя второе уравнение системы (1) и уравнение (2) при фк = 0, легко получить уравнение вида

m1x1 + m2 x2 + bxx1 +ЪХ^ x2 + + cx x1 + cx2 x2 = 0.

(3)

В реальных машинах соотношение между параметрами таково, что c >> cXj , cx^, cx =

= cx = 0, bx = bx . При cx = cx = 0 и bx =

X2 ~ Xj X2 * Xj X2 Xj

= bX2 = 0 из (3) следует соотношение mJXj + + m2 X2 = 0, которое приводит к интегрируемой комбинации вида mjXj + m2 X2 = 0. Откуда для периодических колебаний имеем Xj/ X2 =

= - m^ mj = —у.

Сделаем предположение о малости условных вязких сопротивлений вспомогательных упругих элементов. Без заметного ущерба для точности получаемых решений можно считать, что соотношение Xj/X2 = —у выполняется и при bXj , bX2 отличных от нуля.

При указанных предположениях двухмассную систему можно преобразовать в одномассную. Действительно, замена переменной Xj = —7X2 приводит первое уравнение системы (j) и уравнение (2) к замкнутой системе вида IbФk +а0фk + mPcl® sinфk =

= mPcX 2 sin (vk +фk), k = j, 2,..., N,

mnpX 2 +(b„p + b X + CX2 = (4)

N

= ompc (j + Y)—j sin (Vk +Фk )+

k=1

+ (® + фk )2 cos (Vk +Фk J

где mnp = mjm2 (mj + m2 ) j - приведенная масса системы, bnp = bx¡2 (i + y) j - приведенный

коэффициент условного вязкого сопротивления. Для стационарных гармонических колебаний имеют место соотношения Aj/A2 = m2¡mj =

= ¡1 /¡2 = Ьх2/• Здесь А]_, А2 - амплитуды колеблющихся масс, /1, ¡2 - координаты центра масс системы.

Коэффициенты условных вязких сопротивлений, несмотря на сложный характер фрикционных сил в конструкциях вибрационных машин, можно связать с коэффициентом поглощения у

простым соотношением 2пПр = {Ьпр + ь)тПр = = ую 0/(2п), где ю0 - угловая частота свободных колебаний (резонансная частота в линейной системе) [3].

Принимая за основу уравнения системы (4) и учитывая нелинейный характер восстанавливающих сил основной упругой системы и сил

сопротивления, зададим их в виде Q (х2 ) = с* х23, ^Х2, Х2 ) = ЬХ2 Х2 , Q(Фк, фк ) = а0ф2фк , где

*

с - коэффициент нелинейности основных уп-

* *

ругих связей, Ь , ао - коэффициенты нелинейного демпфирования.

В безразмерных переменных ~2 = I, т = А2^ уравнения для решения задачи динамики ВТТМ принимают вид

+ 2(~о + ~оФі )^ + у 2®2^п Фк = ат ат

d х,

= V

dx2

-sin (yk +ф^), k = 1,2,..., N,

d 2x2

~dT2

+ 2(n + hx2 )

= CT^Z

2 + x2 + R_ x3 =

2/ dT 222

d фk cos (у + фk)+

(5)

dT

+ I © +

dT

cos

(у k+фk)

Здесь V = (трсІ/Ів )12 - безразмерный параметр тел качения, ю = ю/А 2 , ~о = щ/А 2 ,

~о = ко/А2 , ~ = п/А2 , к = VА2 , в2 = (с*/с)12

- безразмерный коэффициент нелинейности основных упругих связей, ц = 2г|{Nv2 ). Здесь

А 2 =(с/тпр

У2

- парциальная собственная частота, соответствующая второй форме свободных колебаний системы, 8 = NmpC /(2т2і'в ) -коэффициент, пропорциональный отношению общей массы тел качения одного ИЭ к массе

реактивной части системы, ів = (ів /т2)

12

П =ао/(2/S), n = (bnp + Ь)/(2тпр) - коэффиШ-

енты линейного демпфирования, h =ао/ (2^в), h = b* j(lmnp ) - коэффициенты нелинейного

демпфирования.

Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами допускает тривиальное решение

= 0, k = 1, 2, к, N, x2 = 0 . Тем самым мы

определяем параметрически возбуждаемую систему, инертные свойства которой периодически изменяются во времени с периодом

2л/5.

В зависимости от степени учета нелинейных членов в разложениях тригонометрических функций sin фk, cos фk в ряды Тейлора мы получаем различные математические модели исследуемой вибрационной машины. Как показывает опыт исследования аналогичных математических моделей, основная роль в формирование наиболее существенных нелинейных эффектов принадлежит слагаемым, содержащим вторые и третьи степени координат и их производных. Аппроксимируя функции sin фk и cos фk двумя членами разложения их в ряд, будем удерживать в уравнениях (5) величины до третьего порядка относительно координат и их производных.

Рассмотрим условия возникновения основного комбинационного параметрического резонанса, когда колебания возбуждаются на частотах raj и ®2, связанных с частотой параметрического воздействия га соотношением

га = raj + га2, (6)

где raj = Aj = veo , га2 = 1 (в размерных величинах raj = vra, га2 = А2).

Поскольку ИЭ возбудителя колебаний построен из набора N осцилляторов качения с одинаковыми собственными частотами Aj, то

собственные формы этих осцилляторов составляют с собственной формой реактивной части системы попарные комбинации с частотами Aj и А2 . Тогда при настройке га = Aj + А,2 в системе возбуждается N-кратный комбинационный резонанс с возникновением коллективного взаимодействия осцилляторов.

По своему спектральному составу параметрические колебания близки к моногармониче-ским, что позволяет искать решение уравнений (5) в виде

ф^. = ak cos (rajT + 0k ), k = ^2,..., N,

x2 = a2 sin(ra2t + 0). (7)

k=i

2

Для отыскания решения используется вариационный метод Бубнова-Г алеркина. Этот метод основан на вариационном принципе Гамильтона - Остроградского, который будем записывать в форме, пригодной как для консервативных, так и неконсервативных сил

Т‘ +Т £[*-К -а ^.*т> 0, (8)

т' й * Ъ *г 1J 1 где qi - обобщенные координаты, Qi - обоб-

*

щенные силы, т - период (почти период) движения системы, сравниваемого с искомым.

Подставляя (7) в (8), приходим к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд ак, а2 , фаз 9^, 9 и частот генерации ю1, ^

2 2 а2 ( 1 2 1 (2п,

V Юо —— I 1 — а,, Icos I---------

2 ак I 8 к ) I N

V2®2 — (1 - 3а° 18іп|

N

-0, -0 1 = 4«0®1М0:

N

-6, -6 | = 2Лф;

^стцю2 ^ 1 --^а° IcosI ^--6,-0 1 = 4~

£=1'

N^2 (1 -1 а| 1 siní-^-0к-0 1 = 2Д2Р ,

N

8

N

где

Дт = - V со + (3/4)р^ со ак .

Д 2р =

(9)

= ®2 -1 - (3/4)Р2а2 - нелинейные расстройки частот, и0) = 1 + (1/4)й0а°, и = 1 + (1/4)к*а| .

Здесь Р1 = 1/6, ^0 = к0/~0 , к* = к/п .

Решение системы (9) находилось численно методом итераций в модификации Зейделя при ак = а0 , 0, = 2пk^N, , = 1, 2, к, N, с добавлением резонансного соотношения (6).

Результаты численного решения этой системы представлены на рис. 2 в виде зависимостей амплитуд а2 , а0 и частот генерации с 1, с 2 от частоты параметрического возбуждения ю .

Кривые 1 соответствуют многократному комбинационному резонансу при 8 = 0.0125,

о = 2, N = 4, «о = 0.02, ~ = 0.05, к0 = к = 0.02, Р1 = 1/6, Р2 = 0 . Амплитудные кривые 2, 3 получены при п = 0.1 и п = 0.15 соответственно и неизменных значениях остальных параметров.

Анализ резонансных кривых показывает, что при линейной малогистерезисной основной упругой системе (Р2 = 0) резонансные кривые 1 в окрестности частоты возбуждения оо = 1.333, соответствующей точной настройке на комбинационный резонанс Ю = 1 (1 - V), представляют собой плавные кривые. Они не имеют характерного максимума, присущего высокодоброт-

А- -г

'> / : Г ' V "

1 1.2 1.4 1.6 1.8

ІІ)

Ті)

с и

2

Рис. 2. Резонансные кривые и частоты генерации

ным колебательным системам при обычном резонансе вынужденных колебаний.

Таким образом, работа ВТТМ с линейной характеристикой основной упругой системы и кубической нелинейностью осцилляторов качения ИЭ характеризуется высокой стабильностью резонансного режима колебаний. При этом возбуждение интенсивных колебаний машины достигается при весьма малых значениях параметра 8. Это эквивалентно тому, что масса механизма ИЭ много меньше общей массы машины.

Для существования параметрических колебаний необходимо, чтобы выполнялось пороговое значение [7]

С8 > 8vn0~/(1 -V) . (10)

Шестикратное увеличение линейного демпфирования колебательной системы машины относительно уровня демпфирования осцилляторов ИЭ приводит к эффекту расширения резонансной зоны. Это эффект может быть реализован на практике, так как ИЭ машины не подвержен действию технологической нагрузки.

При шестикратном увеличении линейного и двукратном нелинейного демпфирования амплитуды колебаний а1 , а2 (рабочего органа и реактивной массы) уменьшаются в 1.8 раза, тогда как для линейной системы при резонансе вынужденных колебаний и соответствующем уровне демпфирования амплитуды колебаний уменьшатся в 6 раз. Проведенный анализ показывает, что работа машины с линейной упругой системой и кубической нелинейностью осцилляторов качения ИЭ характеризуется высокой стабильностью резонансного режима колебаний.

Амплитудно-частотная характеристика системы представляет собой бифуркационную диаграмму для исходных уравнений (2). Согласно рис. 2а тривиальное решение а 2 = 0 устойчиво при возрастании частоты параметрического возбуждения со (управляющего параметра) до

значения Ю = Ю(1), отвечающего левой граничной точке резонансной зоны (области неустойчивости). Эта точка является точкой бифуркации. При дальнейшем возрастании Ю от значения Ю(1) тривиальное решение теряет устойчивость и происходит мягкое возбуждение колебаний, которые исчезают при значении ~ ~ (2)

Ю = Ю , соответствующем правой граничной точке. Обратим внимание на полное совпадение результатов расчета резонансных зон, полученных по методу Бубнова-Галеркина и на основе численной реализации теории Флоке-Ляпунова, последний можно считать точным [1, 6].

Отметим свойства вибрационной машины, обусловленные колебаниями тел качения ИЭ вокруг осей обкатки. При настройке Ю = vS + 1 (в размерных величинах ю = ^ + X2 ) и выполнении порогового условия (10) возбуждаются резонансные колебания с некратными частотами Ю1 и Ю2 . При этом между осцилляторами ИЭ устанавливаются фазовые соотношения 0к = 2пк^, к = 1, 2, к, N .

Вследствие синхронизации фаз осцилляторов ИЭ центр масс тел качения в системе координат Ах 'у' в первом приближении движется по окружности

х'с* = 1 Рса0^ - 1 а0 ^соэ^2* + 2

уС * = 2 Рса0 ^- 1 ао ^ + 2

Угловая скорость его вращения по этой окружности равна ®2.

Таким образом, автоматически образуется неуравновешенность ИЭ. Поскольку ®2 = 1 (в размерных величинах ®2 =А2), то неуравновешенная центробежная сила инерции будет возбуждать резонансные колебания масс Ш1 и

т2, которые, в свою очередь, вызывают резонансные колебания осцилляторов ИЭ. Эволюция системы характеризуются «забыванием» начальных условий и «запоминанием» фаз осцилляторов ИЭ.

Параметрический резонанс - это самовозбу-ждающийся колебательный режим, возникающий при любых начальных условиях. Инвариантность закона колебаний к выбору начальных условий запуска машины обеспечивает практически абсолютную устойчивость резонансного режима колебаний в пределах резонансной зоны, что подтверждается испытаниями лабораторных параметрических вибрационных устройств [8].

В заключение отметим, что реактивную массу можно использовать в качестве второго рабочего органа ВТТМ.

Список литературы

1. Антипов В.И. Использование комбинационного параметрического резонанса для усовершенствования вибрационных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1998. № 4. С. 16-21.

2. Антипов В.И. Вибровозбудитель. Патент № 2072660 РФ МКИ В 06 В 1/16// Б.И. 1997. № 3.

3. Хингия М.В. Динамика и прочность вибрационных машин с электромагнитным возбуждением. М.: Машиностроение, 1980. 144 с.

4. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971. 894 с.

5. Антипов В.И., Асташев В.К. О принципах создания энергосберегающих вибрационных машин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2004. № 4. С. 3-8.

6. Антипов В.И., Палашова И.В. К расчету резонансных зон параметрически возбуждаемой вибрационной машины // Труды VIII Всероссийской на-учн. конф. «Нелинейные колебания механических

систем». Н. Новгород: ННГУ, 2008. Т. 2. С. 10-15.

7. Antipov V.I. Dynamic of vibration machines with combinational parametric excitation // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2001. № 2. P. 13-17.

8. Антипов В.И., Руин А.А. Стабилизация выхода низкочастотной параметрически возбуждаемой вибрационной машины на резонансный режим работы // Труды VIII Всероссийской научн. конф. «Нелинейные колебания механических систем». Н. Новгород: ННГУ, 2008. Т. 2. С. 16-21.

DYNAMICS OF A RESONANCE TRANSPORT-TECHNOLOGICAL MACHINE

V.I. Antipov, I. V. Palashova

The dynamics of a vibrating resonance conveyor with parametric excitation is investigated. The differential equations of the machine motion are derived, an approximate solution of which is sought by means of the variational method of Bubnov-Galerkin. Amplitude and generation frequency dependences on the parametric excitation frequency are given. The conveyer performance is characterized by high stability of the resonant vibration mode, which opens up new opportunities in the development of new energy-saving machines and technologies.

Keywords: dynamics, oscillator, rotor, resonance, frequency, parametric excitation, energy-saving technologies, active and reactive mass.