CC BY
24
_ © А.М. Бусыгин, 2015
УДК 622.233.5.051.78.0015
А.М. Бусыгин
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА ПРИВОДА КОВША КОЛЕСНОГО ФРОНТАЛЬНОГО ПОГРУЗЧИКА С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Кинематический анализ механизма является важной технической инженерной задачей при проектировании и конструировании любого механизма. Наиболее предпочтительным из всех существующих методов кинематического анализа (графического, графо-аналитического, аналитического) является аналитический метод. Так как, имея математические уравнения, связывающие основные кинематические и геометрические параметры механизма, можно составить программу, позволяющую автоматизировать процесс вычислений, причем степень точности вычислений может быть задана любая. Рассмотрен кинематический анализ аналитическим способом механизма привода ковша колесного фронтального погрузчика с двумя степенями свободы. Составлены уравнения, определяющие математические зависимости между геометрическими (ходом гидроцилиндров, углами поворота звеньев, линейными размерами звеньев) и кинематическими (линейными скоростями гидроцилиндров, угловыми скоростями и угловыми ускорениями звеньев) параметрами механизма привода ковша колесного фронтального погрузчика с двумя степенями свободы. Полученные математические зависимости могут быть использованы при проектировании механизмов данного типа. Полученные математические уравнения могут быть использованы для создания соответствующих программ, позволяющих значительно сократить время при анализе различных вариантов кинематических схем и проектировании механизмов данного типа, тем самым значительно облегчая работу инженеров проектировщиков, участвующих в создании данного механизма. Ключевые слова: кинематический анализ, аналитический метод, векторная модель механизма, метод замкнутого контура, фронтальный колесный погрузчик, угловая скорость, угловое ускорение.
Произведем аналитическим методом кинематический анализ механизма привода ковша колесного фронтального погрузчика с двумя степенями свободы аналитическим методом. Для этого создадим векторную модель механизма. На рис. 1 представлена такая векторная модель. Составим векторное уравнение в соответствии с рис. 1
16 + l4 = 1K (1)
Спроецируем векторное уравнение (1) на оси координат 16 ■ cos ф6 +14 ■ cos ф4 = 1K ■ cos ф)К = xK
16 ■ sin Фб + 14 ■ sin Ф4 = 1K ■ sin фк = Ук (2)
При заданных l l ф ф4 можно вычислить координаты точки K - xK, yK.
Или, задаваясь координатами xK, yK, l6, l4 и ф4 можно вычислить ф6. Продифференцируем систему уравнений (2) по времени.
Г-16 ■ sin Фб -<»6 - 14 ■sin Ф4 -®4 = Хк = VxK
[ 16 ■ COs Фб ■ »6 + 14 ■ COs Ф4 ■ »4 = yK = VyK (3)
Из четырех параметров ш6, ш4, vxK, vyK двумя параметрами задаются, а остальные два определяются из системы уравнений (3). Например, задавшись vxK, vyK, можно определить ю6 и ш4.
Из первого уравнения системы уравнений (3) выразим ю6
„ VxK + l4 -Sin Ф4 "Ю4
®в =--,-:-
l6 •sin Фб (4)
Подставив полученное выражение во второе уравнение системы уравнений (3), определим ш4.
VyK ■ Sin Фб + VxK ■ COS Фб
14 'Sin (Фб -Ф4 )
Подставим полученное выражение ю4 в уравнение (4) получим ю6 VxK • Sin Фб • cos Ф4 + VxK • Sin Фб • Sin Ф4
14 -Sin (Фб -Ф4 )
Продифференцируем систему уравнений (3) по времени
[-1б •COSФб •al - 1б •SinФб • еб -14 •cosф4 •ш^ -14 •Sinф4 •е4 = ax I -1б •Sinфб •ш2 + 1б cosфб • еб -14 •Sinф4 •ю2 +14 •cosф4 •е4 = a
yK
(5)
Из четырех параметров е6, е4, axK, ayK двумя параметрами можно задаться, а остальные два определяются из системы уравнений (5). Например, задавшись axK, ayK, можно определить е6, е4.
Из первого уравнения системы уравнений (5) выразим s4
= axK + 1б • cos фб • + 1б • sin фб • еб + 14 • cos ф4 •
S4 = i .
14 • Sin Ф4 (6)
Подставив полученное выражение во второе уравнение системы уравнений (5) получим е6.
ayK • sin ф4 + axK • cos ф4 + 1б • • cos (фб - ф4 ) +14 •
1б ^Sin (Ф4 -Фб )
Рис. 1
Рис. 2
Подставив полученное выражение s6 в уравнение (6) можно получить е4, зависящее от наперед заданных параметров axK, ayK и известных величин.
s4 = [axK - sinф4 • cosф6 + ayK - sinф6 • sinф4 +16 -ra2 • sinф4 + +14 • -sinф6 + l4 cosф4 -sin(ф4 -ф6)]/14 -sinф4 -sin(ф4 -ф6)
Положение ковша погрузчика при работе определяется ходом двух гидроцилиндров, их рабочей длиной, т.е. значения углов ф6, ф4 напрямую зависят от хода гидроцилиндров. Для примера рассмотрим механизм поворота ковша погрузчика вокруг точки С, состоящего из системы рычагов 2, 3 и ковша 4, степень подвижности которого W = 1. Применяя метод замкнутого контура, составим три замкнутых векторных контура - АВС, CFE и CDEF (см. рис. 2 и рис. 3).
Составим уравнение для первого замкнутого контура АВС.
z +1, = 1
(7)
Спроецируем уравнение (7) на оси координат.
Гz - cos фz +1, - cos ф, = 1 - cos ф1 [z - sin фz +1, - sin ф, = 1 - sin ф1 (8)
В этом уравнении угол ф, определяется конструктивными размерами стрелы погрузчика 6, т.е. ф, = const. Выразим из первого уравнения системы (8) cosфz.
1 - cos ф1 -1, cos ф,
z (9)
Тогда
cos фz =
Рис. 3
sin Фz =\ 1 -
(1 - cos ф1 -1, - cos ф, )
2
z
Подставив sinpz во второе уравнение системы уравнений (8), получим
z = 12 +12 - 2 • 1 •11 • cos (ф1 - ф1)
Подставив z в формулу (9) получим cospz
1 • cos ф, -1-, cos ф,
cos Ф =-—-1-—-
z 12 +12 -2 •, •11cos (ф, -Ф2)
Продифференцируем по времени систему уравнений (8) ГZ• cosфz -z •sinфz • az -11 sinф1 • ю1 = 0
[ Z •sin фz + z • cos фz • az +11 • cos ф1 • ю1 = 0 (10)
В системе уравнений (10) Z - относительная скорость штока гидроцилиндра 5, т.е. скорость штока относительно гидроцилиндра 5. Обозначим ее V, тогда система уравнений (10) примет вид.
ГV • cosфz -z •sinфz • az -11 sinф1 • ю1 = 0
[vr •sinфz + z • cosфz • az +11 • cosф1 • ю1 = 0 (11)
Умножая первое уравнение системы уравнений (11) на sinpz, а второе на cosp , и вычитая из второго первое, получим.
ю = -
li -cos (Фг -Ф1)
z
Получив raz и подставив raz в первое уравнение системы уравнений (11) получим V.
vr = [sin фz • l1 • cos (фz - ф1) +11 sin ф1 • ю1 J / cos фz
Продифференцируем по времени систему уравнений (11). Учитывая, что z = ar, а 2 • vr • raz = ak , получим.
ar • cosфz -ak •sinфz -z • cosфz • ю; -z •sinфz • sz -
-l1 • cosф1 • ю; -11 •sinф1 • s1 = 0
ar • sinфz + ak • cosфz -z •sinфz • ю2 + z • cosфz • sz -
-l1 •sin ф1 •ю22 + l1 •cos ф1 •s1 = 0 (12)
Задавшись значением s1, можно определить из системы уравнений (12) аг и ez. Для этого умножим первое уравнение системы уравнений (12) на cosipz, а второе на sinipz и сложим.
ar =-l1 •s1 •sin -ф1) +11 •ю22 •cos -ф1) + z •ю2;
Подставив в первое уравнение системы уравнений (12) аг получим ez. sz = {-ak •sinфz -z• cosфz • ю; -11 • cosф1 • ю; -11 • sinф1 • s1 +
+ [-l1 •s1 •sin-ф1) + l1 • ю; •cos-ф1) + z-ю;].cosфz}/z-sinфz
Составим векторное уравнение для замкнутого контура CEF С + 4 = S (13)
Спроецируем уравнение (13) на оси координат, учитывая, что 14 = const fc • cos a +14 • cos ф4 = s • cos 9s
[c • sin a +14 • sin ф4 = s • sin ф^. (14)
Где a = const, так как точки C и F принадлежат звену 6, которое при рассмотрении механизма поворота ковша вокруг точки C считаем неподвижным. Возведя в квадрат уравнения (14) и сложив их, получим.
s = ^14 + c2 + 2c • 14 • cos (ф4 - a)
Из системы уравнений (14) можно выразить tgips
c • sin a +14 • sin ф4 c • sin a +14 • sin ф4
=-T--ф* = arcts 4 4
(15)
c • cos a +14 • cos ф4 , откуда s c • cos a +14 • cos ф4 (16)
Составим векторное уравнение для замкнутого контура CDE
4 + 4 = 5 (17)
Спроецируем уравнение (17) на оси координат
Г12 • cos ф2 +13 • cos ф3 = s • cos ф^,
[12 • sin ф2 +13 • sin ф3 = s • sin фs (18)
Используя теорему косинусов, можно записать (см. рис. 3)
Í1| = s2 + 1З2 - 2 • 13 • s • cos фs
[1| = s2 + 12 - 2 • 12 • s • cosФs (19),
Откуда получаем
122 - s2 -1? 1? - s2 -12 Ф3s = arccos —-- ф2 s = arccos 3 2
2 • ¡3 • в , а 8 2 • 12 • в (20)
Как видно из рис. 3
Ф2 = Фз + Ф2з' а Фз = Фз + Фзз (21)
Тогда, подставив в формулы (21) фз из (16) и ф2з, ф3з из (20), получим зависимости ф2 и ф3 от ф4.
ф2 + ЭГССоз13 -с*-2с^ •сов-а)-12
'c•cosa +14 •cosф4 2 Т2 4J1I +c2 +2cJ4 •cos(ф4 - a)
ф3 =arctg c ^sin a +14 ^sin ф4 + arccos12 -14 - ^ - 2c 'k •cos (ф4 -a) -13
'c•cosa +14 •cosф4 2 T3 4J1I +c2 +2cJ4 •cos(ф4 - a)
(21)
(22)
Для определения скоростей и ускорений звеньев механизма поворота ковша вокруг точки C используем замкнутый векторный контур CDFE. Составим векторное уравнение.
4 + 4 = с + 4 (23)
Спроецируем векторное уравнение (23) на оси координат. Г12 • cos ф2 +13 • cos ф3 = с • cos а +14 • cos ф4
[12 • sin ф2 +13 • sin ф3 = с • sin а +14 • sin ф4 (24)
Продифференцируем по времени систему уравнений (24) Г-12 sinф2 •ш2 -13 •sinф3 ^ra3 = -14 • sinф4 • ra4
[ 12 • cos ф2 +13 • cos ф3 = 14 • cos ф4 • ra4 (25)
Из системы уравнений (25), умножив первое уравнение на cos93, а второе на sinip3, и сложив их, получим.
14 ^sin (ф3 -ф4 )
Ю2 =-р-^
12 • sin (ф3 -ф2 )
Подставив в первое уравнение системы уравнений (25) га2 получим га3, зависящее от га4.
14 • ra4 • [sin ф4 • sin (ф3 - ф2) - sin ф2 • sin (ф3 - ф4 ) J
3 13 • sin ф3 • sin (ф3 -ф2 )
Продифференцируем по времени систему уравнений (25)
-12 • cosф2 •raí; -12 •sinф2 • е2 -13 • cosф3 • ra3 -13 • sinф3 • е3 = = -14 • cosф4 •ra22 -14 • sinф4 • s4
12 • sinф2 • ra2 +12 • cosф2 • е2 -13 •sinф3 •raí2 +13 • cosф3 • е3 =
= -14 • sinф4 •ra;2 + 14 • cosф4 • s4 (26)
Умножив первое уравнение системы уравнений (26) на cosф3, а второе на sinф3 и сложив эти два уравнения, в итоге получим.
,2 , | „ \ „2 I - \ „2
'я • и
бо =-
13 •ra?2 +12 • cos(ф3 -ф2) • ra2 -14 • cos(ф4 -ф3) • ra4 +14 • sin(ф3 -ф4) • е4
12 • sin (ф3 -ф2 )
Умножив первое уравнение системы уравнений (26) на cosф2, а второе на sinф2 и сложив эти два уравнения, в итоге получим.
12 •raí2 +13 • cos(ф3 -ф2) • ra?2 -14 • cos(ф4 -ф2) • ra4 +14 • sin(ф2 -ф4) • е4
3 13 •sin (ф2 -ф3 )
Зная зависимости ф2 = /(ф4), ф3 = /(ф4), га2 = /(га 4), га3 = /(га4), s2 = f(s4), s3 = f(s4), можно установить зависимости ф4 = /(ф2), ф3 = /(ф2), га4 = f(ra2), га3 = f(ra2), s4 = f(s2),
s3 = f(s2).
Как видно из рис. 3 ф2 = ф2 + в, где в = const. Отсюда получаем га2 = га2 и Sj = s2. Таким образом, отсюда можно установить зависимости кинематических параметров механизма поворота ковша погрузчика вокруг точки С от кинематических параметров z, фг, гаг, sz гидроцилиндра 5.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артоболевский И.И. Теория машин и механизмов. - М.: Наука, 1988.
2. Фролов К.В., Попов С.А. и др. Теория машин и механизмов. - М.: Высшая школа,
3. Кульбачный О.И., Гродзенская Л.С. и др. Теория машин и механизмов. Проектирование. - М.: Высшая школа, 1970.
4. Осецкий В.М., Горбачев Б.Г. и др. Прикладная механика. - М.: Машиностроение, 1977.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 1. - М.: Наука, 1985. ЕШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_
Бусыгин Александр Михайлович - кандидат технических наук, доцент, МГИ НИТУ «МИСиС», e-mail: [email protected].
UDC 622.233.5.051.78.0015
KINEMATIC ANALYSIS OF THE MECHANISM OF THE DRIVE OF THE BUCKET WHEEL FRONT LOADER WITH TWO DEGREES OF FREEDOM ANALYTICAL METHOD
Busygin A.M., Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia, e-mail: [email protected].
Kinematic analysis of the mechanism is an important technical engineering challenge in designing and construction of any mechanism. The most preferred of all existing methods of kinematic analysis (graphical, grapho - analytical, analytical) is an analytical method. As with mathematical equations linking the main kinematic and geometric parameters of the mechanism, it is possible to make a program to automate the calculation process, and the degree of precision of the calculations can be set to any.
The article considers the kinematic analysis of the analytical method of the drive mechanism of the bucket wheel front loader with two degrees of freedom. Composed of equations that determine the mathematical relationships between the geometric (stroke cylinders, the rotation angles of the links, the linear dimensions of the links) and kinematic (linear speeds of the cylinders, the angular velocities and angular accelerations of the links) parameters of the drive mechanism of the bucket wheel front loader with two degrees of freedom. Obtained in this article, mathematical relationships can be used in the design of mechanisms of this type. In addition, mathematical equations in this article can be used to create relevant programs that significantly reduce the time when the analysis of different variants of kinematic schemes and the design of mechanisms of this type, thereby greatly facilitating the work of design engineers involved in the creation of such a mechanism.
Key words: kinematic analysis, analytical method, the vector model of the mechanism, method, closed-loop, front wheel loader, angular velocity, angular acceleration.
REFERENCES
1. Artobolevskii I.I. Teoriya mashin i mekhanizmov (Theory of machines and mechanisms), Moscow, Nauka, 1988.
2. Frolov K.V., Popov S.A. Teoriya mashin i mekhanizmov (Theory of machines and mechanisms), Moscow, Vysshaya shkola, 2001.
3. Kul'bachnyi O.I., Grodzenskaya L.S. Teoriya mashin i mekhanizmov. Proektirovanie (Theory of machines and mechanisms. Design), Moscow, Vysshaya shkola, 1970.
4. Osetskii V.M., Gorbachev B.G. Prikladnaya mekhanika (Applied mechanics), Moscow, Mashinostroe-nie, 1977.
5. Piskunov N.S. Differentsial'noe i integralnoe ischisleniya dlya vtuzov, t. 1 (Differential and integral calculus for technical colleges, vol. 1), Moscow, Nauka, 1985.
2001.
